Matemática Superior aplicada

Optimización Unidimensional

Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa CruzJTP: Dr. Juan Ignacio ManassaldiAux. 1ra: Ing. Juan Pablo CamponovoAux. 2da: Sr. Alejandro J. Ladreyt

4 3 21 7( ) 5 2

4 3f x x x x

Mínimos Relativos

Máximo Relativo

Mínimo Absoluto

Encontrar el valor mínimo o máximo de una función en una variable

Optimización Unidimensional

4 3 21 7( ) 5 2

4 3f x x x x

3 2'( ) 7 10f x x x x

'( ) 0f x

Condición necesaria de mínimo o máximo: '( ) 0f x

Optimización Unidimensional

2''( ) 3 14 10f x x x

''( ) 0 Mínimo Relativo'( ) 0

''( ) 0 Máximo Relativo

f xf x

f x

Optimización Unidimensional

Método de Newton

si

no

0

0; 0x k

1k k

rk

x x

x

1es un extremo

kx

1k k

1'

''

k

k k

k

f xx x

f x

Método de interpolación parabólica sucesivas

Este método encuentra la parábola que pasa por tres puntos de la función y encuentra el extremo de la misma. Luego se eligen tres nuevos puntos y se repite el procedimiento hasta satisfacer la tolerancia.

¿Cómo elegir los tres valores de arranque?

¿Cómo encontrar la parábola?

¿Cómo encontrar el extremo de la parábola?

¿Cómo elijo los nuevos puntos?

¿Cuál es el criterio de tolerancia?

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

¿Cómo elegir los tres valores de arranque?

1x2x

3x

Solo necesitamos tres puntos del dominio

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

Encontramos la parábola que pasa por los tres puntos. El nuevo punto corresponde al extremo de la misma.

4x

2y ax bx c

2

2

2

2.5 2.5 1 2.55729

3 3 1 0.25

3.5 3.5 1 3.27604

a

b

c

Los tres puntos deben cumplir esta ecuación

¿Cómo encontrar la parábola?

La parábola debe pasar por los siguientes puntos:

1 1

2 2

3 3

2.5 ( ) 2.55729

3 ( ) 0.25

3.5 ( ) 3.27604

x f x

x f x

x f x

2.5;2.55729

3;0.25

3.5; 3.27604

2

2

2

2.5 2.5 2.55729

3 3 0.25

3.5 3.5 3.27604

a b c

a b c

a b c

Ax b Sistema 3x3

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

2

2

2

2.5 2.5 1 2.55729

3 3 1 0.25

3.5 3.5 1 3.27604

a

b

c

Resolvemos

2.4375

8.791667

4.1875

a

b

c

22.4375 8.791667 4.1875y x x

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

1x2x

3x

¿Cómo encontrar el extremo de la parábola?2y ax bx c ' 2y ax b ' 0

2

bx y

a

El nuevo punto corresponde al extremo de la parábola:

4

8.7916671.803418

2 2.4375x

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

1x2x

3x

4x

1x2x

3x

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

4x

¿Cómo elijo los nuevos puntos?Nos quedamos con los tres últimos

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

¿Cómo elijo los nuevos puntos?Nos quedamos con los tres últimos

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

Continuamos… hasta satisfacer la tolerancia

4x

1x

2x3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

¿Cómo elijo los nuevos puntos?Nos quedamos con los tres últimos

no

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)(maximizar)

si

1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x

4 3x x tol 4 extremox

4

1 1 2 2 3 3maximode la parabola que pasa por , , , y ,

x

x f x x f x x f x

1 2 2 3 3 4; ;x x x x x x

¿Cómo elegir los tres valores de arranque?

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

1x2x

3x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

1 1

2 2

3 3

0 ( ) 2

1 ( ) 0.9167

3 ( ) 0.25

x f x

x f x

x f x

El valor de la función en el punto intermedio mayor que el de los extremos

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

1x2x

3x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

2y ax bx c

2

2

2

0 0 1 2

1 1 1 0.9167

3 3 1 0.25

a

b

c

Los tres puntos deben cumplir esta ecuación

¿Cómo encontrar la parábola?

La parábola debe pasar por los siguientes puntos:

1 1

2 2

3 3

0 ( ) 2

1 ( ) 0.9167

3 ( ) 0.25

x f x

x f x

x f x

0; 2

1;0.9167

3;0.25

2

2

2

0 0 2

1 1 0.9167

3 3 0.25

a b c

a b c

a b c

Ax b Sistema 3x3

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

2

2

2

0 0 1 2

1 1 1 0.9167

3 3 1 0.25

a

b

c

Resolvemos

-1.0833

4

2

a

b

c

21.0833 4 2y x x

1x2x 3x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

¿Cómo encontrar el extremo de la parábola?2y ax bx c ' 2y ax b ' 0

2

bx y

a

El nuevo punto corresponde al extremo de la parábola:

4

41.846154

2 -1.0833x

1x2x

3x4x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

¿Cómo elijo los nuevos puntos?

Debemos quedarnos con el nuevo punto y dos de los anteriores.

¿Cuáles son los nuevo tres puntos?

1x2x 4x

3x

El valor de la función en el punto intermedio mayor que el de los extremos

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

Nuevo intervalo:

1x2x

3x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

2

2

2

1 1 1 0.9167

1.8461 1.8461 1 3.2636

3 3 1 0.25

a

b

c

-2.6928

10.4378

-6.8284

a

b

c

4

10.43781.9381

2 -2.6928x

1x 2x4x

3x

4 3.3219f x

Método de interpolación parabólica sucesivas (2)

¿Cuál es el criterio de tolerancia?

El nuevo punto encontrado va convergiendo al valor optimo

x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4)

0 -2 1 0.91666667 3 0.25 1.84615385 3.26368124

1 0.91666667 1.84615385 3.26368124 3 0.25 1.93810657 3.32192365

1.84615385 3.26368124 1.93810657 3.32192365 3 0.25 1.99575822 3.33327938

1.93810657 3.32192365 1.99575822 3.33327938 3 0.25 1.99894161 3.33332997

1.99575822 3.33327938 1.99894161 3.33332997 3 0.25 1.99992747 3.33333332

1.99894161 3.33332997 1.99992747 3.33333332 3 0.25 1.99998467 3.33333333

1.99992747 3.33333332 1.99998467 3.33333333 3 0.25 1.99999881 3.33333333

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)

si

no

Método de interpolación parabólica sucesivas (1)(maximizar)

si

no

no

si

si

1 2 3 1 2 3 2 1 2 3, ,x x x x x x f x f x f x f x

4 2x x tol 4 extremox

4

1 1 2 2 3 3maximode la parabola que pasa por , , , y ,

x

x f x x f x x f x

4 1 4 2x x x x

4 2f x f x

1 4 2 2 3 3; ;x x x x x x

4 2f x f x 1 2 2 4 3 3; ;x x x x x x

1 1 2 2 3 4; ;x x x x x x

1 1 3 2 2 4; ;x x x x x x

no

¿Cuál es la diferencia?

Método de interpolación parabólica sucesivas (1) y (2)

En funciones de un solo máximo (o mínimo) ambos llegan al mismo resultado.Para funciones con varios extremos:• La metodología (1) puede llevarnos a un extremo que no

corresponde al que estamos buscando.• La metodología (2) converge a un máximo o mínimo

según lo que estemos buscando. Podemos decidir que buscar.

2 2 2 2 2 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2

4

1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2

f x x x f x x x f x x xx

f x x x f x x x f x x x

Tip: Existe una formula directa para el calculo del nuevo punto

Método de interpolación parabólica sucesivas (1) y (2)

Método de interpolación parabólica sucesivas

Ejemplo: 2

210

xmax sen x

x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4)0 1 4

2 2 2 2 2 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2

4

1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2

f x x x f x x x f x x xx

f x x x f x x x f x x x

IntervaloNuevoIntervaloNuevo

( )f

( )f

a ba b

( )f

( )f

Método de la relación dorada

Sea , , tal que

Si , luego ,

Si , luego ,

a b

f f f x f x b

f f f x f x a

(Minimización)

Expresamos a y como una fracción del intervalo [a,b]:

a b

b a 1 b a

b a 1 b a

Analizando la grafica anterior encontramos las siguientes expresiones de y :

b b a

a b a

¿ ?

Método de la relación dorada

0a 0b0 0

1b1a1 1

1b1a 1 1

Intervalo original

Nuevo Intervalo (caso 1)

Nuevo Intervalo (caso 2)

Método de la relación dorada

Valor aleatorio: 0.7:

No se utiliza cualquier valor porque cada iteración requeriría calcular y

0a 0b0 0

1b1a 1 1

1b1a 1 1

Intervalo original

Nuevo Intervalo (caso 1)

Nuevo Intervalo (caso 2)

1 0 Caso 1:

1 0 Caso 2:

Método de la relación dorada

Buscamos de manera que se cumpla lo siguiente:

El valor de que estamos buscando permite que en cada iteración solo se calcule o

0a 0b0 0

1b1a 1 1

Intervalo original

Nuevo Intervalo (caso 1)

0 0 0 0

1 1 1 1

a b a

b b a

1 0 Caso 1:

0 0 0 1 1 1a b a b b a

1 0

1 0 0 0 0

b b

a b b a

De la grafica:

Reemplazando:

0 0 0 0 0 0 0 0a b a b b b b a

0 0 0 0 0 0 0 0a b a b b b b a

2

0 0 0 0 0 0a b a b b a

Método de la relación dorada

2

0 0 0 0 0 0a b a b b a

2

0 0 0 0 0 0 0b a b a b a

12

2

0.6181 0

1.618

¡Encontramos el !

Analizando el Caso 2 se llega a la misma conclusión

Método de la relación dorada

0.618

Golden Ratio

( )f

( )f

a b

IntervaloNuevo

Método de la relación dorada

Si f f

(Minimización)

0a 0b0 0

1b1a 1 1

1 0

1 0

1 0

1 1 1 1

a a

b

b b a

Método de la relación dorada

Si f f

(Minimización)

0a 0b0 0

1b1a 1 1

( )f

( )f

a b

IntervaloNuevo

1 0

1 0

1 0

1 1 1 1

a

b b

a b a

no

si

0 0, intervalo de busqueda original a b

a b tol extremo

b b a

a b a

a a

b

b b a

Método de la relación dorada (minimizar)

f f sino

a

b b

a b a

Método de interpolación parabólica sucesivas

Ejemplo: 2

min 210

xsen x

a b f() f()

0 4

Método de interpolación parabólica sucesivas

Ejemplo: 2

min 210

xsen x

a b f() f()

0 1.528 2.472 4 -1.76469035 -0.6302549

0 0.944304 1.528 2.472 -1.53100712 -1.76469035

0.944304 1.528 1.88842013 2.472 -1.76469035 -1.54334736

0.944304 1.30495636 1.528 1.88842013 -1.75945322 -1.76469035

1.30495636 1.528 1.66553697 1.88842013 -1.76469035 -1.71362958

1.30495636 1.44269815 1.528 1.66553697 -1.77547549 -1.76469035

a b f() f()

0 1.528 2.472 4 -1.76469035 -0.6302549

0 0.944304 1.528 2.472 -1.53100712 -1.76469035

0.944304 1.528 1.88842013 2.472 -1.76469035 -1.54334736

0.944304 1.30495636 1.528 1.88842013 -1.75945322 -1.76469035

1.30495636 1.528 1.66553697 1.88842013 -1.76469035 -1.71362958

1.30495636 1.44269815 1.528 1.66553697 -1.77547549 -1.76469035

Método de interpolación parabólica sucesivas

Ejemplo: 2

min 210

xsen x

Método de la relación dorada

Plantear Caso de

Maximización

Método de interpolación parabólica sucesivas

Ejemplo: 2

210

xmax sen x

a b f() f()

0 4