Post on 01-Feb-2021
2PROPUESTA DE
ATACALAR CHILE-ARGENTINA
OLIMPIADA INTERNACIONAL
DE MATEMÁTICA
ACOMPAÑAMIENTO A LOS ESTUDIANTES
GEOMETRÍAY MEDIDA
CERTAMEN ESCOLAR
2FASCÍCULO
- 2014 -
Queridoestudiante:
Teinvitamosahacermatemática,aponerenaccióntussaberesyaemplear
tuingenioytucreatividadparabuscarsolucionesasituacionesqueconstituyenverdaderos
problemas.Sabemosquetenéslacapacidadparaenfrentartealdesa�íoyresolverproblemas
matemáticos.¡Animate!
Lapropuestaeslasiguiente:
Leécadaproblema
Iniciálabúsquedadelasolución.Sinecesitás,consultátuslibrosy
apuntes.
Almomentodeconcluirlabúsqueda,reunitecontuscompañerospara
compartirtuprocesoyexplicarcómolopensaste.Podésaprovecharla
instanciaparaanalizarydiscutirlorealizado.
ALGUNOSPROBLEMASPARATRABAJARCONFIGURASGEOMÉTRICAS
Noteolvidésderegistrarlosrazonamientos,explicacionesycálculosqueusastepararesolver cada problema. Debajo de cada problema tenés un espacio para hacerlo.Podésusarotrashojas,sinecesitás.
Figurasgemelas
a-Copiáesta�igura,usandolosinstrumentosdegeometrıáquenecesites,paraobtenerotra�iguraigual.
b-¿Quéledirıá satucompañeroparaconvencerlodequetu�iguraesigualalaoriginal?
01
Mequedóchica…
Copiáesta�iguradetalmaneraque:
conservelaformay
loqueenla�iguraoriginalmide6cmpase,enelcopiado,amedir9cm.
Yahora…aseguirinstrucciones
1.Construı́ unacircunferenciade4cmdediámetro.
2.Trazáunodesusdiámetros.LlamáAaunodelospuntosdondeeldiámetrocortaalacircunferenciayBalotro.
3.TrazáunodelosradiosperpendicularesaldiámetroAB.LlamáCalpuntodondeeseradiocortaalacircunferencia.
4.Construı́ eltriánguloqueseformaalunirlospuntosA,ByC.
6cm
02
Apartirdelaobservaciónyelanálisisdela�iguraproducida
ConsideráeltriánguloABCquehasconstruido:¿Dequéclasees?Explicáturespuesta.
Una�iguraapartirdeotra
SeconstruyeelrectánguloABCD.SemarcanlospuntosmediosdelosladosAB,BC,CD,DAyselosllamaE,F,GyH,respectivamente.SeconstruyeelcuadriláteroqueseformaalunirlospuntosE,F,GyH.
¿QuéclasedecuadriláteroesEFGH?¿Porqué?Explicáusandolaspropiedadesdelas�igurasgeométricas.
Yahoraselogróunrectángulo
Se construye un cuadrilátero ABCD. Se marcan los puntos medios de los lados delcuadriláteroyselosllamaE,F,GyH.AlunirlospuntosE,F,GyHseobtieneunrectángulo.
¿Quéclasedecuadriláterosedebiódibujarinicialmenteparaobtenerunrectángulo?¿Porqué?Explicáusandolaspropiedadesdelas�igurasgeométricas.
03
Ángulosenunacircunferencia
SeconstruyeunacircunferenciadecentroO.SetrazaunodesusdiámetrosyselollamaAC.
SobrelacircunferenciasemarcaelpuntoB,demaneraqueelánguloBAC=60°.
PorelcentroOsetrazalarectaperpendicularalsegmentoBA.EsarectacortaalarcoACenunpuntoD.
¿CuántomideelánguloCOD?
Eldesa�íodelaprofesora
LaprofesoraconstruyóuntriánguloquellamóABC.TrazólabisectrizdelánguloBquecortóalladoACenelpuntoD.LuegotrazólabisectrizdelánguloCquecortóalladoABenelpuntoE.LasdosbisectricessecortaronenunpuntoquellamóO.
DespuésmidióelánguloEOD=110°
ElladijoasusestudiantesqueconesainformaciónpodıánaveriguarlamedidadelánguloAsintomarlamedidadelosángulosByC.
¿CuántomedıáelánguloAdeesetriánguloABC?
04
Elcarteldepublicidad
Alexistienequeconstruiruncarteldepublicidadenunaláminademetal.EnelbocetoestádibujadountrapecioisóscelesABCD,debasemenorABydebasemayorCD.PorelpuntoAestátrazadaunarectaperpendicularalladoAB.EsarectacortaalladoCDenelpuntoE.
Enelbocetoestáescrito:
· A� readeltriánguloAED:7,8m²
· LadoAE=1,3m.
· AB=CD
Alexisnecesitasabereláreadelcartelparacomprarlaláminademetal.
¿CuáleseláreadeltrapecioABCD?
13
05
Dibujoenlacuadrícula
Searmóestacuadrıćulatrazando:
5rectashorizontales,cadaunaa1cmdedistanciadelaanterior,y
6rectasverticales,cadaunaa1cmdedistanciadelaanterior.
Ası́quedaronmarcados30puntosporlasinterseccionesentrelasrectas.
Enesacuadrıćula,marcátrespuntos:
· elA,enlaquinta�ila,primeracolumna(esdecir,enlaesquinainferiorizquierda);
· elB,enlaprimera�ila,terceracolumna;
· elC,enlacuarta�ila,sextacolumna.
TrazáeltriánguloABC.
CalculáeláreadeltriánguloABC.
06
Unatarjetaparamiamigo
Sofıásiguióesteinstructivoparadiseñarunatarjetaparasumejoramigo.
Instructivo:
1.DibujáunrectánguloABCDdemaneraqueelladoABmidaeldoblequeelladoBC.
2.ConcentroenAyradioigualaAB,dibujáuncuartodecıŕculosobreelladoAB,exterioralrectángulo.
3.ConcentroenCyradioigualaCD,dibujáuncuartodecıŕculosobreelladoCD,exterioralrectángulo.
a-Construı́latarjetaquediseñóSofıá.
b-Sofıáusó61,4cmdecintaparacolocarenelperıḿ etrodelatarjeta.¿CuáleseláreadelatarjetaquediseñóSofıá?
07
PROCEDIMIENTOSPARARESOLVERALGUNOSPROBLEMAS
Observálosprocedimientosempleadosparalaresolucióndeestosproblemas.
Yahora…aseguirinstrucciones
1.Construı́ unacircunferenciade4cmdediámetro.
2.Trazáunodesusdiámetros.LlamáAaunodelospuntosdondeeldiámetrocortaalacircunferenciayBalotro.
3.TrazáunodelosradiosperpendicularesaldiámetroAB.LlamáCalpuntodondeeseradiocortaalacircunferencia.
4.Construı́ eltriánguloqueseformaalunirlospuntosA,ByC.
1. 2.
A
B
OO
3. 4.
A
B
C C
O
A
B
O
08
Apartirdelaobservaciónyelanálisisdela�iguraproducida
ConsideráeltriánguloABCquehasconstruido:¿Dequéclasees?Explicáturespuesta.
ElsegmentoABesperpendicularalsegmentoCD.
PoresoelánguloAOC=90°yelánguloBOC=90°
EltriánguloAOCtienedosladosigualesAO=OC
porque son radios de la circunferencia. A esos
ángulosiguales(congruentes)seoponenángulos
congruentes.PoresoOAC=OCA
EsetriánguloAOCtieneunángulorecto(AOC=
90°)ylosotrosdosiguales(OAC=OCA).Cadauno
deesosángulosigualesmide45°.
90°+45°+45°=180°(lasumade losángulos
interioresdeuntriángulosuman180°).
En el triángulo BOC se da lo mismo que en el
triánguloAOC.EnestetriánguloBOC=90°,OBC=
45°yOCB=45°.
Ahora,eneltriánguloABCelángulo
ACB=45°+45°
ACB=90°.
Poresoesuntriángulorectángulo.
El triángulo ABC tiene los otros dos ángulos
iguales(OAC=45°y OBC=45°).Aesosángulos
iguales se oponen lados iguales (AC = CB). El
triánguloABCesisósceles.
CA
B
O
90°
90°
45°45°
CA
B
O
90°
90°
45°
45°
45°
45°
09
Elcarteldepublicidad
Alexistienequeconstruiruncarteldepublicidadenunaláminademetal.Enelbocetoestá
dibujadountrapecioisóscelesABCD,debasemenorABydebasemayorCD.PorelpuntoA
estátrazadaunarectaperpendicularalladoAB.EsarectacortaalladoCDenelpuntoE.
Enelbocetoestáescrito:
· A� readeltriánguloAED:7,8m²
· LadoAE=1,3m.
· AB=CD.
Alexisnecesitasabereláreadelcartelparacomprarlaláminademetal.
¿CuáleseláreadeltrapecioABCD?
Despuésdehacereldibujo,porelpuntoBtracéunarecta
perpendicular al lado AB. Llamé O al punto donde esa
rectacortaalladoCD.
Ası́ el trapecio ABCD quedó dividido en un rectángulo
(ABOP)ydostriángulos(APDyBOC).
Los triángulos APD y BOC son iguales (congruentes)
porque:
AD=BC(ladosigualesdeltrapecioisósceles)
AP=BO(ladosopuestosdelrectángulo)
ADP=BCO (ángulosque se apoyan sobre lamisma
basedeltrapecioisósceles)
Entoncesesosdostriángulostienenlamismaárea:7,8m.
Además,ası́secompruebaqueCDeseltripledeABy
DP=PO=OC=AB
Tracéunadelasdiagonalesdelrectánguloquelodividió
endostriángulosiguales(APOyABO).
Los triángulos APD y APO son iguales (congruentes)
porque:
DP=PO
AP=AP(ladocomún)
APD=APO(miden90°porAPesperpendicularaDO)
PoresoeláreadeltriánguloAPOesde7,8m.
Entonceselotrotriánguloqueformaelrectángulo(ABO)
tiene7,8m.
EláreadetodoeltrapecioABCDes4x7,8m=31,2m.
EláreadetodoeltrapecioABCDes31,2m.
13
2
2 2
2
2
2
2
A B
COPD
A B
COPD
7,8m
10
¿Quéprocedimientosseguistepararesolverlosproblemas?Recordá
registrarlos,paraluegocompartirloscontuscompañeros.
Bibliogra�ía
Agrasar,M.;Crippa,A.yDıá z,A.(2003).“T.P.4Figurasenelespacioyenelplano”en:
Matemática7.BuenosAires:Longseller.
Cappelletti,G(coord.)(2008).Matemática.Geometrıá(1ªed.).BuenosAires:Ministeriode
Educación–GobiernodelaCiudaddeBuenosAires.
GobiernodeCórdoba.MinisteriodeEducación.SecretarıádeEducación.Subsecretarıáde
PromocióndeIgualdadyCalidadEducativa(2010).DiseñoCurriculardelaEducación
Secundaria.Tomo2.2011-2015.Córdoba,Argentina:Autor.
GobiernodeCórdoba
MinisteriodeEducación
SecretaríadeEstadodeEducación
SubsecretaríadeEstadodePromocióndeIgualdadyCalidadEducativa
ÁreadePolíticasPedagógicasyCurriculares
Equipodetrabajo:
SandraMolinolo,LauraVélezconlacolaboracióndeAzucenaAmayayEderdPicca.
11
AUTORIDADES
GobernadordelaProvinciadeCórdobaDr.JoséManuelDelaSota
VicegobernadordelaProvinciadeCórdobaCra.AliciaMónicaPregno
MinistrodeEducacióndelaProvinciadeCórdobaProf.WalterMarioGrahovac
SecretariadeEstadodeEducaciónProf.DeliaMaríaProvinciali
SubsecretariodeEstadodePromocióndeIgualdadyCalidadEducativa
Dr.HoracioAdemarFerreyra
DirectoraGeneraldeEducaciónInicialyPrimariaProf.EdithGaleraPizzo
DirectorGeneraldeEducaciónSecundariaProf.JuanJoséGiménez
DirectorGeneraldeEducaciónTécnicayFormaciónProfesionalIng.DomingoAríngoli
DirectorGeneraldeEducaciónSuperiorMgter.SantiagoAmadeoLucero
DirectorGeneraldeInstitutosPrivadosdeEnseñanzaProf.HugoZanet
DirectorGeneraldeEducacióndeJóvenesyAdultosProf.CarlosBrene
DirecciónGeneraldeRegıḿenesEspeciales
DirectorGeneraldePlaneamiento,InformaciónyEvaluaciónEducativa
Lic.EnzoRegali
SecretariodeRelacionesInstitucionalesDr.Carlos.A.Sánchez
DirectorGeneraldeProgramasEspecialeseInfraestructuraProf.CarlosPedetta
SubdirectoradeProgramasEspecialesLic.RosanaZárate