Post on 22-Jul-2022
Y Sus Posibilidades
Recombinación en Árboles Binomiales Multiplicativa
Freddy H. Marín
Días de la ciencia aplicadaSeptiembre 28-29-30
Grupo de Investigación En Simulación y Modelación Matemática
CONTENIDO
Ecuaciones Diferenciales Estocásticas
Procesos Derivados de La Ecuación Autónoma
Recombinación En Árboles Binomiales Multiplicativa
Opción Call Europea
La Fórmula de Black - Scholes
Valoración de Riesgo Neutral
Medida Equivalente de Martingala
Ejemplos Numéricos Experimentales
Posibles Extensiones
Bibliografía
ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS
Una Ecuación Diferencial de la forma:
Se conoce como Ecuación Diferencial Estocástica, donde y son funciones
determinísticas continuas y es un Movimiento Browniano Estándar
Unidimensional. y se conocen como coeficiente de tendencia y
coeficiente de difusión respectivamente.
La Ecuación Diferencial Estocástica Lineal General
donde y son constantes y es un Movimiento Browniano Estándar
Unidimensional, se conoce como Ecuación Diferencial Estocástica Autónoma y de ella
se derivan algunos procesos muy conocidos.
tttt dBdScdtbSadS )()(
tttt dBStgdtStfdS ),(),(
),( stf ),( stg
0ttB
),( stf ),( stg
cba ,, d 0ttB
PROCESOS DERIVADOS DE LA ECUACIÓN AUTÓNOMA
Proceso Log-Normal
Para el caso en el que y , se obtiene la Ecuación
Diferencial Estocástica Lineal Homogénea:
bca ,0 d
tttt dBSdtSdS
Procesos de Reversión a La Media con parámetros constantes
Para el caso en el que y se obtiene la Ecuación
Diferencial Estocástica :
0,, cbLa d
.10, odBSdtSLdS tttt
0 50 100 150 200 250
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
Tiempo
S(t
)
Proceso de Reversión a La Media Riudo Aditivo
0 50 100 150 200 2501
1.5
2
2.5
Tiempo
S(t
)
Proceso de Reversión a La Media Ruido Proporcional
Proposición 1
Considere la ecuación diferencial estocástica dada por:
Sobre el intervalo de tiempo donde a, b, c y d son constantes y es un movimiento browniano estándar unidimensional.Suponga además que:
El primer y segundo momentos para están dados por:
a)
b)
donde ;
RECOMBINACIÓN EN ÁRBOLES BINOMIALES MULTIPLICATIVA
En un proceso multiplicativo se define el tamaño de los saltos haciaarriba y hacia abajo por respectivamente, de modo que,
tal que,
obteniendo la recombinación:
..
Proposición 2
Considere la ecuación diferencial estocástica como en (1) y larecombinación en árboles binomiales multiplicativa . Suponga que
, sobre el intervalo de tiempo, . Se denota la esperanzacondicional del proceso continuo por y para el procesodiscreto por .
El “acoplamiento” del primer y segundo momentos para estos dosprocesos, da como resultado el árbol binomial especificado por:
donde:
,
Proposición 3
Considere la Ecuación Diferencial Estocástica dada por:
como en (1) sobre el intervalo de tiempo .
Sea una recombinación en árboles binomiales multiplicativa con
un paso de tiempo . Suponga que existe una cota inferior
tal que para toda i, j. Si se hace coincidir el primero y segundo
momentos para los procesos discreto y continuo, dicha recombinación
esta especificada por:
;
2
2
1
2
1
)(
2
)()(
dS
c
tdS
cb
S
a
p
i
j
i
j
i
ji
j
,)(
)(
tdS
c
i
j
ijeU )(
)( 1i
j
i
jU
d
Recombinación para los procesos asociados
a) Proceso Log-Normal.
b) Proceso de Reversión a La Media con Ruido Proporcional
c) Proceso de Reversión a La Media con Ruido Aditivo
i
J
i
J
tSi
J
i
J
i
J
i
JU
deU
tS
SL
pi
J1
,;2
1
2
1
2
1 )()(
2)(
Posibilidades
Opción Call Europea
Una opción call Europea con precio de ejercicio y tiempo de maduración
sobre el activo subyacente es un contrato definido por las siguientes cláusulas:
El tenedor de la opción tiene, durante el tiempo , el derecho más no la obligación de comprar una parte del activo subyacente con precio de ejercicio al suscriptor de la opción.
El derecho de comprar el activo subyacente al precio puede únicamente ser ejercido en el momento preciso .
El suscriptor de la opción, esta obligado a vender el activo subyacente al precio en el momento preciso .
El precio de ejercicio y el tiempo de maduración son determinados en el
momento de la emisión de la opción, el cual en este caso es habitualmente .
K
K
K
K
T
T
T
T
S
K
0t
La Fórmula de Black - Scholes
La fórmula para valorar una opcción Call Europea en el tiempo cero, para un activo
que no paga dividendos está dada por
)( 210 dNKedNSCall Tr
TdT
TrK
S
dT
TrK
S
d 1
20
2
20
1
2ln
;2
ln
La condición de frontera cuando t=T,
0,KSmáxV t
Una aproximación algebraica
Suponga que la vida de una opción Call Europea sobre un activo que no
paga dividendos, es dividida en N subintervalos de longitud .
Defina como el valor de la opción en el nodo . Recuerde que el
precio del activo en el nodo es:
como el valor de una opción Call europea en su fecha de maduración, es
, se conoce que:
)(i
jf
Valoración de riesgo neutral
“Cualquier instrumento dependiente del precio de un activo puede ser valorado suponiendo que el activo se encuentra en un mundo de riesgo
neutral”
Para propósitos de valoración de una opción, por ejemplo, se puedesuponer que:
1. El retorno esperado de todos los instrumentos negociados es la tasa deinterés libre de riesgo.
2. Los flujos de caja futuros pueden ser valorados descontando sus valoresesperados a la tasa de interés libre de riesgo.
Como el valor esperado del pago descontado de un instrumento derivado
bajo la probabilidad subjetiva p daría lugar a oportunidades de arbitraje,
es necesario construir una única medida de probabilidad equivalente a P
tal que:
i. El precio descontado a la tasa de interés libre de riesgo r, sea unaMartingala
ii. El valor esperado del pago descontado de un instrumento derivadobajo la probabilidad no presente oportunidades de arbitraje.
La medida de probabilidad que se describe en un mundo de riesgo neutral
se conoce como medida equivalente de Martingala.
Valoración de riesgo neutral
Medida Equivalente de Martingala
Teorema de Cameron – Martin-Girsanov
Sea un movimiento Browniano Standard Unidimensional
definido sobre un espacio de probabilidad .
Defina
Si entonces es un nuevo Movimiento Browniano
unidimensional definido sobre el espacio de probabilidad
con respecto a la misma filtración .
T
u
T
T dBuduu00
2
0 )()(2
1)(
)()(exp)(,)( 0
*
0
* dPdPduuBB T
t
tt
Sea un Movimiento Browniano Standard Unidimensional
definido sobre un espacio de probabilidad .
Sea un proceso de unidimensional sobre dado por
donde
Considere definidos como en el teorema anterior. Si ,
entonces es también un proceso de unidimensional sobre el
espacio de probabilidad con respecto al movimiento Browniano
Teorema de Girsanov
t
uu
t
ut dBuSgduuSfSS00
0 ,,
Es decir, es la solución de la ecuación Diferencial Estocástica.
(A)
Sobre el espacio de probabilidad
Si , son acotados, entonces, y en consecuencia,
La ecuación (A) se reduce a :
Incidencias sobre la ecuación autónoma
El precio descontado a la tasa de interés libre de riesgo , y su
diferencial estocástica está dada por:
(B)
de la solución discretizada de la ecuación (1) puede observarse que el
precio descontado satisface la misma ecuación que donde el
retorno ha sido remplazada portSAit,
Para encontrar una medida de probabilidad bajo la cual constituyauna Martingala, la ecuación (B) se debe escribir en tal forma que eltermino de tendencia se “absorbido” dentro del término de laMartingala y así determinar cuál es la sustitución más apropiada sobrelos parámetros iníciales.
De los dos teoremas anteriores,
Remplazando en (B) se obtiene:
Sustituyendo en la ecuación (1) las ecuaciones obtenidas en (c) se obtiene:
Resultados Numéricos Experimentales
Ejemplo 1. Valoración de una opción Call Europea para un proceso Log-Normal.
y .5.0,25.0 TT 1T .6686.1,3.0ˆ,25.0ˆ,6686.1%,10 0 KSr
1T
.83.69,3231.0ˆ,828.5ˆ,137.66ˆ,83.69%,10 0 KLSr
5.0,25.0 TT
Ejemplo 2. Valoración de una opción Call Europea para un proceso de reversión a la media con ruido proporcional y .
Extensiones
Esta recombinación puede ser extendidaa procesos más generales en los
que se consideran los parámetros como funciones deterministas
desconocidas, para sistemas de 2 o tres factores e incluso modelos
estocásticos más complejos que incluyen saltos, todos ellos basados en la
ecuación autónoma con algunas modificaciones y que son usados en la
actualidad para modelar el comportamiento dinámico de los precios spot
de algunos energéticos.
El modelo de Schwartz y Vasicek
Donde es el proceso Spot de la electricidad en el tiempo t.
Procesos de reversión a la media generalizados
donde son constantes, es una función deterministica
continua de valor real, habitualmente inobservable que determina el valor esperado de largo plazo del proceso y es un Movimiento
Browniano Standard Unidimensional.
,)( tttt dBSdtStLdS o0 1
0,0 )(tL
0ttB
0 50 100 150 200 2500.5
1
1.5
2
2.5
3
Tiempo
S(t
)
Proceso Generalizado Ruido Aditivo
L(t)
S(t)
0 50 100 150 200 2500.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo
S(t
)
Proceso Generalizado Ruido Proporcional
L(t)
S(t)
El modelo de Clewlow y Strickland
donde es un proceso en tiempo discreto y sigue una distribución
normal.
Modelo de 2 factores de Pilipovic.
donde son procesos Brownianos independientes.
Geman y Roncoroni
)()()())()(()()( tdJthtdWdttxtdttDtdx
Bibliografía
[1] B.D Tifenbach. Numerical methods for modeling energy spot prices. Master’s Thesis, University of Calgary (2000).
[2] Cox, Ross and Rubinstein. “Option Pricing: A Simplified Approach,” Journal of Financial Economics. (1979)
[3] Fischer, Black; Myron, Scholes. The pricing of options and corporates liabilities". The journal of political economy (1973).
[4] Hull, John. White, Alan, Valuing Derivative Securities Using The Explícit Finite Difference Method. University of Washington (1993).
[5] Hull, John. Options, Futures and Other Derivative Securities. Prentice Hall (1999).
[6] Kloeden, Peter E. and Platen Eckhard. “Numerical Solution of Stochastics
Diferential Equations". Springer-Verlag. (1999).
[7] Lari-Lavassani, Ali. Mohamadreza, Simchi. Ware, Antony A Discrete Valuation Of Swing Options. (2000).
[8] Lari-Lavassani, Ali, Sadeghi, Ware, Antony Mean Reverting Models For Energy Option Pricing. (2001).
[9] Mao, Xuerong. Stochastic Differential Equations & Aplications. Horwood Publishing Limited. England (1997).
[10] Pilipovic, Dragana. Valuing and Managing Energy Derivatives. McGraw-Hill (2007)