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7/16/2019 Par Ordenado
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INTRODUCCION
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez
en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de lavariable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término
para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su
uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.
Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa
un número dentro de un conjunto de ello.
Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X
entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se
dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan
libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos
valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X
constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su
recorrido".
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PAR ORDENADO
En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se
distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer
elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).
Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, {a, b}. Un conjunto
está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de
estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son
idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.
Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La
noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos
objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.
El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias y las funciones se
definen en términos de pares ordenados.
DEFINICIÓN
La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos
de ellos sean idénticos:
Dos pares ordenados (a, b) y (c, d ) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo
elemento respectivamente:
Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos X e Y , la colección de todos los pares ordenados ( x, y), formados con
un primer elemento en X y un segundo elemento en Y , se denomina el producto cartesiano
de X e Y , y se denota X × Y . El producto cartesiano de conjuntos permite
definir relaciones y funciones.
Generalizaciones
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Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender
la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una
terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento.
La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:
(a1, a2, a3) = (b1, b2, b3) si y sólo si a1 = b1 , a2 = b2 , y a3 = b3
En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de
elementos n, dando lugar así a una n-tupla.
Construcción
La propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad
relevante para su uso en matemáticas.1 Sin embargo
, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos:
números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado como
un tipo particular de conjunto.
La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski, es:
Mediante el axioma de intencionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este
término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.
CONJUNTO
En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un
objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números,
colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o
miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un
número primo, el conjunto de los números primos es:
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P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En
particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden
de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes,
Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja,
Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es
infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho
elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de
manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible
definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse
de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto
fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos
matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere
pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
RELACION ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano
A x B.
Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un elemento b,
que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo)
del producto cartesiano A x B.
Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x
B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R ={(a,1),(c,2)}.
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A las relaciones también se les llama correspondencias.
Relación de orden
Una relación binaria es una relación de orden que tiene las propiedades:
Reflexiva: a R a
Antisimétrica: Si a R b y b R a entonces a = b.
Transitiva: Si a R b y b R a, entonces a R c.
Si en un conjunto se puede establecer una relación de orden el conjunto se dice ordenado.
Las relaciones de orden se representan con el símbolo menor igual (a <= b)
En un conjunto ordenado, si b <= a para todo b, a se llama elemento máximo. Si el máximo
existe es único.
En un conjunto ordenado, si a <= b para todo b, a se llama elemento mínimo. Si el mínimo
existe es único.
En un conjunto ordenado, si a <= b implica a = b, a y b se llaman elementos maximales.
En un conjunto ordenado, si b <= a implica a = b, a y b se llaman elementos minimales.
FUNCION
Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de
«entrada» en los valores u objetos de «salida»
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor
de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de
un círculo es función de su radio r : el valor del área es proporcional al cuadrado delradio, A = π ·r
2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades
separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se
desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera
magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que
depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
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CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR UNA RELACIÓN PARA QUE SEA
FUNCIÓN
En matemática para que una relación entre dos conjunto sea función debe cumplir
dos condiciones:
1) Existencia: Todo elemento del primer conjunto debe estar relacionado con algún
elemento del segundo conjunto.
2) Unicidad: Cada elemento del primer conjunto está relacionado con uno y solo un
elemento del segundo.
EJEMPLOS DE FUNCIONES
función afín
f(x)= 2x + 3
Función Cuadrática
f(x) = x² + 2x + 1
Función Valor absoluto
f(x) = │x+1│
Función Exponencial
f(x) = 2^x
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por
.Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama
sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer
lo mismo para una función, luego Dom (f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el elemento 5
del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta relacionado con ningún
elemento de X. A los elementos del rango de una función también se les suele llamar
conjunto de imágenes de la función, luego 1 es imagen de 1, mediante la función F, o
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también se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante la función F, es decir,
8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir,27=f(3).
ALGUNAS FORMAS ESPECIALES DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN.
En los capítulos precedentes hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que
sean, suelen admitir una expresión del tipo y = f(x). Hemos visto también que es
especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f(x)
sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por
ejemplo:
Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las
Ciencias Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable
independiente, de manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función
según los distintos valores de x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a
trozos.
Por otra parte en las funciones del tipo y=f(x), la relación entre ambas variables x e
y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y=f(x) recibe el nombre de
forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las
variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una
ecuación que las liga, como por ejemplo:
Aunque más tarde analizaremos con detalle estos cuatro ejemplos, ya podemos decir
que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la
función.
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CONCLUSIÓN
Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas,
comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función.
Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como lafunción trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica.
Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y
además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver
cualquier situación que se nos presente en la vida diaria.
Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que
incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva
manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil.
Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han
facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados
precisos para cada situación.
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INDICE
Portada…………………………………………………………………………………..1
Índice……………………………………………………………………………………2
Introducción……………………………………………………………………………..3
Par Ordenado…………………………………………………………………………….4
Definición ………………………………………………………………………………..4
Conjunto…………………………………………………………………………………. 5
Relación Entre Conjuntos ………………………………………………………………..6
Función …………………………………………………………………………………..7
Condiciones Que Debe Cumplir Una Relación Para Que Sea Función ………………...8
Ejemplos De Funciones………………………………………………………………….8
Dominio Y Rango De Una Función……………………………………………………..8
Algunas Formas Especiales De Representar Una Función……………………………….9 Conclusión……………………………………………………………………………… .10