Post on 07-Mar-2018
Matemáticas Discretas
LOGICA PROPOSICIONAL
Matemáticas Discretas
� Estudio de objetos discretos
� Habilidad para razonar y argumentar� Base otras áreas en computación
� Bases de datos� Lenguajes formales� Inteligencia Artificial� Procesamiento Lenguaje natural� Especificación formal de programas� Web semántica..
Lógica
� Base razonamiento matemático
� Argumentación� Reglas para dar significado preciso a enunciados
� Base construcción argumentos válidos� Aplicaciones variadas(diseño circuitos lógicos,
verificación de programas, etc.)
Razonamiento lógico
Todos los matemáticos utilizan sandalias
Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista
Por lo tanto, todos los matemáticos son algebristas.
Lógica
� Proposición
� Notación: p,q,r,...
� Constantes proposicionales: v,f
� Valor de verdad (V, F)
� Operadores (conectivos) lógicos
� Fórmulas simples y compuestas
� Precedencia de operadores lógicos
Lógica Proposicional
Ejemplos de proposiciones
Bogotá es la capital de Colombia
Lima es la capital de Perú
2 + 2 = 5
Lógica Proposicional
Ejemplos afirmaciones no proposiciones
¿Qué hora es?
Mañana lloverá
Lógica Proposicional
Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones
x + 1 = 7
11 es un número primo
Andrés vivirá 60 años
Sara es inteligente
Lógica Proposicional
Representación: letras del alfabeto
q: Bogotá es la capital de Colombia
r: Lima es la capital de Perú
p: 2 + 2 = 5
Cada proposición tiene un valor de verdad, e indica si ésta es Verdadera (V) o Falsa (F)
Lógica Proposicional
El secreto de la longevidad consiste en evitar el estrés
•Hoy es miércoles y la temperatura es de 21º C
•Si no llueve voy a la clase de MD
•No es cierto que Juan perdió el examen
Proposiciones Simples y Compuestas
Sea p: Bogotá es la capital de Colombia,
¬p indica, , Bogotá NO es la capital de Colombia
Cómo son los valores de verdad de p y de ¬p
Negación
Posibles valores de verdad de proposición p se pueden representar en la siguiente tabla
Negación
VF
FV
¬pp
Tabla de verdad para la negación de una proposición
p: Bogotá es la capital de Colombia
q: Washington es la capital de USA
p ∧∧∧∧ q : Bogotá es la capital de Colombia y
Washington es la capital de USA.
Conjunción
Conjunción
Tabla de verdad para la conjunción
FFF
FVF
FFV
VVV
p ∧∧∧∧ qqp
Tabla de verdad para la conjunción
Los Red Sox ganaron la serie mundial y los Yankees fueron eliminados
Ayer el Dólar bajó 5 pesos y el Euro subió 25
En este salón hay más hombres que mujeres y además tienen un buen promedio de calificaciones
Ejemplos
Los estudiantes quienes han visto cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
Disyunción
or - inclusivo
Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación
or - exclusivo
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
Disyunción
Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación
OR-inclusivo
?FF
?VF
?FV
?VV
OR-inclusivo
FFF
VVF
VFV
VVV
pvqqp p∨∨∨∨qqp
Tabla de verdad del OR- inclusivo
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
OR-Exclusivo
?FF
?VF
?FV
?VV
(p ⊕ q)
En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada
OR-Exclusivo
FFF
VVF
VFV
FVVp ⊕⊕⊕⊕ qqp
Tabla de verdad del OR- exclusivo
Usted puede hacer el examen parcial o el opcional
Aquellas personas de 20 años o más, pueden entrar al concierto
Carlos fue a jugar Béisbol o fue al cine
Hamlet fue escrito en 1601 o en 1688
Sarah quiere a Oscar o a Juan
Simbolización
Considere la siguiente proposición
Si es un día soleado entonces voy a la playa
¿Qué debe ocurrir para que no se cumpla la proposición?
Condicional
Condicional
VFF
VVF
FFV
VVV
p → qqp
Tabla de verdad del Condicional
Recríproca de p → q es la proposición q → p
p: Hoy es martes
q: Tengo un examen hoy
p →q: Si hoy es martes entonces tengo un examen
q →p: Si tengo un examen entonces es martes
Recíproca
Contrapositiva de p → q es la proposición
¬¬ q → ¬¬ p
p: Hoy es martes
q: Tengo un examen hoy
¬¬ q → ¬¬ p: Si NO tengo un examen entonces NO es martes
Contrapositiva
Sean p y q dos proposiciones, el bicondicional p↔↔q es la proposición que es verdadera cuando p y q tiene el mismo valor de verdad
Bicondicional
VFF
FVF
FFV
VVV
p ↔ qqp
Tabla de verdad del Bicondicional
Precedencia Operadores
Bicondicionalp ↔ qSi y solo si↔
Condicionalp → qSi .. Entonces→
Negación¬ pNo¬
Disyunciónp ∨∨∨∨ qO∨∨∨∨
Conjunciónp ∧∧∧∧ qY∧∧∧∧
Nombre en lógica
Proposición Compuesta
SignificadoConectivo
Formalización
� Evita ambiguedad lenguaje natural� Facilita análisis
� Determinación valor de verdad
FormalizaciónEjemplo
Tienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eresestudiante del PAIS
• Identificar frases componentes
• Asignarles variable proposicional• Utilizar conectivos
FormalizaciónTienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eresestudiante del PAIS
� Identificar frases componentes y Asignarles variables proposicionales
• p: tienes una cuenta de correo electrónico en EISC• q: Estas matriculado en ITI• r: Eres estudiante del PAIS
� Utilizar conectivos
(q∨∨∨∨ r) → p
Formalización : ejercicios
� No puedes conducir si eres menor de edad, a no ser que tengas un seguro especial
� No se puede actualizar campos de un registrode la base de datos a menos que tengas un perfil de administrador
Operaciones con bits: aplicación
� Aplicación de lógica digital: Bits y conectivoslógicos
� Construcción de compuertas lógicas
� Bit: dos valores posibles 0 y 1 (Verdadero (V) es 1 y que Falso (F) es 0).
� Variable Booleana: variable cuyo valor puede ser V o F.
� Operaciones con Bits: conectivo lógicos (AND, OR, NOT, XOR)
Aplicación
Cadenas de Bits: sucesión de cero o más bits
operaciones aplicadas a cadenas de bits01101101101100011101
1110111111 Operador ????01000101001010101011
Asignación de valoresde verdad a las
variables proposicionales
Interpretación
Modelo de una fórmula
Una Interpretación I que
satisface la fórmula ϕ es un
MODELO de ϕ
� Tautología (Válidez)
� Contradicción (Insatisfactiblidad)
� Contingencia (Satisfactibilidad)
Tipos de Proposiciones
Validez, Satisfactibilidad
Fórmula válida: si y solo si es verdadera para
todas las interpretaciones.
Fórmula insatisfactible (o inconsistente): si y solo
si es falsa para todas las interpretaciones.
Fórmula no válida: si y solo si hay al menos una
interpretación que la haga falsa
Fórmula satisfactible: si y solo si al menos una
interpretación la hace verdadera
EjercicioClasificar las siguientes proposiciones como Tautología, Contradicción o Contingencia
(¬p ∧∧∧∧ p)
•¬ ( p ∨∨∨∨ (¬ p ∧∧∧∧ q) )
•(¬ p ∨∨∨∨ q) ↔↔ (p →→→→q)
•(¬p ∧∧∧∧ ¬q)
•¬(p ∨∨∨∨ q)
Dos fórmulas ϕ , δ son lógicamente equivalentes si
para toda interpretacióntoman el mismo valor de
verdad
(ϕ ≡ δ)
Equivalencia Lógica
Dos fórmulas ϕ , δ son lógicamente equivalentes si
y solo si
ϕ ↔ δ es una tautología
Equivalencia Lógica
Equivalencia Lógica
VFFF
FVVF
FVFV
FVVV
¬(p ∨∨∨∨ q)p ∨∨∨∨ qqp
Equivalencia Lógica
V
F
V
F
¬q
VVFF
FVVF
FFFV
FFVV
¬p ∧∧∧∧ ¬q¬ p qp
Equivalencia Lógica
Las proposiciones (¬p ∧∧∧∧ ¬q) y ¬(p ∨∨∨∨ q) son entonces lógicamente equivalentes
Dos proposiciones compuestas p y q son
lógicamente equivalentes si p ↔ q es una tautología
EjercicioIndique si las siguientes proposiciones
compuestas son lógicamente equivalentes
• p→q y ¬p ∨∨∨∨ q
• p ∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧ r) y (p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ r)
• ¬(p ⊕ q) y p ↔ q
Equivalencia Lógica
p ∧∧∧∧ ¬ p ⇔⇔⇔⇔ F
(p→ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬ p ∨∨∨∨ q)
p ∨∨∨∨ v ⇔⇔⇔⇔ V
p ∧∧∧∧ f ⇔⇔⇔⇔ F
p ∧∧∧∧ v ⇔⇔⇔⇔ p
p ∨∨∨∨ f ⇔⇔⇔⇔ p
Equivalencia
Más Equivalencias Lógicas
Doble Negación : p ≡ ¬¬pIdempotencia : p ∧∧∧∧ p ≡ pIdempotencia : p ∨∨∨∨ p ≡ pLey asociativa : p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r) ≡ (p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ rLey asociativa : p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r) ≡ (p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ rLey de contrarrecíproca : (p → q) ≡ (¬q → ¬p)Ley conmutativa : p ∧∧∧∧ q ≡ q ∧∧∧∧ pLey conmutativa : p ∨∨∨∨ q ≡ q ∨∨∨∨ pLey distributiva :p ∨∨∨∨ ( q ∧∧∧∧ r ) ≡ (p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ r)Ley distributiva :p ∧∧∧∧ ( q ∨∨∨∨ r ) ≡ (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r)
Más Equivalencias Lógicas
Leyes de DeMorgan: ¬(p ∨∨∨∨ q) ≡ ¬p ∧∧∧∧ ¬q¬(p ∧∧∧∧ q) ≡ ¬p ∨∨∨∨ ¬q
Ley de implicación: p → q ≡ ¬p ∨∨∨∨ qLey de cobertura: p ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ≡ p
p ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ q) ≡ pLey de contradicción: ¬p ∧∧∧∧ p ≡ F
¬p ∨∨∨∨ p ≡ V
Equivalencia LógicaMuestre que ¬ ( p ∨ (¬ p ∧ q) ) y ¬p ∧ ¬q son
lógicamente equivalentes
�� MMéétodotodo 1:1: Construir una tabla de verdad
�� MMéétodotodo 2:2: Utilizar las equivalencias lógicas
conocidas, y partiendo desde una de las dos
proposiciones lograr deducir la otra
Ejercicio
Partir de ¬( p v (¬ p ∧∧∧∧ q) ) hasta llegar a la
proposición ¬p ∧∧∧∧ ¬q
¬ ( p v (¬ p ∧∧∧∧ q) ) ⇔ ???
Ejercicio
Muestre que (¬p → ¬q) → q es lógicamente
equivalente con (¬ p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ q
Muestre que ( p ∧∧∧∧ q ) → (p ∨∨∨∨ q) es una tautología
Más EjerciciosMuestre que las siguientes proposicionescompuestas son tautologías
(p ∧∧∧∧ q) → p
p → (p ∨∨∨∨ q)
¬p → (p → q)
(p ∧∧∧∧ q) → (p → q)
Sean A y B dos formulas. Se dice B esconsecuencia lógica de A (A ╞ B) si toda
interpretación que hace verdadera a A haceverdadera a B
Consecuencia Lógica
Teorema 1A ╞ B si y solo si A →B es una tautología
Por Ejemplo(¬p ∨ q) ∧ p╞ q dado que (¬p ∨ q) ∧ p → q es
una tautología
Consecuencia Lógica
Ejercicio
Demuestre que (¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ p → q es una
tautología
Consecuencia Lógica