Post on 10-Sep-2014
Optimización clásica
Esta técnica es útil para funciones continuas y diferenciales.Estos métodos son analíticos.Tiene un campo limitado de aplicación.Sin embargo, esto es la base para los demás métodos.
Optimización de una variable.
El problema es encontrar x = x* en el intervalo[a , b] de modo que x* minimice f(x).
A1
B1
A2
B2
A3
xa b
f (x)
Ai A3 Máximos localesA2 Máximo globalBi Mínimos localesB2 Mínimo global
Teoremas
Condición necesariaSi f(x) es definida en a ≤ x ≤ b, tiene un mínimo local en x = x*, si a < x* < b y
Condición suficienteSi fn (x*) ≠ 0 f (x*) es: un mínimo de f (x) si fn (x*) > 0, n par;
un máximo de f (x) si f n (x*) < 0, n par.
0)x('fdxdf *
x*==
EjemploDetermine valores máximos y mínimos de la función
Solución
Luego f ’(x) = 0 cuando x* = 0, x* = 1, x* = 2.La segunda derivada
f ’’(x) a x*= 0 → f ’’(x*) = 0 no es máximo ni mínimo,investigue la siguiente derivadaf ’’(x) a x*= 1 → f ’’(x*) = 12 → máximof ’’(x) a x*= 2 → f ’’(x*) = -11 → mínimo
5x40x45x12)x(f 345 ++−=
( )( )( )2x1x60x(x)f'
x2x3x60(x)f'2
234
−−=
+−=
( )x4x9x460)x(''f 23 +−=
Variable de operación
Capacidad
Eficiencia
f (x)
Tiempo de lixiviación en pilas
Capacidad (Toneladas de mineral)
Eficiencia(% de extracción)
f (x)
Flujo de alimentación al reactor
Eficiencia(% de conversión)
Material tratado
f (x)
Costo global
Costo 1
Costo 2
Variables de diseño
Costo
Costo total
Costos fijos(cañerías)
Costo Variables (bombeo)
Diámetro cañería
US $/año
Ф
Costo total
Perdidas de calor
Material
Espesor aislación
US $/año
Costos Totales
Costo de Equipos Evaporadores
Costos Vapor
Nº de efectos
US $
Evaporadores
Otros ejemplos ver Abdón Zamora, Diseño Optimo Economicote Equipos de Procesos
Costos Totales
Equipos
Soluto perdido
Variables de diseño
US $
Extracción por Solvente
Optimización multivariable
Condición necesariaf ( x ) es un punto extremo (máximo o mínimo) a x = x* , si
Condición suficienteLa matriz de las segundas derivadas parciales (matrizHessiana) de f( x ) evaluada en x* esi) Positivamente definida entonces x* es un punto
mínimo.ii) Negativamente definida entonces x* es un punto
máximo.
( ) ( ) ( ) 0xxf........
xxf
xxf
n
*
2
*
1
*
=∂∂
==∂∂
=∂∂
EjemploSea
Luego, derivando
resolviendo el sistema de ecuaciones
( ) 2221
2123
212 Pxxk
21xxk
21xk
21)x(f −+−+=
( )
( ) 0Pxkxxkxf
0xxkxkxf
211232
123121
=−+−=∂∂
=−−=∂∂
323121
32*2
323121
3*1
)(kkkkkk
kkPx
kkkkkkkPx
+++
=
++=
La matriz de Hessiana
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
313
332x,x
22
2
12
221
2
21
2
x,x
kkkkkk
J
xf
xxf
xxf
xf
J
*2
*1
*2
*1
Una matriz A es definida positivamente definida si susvalores propios (λ) son positivos. Los valores propios sedeterminan de
Otra forma es evaluando los determinantes de cada submatriz. Todas las determinantes deben ser positivas
Luego f (x1*, x2*) es un mínimo.
0IA =λ−
321 kkJ +=
323121313
3322 kkkkkk
kkkkkk
J ++=+−
−+=
Positivo
Positivo
Optimización con restricciones
Minimice f(x1, x2)s.a. g(x1, x2)=0Las condiciones necesarias para la existencia de unpunto extremo en x =x* es
0xg*
xgx
f
xf
*2
*1 X,X
12
2
1
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂∂
∂−
∂∂ ó 0
xg*
xf
*2
*1 X,X11
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
λ+∂∂
Donde multiplicador de Lagrange
( ) 0x,xg
0xg*
xf
*2
*1
*2
*1
X,X21
X,X22
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
λ+∂∂
*2
*1 X,X2
2
xgx
f
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
∂−=λ
Método de LagrangeMinimice f(x)s.a. g i (x)=0 j = 1,2,…,mSe define
y se aplican
se tiene m+n ecuaciones y n (x1, x2…xn)+ m (λ1, λ2,…,λm)variables.
( ) ( ) ( ) m2211 ...xgxgxfL λ++λ+λ+=
∑=
=∂∂
λ+∂∂
=∂∂ m
1j i
ij
ii
0xg
xf
xL
( ) 0xgLj
j
==λ∂∂
i = 1,2,…
j = 1,2,…,m
EjemploMinimice f (x, y) = k x-1 y-2
s.a. g (x, y) = x2 + y2 - a2 = 0Luego
Resolviendo (ec.1) y (ec.2)
( )22221 ayxykxgfL −+λ+=λ+= −−
(ec. 1)
0
022
02
222
31
22
=−+=∂∂
=+−=∂∂
=+−=∂∂
−−
−−
ayxL
yykxyL
xykxxL
λ
λ
λ
(ec. 2)
423 xyk2
yxk2 ==λ
(ec. 3)
Reemplazando en (ec.3)
Significado del multiplicador de LagrangeSea minimice f(x)
s.a. g (x) = bλ* denota la sensibilidad (o razón de cambio) de f con respecto a b, o el cambio marginal en f* con respecto a b en x*. En otras palabras λ* indica que tan ajustado esta la restricción en el punto optimo.
5
*
*
a3
49
3a2y
3ax
=λ
=
=
Ejemplo Ajuste de balance
a) Balance para calcular βA = B + C
A ai = B bi + C ciβ = B/A
ai = β bi + (1-β) ci
Aai
Bbi
Cci
7.65.291.74ci
5.81.960.33bi
7.74.121.23ai
150180212i
Si se calcula se tiene
Luego existe un error.¿cual es el mejor valor de β?
la función objetivo es minimizar
ii
ii
cbca
−−
=β
-0.0110.3510.362β
150180212i
( ) iiii c1b-a)i(error β−−β==∆2i∆
( )[ ]2i
iii c1ba)(f ∑ β−−β−=β
( )[ ][ ]∑ +−β−−β−=ββ
=β
iiiiii cbc1ba2
d)(df
0ddf
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2756.06114.165776.4
68.78.529.556.174.133.029.556.129.512.474.133.074.123.1
222
==β
−+−+−−−+−−
=β
b) Recalcular las ai, bi, ci
( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−+−i
2
iii
2
iii
2
ii ccbbaaMin
( )( ) iii
iiii
c1b-a0
c1b-a
β−−β=
β−−β=∆s.a.
( ) ( ) ( )( )iiiiiii cc1bbaa −β−−−β−−=∆−
2i
2i
2i cbaMin ∆+∆+∆∑
( ) iiii c1ba0 ∆β−−∆β−∆+∆=
ó
s.a.
Aplicando Lagrange
( )[ ]iiiii2i
2i
i
2i c1bacbaL ∆β−−∆β−∆+∆λ+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∆+∆+∆= ∑
2a0a2
af i
iiii
λ−=∆⇒=λ+∆=
∆∂∂
βλ
=∆⇒=βλ−∆=∆∂∂
2b0b2
bf i
iiii
( ) ( )β−λ=∆⇒=β−λ−∆=
∆∂∂ 1
2c01c2
cf i
iiii
( ) 02
122
i2i2ii =
λβ−−
λβ−
λ−∆
( )[ ]
( )[ ]22i
i
22ii
112
112
β−+β+∆
=λ
β−+β+λ
=∆
( ) 0c1bafiiii
i
=∆β−−∆β−∆+∆=λ∂∂