Post on 19-Oct-2015
11/08/2013
1
Teora de Circuitos y Sistemas
SISTEMAS ELECTROMECANICOS
ADRIAN KISIELEWSKY - 2013
Hay varios sistemas (mecnicos, trmicos, hidrulicos, acsticos,etc. ) que pueden ser reducidos a sistemas elctricos anlogos porestar descriptos por iguales ecuaciones diferenciales.
Desarrollado el problema elctrico, sus resultados pueden sertrasladados en forma directa e inmediata al problema real.
11/08/2013
2
METODO DE ANALISIS
SISTEMA MECANICO
ANALOGIA ELECTRICA
PLANTEO DE CIRCUITO ELECTRICO
SOLUCION DE CIRCUITO
TRASLADO DE LA
SOLUCION AL SISTEMA
MECANICO
PLANTEO DE
SISTEMA DE ED
MECANICAS CON EL
DCL
SIMULACION
Los sistemas mecnicos pueden ser:
Rotacionales
Traslacionales
Mixtos
11/08/2013
3
Elementos Pasivos de 2 terminales de traslacin
Amortiguador Viscoso
Donde:
Constante de friccin viscosa [N.seg/m]
Velocidad relativa entre terminales ba vvv =
B
El amortiguador ejerce una fuerza que se opone a que exista diferentevelocidad en cada uno de sus extremos.
fax
av
bv
x+
0=x
bx
b
a
vBtf .)( =
=
dtdx
dtdx
Btf 21.)(
Con f medido en la direccin x,fuerza externa aplicada.
11/08/2013
4
f
v
Consideramos una relacin
lineal entre f y v
(no integrodiferencial)
B
f+
-
v
B
Resorte
f
x
Consideramos una relacin
lineal entre f y x (no integrodiferencial)
Ley de Hook
11/08/2013
5
f = k . x
k [N/m]constante del resorte
21 xxx = alargamiento
Cuando el resorte es extendido, ejerce la fuerza f para recuperar su longitud original.
k
f+
-
vk
Smbolo
11/08/2013
6
Masa
x y v se miden respecto de unsistema inercial
x+
vx
0=x
Sistema inercial de referencia
f
a
Consideramos una relacin lineal entre f y a (no integrodiferencial)
=== 2
2
dtxd
dtdv
m.m.af .m
11/08/2013
7
Smbolo
M
f+
-
vM
Terminal de referencia(siempre sistema inercial)
Elementos Pasivos de 2 terminales de Rotacin
Amortiguador rotatorio
Donde:
Constante de friccin viscosa [N.seg/m]Velocidad relativa entre terminales ba =
BEl amortiguador ejerce una fuerza que se opone a que exista diferentevelocidad en cada uno de sus extremos.
+
dtd
=
T=cupla externa aplicada
11/08/2013
8
T= cupla externa aplicada= BT
B
T+
-
Resorte torsional
( ) == dtkkT ... 0 dtdT
.
k1
=
pTk1
=
,T
con k = rigidez elstica
11/08/2013
9
k
T+
-
k
Smbolo
Volante
.. JJpJT ===
= TdtJ1
xTf vJM
La analoga con la traslacin es inmediata, poniendo:
11/08/2013
10
Smbolo
J
T+
-
J
Terminal de referencia(siempre sistema inercial)
Sea el siguiente sistema mecnico masa-resorte:
La analoga sistema mecnico sistema elctrico
Del DCL tenemos:
MakxBvF =
Notar que la fuerza Ma sesimboliza como opuesta a F
M
11/08/2013
11
Es decir:
2
2
dtxdMkx
dtdxBF =
Examinemos ahora el siguiente circuito elctrico RLC paralelo:
+
i C
RL
dtdvMvdtkBvF =
Mpvvp
kBvF = 1
La ED que lo representa, usando la ley de Kirchoff en el nodo:
idtduCudt
LRu
=++ 1
Comparemos ambas ecuaciones, reordenando trminos:
idtduCudt
LRu
=++ 1
FdtdvMvdtkBv =++ Observamos que la analoga esperfecta (*).
La misma ED para ambossistemas totalmente distintos.
iCpuupLR
u=++
1
(*) En realidad para el caso de la masa, en realidad no es tan perfecta. como lo veremos mas adelante.
11/08/2013
12
Esta analoga se llama directa
Esto que acabamos de ver nos da pie para utilizar esta analoga pararesolver sistemas mecnicos con su equivalente elctrico.
B
f+
-
vR
i+
-
u
L
i+
-
u
C
i+
-
u
B
T+
-
k
f+
-
v k
T+
-
Riu =
Lpiu =
Cpui =
fB
v1
=
pfk
v1
=
Mpvf =
TB1
=
pTk1
=
= JpT
ELECTRICO MECANICOTRASLACION ROTACION
M
f+
-
v
SIST. INERCIAL
J
T+
-
SIST. INERCIAL
RESUMEN
11/08/2013
13
[ ]mNsB /
[ ]Nmk[ ]kgM
[ ]B
R 1
[ ]Hk
L 1
[ ]FMC
ELEMENTO O MAGNITUD MECANICA EQUIVALENCIA ELECTRICA
EQUIVALENCIAS MECANICO-ELECTRICAS ANALOGIA DIRECTA
[ ]Nf[ ]smv /
[ ]Ai[ ]Vu
RELACIONES CIRCUITALES
En la analoga elctrico-mecnica anterior relacionamos variablestrans elctricas con variables trans mecnicas (analoga directa):
Definimos las variables como:
Transvariables o entre 2 puntos: u, x, v, etc.
Pervariables o por 1 punto: i , f , T , etc.
Entonces, slo para esta analoga, podemos definir las impedanciasoperacionales como:
PER f i PER TRANS v u TRANS
11/08/2013
14
fvZ t =
v
fYt =
Impedancias operacionales de Traslacin:
Impedancias operacionales de Rotacin
TZr
=
=
TYr
Utilizando estas definiciones podemos resumir las impedanciasoperacionales de los elementos ya vistos:
ELECTRICO MECANICOTRASLACION ROTACION
IMPEDANCIAS OPERACIONALES
fB
v1
= B1)p(Z t =
B)p(Yt =Riu =
RpZ = )(
BpY 1)( =
TB1
=BpZ r
1)( =
BpYr =)(
pfk
v1
=
kp)p(Z t =
pk)p(Yt =
pTk1
=kppZ
r=)(
pkpYr =)(
Mpvf = MppZ t
1)( =
MppYt =)(= JpTJp
pZt1)( =
JppYt =)(
Lpiu =LppZ = )(
LppY 1)( =
Cpui =Cp
pZ 1)( =
CppY =)(
11/08/2013
15
FdtdvMvdtkBv =++
La analoga directa o paralelo no es la nica posible
Podramos comparar la ED del sistema mecnico anterior con la ED deun circuito elctrico serie:
UdtdiLdti
CiR =++ ..
1.
Esta analoga, relaciona variables trans como v con variables percomo i. Es una analoga inversa o serie.
Esto hace a esta analoga inversa no muy conveniente para nosotros,por lo que no la usaremos.
Desde el punto de vista histrico primero surgi la analoga inversa opero esta claro que la definicin de impedancias operacionales en estecaso no coincide con la definicin de las mismas en el caso elctrico.
Por qu surgi primero esta analoga? Porque los primerosinvestigadores eran del campo de la mecnica y prefirieron (o vieronmas natural) definir como impedancia (o resistencia a) la causa delmovimiento, la fuerza f, dividido por la magnitud que es laconsecuencia del movimiento, es decir, la velocidad v. Lean elexcelente paper:
ON THE ORIGINS AND DEVELOPMENT OF MOBILITY AND IMPEDANCE METHODS IN
STRUCTURAL DYNAMICS, P. GARDONIO AND M. J. BRENNAN, Journal of Sound and
Vibration, 2002
ACLARACION IMPORTANTE: Por razones histricas, en la bibliografaen ingles a la analoga paralelo le llaman inversa o mobility method ya la analoga serie le llaman directa (contrario a lo que hemos definidoaqu, que preferimos usar un nombre mas intuitivo para los elctricos).
11/08/2013
16
Ubicar puntos rgidos con un
sistema inercial de referencia
Ubicar fuentes de fuerza y/o
velocidad entre los nodos que
corresponda
Ubicar los puntos mviles (con
velocidades distintas)
Ubicar entre nodos
amortiguadores y resortes
Ubicar las masas entre el nodo
que corresponda y nodo de
referencia
En casos simples e/ nodo y
referencia, pero en otros casos
e/ nodos c/ distinta velocidad
Si hay desplazamientos
verticales, ubicar Fte. de fuerza
Mg e/ nodo y referencia
Sentidos de ftes. Segn si la velocidad
CIRCUITO MECANICO, ELECTRICO Y LA CONSTRUCCION DE SU ANALOGIA
ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES
ENTR
ADA
TRASLACION
ELEC
TRIC
AM
ECAN
ICA
TRAS
LACI
ON
RO
TACI
ON
ROTACION
SALIDAMECANICA
ELECTRICA
Transductor de Traslacin
(parlante), Rel
Motor de CC (control en inducido o en campo), Instrumento de imn permanente y bob. mvil
Transductor de Traslacin
Generador de CC
TRANSDUCTORES
Palanca Polea
EngranajesSin fin y corona
Poleas con correas
Tr. ideal
Polea
11/08/2013
17
ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES
El equivalente circuital de estos elementos siempre es un TRANSFORMADOR IDEAL.
Antes de estudiar los elementos de 4 terminales, vamos a analizar brevemente este elemento circuital, dada su importancia en este contexto.
TRANSFORMADOR IDEAL
SECUNDARIO EN CONVENCION CONSUMIDORA
SECUNDARIO EN CONVENCION GENERADORA
au
u=
2
1
aii 12
1= a
u
u=
2
1
aii 12
1=
2i+
-
2u
1i+
-
1u
1:a
* *1N 2N
2i+
-
2u
1i+
-
1u
1:a
* *1N 2N
SIEMPRE aNN
=
2
1
IMPORTANTE: La relacin de transformacin a es el cociente entre la tensin primariay la secundaria, pero para las corrientes el cociente es inverso!
11/08/2013
18
POLEA(transformacintraslacin-rotacin)
Rv =Velocidad tangencial
Fuerza
fTR =
=
vR
fRT =Ra =
(es reversible)
SISTEMAS MECANICOS DE 4 TERMINALES
,TR
fv,
T+
-
f+
-
v
1:a
* *
Analoga elctrica
PALANCA
2211 lflf =Momento
Vel. angular 21 =2
1
2
1
1
2
ll
av
v
ff
===
(es reversible)
2
2
1
1
lv
lv
=
2
1
1
2
ll
ff
=
ojosentidos!
2f+
-
2v
1f+
-
1v
1:a
* *
1f
1v
2f
2v2l1lv+
Analoga elctrica
11/08/2013
19
Si los sentidos de la fuerza aplicada a la palanca son como lossiguientes, los sentidos en el modelo de Tr ideal cambian:
1f
1v
2f
2v
2l1l
v+
ojo sentido!
2f+
-
2v
1f+
-
1v
1:a
* *
Analoga elctrica
ENGRANAJES IDEALES (J=B=0)
El mdulo de unengranaje es larelacin entere supaso circular P y pi.
pi
PM =
El paso debe ser mltiplo de pi, medido sobre el dimetro primitivo:
ZDP Ppi=
Para que 2 engranajes engranen deben tener igual M
11/08/2013
20
22MZDR P ==
1
2
1
2
1
2
ZZ
DD
RR
P
P==
Si tenemos 2 engranajes de distinto cantidad de dientes Z (pero igual M):
11,T1R
22 ,T
2R
corona
pion
21 vv =Velocidad tangencial
Fuerza
2
2
1
1
RT
RT
=21 ff =
1
2
RR
a =
2211 RR =2
1
1
2
RR
=
1
2
1
2
RR
TT
=
2T+
-
2
1T+
-
1
1:a
* *
Analoga elctrica
11/08/2013
21
SIN FIN Y CREMALLERA
1 Entrada
2 Entradas
3 Entradas
AVANCEPASO
Caractersticas de un Tornillo
Avance: Es la distancia lineal que recorre el tornillo al dar unavuelta completa
Paso: Es la distancia lineal entre dos filos consecutivos de lahlice NpA =
Si la hlice que describe el filete tiene un paso suficientemente grande, dejar espacio para arrollar sobre el cilindro otro filete, obtenindose una rosca de doble entrada, o triple si los filetes aadidos son dos.Por ejemplo, un tornillo de 3 mm de paso y una entrada, cuando gira una vuelta completa sobre una tuerca, produce un avance de sta de 3 mm.
En cambio un tornillo con el mismo paso y dos entradas, produce un avance de la tuerca en el mismo tiempo de 6 mm.
11/08/2013
22
Entonces, poniendo al elemento 1 como el sin fin:
Z1 pasa a ser el N1, nmero de entradas del sin fin:
22T
2Z
1N1 1T
1
2
NZ
a =1
2
1
2
2
1
NZ
ZZ
==
1
2
1
2
1
2
NZ
ZZ
TT
==
2T+
-
2
1T+
-
1
1:a
* *
2Z1N
Analoga elctrica
11/08/2013
23
POLEAS (TRANSMISION POR CORREAS)
222
21
1DD =Velocidad tangencial
Fuerza2
2
1
1
RT
RT
= 1
2
DD
a =
21 vv =
21 ff =
11,T
1R
22 ,T
2R
De manera que el modelo circuital queda:
2T+
-
2
1T+
-
1
1:a
* *
11/08/2013
24
ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALESTRANSDUCTORES MECANICO-ELECTRICOS
aikT 1=fik2=
.ctei f = af iikkT 21= aT ikT =Si.cteia =Si af iikkT 21= fT ikT =
Motor de CC
,T
ai+
-
au
fE
fi
a
a
iTuka =
==
De manera que se puede utilizar el modelo del Tr ideal:
Pero: == fa ikkku 233= ma ku
En general: kkk mT ==
T+
-
ai+
-
au
1:a
* *
MOTOR
11/08/2013
25
TRANSDUCTOR DE TRASLACION
)(___
BdLidf =NiLBf =
S
S
fBiN v
( ) NBLvdx
NBLxdu ==
av
u
ifNBL ===
(es reversible)
f+
-
v
i+
-
u
1:a
* *
11/08/2013
26
Para pensar:
DEMOSTRAR QUE UNA PALANCA CON 2 FUERZAS EN UN SOLO BRAZO EQUIVALE A 2 TRANSFORMADORES IDEALES EN CASCADA CON RELACIONES DE TR a=L1/L2 Y a=L1/(L2+L3)
L1
L2
L3
F1
V1,1
V2, 2V3, 3
F2F3
El increble xito de la aplicacin de las analogas electromecnicas a la Frmula 1
En el ao 2005 Kimi Raikkonen gan el Grand Prix espaol manejando el McLaren MP4-20
Diario La Nacin 9 de Mayo 2005
11/08/2013
27
La carrera de 2005 fue la primera vez que este nuevo elemento mecnico se utiliz como suspensin de un Frmula 1
En el 2008 dos artculos en la revista Autosport revelaron detalles de una nueva suspensin mecnica que implic una mejora en la performance de la maniobra y el agarre en los autos de Frmula 1
En el 2007 se desencaden el famoso spy scandal cuando un dibujo de Mac Laren de un nuevo elemento de suspensin J-damper lleg a las manos del equipo de ingeniera de Renault
Los artculos de Autosport revelaron que el J-damper era en realidad el elemento mecnico inerter que tiene su origen en el trabajo acadmico en teora de circuitos elctricos y mecnicos en Cambridge University.
Este apartado tiene la intensin de mostrarles las ideas y los fundamentos y aplicaciones del inerter y su intima conexin con la teora de analogas electromecnicas
Antes expusimos el elemento masa y su casi equivalencia elctrica con un capacitor:
x+
vx
0=x
Sistema inercial de referencia
M
Terminal de referencia(siempre sistema inercial)
11/08/2013
28
Sin embargo vemos que el elemento masa tiene 1 slo terminal (su centro de masa) mientras que el otro terminal es fijo a la tierra mecnica (sistema inercial)
Los terminales de elementos mecnicos son los puntos de agarre que se mueven libre e independientemente en el espacio
Entonces, la equivalencia exacta sera:
MASA CAPACITOR A TIERRA
dtudCi )0( 2 =
dtvdMf )0( 2 =
2v
Mf
01 =v
Ci
2u
01 =u
Pero entonces, Cul es el equivalente mecnico de un capacitor conectado entre una diferencia de potencial v2-v1?
MASA INERTER (INERTOR)
Ci
2u
1u
dtuudCi )( 12 =
dtvvdbf )( 12 =
.No existi!!!...hasta el 2002
En el 2002, Malcom Smith public un paper: Synthesis of mechanical networks: the inerter IEEE Trans. Automat. Control, vol. 47, no. 10, pp. 16481662
All se plantea y fundamenta la equivalencia mecnica EXACTA de un capacitor:
Mf
2v
1v
donde b es la inertancia en kg
11/08/2013
29
Cmo se poda realizar mecnicamente un capacitor entre una diferencia de potencial v2-v1, antes del desarrollo del inerter?
A travs de palancas flotantes (floating levers):
Entonces, en el inertor, la fuerza desarrollada es proporcional a la aceleracin entre los dos terminales
1v 21vv
11
2v
11
Una masa M en el
punto A estar
sometida a la
velocidad v1-v2 y
la fuerza ser:
dtvvdMf )( 12 =
Ver Linear Circuit Analysis Ley-Lutz-Rehberg (1959)
REALIZACION MECANICA REAL DE UN INERTOR
Sin entrar en detalles, los diagramas constructivos del inertor pueden ser:
pionescremallera
volanteengranaje
tornillovolanteTuerca
Realizacin con pion y cremallera
Realizacin con tornillo sin fin
11/08/2013
30
Inertor real (con tornillo sin fin):
(a) Inertor real completo
(b) Inertor sin el casquete exterior (tornillo, tuerca y volante)
(d) Inertor, vista del cojinete de empuje
(c) Inertor sin el volante
Inertor real (con pin y cremallera):
11/08/2013
31
quieren saber mas?:
http://www.youtube.com/watch?v=vjYtf8jJzdQ
Malcom Smith public un Synthesis of mechanical networks: the inerter IEEE Trans. Automat. Control, vol. 47, no. 10, pp. 16481662, 2002
11/08/2013
32
BIBLOGRAFIA COMENTADA
- Ingeniera de Control Moderno, Ogata. Como todo libro decontrol bsico, este contiene una introduccin al tema en losprimeros captulos. Bsico, pero con varios ejemplos.- Linear Circuits Analisis, Ley-Lutz-Rehberg, 1959. Excelentey claro tratamiento del tema. Tiene la ventaja de que es un librode circuitos y no de control.
- Linear Control System Analysis and Design, Dazo-Houpis 2003. Otro libro de control con una muy buena intro a sistemas electromecnicos.
LIBROS
- Electrical and Mechanical Networks, W. W. Harman and D. W. Lytle, McGraw-Hill, 1962: Un ejemplo de texto con una fuerte integracin entre sistemas mecnicos y elctricos
PAPERS- P. GARDONIO AND M. J. BRENNAN, On the origins and development of mobility and impedance methods in structural dynamics, Journal of Sound and Vibration (2002) 249(3), 557-573- A. BLOCH, Electromechanical analogies and their use for the analysis of mechanical and electromechanical systems, Journal of the Institution of Electrical Engineers 92, 157-169, 1945