Matemticas Discretas 3006906-1Solucin Examen 2 Marzo 13 de 2015

Nombre ________________________________Cdula________________

En las preguntas 1 a 4 escoja la armacin o las armaciones verdaderas. Puede haber una sola o dos armacionesverdaderas pero no hay ms de dos. Si seala ms de dos opciones, el puntaje para el ejercicio es cero. Si seala dosopciones y solo una de las sealadas es verdadera, se otorgan cinco puntos.

1. (10%) Sean A; B y C conjuntos:

(a) ** A B y B C =) A C(b) A 2 B y B 2 C =) A 2 C(c) ** A 2 B y B C =) A 2 C(d) A B y B 2 C =) A 2 C

2. (10%) Para un conjunto X se dene P (X) como el conjunto potencia de X; es decir, el conjunto que contienecomo elementos a todos los subconjuntos de X:

(a) A P (A)(b) Si el conjunto A tiene un solo elemento, el conjunto P (P (A)) tiene solamente 2 elementos.

(c) P (f2g) = ff2gg(d) **Si jAj = k entonces jP (A)j = 2k

3. (10%) El conjunto de referencia es el conjunto de los nmeros enteros.

(a) La funcin que a cada entero x asigna el nmero de dgitos de x es una funcin inyectiva.

(b) La funcin que a cada entero x asigna el nmero de dgitos de x es una funcin sobreyectiva.

(c) **La funcin que a cada entero x asigna su ltimo dgito tiene como rango un conjunto de 10 elementos.

(d) **La funcin que a cada entero x asigna ceil (x) = dxe = techo (x) es inyectiva.

4. (10%) Sea X = f1; 2; 3; 4g :

(a) **R1 = f(1; 1) ; (2; 2) ; (3; 3) ; (4; 4) ; (2; 4) ; (4; 2)g es una relacin de equivalencia.(b) R2 = f(1; 1) ; (2; 2) ; (3; 3)g es una relacin reexiva.(c) R3 = f(1; 1) ; (2; 2) ; (3; 3) ; (4; 4) ; (1; 4) ; (4; 2)g es una relacin simtrica.(d) **R4 = f(1; 1) ; (2; 2) ; (3; 4)g es una relacin antisimtrica.

5. (30%) Determine si cada una de las relaciones siguientes es reexiva, simtrica, antisimtrica o transitiva.

(a) Conjunto A = Z Z: La relacin R denida por ((x; y); (u; v)) 2 R si y solo si x u = y v:(x; y)R (x; y)() x x = y y, por tanto es reexiva.(x; y)R (u; v)() x u = y v () u x = v y () (u; v)R (x; y) ; luego es simtrica.No es antisimtrica porque hay parejas diferentes y relacionadas como (3; 5)R (2; 4) :Es transitiva porque si (x; y)R (u; v) y (u; v)R (w; z) entonces xu = y v y uw = v z: Esto implicax w = y z:

(b) Conjunto A = Z: La relacin R denida por (x; y) 2 R si y solo si x+ y = 10:No es reexiva porque hay parejas con componentes iguales que no estn en la relacin, por ejemplo,(3; 3) =2 R:Es simtrica porque x+ y = y + x:No es antisimtrica, ejemplo, (3; 7) 2 R y (7; 3) 2 R pero 3 6= 7:No es transitiva, ejemplo, (8; 2) 2 R y (2; 8) 2 R pero (8; 8) =2 R:

1

(c) Conjunto A = Z: La relacin R denida por (x; y) 2 R si y solo si xyes un entero.

La relacin es reexiva si se excluye el 0 del dominio.No es simtrica pues (1; 2) =2 R a pesar de que (2; 1) 2 R:Tampoco es antisimtrica pues

1

1 =11

Es transitiva pues six

yes un entero y

y

zes un entero, entonces

x

z=x

y

y

zes un entero.

6. (30%)

(a) (10%) De un ejemplo de una funcin de N en N que es uno a uno pero no es sobreyectiva.Ejemplo: f : N ! N denida por f (n) = n+ 1

(b) (20%) Sea f : R ! R denida por f(x) = xbxc : Es f una funcin sobre? Es f una funcin uno a uno?No es uno a uno pues f (3:5) = f (4:5) y no es sobre pues el rango est contenido en [0; 1] :

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