Operaciones aritméticas

Suma o adición

La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 + 2 = 8.

Los términos de la suma se llaman sumandos.

Propiedades de la suma

a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.

Si tenemos que sumar varios números podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, después c + d y después sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, después b + d y después sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los números en cualquier orden.

La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.

La suma tiene elemento simétrico. El elemento simétrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simétrico de a es -a, porque a + (-a) = 0

Resta o substracción

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Producto o multiplicación

Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces.

Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo así, 57 (esto significaría sumar 5 consigo mismo 7 veces).

La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.

Los términos de la multiplicación se llaman multiplicando (el número que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).

Propiedades de la multiplicación

propiedad conmutativa

a b = b a

propiedad asociativa

Si tenemos que multiplicar varios números podemos hacerlo en cualquier orden

Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero ab, después cd y después multiplicar los dos resultados anteriores, ó podemos multiplicar ac, después bd y después multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar ab y multiplicar el resultado por c y después multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los números en cualquier orden.

Propiedad distributiva respecto a la suma

a(b + c) = ab + ac

La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a 1 = a.

La multiplicación tiene elemento

simétrico. El elemento simétrico de un

número es otro que multiplicado por el

anterior da el elemento neutro. El

elemento simétrico de a es , porque

1

a

11

aa

a a

División

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número

de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad

conmutativa. No es lo mismo que

.

b

a

a

b

Potenciación

En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un número dado de

veces.

Por ejemplo: 5 5 5 5 5 5 5

Una forma de representar esta operación es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si mismo 7 veces).

El numero inferior se llama base y el superior exponente.

Propiedades de la potenciación:

am.an = am+n

= am-n

a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1

= am-m = a0)

(am)n = am.n

(ab c)m = am bm cm

a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).

m

n

a

a

OPERACIONES CON RACIONALES DECIMALES

Cuando se efectúa la división (a : b) se obtiene un Número Decimal.   

Ejemplo 

Número  Decimal

Decimal Finito (exacto) y Periódico.

Fracción Decimal

Son fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. 

   Ejemplo :      

Ejemplo : Expresar la fracción común  en fracción decimal.   

2.- VALOR POSICIONAL

En el sistema numérico se utilizan diez símbolos llamados dígitos iguales a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

que ocupan un valor de posición. 

Ejemplo : 3 985 426.17035

Ejemplo: 52.3

Este número puede separarse en

52 + 0.3 = 52 +  .

Aquí, el 52 es el número entero , donde

la posición del 2 es la unidad y 5 la

decena. La cantidad siguiente es la

fracción decimal 0,3 = 

NÚMEROS DECIMALES

Estos números son racionales ya que pueden escribirse como fracción.

NÚMEROS PERIODICOS

Es el (los) número(s) que se repite(n) indefinidamente. 

a) 

b)         

c)      d)      e) 

NÚMEROS ANTEPERÍODOS

TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN

Se lleva a número entero y se divide por una potencia de diez, esta depende de la cantidad de números que hay después de la coma. 

Ejemplo : 

TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN.

Se lleva a número entero el numerador y se divide por una cantidad de acuerdo a la cantidad de

números periódicos existentes y si existen antiperíodico se deben agregar ceros de acuerdo al número de estos. 

Ejemplo : 

Nota : Se debe memorizar la transformación de números decimales conocidos a fracción. 

 Ejemplo :  

Ejemplo: Expresar en fracción común :

• Reducción de fracciones

• Multiplicación de fracciones

• División de fracciones

• El Mínimo Común Múltiplo MCM

• Suma de fracciones

• Fracciones complejas

b

a Numerador

Denominador

Genéricamente se les llama miembros

Si cada miembro de una fracción

se multiplica o se divide por una

misma cantidad diferente de cero,

el valor de la fracción no se altera

En una fracción se pueden cambiar

simultaneamente los signos del numerador

y del denominador sin alterar el valor

de la fracción.

Si se cambia el signo del numerador ó

el signo del denominador, se debe c

ambiar

entonces el signo que precede a la fracción.

La suma de dos o más fracciones que

tienen el mismo denominador es una

fracción que tiene como numerador

la suma de los numeradores y como

denominador el mismo de las fracciones.

2 6 4 5a b a b

a b a b a b

2 6 4 5 2 6 4 5

6

a b a b a b a b

a b a b a b a ba b

a b

2 6 4 5 2 6 4 5a b a b a b a b

a b a b a b a b

1. Se factoriza cada denominador.

2. Se encuentra el MCM de los denominadores.

3. Se multiplican los dos miembros de cada fracción por el

cociente que se obtiene al dividir el MCM de los

denominadores entre el denominador de la fracción considerada.

4. Se combinan los numeradores obtenidos en el paso anterior

empleando para cada uno el signo colocado antes de la fracción

a que pertenecía. Se escribe entonces el resultado sobre el

común denominador.

La mínima expresión de una fracción

es aquella en la cual el numerador y

el denominador no tienen factores

comunes.

La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual el

numerador y el denominador no tienen factores comunes.

Para reducir una fracción a su mínima

expresión se factorizan primero el

numerador y el denominador y luego

se divide cada uno de ellos entre cada

factor. que les sea común.

a c a c ac

b d b d bd

a c a d a d ad

b d b c b c bc

aa d a d adb

c b c b c bcd