PRECONDICIONAMIENTOPRECONDICIONAMIENTOTeoría y AplicacionesTeoría y Aplicaciones

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Dr. Pablo Barrera Sánchez

Mat. Luis Alberto Vázquez Maison

Facultad de Ciencias, UNAM

Laboratorio de cómputo científicoLaboratorio de cómputo científico

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La solución de sistemas lineales

Ax b

Aparece en diversos campos del computo científico

Solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)Métodos clásicos: Tipo SOR (Jacobi, Gauss-Sidel) Elim. Gaussiana (Fact. LU, Choleski)

Métodos de Krylov (no tan clásicos): GMRES, GC, BiGCStab

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Métodos clásicos: Costo computacional alto

Métodos de Krylov: Convergencia lenta

Sistemas sparse de dimensión grande

N = 500, 5000 ,10000, 30000, ...

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Es un operador Es un operador M M tal que uno de los tal que uno de los siguientes sistemas es “fácil” de resolver:siguientes sistemas es “fácil” de resolver:

Ax b

Un precondicionador para el Un precondicionador para el sistemasistema

1 1M Ax M b 1 1AM u b x M u

1 1 1

2 1 1

1 2

M AM u b x M uM M M

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Problema General: Determinar un Problema General: Determinar un operador operador MM tal que: tal que:

1 1M Ax Ix M b M A

2) La construcción y almacenaje de M son económicos

3) El sistema

Mu x es mas fácil que

Ax b

1)

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Posibles formas para M

Diagonales de Diagonales de A

Factorización de Factorización de A

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Algunos ejemplosAlgunos ejemplos

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EDPEDP cos( ) , , 10

2Div x Grad U x y U x y

( , )x y

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El efecto “visible” de un El efecto “visible” de un precondicionador es el de disminuir el precondicionador es el de disminuir el número de iteraciones necesarias para número de iteraciones necesarias para que un método de solución converjaque un método de solución converja

El efecto “oculto” es el de cambiar El efecto “oculto” es el de cambiar las propiedades de los eigenvalores las propiedades de los eigenvalores de de A A para disminuir su condiciónpara disminuir su condición

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0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

100

102

104

106

108

1010

2.4 x 1012

Distribucion de los eigenvalores

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Error relativo sin precondicionamiento 10e+0Error relativo con precondicionamiento 10e-7

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¿Cómo elegir un buen precondicionador?¿Cómo elegir un buen precondicionador?

¡¡ Buena pregunta !!

Analizar el sistema:

Propiedades de A

Estructura de A

¿Que representa?

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Factorizaciones incompletasIdea básicaDefinir un conjunto de índices bajo una condición particular

, Condicion: |i jS

Aplicar factorización LU considerando :

, ,

, ,

00

i j i j

i j i j

l Su S

Formas comunes para

S

, ,: |i j i jS a tol , ,: |i j i jS l tol

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Llenado de una matrizLlenado de una matriz

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,

,

1

1

,1 1

,

1 1

r rj jj Ap pj j

j j j j

j j j j

r rj jj r rj j

j j j j

x x p

r r Ap

p r p

Calcular

0 0;0 0r b Ax p r

Para j=1,… ,

,

1

1

11 1

,1 1

,

1 1

r rj jj Ap pj j

j j j j

j j j j

j j

r zj jj r zj j

j j j j

x x p

r r Ap

z M r

p z p

Fin

Para j=1,…

Calcular

10 0 0 0; ;0 0r b Ax p r z M r

Fin

GRADIENTE CONJUGADO

1)

2)2)

3)3)

4)

5)

4)(3-a)

5)

1)

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No necesariamente es una matriz

M

Un precondicionador puede darse como una rutina que resuelve el sistema

Mu x

Existen problemas donde el sistema de ecuaciones correspondiente no es construido explícitamente

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, , ,Div a x y Grad U x y f x y

, ; , Conocidasa x y f x y

, [0,1] [0,1]x y

Discretizacion por diferencias finitas sobre una malla de dimensión NLa estructura de la matriz es conocida

El sistema no es construido explícitamente, es decir, no se tiene la matriz A

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La ecuación que se desea resolver es de tipo ElípticoLa ecuación elíptica mas simple es la ecuación de PoissonLos sistemas lineales de ambas ecuaciones tienen estructuras similares

Se conocen técnicas muy eficientes para resolver la ecuación de poisson sobre un rectángulo, basadas principalmente en el uso de la transformada rápida de Fourier (Fast Poisson Solvers)

Una rutina de solución rápida de Poisson es un buen precondicionador para resolver el sistema correspondiente a una ecuación elíptica

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, , ,Div a x y Grad U x y f x y

, 1.1 sen 3 5 ; , sen .5 cosa x y x y f x y x y

N=60 (3600 variables)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

utilizando GC

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0 0; ;0 0r b Ax p r

,

,

1

1

11 1

,1 1

,

1 1

r rj jj Ap pj j

j j j j

j j j j

j j

r zj jj r zj j

j j j j

x x p

r r Ap

z M r

p z p

Calcular

Fin

GRADIENTE CONJUGADO

1)

2)

3)

4)

5)

(3-a)

,

,

1

1

1 1

,1 1

,

1 1

r rj jj Ap pj j

j j j j

j j j j

rj j

r zj jj r zj j

j j j j

x x p

r r Ap

z F

p z p

0 0rz F

Para j=1,…

10 0z M r 0)

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xu FRutina de solución para un sistema particular : Mu x

Donde la matriz puede no ser conocida explícitamentePosibles rutinas:•Solución de sistemas tridiagonales•Sistemas triangulares (Substitución)•Cualquier solución implícita

sea “Fácil” toma otro significado

Que Mu x

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¿Posibles rutinas?:SOR (Métodos tradicionales)MultigridMétodos de Krylov

La solución es solo aproximada, cada vez que se llama a la rutina se obtiene una aproximación con diferente precisión

Mas de un precondicionador?

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GRACIAS