PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS...

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO 3

Semestre Académico 2014- 1

—Indicaciones

⋅ Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas.⋅ Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:

Pregunta 1 2 3 4 5 6

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

⋅ No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.⋅ Duración del examen: 3 horas.

1. Sean los planos P1 : x − y + z = 0 y P2 : 2x + y − z = 0 y sean M y N las proyeccionesdel punto Q = a, a, a, a > 0, sobre los planos P1 y P2 respectivamente. Hallar :

a. El valor de a de manera que el área del triángulo MQN es igual a 3 22 . 2 pts

b. La ecuación cartesiana del plano que contiene al triángulo MQN. 2 pts

2. Los planos P1 : 3y + 4z − 29 = 0 y P2 : 4x + 3z − 28 = 0 son tangentes a una esfera E enlos puntos T10,3, a y T2b, 0, 4, respectivamente.

a. Hallar una ecuación de E. 2 pts

b. Encontrar el centro de coordenadas no negativas de la circunferencia C, que esintersección de la esfera E con el plano paralelo a P1 y cuya distancia al centro de E es2 unidades. 2 pts

3. Sea T : R3 R2 la transformación lineal tal que

T1,−1,2 = 2,1, T1,0,−2 = 0,1 y T0,0,1 = 1,0.

a. Demostrar que Tx, y, z = 2x + 2y + z, x, para todo x, y, z ∈ R3. 2 pts

b. Hallar el núcleo y la imagen de T y sus dimensiones. 2 pts

4.a. Sea S = 3,−2,2, 7,−2,3, 1,2,−1 un subconjunto de R3.Hallar el subespacio

generado por S y la dimensión para dicho subespacio. 2 pts

b. Analizar si los vectores propios asociados a los valores propios de la matriz

A =1 2

2 1, son linealmente independientes. 2 pts

a. Dada la curva Γ :y + 12

9− z2

x = 0, y > −1.

Hallar la ecuación cartesiana de la superficie de revolución S generada por la curva Γalrededor de la recta L : x = 0, y = −1 2 pts

b. Usando las trazas (intersecciones de S con los planos coordenados) graficar la

superficie S : x2

y + 12

9− z2

4= k, para k = 0 y k = 1. 2 pts

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CONTINÚA

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

6.a. Hallar los valores de a para los cuales la recta

L : P = 1,3,0 + t0,2, a, t ∈ R a > 0

es tangente a la esfera E de ecuación x2 + y2 + z2 − 2x + 2z = 0. 2 pts

b. Sea la transformación lineal T : R3 R3 que satisface:

Te1 = a, b, c, Te2 = 1,2,−1, Te3 = d, e, f

Hallar las constantes a, b, c, d, e, f tal que matriz asociada de la transformación lineal T

respecto a la base canónica, admite como vectores propiosv1 = 1,1,0, v2 = −1,0,2 y v3 = 0,1,−1. 2 pts

Evaluación elaborada por todos los profesores del curso.Coordinador de teoría : Profesor Norberto Chau

San Miguel, 12 de Mayo de 2014

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIASEXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO 3

Semestre Académico 2014- 0—

Indicaciones● Resolver sólo 4 de las 5 preguntas propuestas

● Enumerar del 1 al 10 las páginas de su cuadernillo en la parte superior derecha y desarrollarlas preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución:

Pregunta 1 2 3 4 5

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10

● No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

1. Dado el plano P : x + y − z = 4 y la recta L :x − y − z + 4 = 0

2x − y = 0

Hallar las ecuaciones vectoriales de las rectas L1 y L2 que están contenidas en el plano P,tales que L1 es perpendicular a L en su punto de intersección y L2 es la proyecciónortogonal de L sobre el plano P. 5 pts

2.a. Una esfera E de radio r = 4 3 tiene su centro en la recta

L : P = 0,0,4 + t1,2,−1, t ∈ R

y es tangente al plano P : x + y − z = 0.Hallar el centro de la esfera E y el punto detangencia.Dar todas las soluciones posibles. 3 pts

b. Dada la curva Γ :z =ey+1

x = 0, y ≥ −1.Hallar la ecuación cartesiana de la superficie

de revolución generada por la curva Γ alrededor de la recta

L : x = 0, y = −1.

3.a. Sean H yW los subespacios vectoriales de R3 definidos por

H = ⟨1,1,2, 1,−1,3⟩, W = x, 3x − 2y,x + y : x,y ∈ R.

Hallar una base y la dimensión de los subespacios H,W,H ∩W. 3 pts

b. Sea T : R3 R3 la transformación lineal cuyo núcleo es el conjunto

NuT = x,y, z ∈ R3 : x + 2y − z = 0.

Probar que la imagen de T, ImT, es una recta que pasa por el origen. 2 pts

4. Dada la curva C :x2 − 2x + y2 = 3

x + y + z = 3

a. Parametrizar C, indicando el dominio de la parametrización. 2 pts

b. Hallar la recta tangente a la curva C en cualquier punto Ft de la curva C. 1 pto

c. La recta tangente a C en el punto 1,2,0 corta al plano P : x − y = 0 en el punto Q .Hallar las coordenadas de Q. 2 pts

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CONTINÚA

5. Sea T : R3 R3 la transformación lineal cuya imagen es el conjunto

ImT = x,y, z ∈ R3 : x = y = z

a. Hallar una base del núcleo de T . 1 pto

b. Determinar la matriz asociada A de la transformación lineal T respecto a la basecanónica. 1 pto

c. Calcular los valores propios de T y los vectores propios correspondientes. 3 pts

Norberto ChauSan Miguel, 6 de febrero de 2014

Indicaciones

⋅ Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas.

⋅ Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

⋅ No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

⋅ Duración del examen: 3 horas.

1. Dadas las rectas:

L1 : P = 1,0,3 + t−2,1,3, t ∈ R y L2 : P = 4,1,−1 + r3,−2,−4, r ∈ R.

Hallar:

a. La ecuación cartesiana del plano P que contiene a L2 y es paralelo a L1. 2 pts

b. La ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto Q01,0,3 y cortaperpendicularmente a L2. 2 pts

2. Sean la esfera E de radio R, (R > 1) y un plano P : x + y + z = 4 tales que la intersecciónE ∩ P es una circunferencia de centro Q1,−1,4 y radio 1.Hallar:

a. La ecuación de la esfera E en términos de R. 2 pts

b. La ecuación de la esfera E, si la distancia entre el centro de la esfera y el centro de la

circunferencia es 12 . 2 pts

a. Encontrar una base para el subespacio

H = x,y, z ∈ R3 : z = 2x, y + 3x = 0 .

b. Sean v1,v2 vectores no paralelos de R2 tales que el subespacio generado por v1,v2 es

igual a F. Si u1,u2 son vectores de R2 tales que

u1 = 2v1 − v2 , u2 = v1 + 2v2.

Demostrar que el subespacio generado por u1,u2 es igual a F. 2 pts

4. Sea T : R3 → R3 una transformación lineal definida por

Tx,y, z = k2 − kx, k3 − ky,ky + kz.

a. Encontrar la matriz que representa a T en la base canónica. 1 pto

b. Hallar una base de la Imagen de T según los valores de k ∈ R. 2 pts

c. Determinar los valores propios de T para k = 2. 1 pto

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CONTINÚA

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporadodurante la realización de las evaluaciones.

a. Dada la curva Γ :z = 4

x = 0, 1 ≤ y ≤ 4.Hallar la ecuación cartesiana de la superficie

de revolución generada por la curva Γ alrededor de la recta L :x = 0

y = −1. 2 pts

b. Suponga que T : R3 → R3 es una transformación lineal tal que NuT = 0 . Sean

los vectores v1 = 2,0,0, v2 = 1,2,0, v3 = 1,1,1. Demostrar que el conjunto

Tv1,Tv2,Tv3 es linealmente independiente. 2 pts

6. Dadas las superficies

S1 : z = 16 − x2 − y2 , S2 : x2 + y2 − 4y = 0 y S3 : x2 − 2y = 0.

Hallar una parametrización para la curva :

a. Γ1 = S1 ∩ S2. 2 pts

b. Γ2 = S1 ∩ S3. 2 pts

San Miguel, 14 de octubre de 2013

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporadodurante la realización de las evaluaciones.

Semestre Académico 2013- 1—

Indicaciones⋅ Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas.

⋅ Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución:

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

⋅ No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

⋅ Duración del examen: 3 horas.

1. Sean el plano M : x − 5y + 3z = 9 y la recta L : P = 1,0,2 + t3,1,−1, t ∈ R.a. Hallar la ecuación vectorial de la recta L1 que es perpendicular a L y está contenida enM. 2 pts

b. Sea π el plano perpendicular a la recta L y contiene a L1. Hallar la ecuación vectorialde la recta que resulta de proyectar ortogonalmente el eje Z sobre del plano π. 2 pts

2.a. Sea V el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores 1,0,1 y 0,−1,0. SeaW el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores 1,−1,a y b, 1, 1.Calcular a y b de modo que V ∪W resulta un subespacio vectorial. 2 pts

b. Analizar si el conjunto

E = x,y, z ∈ R3 : x2 − z2 = 0,

con las operaciones usuales en R3 es un subespacio vectorial de R3. Justificar surespuesta. 2 pts

3. Sea H el plano en R3 definido por H = x,y, z ∈ R3 : x + y + z = 0,

B = e1 = 1,0,0, e2 = 0,1,0, e3 = 0,0,1

la base canónica de R3 y w1 = 1,1,a, w2 = 1,−1,b, w3 = 1,2,c son tres vectoresde H .

a. Hallar los números reales a,b,c. 1 pto

b. Encontrar la transformación lineal T : R3 → H tal que

Te1 = w1, Te2 = w2, Te3 = w3.

c. Hallar una base para la Imagen de T. 1 pto

4. Sea E la esfera x2 + y2 + z2 = 9.

a. Determinar el mayor valor posible de k ∈ R tal que el plano Pk : 3x + y + 7z = kinterseca a la esfera E. 2 pts

b. Para el k hallado en el ítem (a), calcular E ∩ Pk. 2 pts

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CONTINÚA

5.a. Sea T : R3 → R

3 dada por Tu = u × v, donde v = 1,2,3, demostrar que λ = 0 esun valor propio de T.

b. Hallar la ecuación cartesiana de la superficie de revolución S generada por

Γ :y = 2z

x = 0, alrededor de la recta L :

y = −2.

6. Sea la curva Γ :z = x2 + y2

z = my + 1, donde m es una constante real.

Ft = a cos t,ma + a sen t,a + ma sen t, t ∈ I

es una parametrización de Γ, para − 1 < m < 1.Hallar el valor de a (que depende dem ) y el intervalo I. 2 pts

b. Hallar una parametrización de Γ para m = 1. 2 pts

San Miguel, 13 de mayo de 2013

Indicaciones

● Resolver sólo 5 de las 6 preguntas propuestas

● Enumerar del 1 al 12 las páginas de su cuadernillo en la parte superior derecha y desarrollarlas preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución:

Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

● No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras.

1. a. Determinar el valor de k para que la recta L definida por las ecuaciones

L :3x + ky + z − 1 = 0

x + 3y − z − 3 = 0

esté contenida en el plano P de ecuación x + y + z + 1 = 0. 2 pts

b. Determinar el valor de a para que los puntos A1,1,1, B3,0,2,C5,−2, 2 yD2,1,a sean coplanares y hallar la ecuación cartesiana del plano que contienen a lospuntos A,B,Cy D. 2 pts

2.a. Hallar la ecuación de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva

Γ :y − z2 = 1

alrededor de la recta L :x = 0

y = −1. 2 pts

b. Sean u,v vectores en R3 tal que H = ⟨u,v⟩ = x,y, z ∈ R3 : x + y + z = 0.Hallaruna base B = u,v,w de R3. 2 pts

3. Sea T : R3 R3 la transformación lineal definida por

Tx,y, z = x + y + z,x + k2 + 1y + k2 + 1z,x + k + 1y + 2kz

a. Hallar la matriz asociada A de la transformación lineal T respecto a la basecanónica. 1 pto

b. Hallar ImT según los valores de k ∈ R y encontar una base en cada caso. 3 pts

4. Una esfera E de radio 4 y cuyo centro tiene coordenadas positivas se interseca al planoP : x + y + z − 4 = 0 en una circunferencia de centro 1,−1,4 y radio 2.a. Hallar una ecuación de E. 2 pts

b. Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a E en el puntoT1,3, z0, z0 > 5. 2 pts

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CONTINÚA

5. Dada la curva

C :z = 4 − x2 − y2

2x + z = 1

a. Parametrizar C en términos de senos y cosenos, indicando el dominio de laparametrización. 2 pts

b. La recta tangente a C en el punto 1,2,−1 corta al plano P : x + y + z = 4 en el puntoQ . Hallar las coordenadas de Q. 2 pts

6.a. Sean B = u, v, w, B′ = e1, e2,e3 dos bases de R3, tales queu = 1, 2, 0, v = 1, 0, 1, w = 1, 1, 1, e1 = 1, 0, 0, e2 = 0, 1, 0,e3 = 0,0,1.Encontrar la matriz de transición de B a B′ y de B′ a B. 2 pts

b. Sea T : R2 R2 la transformación lineal definida por

Tx,y, z = 3x + y, 2x + 2y

i. Demostrar que T posee los valores propios λ 1 = 4 y λ2 = 1. 1 pto

ii. Hallar una base B = u,v de R2 tal que Tu = 4u y ,Tv = v. 1 pto

Elaborada por los profesores del cursoCoordinador : Profesor Norberto Chau

San Miguel, 7 de febrero de 2013

Semestre Académico 2012- 0–

Indicaciones

• Resolver sólo 5 de las 6 preguntas propuestas

• Enumerar del 1 al 12 las páginas de su cuadernillo en la parte superiorderecha y desarrollar las preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución:

Pregunta 1 2 3 4 5 6Páginas 1 y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 10 11 y 12

• No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calcu-ladoras.

1. (a) Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣a2 (a+ 1)

2(a+ 2)

b2 (b+ 1)2

(b+ 2)2

c2 (c+ 1)2

(c+ 2)2

∣∣∣∣∣∣ = k (a− b) (a− c) (b− c)

Hallar el valor de k. (2 pts)(b) Sea la matriz

−x 1 −x220 0 1

Demostrar que para todo x ∈ R la matriz A tiene inversa y hallardicha matriz. (2 pts)

2. Dado el plano P : x+ y − z = 0 y la recta

L :{y + 2z = 82x− y = 0

Hallar las ecuaciones vectoriales de las rectas L1 y L2 que están contenidasen el plano P, tales que L1 es perpendicular a L y L2 es la proyecciónortogonal de L sobre el plano P.

(4 pts)

3. Analizar si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial V (con lasoperaciones usuales) son subespacios.

(a) S ={A = (aij)2×2 ∈ V : a11 + a22 = 0

donde V = M2×2 , es el conjunto de todas las matrices cuadradasde orden 2× 2. (2 pts)

(b) T = {f ∈ V : ∃k > 0; |f (t)| ≤ k, ∀t ∈ R} ,donde V , es el conjunto de las funciones f : R→ R. (2 pts)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·CONTINÚA

4. En R3, sean los subconjuntos

S = {(1, 2, 0) , (1, 0, 1)}T = {(1, 2, 0) , (2, 0, 2) , (3, 2, 2)}

(a) Demostrar que los subespacios generados por S y T son iguales.Esdecir,〈S〉 = 〈T 〉 . (2 pts)

(b) Representar graficamente el subespacio hallado en la parte (a) y hal-lar una base de dicho subespacio. (2 pts)

5. (a) SeaT : R4 −→ R3

la transformación lineal definida por

T (x, y, z, w) = (x+ z, x+ y − z − 2w,−2x− y + 2w)

i. Encontar la matriz asociada de T. (1 pto)ii. Hallar la dimensión de la imagen de T . (1 pto)

(b) Sea T : R3 −→ R3una transformación lineal dada por

T (x, y, z) = (λx+ y + z, λx+ y, y + z)

Determinar el valor de λ para que el núcleo de T tenga dimensión 1y para dicho valor de λ, hallar una base para la imagen de T . (2 pts)

6. Sea T : R3 −→ R3una transformación lineal con matriz asociada A tal que

|A− λI| = λ3 − 2λ2 − λ+ 2

(a) Hallar los valores propios λ1 , λ2, λ3 de A. (1 pto)

(b) Sean (1, 0, 1) , (1, 2, 1) , (−1, 2, 0) vectores propios correspondientes aλ1 , λ2, λ3 respectivamente con λ1 < λ2 < λ3.Calcular T (1, 0, 1) , T (1, 2, 1)y T (−1, 2, 0) (1 pto)

(c) Hallar T (x, y, z), para todo (x, y, z) ∈ R3. (2 pts)

Elaborada por los profesores del cursoCoordinador : Profesor Norberto Chau

San Miguel, 2 de febrero de 2012

SEMESTRE 2011-2

INDICACIONES:

Sin libros, ni apuntes ni calculadoras.

Resolver sólo 5 de las 6 preguntas propuestas.

Enumerar del 1 al 12 las páginas de su cuadernillo en la parte superior derecha y desarrollar las

preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución.

Páginas 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12

1) Sean el plano 3zy2x3 : y la recta ),,(),,(: PL 132t211 con . Rt

a) Hallar una ecuación vectorial de la recta que está contenida en y corta de manera

perpendicular a la recta . (3 ptos.) L

b) Hallar la ecuación cartesiana del plano determinado por la recta y la recta hallada en el

ítem a). (1 pto.)

2) En el siguiente subconjunto de 2R

),(),( 10UR0xE 2

se definen las operaciones suma y multiplicación por un número real , de la siguiente

manera:

),(),(),( 21212211 yyxxyxyx ),(),( yrxyxr

donde . Rr a) Demostrar que E es cerrado con respecto a las operaciones y . (1.5 ptos)

b) Verificar dos axiomas de espacio vectorial que ),,( E cumple. (1.5 ptos.)

c) Verificar un axioma de espacio vectorial que ),,( E NO cumple. (1 pto.)

CONTINÚA…

1 de 2

a) Demostrar la siguiente igualdad de determinantes.

cccccccccccc

132412431432

donde . (2 ptos.) 0cccc 4321

b) El determinante de la siguiente matriz es un polinomio en . Hallar las raíces de dicho

polinomio. (2 ptos.)

3c3b3a3x

2c2b2a2x

4) Sea una transformación lineal dada por 33 RRT :

a) Determinar un valor de la constante para que el núcleo de tenga dimensión .

(2 ptos)

b) Con el valor encontrado para la constante , hallar una base para la imagen de T . a(2 ptos.)

5) Dada la curva,

a) Hallar la proyección ortogonal de sobre el plano coordenado XY e identifique dicha

proyección. (2 ptos.)

b) Parametrizar la curva . (2 ptos.) 6) Considere el plano 0zy2 : y la transformación lineal definida por 33 RRT :

LQT )(

donde ,: NtQPL y Rt N es una normal del plano .

a) Calcular todos los valores propios de T . (2 ptos.)

b) Calcular todos los vectores propios asociados a cada valor propio deT . (2 ptos.)

San Miguel, 10 de octubre de 2011

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