Preguntas a contestar …

• ¿Cómo se ensamblan los átomos en estructurassólidas?

• ¿Cómo depende la densidad de la estructura cristalina?

• ¿Cómo varían las propiedades de un material conla orientación cristalina?

Estructura de los sólidos

• Denso, empaquetamiento regular

Las estructuras densas, empaquetadas reguralmente tienenmenor energía

Energy

r

typical neighbor bond length

typical neighbor bond energy

Energía y empaquetamiento

• No denso, empaquetamiento al azar Energy

r

typical neighbor bond length

typical neighbor bond energy

+

BASEPosición de los átomosRelativos a la red

CRISTAL

=

REDConjunto de puntos

en el espacioDescribe la simetria

Cristal

Red + base = cristal

• SHOWN LEFT ARE EXAMPLES OF TRANSLATION VECTORS FORA TWO-DIMENSIONAL SQUARE LATTICE

• THE TRANSLATION VECTORS (a 1, a2) & (b1, b2) ARE PRIMITIVETRANSLATION VECTORS SINCE THEY MAP ANY LATTICE POINTTO ALL OTHER LATTICE POINTS

• THE TRANSLATION VECTORS (c 1, c2) ARE NOT PRIMITIVEHOWEVER SINCE THEY WILL ONLY MAP FROM ONE LATTICE P OINTONTO HALF OF THE OTHER LATTICE POINTS

a1

a2

b1

b2

c1

c2

• Celda unitaria : unidadbásica que se repite en el espacio para crear un material cristalino, usualmente es un paralelepidedo

• tienden a ser densamente empacados.

• existen varias razones para ese empaquetamiento:-Típicamente, elementos pesados.-El enlace metálico no es direccional; por lo tanto, no hay restricciones en la posición de los átomos-Las distancias a primeros vecinos son pequeñas

para disminuir su energía de enlace

• tienen las estructuras cristalinas mas simples

Cristales metálicos

• La celda unitaria es un cubo que se repite en 3D• Solamente el Polonio tiene esta estructura• Las direcciones de máximo empaquetamiento(direcciones a lo largo de las cuales los átomosse tocan unos con otros) son en los vertices del cubo.

• # de # de # de # de CoordinaciCoordinaciCoordinaciCoordinacióóóónnnn = 6(# de átomos máscercanos)

(Courtesy P.M. Anderson)

Estructura cúbica simple (SC)

• FEA para la cúbica simple es = 0.52

APF =

a3

4

3π (0.5a)31

atoms

unit cellatom

volume

unit cell

volume

Factor de empaquetamiento atómoco (FEA)

contains 8 x 1/8 = 1 atom/unit cell

Adapted from Fig. 3.19,Callister 6e.

Constante de red

Dirección de max. empaquetamiento

a

R=0.5a

FEA =Volumen de los átomos en la celda unitaria*

Volumen de la celda unitaria

*Se asumen esferas duras en la CU

• # de coordinación = 8

• Las direcciones de máximo empaquetamientoson las diagonales del cubo.

--Nota: todos los átomos son identicos, el delCentro está sombreado para una mejor vista

Estructura cúbica centrada en el cuerpo(base centred cubic)

aR

• FEA para la estructura bcc es = ππππ√√√√3/8 = 0.68

Close-packed directions: length = 4R = 3 a

Unit cell contains: 1 + 8 x 1/8 = 2 atoms/unit cell

Adapted fromFig. 3.2,Callister 6e.

FEA: bcc

APF =

a3

4

3π ( 3a/4)32

atoms

unit cell atom

volume

unit cell

volume

• # de coordinación = 12

Adapted from Fig. 3.1(a),Callister 6e.(Courtesy P.M. Anderson)

• La dirección de máximo empaquetamiento son lasdiagonales de las caras

Estructura cúbica centrada en las caras(face centred cubic)

--Nota: todos los átomos son identicos

APF =

a3

4

3π ( 2a/4)34

atoms

unit cell atom

volume

unit cell

volume

Unit cell contains: 6 x 1/2 + 8 x 1/8 = 4 atoms/unit cell

a

• FEA para la estructura fcc = π/(3√2) = 0.74(el mejor empaquetamiento posible de esferas identicas)

Close-packed directions: length = 4R = 2 a

Adapted fromFig. 3.1(a),Callister 6e.

FEA: fcc

• ABCABC... Secuencia de empaquetamiento

• celda unitaria fccABC

Secuencia de empaquetamiento fcc

A sites

B sites

C sites

B B

B

BB

B BC C

CA

A• Proyección 2D

Estructura hexagonal compactahexagonal close-packed structure (hcp )

Idealmente, c/a = 1.633Sin embargo, en la mayoria de los metales, la razón c/a se desvía de ese valor

• # de coordinación = 12

• ABAB... Secuencia de enpaquetamiento

• FEA = 0.74, para la razón ideal c/a de 1.633

• Proyección 3D • Proyección 2D

A sites

B sites

A sites Bottom layer

Middle layer

Top layer

Adapted from Fig. 3.3,Callister 6e.

Estructura hcp

Empaquetamiento en cristales

A plane

B plane

C plane

A plane

…ABCABCABC… packing[Face Centered Cubic (FCC)]

…ABABAB… packing[Hexagonal Close Packing (HCP)]

Comparación de estructurascristalinas

Crystal structure coordination # FEA close packed dire ctions

• Simple Cubic (SC) 6 0.52 cube edges

• Body Centered Cubic (BCC) 8 0.68 body diagonal

• Face Centered Cubic (FCC) 12 0.74 face diagonal

• Hexagonal Close Pack (HCP) 12 0.74 hexagonal side

Materiales con mayor densidad : fcc hcp

Densidad teórica , ρρρρ

Densidad = masa/volumen

masa = # de átoms por celda unitaria * masa de cada átomo

Masa de cada átomo = peso átomico/ # de avogadro

ρ = nA

VcNA

# atoms/unit cell Atomic weight (g/mol)

Volume/unit cell

(cm3/unit cell)

Avogadro's number

(6.023 x 1023 atoms/mol)

Element Aluminum Argon Barium Beryllium Boron Bromine Cadmium Calcium Carbon Cesium Chlorine Chromium Cobalt Copper Flourine Gallium Germanium Gold Helium Hydrogen

Symbol Al Ar Ba Be B Br Cd Ca C Cs Cl Cr Co Cu F Ga Ge Au He H

At. Weight (amu) 26.98 39.95 137.33 9.012 10.81 79.90 112.41 40.08 12.011 132.91 35.45 52.00 58.93 63.55 19.00 69.72 72.59 196.97 4.003 1.008

Atomic radius (nm) 0.143 ------ 0.217 0.114 ------ ------ 0.149 0.197 0.071 0.265 ------ 0.125 0.125 0.128 ------ 0.122 0.122 0.144 ------ ------

Density

(g/cm3) 2.71 ------ 3.5 1.85 2.34 ------ 8.65 1.55 2.25 1.87 ------ 7.19 8.9 8.94 ------ 5.90 5.32 19.32 ------ ------

Crystal Structure FCC ------ BCC HCP Rhomb ------ HCP FCC Hex BCC ------ BCC HCP FCC ------ Ortho. Dia. cubic FCC ------ ------

Adapted fromTable, "Charac-teristics ofSelectedElements",inside frontcover,Callister 6e.

Características de ciertos elementos a 20 oC

ρ = nA

VcNA

# atoms/unit cell Atomic weight (g/mol)

Volume/unit cell

(cm3/unit cell)

Avogadro's number

(6.023 x 1023 atoms/mol)

Ejemplo: CobreData from Table inside front cover of Callister (see previous slide):

• crystal structure = FCC: 4 atoms/unit cell• atomic weight = 63.55 g/mol (1 amu = 1 g/mol)• atomic radius R = 0.128 nm (1 nm = 10 cm)-7

Vc = a3 ; For FCC, a = 4R/ 2 ; Vc = 4.75 x 10

-23cm3

Compare to actual: ρCu = 8.94 g/cm3Result: theoretical ρCu = 8.89 g/cm3

Densidad teórica , ρρρρ

ρ (g/cm3)

Graphite/ Ceramics/ Semicond

Metals/ Alloys

Composites/ fibers

Polymers

1

2

20

30Based on data in Table B1, Callister *GFRE, CFRE, & AFRE are Glass, Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced Epoxy composites (values based on 60% volume fraction of aligned fibers

in an epoxy matrix). 10

3

4

5

0.3

0.4 0.5

Magnesium

Aluminum

Steels

Titanium

Cu,Ni

Tin, Zinc

Silver, Mo

Tantalum Gold, W Platinum

Graphite

Silicon

Glass-soda Concrete

Si nitride Diamond Al oxide

Zirconia

HDPE, PS PP, LDPE

PC

PTFE

PET PVC Silicone

Wood

AFRE*

CFRE*

GFRE*

Glass fibers

Carbon fibers

Aramid fibers

¿Porqué?Metales tienen...• empaquetamiento fuerte

(enlace metálico)• masas atómicas grandes

Ceramicos tienen...• empaquetamiento menosdenso(enlace covalente)

• elementos ligerosPolimeros tienen...• casi sin empaquetamiento

(algunos amorfos)• elementos más ligeros (C,H,O)

Compositos tienen...• valores intermedios

Data from Table B1, Callister 6e.

Densidades para diferentes clases de materiales

ρmetalesmetalesmetalesmetales> ρceramicasceramicasceramicasceramicas> ρpolimerospolimerospolimerospolimeross

Sistemas cristalinos

• Basados en la forma de la celda unitaria• Celda unitaria = unidad en 3D que se repite en el espacio• La geometría de la CU está definida por a, b, c & α, β, γα, β, γα, β, γα, β, γ

(parámetros de red o contantes de red )• 7 posibles combinaciones de a, b, c & α, β, γ, resultan en

7 sistemas cristalinos

Sistemas cristalinos

• Structure of NaCl

Estructura de otros sistemas

(Courtesy P.M. Anderson)

• Structure of Carbon

Graphite Diamond

CRYSTAL STRUCTURES

• Plenty of crystal structures available at: http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/

Puntos , direcciones y planoscristalográficos

• En materiales cristalinos es necesario especificarpuntos, direcciones y planos en la celda unitaria y en la red cristalina

• Tres números (o indices) son usados para designarpuntos, direcciones y planos

• Los 3 índices están determinados poniendo en el origendel plano una de las esquinas del cubo de la CU y lascoordenadas de los ejes a lo largo del cubo

Coordenadas de puntos• Cualquier punto en la CU es especificado como

fracciones multiples de la longitud de la CU• La posición del punto P es especificada como q r s:

coordinates not separated by commas or punctuation marks

EXAMPLE: POINT COORDINATES

• Locate the point (1/4 1 ½)

• Specify point coordinates for all atom positions for a BCC unit cell– Answer: 0 0 0, 1 0 0, 1 1 0, 0 1 0, ½ ½ ½,

0 0 1, 1 0 1, 1 1 1, 0 1 1

Direcciones cristalográficas

• Definida como una línea entre 2 puntos: un vector• Pasos para encontrar los 3 índices de una dirección

– Determinar las posiciones del punto inical (X1 Y1 Z1) y el punto final (X2 Y2 Z2) para la dirección, en términos del parámetro de red

– Calcular la diferencia entre el punto final e inicial– Multiplicar la diferencia por una constante común para

convertirlos en los enteros más pequeños u, v, w– Esos 3 índices son encerrados en parentésis cuadrados: [uvw]– Si alguno de los índices es negativo, una barra es puesta arriba

de dicho índice

COMMON DIRECTIONS

Direcciones cristalográficas

• Dibujar la dirección [1,-1,0] direction en una estructura cúbica

• Determinar los índicesesta dirección

– Respuesta: [120]

• Direcciones comunes en estructuras cristalinascúbicas

Planos cristalográficos• Los planos cristalográficos están especificados

por 3 Indices de Miller como (hkl)• Procedimiento:

– Si el plano pasa a travéz del origen, trasladar el plano o escojer un nuevo origen

– Determinar las intersecciones del plano con cadauno de los ejes en términos de la longitud de la celda unitaria (parámetros de red). Nota: Si el plano no intersecta un eje (por ejemplo, planoparalelo a este eje), entonces la intersección esen el infinito.

– Si la intersección con los ejes es, por ejemplo, (½¼ ½), se determinan los reciprocos de esosnumeros (242)

– Si es necesario, multiplicar esos 3 números por un factor común para convertirlos en los recíprocosmás pequeños posibles (121)

– Los 3 números no se separan por comas y se encierran en paréntesis curvos: (hkl) (121)

– Si alguno de los índices es negativo, una barra escolocada arriba de dicho índice

1/2

1/2

1/4

(1 2 1)X

Y

Z

Tres importantes planoscristalinos

( 1 0 0) (1 1 1)(1 1 0)

Empaquetamiento triangular, planos (111)

Representan el 10 % del área total superficial de los materiales

Empaquetamiento cuadrado, planos (100)

Representan el 70 % del área total superficial de los materiales

Empaquetamiento rectangular, planos (110)

Representan el 20 % del área total superficial de los materiales

• Los planos paralelos son equivalentes

EXAMPLE: CRYSTAL PLANES

• Construct a (0,-1,1) plane

Planos cristalinos fcc y bcc

• Consider (110) plane

• Atomic packing different in the two cases

• Family of planes: all planes that are crystallographically equivalent—that is having the same atomic packing, indicated as {hkl}– For example, {100} includes (100), (010), (001) planes– {110} includes (110), (101), (011), etc.

LINEAR & PLANAR DENSITIES

• Linear density (LD) = number of atoms centered on a direction vector / length of direction vector– LD (110) = 2 atoms/(4R) = 1/(2R)

• Planar density (PD) = number of atoms centered on a plane / area of plane– PD (110) = 2 atoms /

[(4R)(2R√2)] = 2 atoms / (8R2√2) = 1/(4R2√2)

• LD and PD are important considerations during deformation and “slip”; planes tend to slip or slide along planes with high PD along directions with high LD

• Algunos aplicaciones en la ingeniería requieren MC:

Las propiedades del MC sonconsecuencia de su estructuraatómica

(Courtesy P.M. Anderson)

--Ej: Ciertos planos cristalinos en el cuarzoSe fracturan más facilmente que otros

--Diamantecristales para abrasivos

--álabes de turbinasFig. 8.30(c), Callister 6e.(Fig. 8.30(c) courtesyof Pratt and Whitney).(Courtesy Martin Deakins,

GE Superabrasives, Worthington, OH. Used with permission.)

Monocristales (MC)• Monocristal: cuando el cristal se repiteEl arreglo de los átomos es perfecto y se extiende a travez de todo el material

Materiales policristalinos• “Nuclei” form during solidification, each of which grows into crystals

• La mayoria de los materiales en ing. son policristales.

• Aleación de Nb-Hf-W.• Cada "grano" es un MC.• Si los cristales son orientados al azar,

las propiedades físicas no son direccionesles.• Los tamaños de cristales típicos son de 1 nm a 2 cm

(i.e., de pocos átomos a millones de capas atómicas).

Adapted from Fig. K, color inset pages of Callister 6e.(Fig. K is courtesy of Paul E. Danielson, Teledyne Wah Chang Albany)

1 mm

Policristales

• MC-Las propiedades varíancon la dirección: anisotropico.

-Ejemplo: el módulo de elasticidad (E) en Fe bcc:

• Policristales-Las propiedades pueden o no

variar con la dirección.-Si los granos son orientados

al azar: isotrópico.(Epoli Fe = 210 GPa)

-Si los granos son texturizados,anisotropicos.

E (diagonal) = 273 GPa

E (edge) = 125 GPa

200 mm

Data from Table 3.3, Callister 6e.(Source of data is R.W. Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials, 3rd ed., John Wiley and Sons, 1989.)

Adapted from Fig. 4.12(b), Callister 6e.(Fig. 4.12(b) is courtesy of L.C. Smith and C. Brady, the National Bureau of Standards, Washington, DC [now the National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD].)

MC vs policristales

• arreglo periódico de átomos 3D • típico de:

Materiales Cristalinos ...

-metales-ceramicos-algunos polimeros

• los átomos no tienen un arregloperiódico

• ocurre para:

Materiales no cristalinos …

-estructuras complejas-rápido enfriamiento

Si Oxygen

crystalline SiO2

noncrystalline SiO2“Amorfo" = No cristalino

Adapted from Fig. 3.18(a),Callister 6e.

Materiales amorfos

• Atoms can be arranged and imaged!

Carbon monoxide molecules arranged on a platinum (111)

surface.

Photos produced from the work of C.P. Lutz, Zeppenfeld, and D.M. Eigler. Reprinted with permission from International Business Machines Corporation, copyright 1995.

Iron atoms arranged on a copper (111)

surface. These Kanji characters represent

the word “atom”.

SCANNING TUNNELING MICROSCOPY