Post on 23-Jan-2015
PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS
PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS
Prof. Antonio SyersProf. Antonio Syers
Calculo IV (Ing)Calculo IV (Ing)
Prof. A. SyersCálculo IV (Ing)
Definiciones
Una curva plana es un conjunto C de pares ordenados de la forma (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I.
C
a b
I
(f(a),g(a))
(f(b),g(b))
x
y
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Definiciones
Definición:
Sea C Una curva que consiste en todos los pares ordenados (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I. Las ecuaciones g(t) y),t(fx
Para t en I, se denominan ecuaciones paramétricas de C con parámetro t
Veamos algnos ejemplos que puedan ilustrar estas definiciones
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Círculo
P(x,y)
0,2 aseny
cosax:C
)asen,cosa()y,x(
222 ayx
ay
x
Ejemplo: Hallar las ecuaciones parámetrica del círculo de radio a
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Elipse
Calculemos ahora las ecuaciones paramétricas de la elipse
1a
y
b
x2
2
2
2
Solución:
De la gráfica tenemos que cosbONx
asenMQNPy
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Elipse
P(x,y)
a
bO M N
Q
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1. La Cicloide
Fije un punto P sobre la circunferencia
de un círculo y déjelo rodar, sin
resbalar, a través de una recta.
Suponga que P está en el origen
cuando el centro C está sobre el eje Y.
La trayectoria descrita por el punto P
se denomina Cicloide.
La CicloideLa Cicloide
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r
cicloide...cicloide...
Veamos ahora la curva de manera continua
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C
NP(x, y)
r
cicloide...cicloide...
Calculemos las ecuaciones paramétricas de la curva
O L A
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cicloide...cicloide...De la gráfica se tiene que
LAOAOLx Pero,
θrarcPCAOA
Por otra parte θrsenPNLA
Así, θθ rsenrx
De una manera análoga, NCACLPy Pero, , rAC
rcosθ NC
Por lo tanto,
rcosry
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2. Epicicloide.
Si un punto P es fijo sobre una circunferencia y
esta circunferencia está rodando, sin resbalar,
sobre otra circunferencia, la trayectoria
descrita por el punto P se denomina
Epicicloide
La Epicicloide
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OX
Y
Epicicloide...
Pasemos ahora a calcular sus ecuaciones.
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Epicicloide...C
R
Cr
N
L MO
N
r
X
Y
Note que = - -
P(x, y)A
D
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Epicicloide...
De la figura : LMOLOMx
Pero, θ,r)cos(ROL y además
φrcos φrcosrcosNPLM θθπβ
esto implica que
φθθ rcoscosRrx
Por otra parte, el arco AD = arco AP,
por lo tanto arco AD = R, arco AP =r . Así,
R = r, lo que equivale a r
Rθφ
Sustituyendo esto en x, resulta
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Epicicloide...
rRθ
θrcoscosθRrx
Análogamente, NCLCMPy , pero
r)senθ(RLC
φθ rsenφθπrsenrsenβNC de esta manera obtenemos:
rRθ
θ rsensenθRry
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3. La Involuta.
Considere una cuerda enrollada en la
circunferencia de un círculo. Supóngase que
el extremo final de la cuerda está en el
punto L, como lo muestra la figura. Sujete
este extremo de la cuerda u manténgalo
tenso (tangente a la circunferencia) el punto
final de la cuerda traza una curva llamada
Involuta de círculo.
La Involuta
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OX
Y
Involuta...
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Involuta...Veamos ahora cual es la gráfica de manera continua, para luego calcular las ecuaciones de la curva.
Q
E L B
P(x,y)
R
A
O X
Y
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Involuta...De la figura tenemos que EBOEOBx
como RcosθOE θsenAPEB QP y,, Además RθarcoALAP
Así,θθθ senRRcosx
Vamos a calcular la ecuación de y,
cosθAP -RsenθQAEAEQy
sustituyendo el valor de AP , tenemos
θθθ cosRRsenY
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4. La Bruja o curva de Agnesi.
Dada la circunferencia , y su recta tangente y
= 2a, se obtiene un punto P de la siguiente
manera: Se elige un punto B de la
circunferencia y se prolonga la cuerda OB
hasta cortar a la recta y = 2a en el punto A.
Tomemos el punto que tiene la abscisa de A y
la ordenada de B. El conjunto de todos estos
puntos se denomina Bruja o curva de Agnesi.
La Bruja
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La Bruja...
(0,a)
a
O
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(0,a)
a
O L D
P(x,y)
C A
B
La Bruja...
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La Bruja...
Calculemos las ecuaciones de la curva
Por la gráfica podemos deducir que
2ATagθCAODx
Por otra parte, como 2acosθOB
entonces
θθ 22acoscosOBLBDPy