Post on 15-Sep-2018
Tema 6Tema 6
REGIM PERMANENT SINUSOÏDAL
CIRCUITS I COMPONENTS CIRCUITS I COMPONENTS ELECTRONICSELECTRONICS
2Ll. Ferrer
ÍndexÍndex
Introducció números complexes.Definició de fasor.Sumes d’ones sinusoïdals d’igual freqüència mitjançant fasors.Resposta permanent sinusoïdal d’un circuit.Impedància complexa.Transformador ideal.Potencia.Anàlisis de circuits amb fonts de diferent freqüència.
3Ll. Ferrer
Introducció als números Introducció als números complexes.complexes.
Definició de número complex:– Es un numero de la forma :
• z = x + j y.
– x i y son números reals i .– x = part real de z (Re z).– y = part Imaginaria de z (Im z).
Pla complex:– Es el pla on es representen els números complexes. En
el eix horitzontal es representa la part Real i en el vertical la part Imaginaria.
1−=j
4Ll. Ferrer
Pla complexPla complex
1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
j2
j1
j3
-j2
-j3
-j1
• Z1
φ
X
Z1 = 4 + j3 en forma rectangular
Z1 = X ∟φen forma polar
5Ll. Ferrer
Operacions amb números Operacions amb números complexescomplexes
abarctg
baX
Xzjbaz
=
+=
∠=⇒+=
φ
φ22
11
De coordenades rectangulars a polars
φφ
φ
sincos
11
⋅=⋅=
+=⇒∠=
XbXa
jbazXz
De coordenades polars a rectangulars
)()( // z
21
21
dbjcazzjdczjba
+++=++=+=
Suma en coordenades rectangulars
);(
);()(z //
212
1
2
1
212121
222111
φφ
φφφφ
−∠=
+∠⋅=⋅∠=∠=
XX
zz
XXzzXXz
Multiplicació en coordenades polars
)()( // z
21
21
cbdajdbcazzjdczjba
⋅+⋅+⋅−⋅=⋅+=+=
Multiplicació en coordenades rectangulars
+⋅−⋅
+
+⋅+⋅
=⋅=
=−=
+=+=
2222*2
*2
2
1
2
1
2*2
21
z deConjugat
// z
dcdacbj
dcdbca
zz
zz
zz
jdcz
jdczjbaDivisió en coordenades rectangulars
6Ll. Ferrer
FasorFasor
Qualsevol ona sinusoïdal es pot representar com la projecció horitzontal d’un fasor rotatiu de velocitat angular w
Qualsevol ona sinusoïdal es pot representar com la projecció horitzontal d’un fasor rotatiu de velocitat angular w
Fotografia quan t=0.Coneixen la freqüència,les variables necessàries per definir un senyal sinusoïdal son: Xm i
Fotografia quan t=0.Coneixen la freqüència,les variables necessàries per definir un senyal sinusoïdal son: Xm i
FASOR ROTATIU
Xm·cos(w·t+ )
w·t+
f =w/(2 )Xm
FASOR NO ROTATIU
Fasor X = Xm
Xm
X
7Ll. Ferrer
NotesNotes
n Qualsevol ona sinusoïdal es pot representar per la formula:X(t)=Xm·cos(w·t + )
n Sin(w·t)=cos(w·t - 90º)n -Sin(w·t) = sin(w·t – 180º)n -Cos(w·t) = cos(w·t – 180º)
Adreçes web de interes:http://members.es.tripod.de/pefeco/fasores/cor_alt_indice.htmhttp://www.jhu.edu/~signals/phasorlecture2/indexphasorlect2.htmhttp://www.electronicsworkbench.com/
8Ll. Ferrer
Suma d’ones sinusoïdals d’igual Suma d’ones sinusoïdals d’igual freqüència mitjançant fasorsfreqüència mitjançant fasors
)32cos(43,9
3285 // 43,958
58)05()80(
08V //50
0sin(0)5b // 8)0cos(8c-5sin(-90)5b // 0)90cos(5
V //
Hz.1 f //08V // 905
)cos(8V // )90cos(5)sin(5
s22
21
21
21
21
21
−⋅=
−=−
==+=
=−=+−++=+
+=−=
=⋅==⋅==⋅==−⋅=
+=+=
=∠=−∠=
⋅=−⋅=⋅=
wtV
arctgX
VjjVV
jjV
ajdcjbaV
V
wtwtwtV
s
os
s
φV2
V1+V2
V1
Representació fasorial V1
V2
V1 + V2
wPLA COMPLEX
9Ll. Ferrer
Resposta permanent sinusoïdal Resposta permanent sinusoïdal d’un circuitd’un circuit
t=01 2
i(t)
VM·cos(wt)
12
CVc)()cos( kirchoff Apliquem tutwVV
dtdVCR MC
C ⋅⋅⋅=+⋅⋅⇒
CRt
MMC e
CRwVCRwartgtw
CRw
VV ⋅−
⋅⋅⋅+
−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+
= 222222 1))(cos(
1
Quan l’entrada és una ona sinusoïdal la resposta permanent també és ona sinusoïdal de la mateixa
freqüència. Sols varia l’amplitud i la fase.
Resposta permanentResposta permanent TransitoriTransitori
10Ll. Ferrer
Regim permanent sinusoïdal de Regim permanent sinusoïdal de circuits linealscircuits lineals
CIRCUIT
LINEAL)cos()( φ+⋅⋅= twXtx m )cos()( ym twYty φ+⋅⋅=
LA FREQÜÈNCIA NO VARIA
REGIM PERMANENT
SOLS HI HA 2 VARIABLES INCOGNITA :– L’AMPLITUD(YM).– LA FASE(φY).
DEFINICIÓ DE IMPEDANCIA:– Relació entre el fasor tensió i el fasor intensitat d’un
element o dipol passiu de dos terminal (és un nºcomplex, però no és un fasor).
11Ll. Ferrer
Circuit resistiuCircuit resistiu
)cos()(
)cos()(
)()(
twRVmti
twVmtvRtvti
⋅⋅=
⋅⋅=
=
Equacions temporals
VI
Diagrama fasorial
tensió i intensitat estan en fase
RRV
VIVZ o
M
oM
R =∠
∠==
0)/(0
Impedància de la resistènciaRepresentació temporal
VR
IR
12Ll. Ferrer
Circuit capacitiuCircuit capacitiu
)º90cos()()cos()(
)()(
+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=
⋅=
twVmwCtitwVmtv
dttdvCti
Equacions temporals Diagrama fasorial
VI
La intensitat avança 90º la tensió.
CwjCwVV
IVZ o
M
oM
C ⋅⋅=
∠⋅⋅∠
==1
900
Impedància del condensador.Representació temporal.
VcIc
13Ll. Ferrer
Circuit inductiuCircuit inductiu
La tensió avança 90º la intensitat.
)º90cos(Im)()cos(Im)(
)()(
+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=
⋅=
twwLtvtwti
dttdiLtv
Equacions temporals
V I
Diagrama fasorial
LwjIIwL
IVZ
M
oM
L ⋅⋅=∠∠⋅⋅
== 0090
Impedància de la bobinaRepresentació temporal.
ILVL
14Ll. Ferrer
Llei de Ohm en R.P.S.Llei de Ohm en R.P.S.
V = Z · I ⇐ Relació lineal.Impedancies en sèrie :– Z eq = ∑ Z.
Admitàncies en paral·lel :– Yeq = ∑ Y.
Tots els teoremes i sistemes per resoldre circuits amb resistències son vàlids per resoldre circuits amb impedàncies.
15Ll. Ferrer
Diagrama en Diagrama en blocsblocs
CIRCUIT EN (R.P.S.) .
Domini temporalx(t) = XM·cos(w·t+φx)
SENYALS ⇒ FASORS
IMPEDANCIES⇒ NºCOMPLEXES
SOLUCIO PER METODES
ALGEBRAICS
FASOR RESPOSTA :
AMPLITUD I FASE
RESPOSTA TEMPORAL SINUSOÏDAL:
y(t)= YM·cos(w·t + φy)
16Ll. Ferrer
Problema exempleProblema exemple
1K 0,1H
1 microF10·cos(1000·t)
12
Vc
I
Circuit
º1,484,7º901º9,414,7
º9,414,7º9,411345
010
1000101000
111001,01000
6
−∠=−∠⋅∠=⋅=
∠=−∠∠
=++
=
Ω−=⋅
=⋅
=
Ω=⋅=⋅=
−
VKmAZIV
mAZZR
VI
jjCjw
X
jjLjwX
CC
CL
C
L
Resolució
Vc
Ic
Representació temporal
17Ll. Ferrer
El transformador idealEl transformador ideal
I1 I2
V2V1
Nucli
Φ N1 = nº. Espires primari.
N2 = nº. Espires secundari.
N =N1 / N2 = relació de transformació.
Potència primari = Potència secundari: V1 · I1 = V2 · I2
N1 = nº. Espires primari.
N2 = nº. Espires secundari.
N =N1 / N2 = relació de transformació.
Potència primari = Potència secundari: V1 · I1 = V2 · I2
n
TRANSFORMADOR
1 5
4 8
Símbol
+- V1/n
12
I2/n
I1 I2
V1 V2· ·
Esquema equivalent
211
2
2
1
122
1
2
1
11
1
In
InN
NII
Vn
VnNN
VV
⋅=⇒==
⋅=⇒==
Formules
Només funciona amb corrent alterna. Aïllament elèctric entre primari i secundari.
18Ll. Ferrer
Característiques i tipus de Característiques i tipus de transformadors.transformadors.
Característiques tècniques :– Tensions primari.– Tensions secundari.– Intensitat secundari (Potència útil).
Una classificació :– De mesura.– Elevadors/reductors (de baixa freqüència, nucli de
xapes de material ferromagnètic).– Aïlladors ( n = 1):– De Mitja, Alta freqüència (nucli de ferrita).
19Ll. Ferrer
Potència en R.P.S.Potència en R.P.S.
)2cos(2
IV)cos(2
IVp(t)
y)cos(xy)-cos(x y cosx cos2:CA MATEMATIFORMULA
)cos()cos()()cos()cos()()()(
)cos()()cos()(
MMMMIVIV
IVMM
IMVM
IM
VM
tw
twtwIVtptwItwVtitvtp
twItitwVtv
φφφφ
φφφφ
φφ
++⋅⋅⋅⋅
+−⋅⋅
=
++=⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅=
+⋅⋅=+⋅⋅= La potència consta d’un terme
constant i un terme sinusoïdal de freqüència doble.
El terme constant és la potènciamitja o activa i és la potència que es dissipa en el circuit
La potència consta d’un terme constant i un terme sinusoïdal de freqüència doble.
El terme constant és la potènciamitja o activa i és la potència que es dissipa en el circuit
potència deFactor coscos222
I FASOR ELi V FASOR EL ENTREANGLE
)cos(2
mitja Potènciaconstant termePm
=⇒⋅⋅=
⋅=⋅=⋅
=−=
−⋅⋅
=
==
φφ
φφφ
φφ
efefm
efefMMMM
IV
IVMM
m
IVP
IVIVIV
IVP
V
I
Ief·cosφI ef
·sin φ
20Ll. Ferrer
Diagrama de potènciesDiagrama de potències
S =Vef ·Ief
P =Vef ·Ief·cosφ
Q =
Vef
·Ief
·sin φ
φ
S = Potencia aparent. Potència total del circuit (VA).
P = Potència activa. Potència que es dissipa en el circuit (W).
Q = Potència reactiva. Potència de intercanvi. Potencia que circula però no es dissipa (VA).
21Ll. Ferrer
Anàlisis de circuits amb fonts de Anàlisis de circuits amb fonts de diferent freqüènciadiferent freqüència
Es resol aplicant superposició.S’eliminen totes les fonts menys una i primer es calcula la impedància de cada element per la freqüència de la font que queda. Desprès es resol el circuit amb fasors i es passa a forma temporal. Es guarda el resultat.Es repeteix el procés per totes les fonts.El resultat total és la suma de tots els resultats temporals.
NO ES PODEN SUMAR FASORS DE DIFERENT FREQÜÈNCIA.