R

¿Qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?

Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia

P

QT

S

R

R

R

O: Centro

OP=OQ=OT=OS=…:Radio

CIRCUNFERENCIA

Actividad

ACTIVIDAD

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

DiámetroAB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ

interactúa

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA

Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a la recta tangente que determina dicho punto de tangencia

Recta Tangente

Radio

1.-Recta Tangente

ACTIVIDAD

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

ON : radio

DN : Diámetro

EF : Cuerda

ACTIVIDAD

P

Q

M

N

R

MQ PM PQ R MQ PM PQ R

Actividad

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.

A B

C D

mBDmAC CD // AB :Si mBDmAC CD // AB :Si

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentes

Arcos congruentesLas cuerdas

equidistan del centro

mCD mAB CD AB:Si mCD mAB CD AB:Si

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro

T punto de tangencia

ET=TF

Rr

Distancia entrelos centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.

d > R + rd > R + r

R r

d = R + r d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.

r

R

R r

Punto de tangencia

Distancia entrelos centros (d)

d

R

d = R - rd = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de

tangencia

05.-CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Tienen dos puntos comunes

5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.

R r

( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )

Distancia entrelos centros (d)

5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2

Distancia entrelos centros (d)

rR

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

R

r

d

d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros

1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PBAP = PB

A

B

P

R

R

ACTIVIDAD

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CDAB = CD

A

B

C

D

R

Rr

r

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB = CDAB = CD

A

B

C

DR

R

r

r

TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.

a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Inradio

Circunradio

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.

a + c = b + d a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadrilátero circunscrito

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

A

B

C

r

r

= mAB = mAB

ACTIVIDAD

A

C

B

D

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

2

mCDmAB

2

mCDmAB

A

B

C

3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

2

mAB

2

mAB

ACTIVIDAD

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

A

B

C

2

mAB

2

mAB

A

BC

2

mABC

2

mABC

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

A

B

C O

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

+ mAB = 180° + mAB = 180°

2

mAB - mACB

2

mAB - mACB

A

B

C

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

2

mBC - mAB

2

mBC - mAB

A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mCD-mAB

2

mCD-mAB