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NÚMEROS ADIMENSIONALES TRABAJO SEGUNDO DEPARTAMENTAL
ANDREA SERRANO TORRES GRUPO:2IM36
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INTRODUCCIÓN
Las magnitudes adimensionales son
ampliamente utilizadas en matemáticas,
física, ingeniería o economía, y en la vida
cotidiana (por ejemplo, en el conteo).
Muchos números bien conocidos, como
π, e y φ, son también adimensionales.
Por el contrario, las magnitudes no
adimensionales se miden en unidades de
longitud, área, tiempo, etc.
Las magnitudes adimensionales están
involucrados particularmente en
la mecánica de fluidos y en la descripción
de fenómenos de transporte, ya que
utilizan la similitud de modelos reducidos
o teoría de las maquetas y construye la
interpretación de los resultados de
ensayos. Se llaman números
adimensionales, números sin dimensión
o incluso de números característicos.
NÚMEROS ADIMENSIONALES
ANÁLISIS DIMENSIONAL
El análisis dimensional es un método
para verificar ecuaciones y planificar
experimentos sistemáticos. A partir del
análisis dimensional se obtienen una
serie de grupos adimensionales, que van
a permitir utilizar los resultados
experimentales obtenidos en condiciones
limitadas, a situaciones en que se tengan
diferentes dimensiones geométricas,
cinemáticas y dinámicas; y muchas
veces en casos en que las propiedades
del fluido y del flujo son distintas de las
que se tuvieron durante los
experimentos.
HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL.
En toda ecuación física, cada término
deberá tener las mismas dimensiones: la
ecuación debe ser dimensionalmente
homogénea; además la división de todos
los términos por uno cualquiera de ellos,
haría la ecuación adimensional, y cada
cociente sería un grupo adimensional.
LOS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS
DIMENSIONAL SON TRES:
1.- Todas las magnitudes físicas pueden
expresarse como funciones potenciales
de un reducido número de magnitudes
fundamentales.
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2.- Las ecuaciones que relacionan las
magnitudes físicas son homogéneas
desde un punto de vista dimensional.
3.- Toda ecuación dimensionalmente
homogénea puede reducirse a una
relación entre una serie completa de
razones o números adimensionales.
Hay varios métodos para el análisis
dimensional. Como más intuitivo
veremos sólo el de Rayleigh. Para el
mismo, se siguen ordenadamente los
pasos:
1.- Se establecen las variables que
intervienen en el fenómeno de que se
trate.
2.- Se expresa una de ellas, la de mayor
interés, como función potencial de las
restantes y de las posibles constantes
adimensionales.
3.- Se sustituyen todas las variables por
sus dimensiones y se establecen las
ecuaciones de homogeneidad para cada
una de las magnitudes fundamentales.
TEOREMA π DE BUCKINGHAM
Uno de los puntos importantes a
determinar es el número de grupos o
productos adimensionales necesarios
para representar un fenómeno dado, en
forma adimensional.
El número de grupos adimensionales (Π)
independientes necesarios para describir
un fenómeno dimensionalmente
homogéneo, en el que intervienen k
variables dimensionales, es igual a k−r,
donde r es, generalmente, el número de
dimensiones básicas o fundamentales
mínimas necesarias para representar las
variables del fenómeno.
El teorema entrega solo el número de
grupos adimensionales necesarios para
representar un fenómeno dado y no la
forma que tienen estos grupos así como
tampoco entrega información acerca de
la relación funcional que representa un
fenómeno dado. Esta relación de
determinarse ya sea analítica o
experimentalmente.
Matemáticamente, si una variable A1
depende de las variables independientes
A2, A3,..., An la ecuación funcional
puede escribirse como:
A1 = Ф (A2, A3,…,An)
La ecuación anterior puede escribirse
como; Ф1 (A1, A2, A3,…,An)
De acuerdo con el método π, la ecuación
adimensional tomará la siguiente forma:
Ф2 (π1, π2…… πn-m)
Π1= Ф3 (π1, π3,….. πn-m)
Tal que cada ir-término está formado por
rn variables primarias, las cuales
aparecen repetidamente en todos los π
términos y, una de las otras (n-m)
variables.
SELECCIÓN DE LOS PARÁMETROS ADIMENSIONALES
En verdad se necesita cierta experiencia
para seleccionar una lista que incluya
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todas las variables que afectan a un
fenómeno de flujo cualquiera.
Desafortunadamente, no existe una regla
definida a la cual el estudiante pueda
recurrir para la selección apropiada de
aquellas variables a ser incluidas en un
problema particular. Mejor dicho, el éxito
de cualquier investigación depende de la
habilidad del operador para predecir
correctamente las variables que se
incluirán en el problema. Con frecuencia
algunas variables que se incluyen
realmente no tienen nada que ver con el
problema y conducen a la aparición de
parámetros adimensionales que están de
más en la ecuación final
Por otro lado, con frecuencia se omiten
algunas variables pertinentes que son
por lógica de importancia para el
problema; el análisis entonces conduce a
una conclusión incompleta o aún más,
errónea. Parece así necesario que el
investigador esté familiarizado con la
mecánica del problema antes de usar el
análisis dimensional. Un conocimiento de
los mecanismos del proceso de flujo
revela con frecuencia la acción de
algunas de las variables más
importantes.
Procedimiento para determinar los π
términos
A continuación se darán seis pasos para
determinar los términos:
1. Hacer una lista de todas las variables
que intervienen en el problema
considerado.
2. Seleccionar el conjunto de
dimensiones fundamentales.
3. Hacer una lista de las dimensiones de
to das las variables en términos de las
dimensiones fundamentales.
4. Seleccionar de la lista de variables
obtenidas en el paso 3, un número de
variables repetidas que sean iguales al.
Número de dimensiones fundamentales
m, e incluyendo todas las dimensiones
fundamentales.
5. Establecer ecuaciones dimensionales
combinando las variables seleccionadas
en el paso 4 con cada una de las otras
variables en turno para formar grupos
adimensionales.
6. Comprobar que cada grupo obtenido
es adimensional.
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NÚMEROS ADIMENCIONALES
Número de Laplace
El Número de Laplace (La), también
conocido como Número de Suratman
(Su), es un número adimensional en la
caracterización de la mecánica de
fluidos de superficies libres. Representa
el cociente entre la tensión superficial y
el transporte de momento (especialmente
la disipación) dentro de un fluido. Se
define como:
En donde:
σ es la tensión superficial.
ρ es la densidad del fluido.
L es longitud característica.
μ es la viscosidad.
Número de Fourier
Número de Fourier (Fo) o Módulo de
Fourier, llamado así en honor a
Joseph Fourier, es un número
adimensional que caracteriza la
conducción de calor.
Conceptualmente es la relación entre
la velocidad de la conducción de calor
y la velocidad del almacenamiento de
energía. Se define como:
En donde:
α es la difusividad térmica.
t es el tiempo característico.
L es la longitud a través de la
que la conducción de calor
ocurre.
Número de Froude
Número de Graetz
Número de Grashof
Número de Mach.
Número de Nusselt
Número de Peclet
Número de Prandtl
Número de Reynolds
El número de Reynolds relaciona la
densidad, viscosidad, velocidad y
dimensión típica de un flujo en una
expresión adimensional, que
interviene en numerosos problemas
de dinámica de fluidos. Dicho
número o combinación adimensional
aparece en muchos casos
relacionado con el hecho de que el
flujo pueda considerarse laminar
(número de Reynolds pequeño) o
turbulento (número de Reynolds
grande).
Para un fluido que circula por el
interior de una tubería circular recta,
el número de Reynolds viene dado
por:
o equivalentemente por:
Dónde:
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: Densidad del fluido
: Velocidad característica del
fluido
: Diámetro de la tubería a
través de la cual circula el
fluido o longitud característica
del sistema
: Viscosidad dinámica del
fluido
: Viscosidad cinemática del
fluido (m²/s)
Número de Weber
El número de Weber (We) es un número
adimensional utilizado en mecánica de
fluidos y que es útil en el análisis de
flujos en donde existe una superficie
entre dos fluidos diferentes. Es una
medida de la importancia relativa de
la inercia del fluido comparada con
su tensión superficial. Por ejemplo, este
número es útil en analizar flujos
multifásicos en superficies curvadas,
flujos de capas finas y en la formación
de gotas y burbujas. Se denomina así en
honor a Moritz Weber (1871-1951) y se
escribe como:
En donde:
es la densidad del fluido.
es la velocidad del fluido.
es una longitud
característica, generalmente
el diamétro de la gota.
es la tensión superficial.
BIBLIOGRAFÍA
Análisis dimensional y escalonamiento en ingeniería química. Autores: Zlokarnik M. Editorial: Springer-Verlag.