Post on 02-Feb-2020
R. Durazo, Febrero 2016. Facultad de Ciencias Marinas UABC.
Propagación del Error.
En el ámbito científico es común el realizar mediciones repetidas de una o más variables, cada una con sus incertidumbres individuales. Estas incertidumbres son de tipo instrumental que se puede conocer dadas las características del instrumento de medición, o de tipo aleatorio que proviene de numerosos factores que la mayor de las ocasiones son difíciles de controlar.
Cuando se desea realizar el cálculo de una nueva cantidad basado en mediciones de otras que tienen una incerteza asociada se requiere “propagar” el error hacia esta nueva cantidad. La propagación del error es simplemente el proceso de determinar la incerteza de un cálculo que se basa en una operación. Por ejemplo, en el laboratorio se miden el tiempo y el desplazamiento para poder calcular la velocidad de un objeto. Debido a que ambos, distancia y tiempo, se miden con un cierto grado de incertidumbre, afectará la respuesta final.
Supongamos que se miden las cantidades X,Y,Z,… cuyas incertezas son δX, δY, δZ,…
Se requiere calcular una cantidad R que depende de X, Y, Z,.. etc. Cual es la incerteza de la nueva variable R? La propagación del error se realiza de forma separada dependiendo del tipo de operación que se realiza. Suma o Resta de cantidades medidas.
Pudiera parecer intuitivo que dadas las cantidades X, Y, Z, … y sus incertidumbres δX, δY, δZ, etc., la incertidumbre de la nueva cantidad R calculada a partir de la suma o resta de X, Y, Z, … sea simplemente la suma de las incertezas.
𝑋 ± 𝛿𝑋 + 𝑌 ± 𝛿𝑌 = 𝑋 + 𝑌 ± (𝛿𝑋 + 𝛿𝑌) Esto puede dar lugar a resultados ambiguos. Por ejemplo, si un número A tiene una incerteza δA positiva se suma con un número B con incerteza δB negativa e igual a δA, el resultado de sumar las incertezas daría un número cero. La ambigüedad es que dos números con incertidumbres no pueden dar un tercer número con certeza absoluta. Para eliminar esta ambigüedad se elevan al cuadrado las incertidumbres de cada cantidad (que aporta solo resultados positivos) y enseguida se obtiene la raíz cuadrada de la suma. Si R es la suma o la diferencia de las cantidades X, Y, Z con incertidumbres δX, δY y δZ, entonces la incerticumbre δR es:
R = X + Y – Z
𝛿𝑅 = (𝛿𝑋)! + (𝛿𝑌)! + (𝛿𝑍)!
R. Durazo, Febrero 2016. Facultad de Ciencias Marinas UABC.
Ejemplo Suponga que se han medido la posición inicial como x1=9.3±0.2 m y la final como x2=14.4 ±0.3 m. El desplazamiento es Dx=x2-‐x1=14.4 m -‐9.3 m = 5.1 m. El error en el desplazamiento calculado es (0.2! + 0.3!) = 0.36 m.
Multiplicación de cantidades medidas. De la misma manera que se establece para las sumas y restas, se puede obtener la incertidumbre para el caso de multiplicación y división:
𝑅 = 𝑋 ∙ 𝑌 𝑍
𝛿𝑅 = 𝑅 ∙ 𝛿𝑋𝑋
!
+ 𝛿𝑌𝑌
!
+ 𝛿𝑍𝑍
!
Note que para el objetivo del cálculo del error, no existe diferencia entre una multiplicación y una división. Ejemplo Se mide un desplazamiento de x=5.1±0.4 m durante un tiempo de t=0.4±(-‐0.1) s. Calcular la velocidad promedio y el error en la velocidad promedio.
𝑣 = 𝑥𝑡 =
5.1 𝑚 0.4 𝑠 = 12.75 𝑚/𝑠
La incerteza en el cálculo de velocidad es:
𝛿𝑣 = 𝑣 ∙ 𝛿𝑥𝑥
!
+ 𝛿𝑡𝑡
!
= 12.74𝑚𝑠 ∙
0.45.1
!
+ −0.10.4
!
= 3.34𝑚𝑠
Multiplicación por una constante. Si se requiere multiplicar una cantidad medida X por una constante c:
R = c X
δR = |c| δX
R. Durazo, Febrero 2016. Facultad de Ciencias Marinas UABC.
Esta expresión es equivalente a la de multiplicación con el caso particular de que la incertidumbre en c es δc = 0. Ejemplo Un objeto se suelta desde el reposo en caída libre. En un punto de su trayectoria se mide la velocidad del objeto como v=-‐3.8 ± 0.3 m/s. Calcular el tiempo en que ha estado en caída libre. La aceleración es a=v/t. Suponiendo que la aceleración en caída libre es g=9.81 m/s2, y despejando para el tiempo se obtiene t=-‐v/g = (3.8 m/s) / (9.81 m/s2) = 0.387 s. La incertidumbre en el cálculo del tiempo de caída es
𝛿𝑡 =−1𝑔 ∙ 𝛿𝑣 = 0.102
𝑠!
𝑚 ∙ 0.3𝑚𝑠 = 0.03 𝑠
Funciones Polinomiales. En el caso en que R es una función polinomial de una variable X se tiene la siguiente expresión:
R = Xn
𝛿𝑅 = 𝑛 ∙ 𝛿𝑋𝑋 ∙ 𝑅
Es una regla simple que se aplica para exponentes negativos o fraccionarios. Funciones Generales. Finalmente, cuando R es una función de varias variables, R=R(X,Y,…), entonces la incertidumbre en R se obtiene tomando las derivadas parciales de R con respecto a cada una de las variables, multiplicada por la incerteza de esa variable, elevando al cuadrado y sumando las respectivas derivadas y multiplicaciones de otras variables:
R = R(X,Y,…)
𝛿𝑅 = 𝜕𝑅𝜕𝑋 ∙ 𝛿𝑋
!
+ 𝜕𝑅𝜕𝑌 ∙ 𝛿𝑌
!
+⋯
Esta es la regla general. Los casos detallados anteriormente resultan ser casos especiales de esta.
R. Durazo, Febrero 2016. Facultad de Ciencias Marinas UABC.
Trabajo en Laboratorio: Evalúe el error propagado para los siguientes casos:
1) El cálculo del perímetro de un pentágono, cuyos lados tienen 17.8 cm de longitud, y un error instrumental de 1.5 mm
2) El área de un polígono rectangular cuya base mide 122.7 m, y su altura es de
310.1 m. El error instrumental es de 23 cm.
3) La velocidad de un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme que recorre 1.5 m en 3.13 segundos. Los errores de medición son de 1.5 mm y de 1/10 segundos.
Utilizando un vernier, mida el diámetro de una pequeña esfera. Se debe realizar una medida por cada uno de los alumnos. Determinar:
1) La magnitud del error experimental 2) La magnitud del error aleatorio (estadístico) 3) La magnitud de la incertidumbre en la medida del diámetro 4) Calcule el valor del área del círculo y el volumen de la esfera así como la
incertidumbre en dichos cálculos. Área= 4πr2 Volumen= (4/3) πr3