Metodos Directos

Resolucion de SEL(Metodos Directos)

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingenierıa IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

Metodos Computacionales

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Metodos Directos

CONTENIDO

Metodos DirectosGeneralidades sobre Metodos DirectosEliminacion GaussianaPivoteoFactorizacion LU

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Metodos Directos

GENERALIDADES SOBRE METODOS DIRECTOS

I Encuentra una solucion en un numero finito deoperaciones(en ausencia de errores de redondeo)transformando el sistema en un sistema equivalente quesea ”mas facil” de solucionar.

I Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .

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GENERALIDADES SOBRE METODOS DIRECTOS

I Encuentra una solucion en un numero finito deoperaciones(en ausencia de errores de redondeo)transformando el sistema en un sistema equivalente quesea ”mas facil” de solucionar.

I Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .

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ELIMINACION GAUSSIANA

I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangularsuperior (todos los elementos debajo de la diagonal soncero).

I Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistematriangular superior

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ELIMINACION GAUSSIANA

I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangularsuperior (todos los elementos debajo de la diagonal soncero).

I Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistematriangular superior

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ELIMINACION GAUSSIANA

I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangularsuperior (todos los elementos debajo de la diagonal soncero).

I Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistematriangular superior

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ELIMINACION GAUSSIANA

Primer Paso de Eliminacion

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ELIMINACION GAUSSIANA

Segundo Paso de Eliminacion

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ELIMINACION GAUSSIANA

Sustitucion Regresiva

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EJEMPLO

EjemploUtilizando Eliminacion Gaussiana resolver:

3x1 + 2x2 + 4x3 = 1x1 + x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 − 2x3 = 3

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EJEMPLO

Método de Eliminación Gaussiana

• Sistema equivalente:

Solución:

08

3/53/21/3

14 2 3

3

32

321

x

xx

xxx

0

5

3

*x

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PIVOTEO

I Computadoras usan precision aritmetica finita.

I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores

I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.

I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.

I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.

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PIVOTEO

I Computadoras usan precision aritmetica finita.

I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores

I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.

I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.

I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.

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PIVOTEO

I Computadoras usan precision aritmetica finita.

I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores

I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.

I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.

I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.

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PIVOTEO

I Computadoras usan precision aritmetica finita.

I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores

I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.

I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.

I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.

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PIVOTEO

I Computadoras usan precision aritmetica finita.

I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores

I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.

I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.

I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.

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PIVOTEO

Ejemplo (Sin Pivoteo)

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PIVOTEO

Ejemplo (Con Pivoteo)

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PROCEDIMIENTO CON PIVOTEO

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PIVOTEO POR FILAS

I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.

I Busque la columna pivotal.

I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.

I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

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PIVOTEO POR FILAS

I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.

I Busque la columna pivotal.

I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.

I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

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PIVOTEO POR FILAS

I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.

I Busque la columna pivotal.

I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.

I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

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PIVOTEO POR FILAS

I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.

I Busque la columna pivotal.

I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.

I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

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PIVOTEO POR FILAS

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EJEMPLO DE PIVOTEO POR FILAS

15

7

6

5

0

7

3

1-

4

5-

0

1

2

3-

1

2

0

0

0

3

| )1()1( bA

15

6

7

5

0

3

7

1-

4

0

5-

1

2

1

3-

2

0

0

0

3

| )1()1( bA

3

3||max4

32

22

apivote

ani

i

tenemos 2,k , Para

En la etapa k, escoger para pivote el elemento de mayormódulo entre aik, i=k,k+1,...,n;

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PIVOTEO COMPLETO

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EJEMPLO DE PIVOTEO COMPLETO

Luego, intercambiamos las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 4:

15

7

6

5

0

7

3

1-

4

5-

0

1

2

3-

1

2

0

0

0

3

| )1()1( bA

15

6

7

5

2

1

3-

2

4

0

5-

1

0

3

7

1-

0

0

0

3

| )1()1( bA

77||max4 34

2,

apivoanji

ij tenemos 2,ke Para

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ALGORITMO DE LA FACTORIZACION LU

Descomposicion de una matriz como producto de dostriangularesSupongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.

LUx = b,⇔ Ly = b, Ux = y

TeoremaUna matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmode Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que seaequivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operacioneselementales ( de filas).

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ALGORITMO DE LA FACTORIZACION LU

Descomposicion de una matriz como producto de dostriangularesSupongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.

LUx = b,⇔ Ly = b, Ux = y

TeoremaUna matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmode Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que seaequivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operacioneselementales ( de filas).

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ALGORITMO DE LA FACTORIZACION LU

Descomposicion de una matriz como producto de dostriangularesSupongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.

LUx = b,⇔ Ly = b, Ux = y

TeoremaUna matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmode Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que seaequivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operacioneselementales ( de filas).

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DIFERENTES FORMAS DE FACTORIZACION

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FORMA DE CROUT

I Calculo de la primera columna de L li1 = ai1

I Calculo de la primera fila de U u1j =a1j

l11I Calculo alternado de las columnas de L y filas de U

lij = aij −∑

aj−1k=1likukj j ≤ i, i = 1, 2, . . . , n

uij =aij −

∑ai−1

k=1likukj

liii ≤ j, j = 2, 3, . . . , n

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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY

Descomposicion de Cholesky. Sea A una matriz simetica ydefinida positiva, existe una unica matriz triangular inferior Lcon lii > 0 tal que

A = LLT

Esto esa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

=

l11 0 0 0l21 l22 . . . 0...

.... . .

...ln1 ln2 . . . lnn

l11 l12 . . . l1n0 l22 . . . l2n...

.... . .

...0 0 . . . lnn

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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY

Note queI

a11 = l211 ⇒ l11 =√

a11

l11 es un numero real positivo ya que a11 > 0 por que A esdefinida positiva.

I

ai1 = li1l11 ⇒ li1 = ai1

l11

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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY

I Como

aij = li1lj1 + li2lj2 + . . . + lijljj; j = 1, 2, . . . , i− 1

luego

lij =aij −

∑aj−1

k=1likljkljj

; j = 1, 2, . . . , i− 1

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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY

I Ademasaii = l2i1 + . . . + l2ii

lo que implica

lii =

aii −i−1∑k=1

l2ik

12

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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY-MATLAB

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EJEMPLO:

EjemploDada la matriz A

A =

6 15 5515 55 22555 225 979

Factorizar utilizando descomposicion de Cholesky.

Solucion:A es simetrica y definida positiva, en efecto:det(6) > 0;

det

(6 1515 55

)= 105 > 0

det(A) = 3920 > 0

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