PROGRESIONES: Aritméticas y Geométricas

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Progresión También conocida como una sucesión, es un conjunto

infinito de números ordenados que tienen un comportamiento común entre si.

A los números que forman la sucesión se les llama términos y todas las sucesiones tienen un primer término seguido de otros que cumplen con una regla entre ellos.

Una sucesión se puede representar mediante una expresión que permite conocer el valor de cada término sabiendo el lugar (n) que ocupa.

Estudiaremos las más conocidas: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica

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Progresiones A) 1, 6, 11, 16…

B) 45, 40, 35, 30

C) 10, 20, 40, 80…

D) 24, 12, 6, 3

¿Cuáles progresiones crecen y cuales decrecen? ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a cada

progresión?

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Progresión Aritmética

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Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, en la que cualquier término es el resultado de sumar al anterior una cantidad constante (positiva o negativa), llamada diferencia común y se calcula como:

Un término n - menos- el que le antecede

1 nn aad

Progresión Aritmética

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Ej.1.- 1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad constante que se suma es: 5

1 + 5 = 6

6 + 5 = 11

11 + 5 = 16

Ej.2.- y en 45, 42, 39, 36… se observa que la cantidad que se suma es: -3

45 - 3 = 42

42 - 3 = 39

39 - 3 = 36

Progresión Aritmética

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Una progresión finita es aquella que tiene un número determinado de términos.

Una progresión infinita es aquella que tiene un número indefinido de términos.

Progresión Aritmética Para calcular el enésimo término de cualquier

progresión aritmética utilizamos:

Donde: an = último término

n = número de términos a1 = primer término d = la diferencia común

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d n a1 an ) 1 ( +

Progresión Aritmética

8

Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Veamos:

El primer término (a) es 4 y

la diferencia común (d) es 4, ya que 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.

El número de términos (n) es 6.

Primer término: a = 4

Segundo término: a + d = 4 + 4 = 8

Tercer término: a + 2d = 4 + 2(4) = 12

Cuarto término: a + 3d = 4 + 3(4) = 16

Quinto término: a + 4d = 4 + 4(4) = 20

Sexto término: a + 5d = 4 + 5(4) = 24

Progresión Aritmética

Progresión Primer Término

a

Diferencia común

d

Valor del 8° término

a8

Clasificación de la progresión

12, 18, 24, 30, 36 12 6 54 aritmética

-3, -3/2, 0, 3/2, 3, 9/2 …

2, 6, 10, 14, 18, 22

½, 1, 1 ½, 2 ...

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Progresión Aritmética Además la suma de los n primeros términos de este tipo de

sucesiones se puede calcular como:

Donde: S = suma de los n términos an = último término n = número de términos a1 = primer término

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2

) ( a1 n S

+ an

Progresión Geométrica

Es una sucesión de números llamados términos, de tal forma que cada uno de ellos, después del primero, se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante (entero o fracción, positiva o negativa) llamada razón común.

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1

n

n

aa

r

Progresión Geométrica Sea la progresión 6/3, 12/3, 24/3…

La razón común es r = 2, dado que:

(6/3) 2 = 12/3 (12/3) 2 = 24/3

Los elementos de una progresión geométrica son:

a1 = primer término r = la razón común an = último término o enésimo término n = número de términos

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Progresión Geométrica Para calcular el enésimo término tenemos:

Donde : a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo término n = número de términos

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1 n r a1 an

Progresión Geométrica

La suma de los n primeros términos se podría calcular como:

Cuando r = 1

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r – a1 an S

r 1

Progresiones: Interés Simple Es el rendimiento que da un capital invertido durante un

tiempo determinado, invertido a una tasa de interés dada… .

Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple si se retiran, compuesto si se dejan en el banco.

Ejemplo: ¿En cuánto se convierte un capital de $ 1.600.000 al 10 % en

dos años a interés simple?

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Progresiones INTERÉS SIMPLE. El interés total es: 1.600.000 x 0,1 = $ 160.000

Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue

siendo el mismo: $ 1.600.000.

En el segundo año, el capital vuelve a producir otros $ 160.000.

En los dos años el interés producido es: 160.000 + 160.000 = $ 320.000. Por tanto, el capital se convierte en los dos años en:

1.600.000 + 320.000 = $ 1.920.000

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Interés Simple

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Se puede obtener directamente el interés en los dos años: Cf = 1.600.000 x 0,1 x 2 = $ 320.000 En general, si: Cf = es el monto producido después de un tiempo. (Capital final ) Ci = es el capital inicial i = es la tasa de interés anual y

t = es el tiempo en años, entonces el monto generado con interés simple es:

Interés Compuesto

Llamamos Capital final o monto compuesto, a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el Capital final y el capital inicial es el interés compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés, recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

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Interés Compuesto Cuatro conceptos son importantes en el interés compuesto: El capital inicial (Ci ) La tasa de interés por período (i ) El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la

transacción (n). El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se

llama Frecuencia de Capitalización (k). Si el período de capitalización de intereses es mensual, entonces las

expresiones siguientes son equivalentes: "el interés es capitalizable mensualmente",

"es convertible mensualmente“ o "es compuesto mensualmente“.

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Interés Compuesto n

Cf = Ci ( 1 + i ) Donde: Cf = Capital inicial o valor futuro C = Capital inicial o valor original n = número de capitalizaciones en el período de inversión i = tasa por período J = tasa nominal (tasa anual)

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Cf = Ci + I

j i = --- k

Interés Compuesto

Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no

sólo sobre el capital inicial sino también sobre el

interés acumulado, en contraste con el interés

simple que sólo paga o gana intereses sobre el

capital inicial.

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