Rectas en el plano

Mireia AsensioInés Utrero

Diferentes expresiones de las rectas

Ecuación Vectorial

Ecuación Paramétrica

Ecuación contínua Ecuación implícita

Ecuación explícita

Ecuación Vectorial

0 0

Consideramos un punto conocido P( X, Y) de la recta, un vector no nulo V = (a, b) que nos indican la dirección de la recta y un punto genérico X (x, y) que representa cualquier punto de la recta.

(X, Y) = ( X , Y ) + t · (a, b)

P = (1,2)

V = (2,3)(X, Y) = ( 1 , 2 ) + t · (2, 3 )

Ecuación Paramétrica

Igual que las ecuaciones vectoriales esta están compuestas por un punto conocido P( X, Y) de la recta, un vector no nulo V = (a, b) que nos indican la dirección de la recta y un punto genérico X (x, y)

(X, Y) = ( 1 , 2 ) + t · (2, 3 ) = (1,2) + (t2, t3) = ( 1 + t2, 2 + t3)

X = 1 + t2Y = 2 + t3

Ecuación continua

Esta ecuación nos indica los mismos elementos que las ecuaciones anteriores, pero a diferencia de las otras esta se aísla la t, ya el valor t es el mismo en las 2 igualdades

X = 1 + t2Y = 2 + t3

X – 1

2Y - 2 3

=P = (1,2)

V = (2,3)

Ecuación implícita

Es la ecuación general o implícita. A y B son los coeficientes de x y y respectivamente i C es el termino independiente. Esta ecuación no nos proporciona información directa de la recta de manera que para saber la dirección de la recta, utilizamos el siguiente método.

Ax + By + C = 0

V = (a, b) ( -B, A) V = (2,3) 3x - 2y + C = 0

Ecuación explícita

En esta ecuación, se aísla la y de la ecuación general de la recta y obtenemos:

En esta ecuación la –C = n es la ordenada al origen, y –A es la pendiente de la recta.

V = (2,3) 3x - 2y + C = 0( -B, A) Y = 3x + C

B B

2 2

(X, Y) = (4, -1) + t ( 2, 5) X = 4 + t2 Y = -1 + t5

X - 4 = Y + 1

25

V = (2,5) (-B, A)

5x -2y + C = 05(4) – 2 (-1) = C

C= 22

5x -2y + 22 = 0

5x -2y + 22 = 0 y = 5x + 22

y = mx + n

2 2

m = 5 n = 22 = 11 22

Ejemplos

P ( 4, -1)

V = ( 2, 5)

Posición relativa de las rectas

Perpendicularidad de rectes

Proyección ortogonal de un punto sobre una recta

rP

P’

S

Tenemos una recta (r) y un punto (P).La distancia desde el punto P asta el punto P’ de la recta es la proyección ortogonal.

Punto simétrico y medio respecto a una recta

r

P

P’

S

Si partimos del punto P, vemos que el punto S es el simétrico y el punto P’ es el punto medio.Se encuentran:

(a,b)=

P(x1,y1)S(x2,y2)P’(a,b)

Proyección ortogonal de un punto y punto simétrico sobre una recta

Calcula la proyección ortogonal de P(-1,2) sobre la recta r: x-y+2=0 y el punto medio.

Podemos ver que la pendiente de la recta r es 1, así podemos averiguar la pendiente de la otra recta.r: x+2= yt r mt·mr = -1

mt·1= -1 mt=-1/1= -1

Ya tienes la pendiente y un punto, puedes buscar el número independiente y así ya obtendrás la otra recta.P(-1,2) y= mx+nm= -1 2=-1· (-1) +n t: y=-x+1

n= 2-1= 1

t: y=-x+1 -x+1=x+2 x=-1/2r: x+2= y x= -1/2 y=-(-1/2) +1 y= 3/2P=(-1/2,3/2)

Al hallar el punto en común has encontrado el punto medio y la proyección ortogonal para encontrar el simétrico : P(x1,y1)(a,b)= S(x2,y2)

P’(a,b)

Ya tenemos las dos rectas, así que hacemos un sistema de ecuaciones para encontrar el punto en común que tienen.

(-1/2,3/2)=(-1+x2)2, (2+y2)/2

-1/2= (-1+x2)/2 x2= 03/2=(2+y2)/2 y2= 1

S(0,1) r

P

P’

S

Distancias

Distancias

1 Halla la distancia entre los puntos de A i B.A(2,1) B(-3,2)

2 Halla la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.

3 Halla la distancia entre las rectas r y s:r: x-y+2=0s: 3x+y-5=0 Son secantes entonces d = 01 1 2

3 1 -5= =

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