Escuela de Física, UNAH Mecánica Cúantica II

22 de Febrero de 2011

Autor: Jonnathan López

Cuenta: #20022004347

PROBLEMA REFERENTE A POTENCIAL DELTA DE DIRAC

PROBLEMA Una partícula no relativista de masa se mueve en

una dimensión bajo la influencia de un potencial dado por , donde es una constante y es la función delta de Dirac. Encuentre:1. La función de onda correspondiente al autovalor de la

energía del estado base o fundamental 2. La ecuación que relaciona el correspondiente

autovalor de la energía con la constante

( ) [ ( ) ( )]V x x a x a 0 ( )x

m

SOLUCIÓN Recordemos la definición de la función :( )x

0 , 0( )

, 0

xx

x

SOLUCIÓN Entonces, de forma análoga:

0 , 0 0 ,( ) ( )

, 0 ,

x a x ax a x a

x a x a

0 , 0 0 ,( ) ( )

, 0 ,

x a x ax a x a

x a x a

SOLUCIÓN De modo que tiene

la siguiente forma:( ) [ ( ) ( )]V x x a x a

SOLUCIÓN Deseamos resolver la ecuación de

Schrodinger:

2

22

dV E

m dx

2

2[ ( ) ( )]

2

dx a x a E

m dx

SOLUCIÓN Claramente identificamos tres intervalos

, y . Es un hecho que para los intervalos

en cuestión de modo que la ecuación queda:

x a a x a x a

( ) 0V x

2

2

0

[ ( ) ( )]2

dx a x a E

m dx

2

2 2

2d mE

dx

SOLUCIÓN Hagamos

y supongamos por el momento (bound state) de manera que sea real y positiva. Finalmente:

22

2 2mE mE

0E

22

2 2

2d mE

dx

SOLUCIÓN La solución general para esta ecuación

diferencial lineal es bien conocida y tiene la forma:

Veamos que sucede con esta solución para lo intervalos en cuestión…

Para el segundo término tiende a infinito a medida

de modo que debemos escoger

( ) x xx Ae Be

x ax 0B

SOLUCIÓNLa solución entonces tiene la forma:

Para no hay alguna tendencia a la cual podamos sacar provecho de modo que:

Para el primer término tiende a crecer indefinidamente cuando de modo que escogemos

( ) xx Ae , x a

a x a

( ) x xx Be Ce , a x a

x a x

0A

SOLUCIÓN Así obtenemos:

Resumiendo:

( ) xx De , x a

( )

( ) ( )

( )

x

x x

x

Ae x a

x Be Ce a x a

De x a

SOLUCIÓN Es importante recordar en este punto el

teorema siguiente (el cual se menciona en problema 2.1c de Griffiths 1era edición, ver también Pozo Cuadrado Finito.)

TEOREMA Si es una función par, esto es ,

entonces puede siempre tomarse como par o impar.

( )V x ( ) ( )V x V x ( )x

SOLUCIÓN Soluciones pares:

Es claro que para que la función sea par:

De modo que , además…

( )

( ) ( )

( )

x

x x

x

Ae x a

x Be Ce a x a

De x a

0 0( ) ( )x x x xx a a xx Be Ce x Be Ce

B C

SOLUCIÓN

Así que . Entonces de forma simplificada las soluciones pares son:

( ) ( )x xx a x ax Ae x De

D A

( )

( ) ( ) ( )

( )

x

x x

x

Ae x a

x B e e a x a

Ae x a

SOLUCIÓN Recordemos las condiciones de frontera:

Aplicando continuidad en :

Derivada discontinua en :

1. siempre es continua

2. es continua excepto en los puntos donde el potencial es infinitod

dx

a

2 1 (1)a a a aAe B e e A B e

a

SOLUCIÓN

O bien…

Sustituyendo (1) en (2):

2

2( ) :

d ma

dx

22 2

2 21a a a a am m

Ae B e e Ae A B e A

22

21 1 (2)a m

B e A

2 2 2 22 2 2

2 2 21 1 1 1 1 1a a a am m m

B e B e e e

SOLUCIÓN Más aún:

Esta es la ecuación trascendental para sabiendo que:

22 2

2 21 1 am m

e

2 22 21 1a ae e

m m

E

2mE

SOLUCIÓN Soluciones impares:

Nuevamente, para que la función sea impar:

De modo que , además

( )

( ) ( )

( )

x

x x

x

Ae x a

x Be Ce a x a

De x a

0 0( ) ( )x x x xx a a xx Be Ce x Be Ce

C B

SOLUCIÓN

Así que . Entonces de forma simplificada las soluciones impares son:

( ) ( )x xx a x ax Ae x De

D A

( )

( ) ( ) ( )

( )

x

x x

x

Ae x a

x B e e a x a

Ae x a

SOLUCIÓN Condiciones de frontera:

Aplicando continuidad en :

Derivada discontinua en :

1. siempre es continua

2. es continua excepto en los puntos donde el potencial es infinitod

dx

a

2 1 (3)a a a aAe B e e A B e

a

SOLUCIÓN

O bien…

Sustituyendo (3) en (4):

2

2( ) :

d ma

dx

22 2

2 21a a a a am m

Ae B e e Ae A B e A

22

21 1 (4)a m

B e A

2 2 2 22 2 2

2 2 21 1 1 1 1 1a a a am m m

B e B e e e

SOLUCIÓN Más aún:

Esta es la ecuación trascendental para para las soluciones impares, donde:

22 2

2 21 1 am m

e

2 22 21 1a ae e

m m

E

2mE

BIBLIOGRAFÍA Griffiths, David, “Introduction to Quantum

Mechanics”(1st ed.), New Jersey, United States, 1995.

Griffiths, David, “Introduction to Quantum Mechanics”(2nd ed.), New Jersey, United States, 2005.

Wikipedia, “Delta Potential"http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_potential (21 Feb 2011).