Post on 25-Aug-2020
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Métodos Numéricos.Grado en Ingeniería en Informática
Tema 1 : Aritméticas de Precisión Finita
Luis Alvarez León
Univ. de Las Palmas de G.C.
Luis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 31
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Contenido
1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
Luis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 2 / 31
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Contenido
1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = ?
1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
1000
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = ?
−1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
1000
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = ?
13
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = ?
π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = ?
2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : verdadero o falso?
Falso 13 = 0,3333333.....
¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
1000
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Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....
¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
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Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :verdadero o falso?
Verdadero, en caso contrarioserían racionales 0,789 = 789
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Aritméticas de precisión finita
Tipos de NúmerosEjemplo de números naturales = 1Ejemplo de números enteros = −1Ejemplo de números racionales = 1
3
Ejemplo de números irracionales = π,√
2Ejemplo de números complejos = 2 + 3i
Verdadero o Falso ?¿Los números racionales tienen siempre un número finito decifras decimales? : Falso 1
3 = 0,3333333.....¿Los números irracionales tiene un número infinito de cifrasdecimales ? :Verdadero, en caso contrario serían racionales0,789 = 789
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 2?(
1 +?2
+?22 +
?23 +
?24 + ....
)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 2?(
1 +?2
+?22 +
?23 +
?24 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23
(1 +
?2
+?22 +
?23 +
?24 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23
(1 +
02+
?22 +
?23 +
?24 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23
(1 +
02+
122 +
?23 +
?24 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23
(1 +
02+
122 +
123 +
?24 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)
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Aritméticas de precisión finita
TeoremaUn número real positivo y se puede expresar como
y = 2e∞∑
n=0
an
2n = 2e(
a0 +a1
2+
a2
22 + · · · + · · ·)
donde e es un número entero, a0 = 1, y para n > 0, an = 0 ó an = 1.
Ejemplo (Expresion de números sencillos)
5 = 22(
1 +02+
122 +
023 +
024 + ....
)
11 = 23(
1 +02+
122 +
123 +
024 + ....
)Luis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 5 / 31
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaDemostrar que al representar el número real 0,1 como
0,1 = 2e∞∑
n=0
an
2n
el número de elementos no nulos an es infinito.
ProblemaRepresentar el número 0,703125 como
0,703125 = 2e∞∑
n=0
an
2n
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaDemostrar que al representar el número real 0,1 como
0,1 = 2e∞∑
n=0
an
2n
el número de elementos no nulos an es infinito.
ProblemaRepresentar el número 0,703125 como
0,703125 = 2e∞∑
n=0
an
2n
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Aritméticas de precisión finita
Por tanto, en una aritmética de precisión finita, los números realesdistintos de cero se representan como
Definición
y = ±2et∑
n=0
an
2n
donde e varía entre dos valores limites emin ≤ e ≤ emax . Al valor t sele llama precisión de la aritmética.
A la secuencia a0a1a2a3......at ,(donde ai ∈ {0,1}) se le denomina mantisa. Hay que hacer notar aquíque, dado que hemos impuesto siempre que a0 = 1, el número 0debemos añadirlo a la aritmética, ya que 0 no se puede representarde la forma anterior.
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Aritméticas de precisión finita
Por tanto, en una aritmética de precisión finita, los números realesdistintos de cero se representan como
Definición
y = ±2et∑
n=0
an
2n
donde e varía entre dos valores limites emin ≤ e ≤ emax . Al valor t sele llama precisión de la aritmética. A la secuencia a0a1a2a3......at ,(donde ai ∈ {0,1}) se le denomina mantisa.
Hay que hacer notar aquíque, dado que hemos impuesto siempre que a0 = 1, el número 0debemos añadirlo a la aritmética, ya que 0 no se puede representarde la forma anterior.
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Aritméticas de precisión finita
Por tanto, en una aritmética de precisión finita, los números realesdistintos de cero se representan como
Definición
y = ±2et∑
n=0
an
2n
donde e varía entre dos valores limites emin ≤ e ≤ emax . Al valor t sele llama precisión de la aritmética. A la secuencia a0a1a2a3......at ,(donde ai ∈ {0,1}) se le denomina mantisa. Hay que hacer notar aquíque, dado que hemos impuesto siempre que a0 = 1,
el número 0debemos añadirlo a la aritmética, ya que 0 no se puede representarde la forma anterior.
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Aritméticas de precisión finita
Por tanto, en una aritmética de precisión finita, los números realesdistintos de cero se representan como
Definición
y = ±2et∑
n=0
an
2n
donde e varía entre dos valores limites emin ≤ e ≤ emax . Al valor t sele llama precisión de la aritmética. A la secuencia a0a1a2a3......at ,(donde ai ∈ {0,1}) se le denomina mantisa. Hay que hacer notar aquíque, dado que hemos impuesto siempre que a0 = 1, el número 0debemos añadirlo a la aritmética, ya que 0 no se puede representarde la forma anterior.
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular los valores positivos mínimo y máximo que puede tomar unnúmero real en una aritmética de precisión finita en función de t , eminy emax .
Solución :Número real mínimo de la aritméticaymin =2?
∑tn=0
?2n
2emin
(1 +
∑tn=1
02n
)Número real máximo de la aritméticaymax = 2emax
(∑tn=0
12n
)∑t
n=012n =
1− 12t+1
1− 12
=2− 12t
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular los valores positivos mínimo y máximo que puede tomar unnúmero real en una aritmética de precisión finita en función de t , eminy emax .
Solución :Número real mínimo de la aritméticaymin = 2emin
(1 +
∑tn=1
02n
)
Número real máximo de la aritméticaymax = 2emax
(∑tn=0
12n
)∑t
n=012n =
1− 12t+1
1− 12
=2− 12t
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular los valores positivos mínimo y máximo que puede tomar unnúmero real en una aritmética de precisión finita en función de t , eminy emax .
Solución :Número real mínimo de la aritméticaymin = 2emin
(1 +
∑tn=1
02n
)Número real máximo de la aritméticaymax =2?
∑tn=0
?2n
2emax(∑t
n=012n
)∑t
n=012n =
1− 12t+1
1− 12
=2− 12t
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular los valores positivos mínimo y máximo que puede tomar unnúmero real en una aritmética de precisión finita en función de t , eminy emax .
Solución :Número real mínimo de la aritméticaymin = 2emin
(1 +
∑tn=1
02n
)Número real máximo de la aritméticaymax = 2emax
(∑tn=0
12n
)
∑tn=0
12n =
1− 12t+1
1− 12
=2− 12t
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular los valores positivos mínimo y máximo que puede tomar unnúmero real en una aritmética de precisión finita en función de t , eminy emax .
Solución :Número real mínimo de la aritméticaymin = 2emin
(1 +
∑tn=1
02n
)Número real máximo de la aritméticaymax = 2emax
(∑tn=0
12n
)∑t
n=012n = ?
1− 12t+1
1− 12
=2− 12t
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular los valores positivos mínimo y máximo que puede tomar unnúmero real en una aritmética de precisión finita en función de t , eminy emax .
Solución :Número real mínimo de la aritméticaymin = 2emin
(1 +
∑tn=1
02n
)Número real máximo de la aritméticaymax = 2emax
(∑tn=0
12n
)∑t
n=012n =
1− 12t+1
1− 12
=2− 12t
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular los valores positivos mínimo y máximo que puede tomar unnúmero real en una aritmética de precisión finita en función de t , eminy emax .
Solución :Número real mínimo de la aritméticaymin = 2emin
(1 +
∑tn=1
02n
)Número real máximo de la aritméticaymax = 2emax
(∑tn=0
12n
)∑t
n=012n =
1− 12t+1
1− 12
=2− 12t
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaCalcular todos los números reales que se pueden construir tomando 5bits de la forma siguiente: 1 bit para el signo, 2 bits para la mantisa (esdecir t = 3, puesto que a0 = 1 y sólo se almacenan a1 y a2) y 2 bitspara el exponente e, tomando como rango de e = −2,−1,0,1.Representar dichos números sobre una recta.
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
los valores negativos son los mismos cambiados de signo.
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 ?
12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
los valores negativos son los mismos cambiados de signo.
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12 ?
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
los valores negativos son los mismos cambiados de signo.
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
23 ?
12 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
los valores negativos son los mismos cambiados de signo.
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
22 ?
12 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
los valores negativos son los mismos cambiados de signo.
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 ?1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0
1 ?1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1
1 + 122 ?1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122
1 + 12 ?1 + 1
2 + 122
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
los valores negativos son los mismos cambiados de signo.
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2
1 + 12 + 1
22
e = 1 ?2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
los valores negativos son los mismos cambiados de signo.
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Aritméticas de precisión finita
Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 ?2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
2
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1
2 2 + 12 ?2 + 1 2 + 1 + 1
2
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2
2 + 12 2 + 1 ?2 + 1 + 1
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12
2 + 1 2 + 1 + 12
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1
2 + 1 + 12
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
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Solución: Los valores posibles positivos se representan en lasiguiente tabla
e a1 = a2 = 0 a1 = 0,a2 = 1 a1 = 1,a2 = 0 a1 = a2 = 1e = −2 1
22122 + 1
24122 + 1
23122 + 1
23 + 124
e = −1 12
12 + 1
2312 + 1
2212 + 1
22 + 123
e = 0 1 1 + 122 1 + 1
2 1 + 12 + 1
22
e = 1 2 2 + 12 2 + 1 2 + 1 + 1
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Aritméticas de precisión finita
Si representamos los números positivos sobre una recta obtenemos
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Contenido
1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
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Aritméticas de precisión finita
En 1985, la sociedad I.E.E.E. presentó una serie de especificacionesestándares para la definición de una aritmética de precisión finita paralos números reales. En este trabajo, se codifica un número real ensimple precisión utilizando 32 bits de memoria, de los cuales 23 bitsse utilizan para la mantisa (es decir t = 23 puesto que a0 = 1 no sealmacena), 1 bit se utiliza para el signo y 8 bits se utilizan para elexponente e, lo cual da un rango de 28 = 256 valores posibles para elexponente e. En este caso, por ejemplo, se toma emin = −126 yemax = 127.
Como puede observarse, el número total de exponentesposibles es 254, dos menos que los 256 posibles, ello se hace así,porque se reservan dos casos para tratar las denominadasexcepciones, como se verá más adelante.El valor máximo que puede tomar un número en esta aritmética es
ymax = 212723∑
n=0
12n = 3.4× 1038
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Aritméticas de precisión finita
En 1985, la sociedad I.E.E.E. presentó una serie de especificacionesestándares para la definición de una aritmética de precisión finita paralos números reales. En este trabajo, se codifica un número real ensimple precisión utilizando 32 bits de memoria, de los cuales 23 bitsse utilizan para la mantisa (es decir t = 23 puesto que a0 = 1 no sealmacena), 1 bit se utiliza para el signo y 8 bits se utilizan para elexponente e, lo cual da un rango de 28 = 256 valores posibles para elexponente e. En este caso, por ejemplo, se toma emin = −126 yemax = 127. Como puede observarse, el número total de exponentesposibles es 254, dos menos que los 256 posibles, ello se hace así,porque se reservan dos casos para tratar las denominadasexcepciones, como se verá más adelante.
El valor máximo que puede tomar un número en esta aritmética es
ymax = 212723∑
n=0
12n = 3.4× 1038
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Aritméticas de precisión finita
En 1985, la sociedad I.E.E.E. presentó una serie de especificacionesestándares para la definición de una aritmética de precisión finita paralos números reales. En este trabajo, se codifica un número real ensimple precisión utilizando 32 bits de memoria, de los cuales 23 bitsse utilizan para la mantisa (es decir t = 23 puesto que a0 = 1 no sealmacena), 1 bit se utiliza para el signo y 8 bits se utilizan para elexponente e, lo cual da un rango de 28 = 256 valores posibles para elexponente e. En este caso, por ejemplo, se toma emin = −126 yemax = 127. Como puede observarse, el número total de exponentesposibles es 254, dos menos que los 256 posibles, ello se hace así,porque se reservan dos casos para tratar las denominadasexcepciones, como se verá más adelante.El valor máximo que puede tomar un número en esta aritmética es
ymax = 212723∑
n=0
12n = 3.4× 1038
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Aritméticas de precisión finita
y el valor mínimo positivo es
ymin = 2−126 × 1 = 1.18× 10−38
Además, el número de combinaciones posibles que puede tener lamantisa es 223 ≈ 1.68× 107. Es decir, la aritmética tiene unaprecisión de 7 dígitos decimales.
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Aritméticas de precisión finita
y el valor mínimo positivo es
ymin = 2−126 × 1 = 1.18× 10−38
Además, el número de combinaciones posibles que puede tener lamantisa es 223 ≈ 1.68× 107. Es decir, la aritmética tiene unaprecisión de 7 dígitos decimales.
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Aritméticas de precisión finita
También se define en este trabajo de I.E.E.E. un estándar para una aritmética endoble precisión. En este caso, se utilizan 64 bits para almacenar un número real,de los cuales 52 bits se utilizan para la mantisa (t = 52), 1 bit para el signo y 11bits para el exponente, lo que da lugar a 211 = 2048 posibilidades de elección deexponente e. En este caso, se toma emin = −1022 y emax = 1023.
Por tanto, el valor máximo que puede tomar un número real en esta aritmética es
ymax = 2102352∑
n=0
12n = 1.78× 10308
y el valor mínimo positivo es
ymin = 2−1022 × 1 = 2.23× 10−308
Además, el número de combinaciones posibles que puede tener la mantisa es252 ≈ 9.0×1015. Es decir, la aritmética tiene una precisión de 15 dígitos decimales.
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Aritméticas de precisión finita
También se define en este trabajo de I.E.E.E. un estándar para una aritmética endoble precisión. En este caso, se utilizan 64 bits para almacenar un número real,de los cuales 52 bits se utilizan para la mantisa (t = 52), 1 bit para el signo y 11bits para el exponente, lo que da lugar a 211 = 2048 posibilidades de elección deexponente e. En este caso, se toma emin = −1022 y emax = 1023.Por tanto, el valor máximo que puede tomar un número real en esta aritmética es
ymax = 2102352∑
n=0
12n = 1.78× 10308
y el valor mínimo positivo es
ymin = 2−1022 × 1 = 2.23× 10−308
Además, el número de combinaciones posibles que puede tener la mantisa es252 ≈ 9.0×1015. Es decir, la aritmética tiene una precisión de 15 dígitos decimales.
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Aritméticas de precisión finita
También se define en este trabajo de I.E.E.E. un estándar para una aritmética endoble precisión. En este caso, se utilizan 64 bits para almacenar un número real,de los cuales 52 bits se utilizan para la mantisa (t = 52), 1 bit para el signo y 11bits para el exponente, lo que da lugar a 211 = 2048 posibilidades de elección deexponente e. En este caso, se toma emin = −1022 y emax = 1023.Por tanto, el valor máximo que puede tomar un número real en esta aritmética es
ymax = 2102352∑
n=0
12n = 1.78× 10308
y el valor mínimo positivo es
ymin = 2−1022 × 1 = 2.23× 10−308
Además, el número de combinaciones posibles que puede tener la mantisa es252 ≈ 9.0×1015. Es decir, la aritmética tiene una precisión de 15 dígitos decimales.
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Contenido
1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
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Aritméticas de precisión finita
Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ =?
10 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Aritméticas de precisión finita
Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0
= 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)
Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Aritméticas de precisión finita
Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)
Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Operación no validaNaN =?
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)
El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Operación no validaNaN =
√−1
= 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 123 + 0
24 + .......)
(algúnai 6= 0)
El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Aritméticas de precisión finita
Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)
El cero0 =
2emin−1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Aritméticas de precisión finita
Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)El cero0 = ?
2emin−1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)
Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Aritméticas de precisión finita
Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy =
2emin−1 (02 + 0
22 + 123 + 0
24 + .......)
(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy = ?
2emin−1 (02 + 0
22 + 123 + 0
24 + .......)
(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Tratamiento de las excepciones en el estándar de I.E.E.E.
Infinito∞ = 1
0 = 2emax+1 (1 + 02 + 0
22 + 023 + 0
24 + .......)
(ai = 0)Operación no validaNaN =
√−1 = 2emax+1 (1 + 0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(algún
ai 6= 0)El cero0 = 2emin−1 (1 + 0
2 + 022 + 0
23 + 024 + .......
)(ai = 0)
Números más pequeñosy = 2emin−1 (0
2 + 022 + 1
23 + 024 + .......
)(a0 = 0 y algún ai 6= 0)
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular el número positivo (mayor que cero) máspequeño
Algoritmo Menor_Numero_Positivovariable real A←1.variable entera M←0mientras A>0 hacer
A←A/2M←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular el número positivo (mayor que cero) máspequeño
Algoritmo Menor_Numero_Positivovariable real A←1.variable entera M←0mientras A>0 hacer
A←A/2M←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
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ProgramaPseudocódigo para calcular el número positivo (mayor que cero) máspequeño
Algoritmo Menor_Numero_Positivovariable real A←1.variable entera M←0mientras A>0 hacer
A←A/2M←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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ProgramaPseudocódigo para calcular el número positivo (mayor que cero) máspequeño
Algoritmo Menor_Numero_Positivovariable real A←1.variable entera M←0mientras A>0 hacer
A←A/2M←M+1
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ProgramaPseudocódigo para calcular el número positivo (mayor que cero) máspequeño
Algoritmo Menor_Numero_Positivovariable real A←1.variable entera M←0mientras A>0 hacer
A←A/2M←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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Algoritmo Menor_Numero_Positivovariable real A←1.variable entera M←0mientras A>0 hacer
A←A/2M←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular el mayor número positivo de unaaritmética. El programa devuelve un entero M tal que 2M es el númeropositivo mayor posible.
Algoritmo Mayor_Numero_Positivovariable real A←1.variable real B←2.variable entera M←0mientras B>A hacer
A←2*AB←2*AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
finalgoritmoLuis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 19 / 31
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular el mayor número positivo de unaaritmética. El programa devuelve un entero M tal que 2M es el númeropositivo mayor posible.
Algoritmo Mayor_Numero_Positivovariable real A←1.variable real B←2.variable entera M←0mientras B>A hacer
A←2*AB←2*AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
finalgoritmoLuis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 19 / 31
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ProgramaPseudocódigo para calcular el mayor número positivo de unaaritmética. El programa devuelve un entero M tal que 2M es el númeropositivo mayor posible.
Algoritmo Mayor_Numero_Positivovariable real A←1.variable real B←2.variable entera M←0mientras B>A hacer
A←2*AB←2*AM←M+1
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finalgoritmoLuis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 19 / 31
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ProgramaPseudocódigo para calcular el mayor número positivo de unaaritmética. El programa devuelve un entero M tal que 2M es el númeropositivo mayor posible.
Algoritmo Mayor_Numero_Positivovariable real A←1.variable real B←2.variable entera M←0mientras B>A hacer
A←2*AB←2*AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
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Algoritmo Mayor_Numero_Positivovariable real A←1.variable real B←2.variable entera M←0mientras B>A hacer
A←2*AB←2*AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
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ProgramaPseudocódigo para calcular el mayor número positivo de unaaritmética. El programa devuelve un entero M tal que 2M es el númeropositivo mayor posible.
Algoritmo Mayor_Numero_Positivovariable real A←1.variable real B←2.variable entera M←0mientras B>A hacer
A←2*AB←2*AM←M+1
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finalgoritmoLuis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 19 / 31
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ProgramaPseudocódigo para calcular el mayor número positivo de unaaritmética. El programa devuelve un entero M tal que 2M es el númeropositivo mayor posible.
Algoritmo Mayor_Numero_Positivovariable real A←1.variable real B←2.variable entera M←0mientras B>A hacer
A←2*AB←2*AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaDada una aritmética de precisión finita cualquiera, calcular la distancia que hay entre elnúmero 1 y su inmediato superior, es decir, el número que va después de 1, y ladistancia entre el número 1 y su inmediato inferior.
Solución:el número inmediato superior a 1 en la aritmética es
1 +12t
y el número inmediato inferior a 1 viene dado por
2−1(
1 +12+ ..+
12t
)=
12 −
12t+2
1− 12
= 1− 12t+1
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaDada una aritmética de precisión finita cualquiera, calcular la distancia que hay entre elnúmero 1 y su inmediato superior, es decir, el número que va después de 1, y ladistancia entre el número 1 y su inmediato inferior.
Solución:el número inmediato superior a 1 en la aritmética es
?
1 +12t
y el número inmediato inferior a 1 viene dado por
2−1(
1 +12+ ..+
12t
)=
12 −
12t+2
1− 12
= 1− 12t+1
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaDada una aritmética de precisión finita cualquiera, calcular la distancia que hay entre elnúmero 1 y su inmediato superior, es decir, el número que va después de 1, y ladistancia entre el número 1 y su inmediato inferior.
Solución:el número inmediato superior a 1 en la aritmética es
1 +12t
y el número inmediato inferior a 1 viene dado por
?
2−1(
1 +12+ ..+
12t
)=
12 −
12t+2
1− 12
= 1− 12t+1
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Aritméticas de precisión finita
ProblemaDada una aritmética de precisión finita cualquiera, calcular la distancia que hay entre elnúmero 1 y su inmediato superior, es decir, el número que va después de 1, y ladistancia entre el número 1 y su inmediato inferior.
Solución:el número inmediato superior a 1 en la aritmética es
1 +12t
y el número inmediato inferior a 1 viene dado por
2−1(
1 +12+ ..+
12t
)=
12 −
12t+2
1− 12
= 1− 12t+1
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Contenido
1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
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Aritméticas de precisión finita
Dado un número real cualquiera y , al representarlo en una aritméticade precisión finita se produce un error de redondeo, llamaremos y ∈ Aal número real que mejor aproxima a y dentro de A.
DefiniciónDada una aritmética de precisión finita, se define la unidad deredondeo u como
u = ?
12t
Por ejemplo, si t = 23 (reales en simple precisión) u = 2−23 ≈ 10−8, yen doble precisión (t = 52), u ≈ 10−16.
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Aritméticas de precisión finita
Dado un número real cualquiera y , al representarlo en una aritméticade precisión finita se produce un error de redondeo, llamaremos y ∈ Aal número real que mejor aproxima a y dentro de A.
DefiniciónDada una aritmética de precisión finita, se define la unidad deredondeo u como
u =12t
Por ejemplo, si t = 23 (reales en simple precisión) u = 2−23 ≈ 10−8, yen doble precisión (t = 52), u ≈ 10−16.
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Aritméticas de precisión finita
Dado un número real cualquiera y , al representarlo en una aritméticade precisión finita se produce un error de redondeo, llamaremos y ∈ Aal número real que mejor aproxima a y dentro de A.
DefiniciónDada una aritmética de precisión finita, se define la unidad deredondeo u como
u =12t
Por ejemplo, si t = 23 (reales en simple precisión) u = 2−23 ≈ 10−8, yen doble precisión (t = 52), u ≈ 10−16.
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular la unidad de redondeo (precisión de laaritmética) de una aritmética. El programa devuelve un entero M talque u = 2−M
Algoritmo Unidad_Redondeovariable real A←1.variable real B←2variable entera M←1mientras B>1 hacer
A←A/2B←1+AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular la unidad de redondeo (precisión de laaritmética) de una aritmética. El programa devuelve un entero M talque u = 2−M
Algoritmo Unidad_Redondeovariable real A←1.variable real B←2variable entera M←1mientras B>1 hacer
A←A/2B←1+AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular la unidad de redondeo (precisión de laaritmética) de una aritmética. El programa devuelve un entero M talque u = 2−M
Algoritmo Unidad_Redondeovariable real A←1.variable real B←2variable entera M←1mientras B>1 hacer
A←A/2B←1+AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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ProgramaPseudocódigo para calcular la unidad de redondeo (precisión de laaritmética) de una aritmética. El programa devuelve un entero M talque u = 2−M
Algoritmo Unidad_Redondeovariable real A←1.variable real B←2variable entera M←1mientras B>1 hacer
A←A/2B←1+AM←M+1
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Algoritmo Unidad_Redondeovariable real A←1.variable real B←2variable entera M←1mientras B>1 hacer
A←A/2B←1+AM←M+1
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fin algoritmo
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ProgramaPseudocódigo para calcular la unidad de redondeo (precisión de laaritmética) de una aritmética. El programa devuelve un entero M talque u = 2−M
Algoritmo Unidad_Redondeovariable real A←1.variable real B←2variable entera M←1mientras B>1 hacer
A←A/2B←1+AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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Aritméticas de precisión finita
ProgramaPseudocódigo para calcular la unidad de redondeo (precisión de laaritmética) de una aritmética. El programa devuelve un entero M talque u = 2−M
Algoritmo Unidad_Redondeovariable real A←1.variable real B←2variable entera M←1mientras B>1 hacer
A←A/2B←1+AM←M+1
fin mientrasescribir(M-1)
fin algoritmo
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Contenido
1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
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Aritméticas de precisión finita
A continuación, mostraremos un resultado que indica el error deredondeo máximo que se produce al aproximar un número realcualquiera en una aritmética de precisión finita.
TeoremaSean ymin , ymax los valores positivos menor y mayor de una aritméticade precisión finita. Sea u la unidad de redondeo de dicha aritmética. Siun número real z verifica queymin <| z |< ymax , entonces
| z − z |≤| z | u
donde z es el número más cercano a z en la aritmética.
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Aritméticas de precisión finita
A continuación, mostraremos un resultado que indica el error deredondeo máximo que se produce al aproximar un número realcualquiera en una aritmética de precisión finita.
TeoremaSean ymin , ymax los valores positivos menor y mayor de una aritméticade precisión finita. Sea u la unidad de redondeo de dicha aritmética. Siun número real z verifica queymin <| z |< ymax , entonces
| z − z |≤| z | u
donde z es el número más cercano a z en la aritmética.
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1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
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Aritméticas de precisión finita
En muchos algoritmos, el test de parada se basa en el hecho de quedos variables estén próximas entre sí. Por ejemplo si queremosdetener un algoritmo cuando las variables A y B coincidanapróximadamente en sus primeras N cifras significativas podremosutilizar como criterio de parada cualquiera de los siguientes :
| A− B |<| A | ·TOL
| A− B |<| B | ·TOL
| A− B |< max {| A |, | B |} · TOL
donde TOL = 10−N . Si queremos que A y B coincidan en todas suscifras significativas menos las N últimas tomaremos TOL = 10N · udonde u es la unidad de redondeo de la aritmética u = 2−t
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Aritméticas de precisión finita
En número 0 también es un caso especial cuando comparamosnúmeros. Si A ó B valen 0, los criterios de comparación anteriores nofuncionan bien. Para evitar este problema se le suele sumar unnúmero pequeño positivo al módulo al hacer la comparación, es decirharemos :
| A− B |< (| A | + ε) · TOL
| A− B |< (| B | + ε) · TOL
| A− B |< (max {| A |, | B |}+ ε) · TOL
donde ε es un número pequeño que depende de la aplicaciónnumérica en concreto que estemos implementando. A lo largo delcurso siempre utilizaremos, por sencillez, ε = 1
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Contenido
1 Los diferentes tipos de números y como se escriben en base 2
2 Las aritméticas standard de 32 y 64 bits
3 El tratamiento de las excepciones en una aritmética
4 La unidad de redondeo de una aritmética
5 Acotaciones del error de redondeo
6 Comparación de variables
7 Fuentes de errores númericos
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Dentro de las posibles fuentes de errores numéricos, destacaremos 3tipos:
Errores de redondeo. Son los que se producen al ”redondear” unnúmero real para poder expresarlo en una aritmética de precisiónfinita:
| z − z |≤ | z | u
La mayor parte de los errores de redondeo se producen al realizar enlos algoritmos operaciones con números.
Errores de cambio de base. Es un tipo especial de error de redondeoque se produce al realizar un cambio de base para representar unnúmero real. Por ejemplo al hacer la asignación
A = 0,1
estamos generando un error de cambio de base al pasar el número0.1 en base 10 a una variable donde los números se representan enbase 2.
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Dentro de las posibles fuentes de errores numéricos, destacaremos 3tipos:
Errores de redondeo. Son los que se producen al ”redondear” unnúmero real para poder expresarlo en una aritmética de precisiónfinita:
| z − z |≤ ?
| z | u
La mayor parte de los errores de redondeo se producen al realizar enlos algoritmos operaciones con números.
Errores de cambio de base. Es un tipo especial de error de redondeoque se produce al realizar un cambio de base para representar unnúmero real. Por ejemplo al hacer la asignación
A = 0,1
estamos generando un error de cambio de base al pasar el número0.1 en base 10 a una variable donde los números se representan enbase 2.
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Dentro de las posibles fuentes de errores numéricos, destacaremos 3tipos:
Errores de redondeo. Son los que se producen al ”redondear” unnúmero real para poder expresarlo en una aritmética de precisiónfinita:
| z − z |≤ | z | u
La mayor parte de los errores de redondeo se producen al realizar enlos algoritmos operaciones con números.
Errores de cambio de base. Es un tipo especial de error de redondeoque se produce al realizar un cambio de base para representar unnúmero real. Por ejemplo al hacer la asignación
A = 0,1
estamos generando un error de cambio de base al pasar el número0.1 en base 10 a una variable donde los números se representan enbase 2.
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Dentro de las posibles fuentes de errores numéricos, destacaremos 3tipos:
Errores de redondeo. Son los que se producen al ”redondear” unnúmero real para poder expresarlo en una aritmética de precisiónfinita:
| z − z |≤ | z | u
La mayor parte de los errores de redondeo se producen al realizar enlos algoritmos operaciones con números.
Errores de cambio de base. Es un tipo especial de error de redondeoque se produce al realizar un cambio de base para representar unnúmero real. Por ejemplo al hacer la asignación
A = 0,1
estamos generando un error de cambio de base al pasar el número0.1 en base 10 a una variable donde los números se representan enbase 2.
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Errores por Cancelación. Estos errores se producen al restarnúmeros de aproximadamente la misma magnitud.
Por ejemplo, en laconocida fórmula del cálculo de raíces de un polinomio de grado 2,ax2 + bx + c = 0 (con a 6= 0)
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
una forma de evitar la cancelación que se produce cuandob ≈√
b2 − 4ac consiste en calcular primero la raíz de mayor valorabsoluto, es decir
x1 =−(
b + sign(b)√
b2 − 4ac)
2a
y después la segunda raíz x2 utilizando la relación x1x2 = c/a.
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Errores por Cancelación. Estos errores se producen al restarnúmeros de aproximadamente la misma magnitud. Por ejemplo, en laconocida fórmula del cálculo de raíces de un polinomio de grado 2,ax2 + bx + c = 0 (con a 6= 0)
x = ?
−b ±√
b2 − 4ac2a
una forma de evitar la cancelación que se produce cuandob ≈√
b2 − 4ac consiste en calcular primero la raíz de mayor valorabsoluto, es decir
x1 =−(
b + sign(b)√
b2 − 4ac)
2a
y después la segunda raíz x2 utilizando la relación x1x2 = c/a.
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Errores por Cancelación. Estos errores se producen al restarnúmeros de aproximadamente la misma magnitud. Por ejemplo, en laconocida fórmula del cálculo de raíces de un polinomio de grado 2,ax2 + bx + c = 0 (con a 6= 0)
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
una forma de evitar la cancelación que se produce cuandob ≈√
b2 − 4ac consiste en calcular primero la raíz de mayor valorabsoluto, es decir
x1 =−(
b + sign(b)√
b2 − 4ac)
2a
y después la segunda raíz x2 utilizando la relación x1x2 = c/a.
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Errores por Cancelación. Estos errores se producen al restarnúmeros de aproximadamente la misma magnitud. Por ejemplo, en laconocida fórmula del cálculo de raíces de un polinomio de grado 2,ax2 + bx + c = 0 (con a 6= 0)
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
una forma de evitar la cancelación que se produce cuandob ≈√
b2 − 4ac consiste en calcular primero la raíz de mayor valorabsoluto, es decir
x1 =−(
b + sign(b)√
b2 − 4ac)
2a
y después la segunda raíz x2 utilizando la relación x1x2 = c/a.
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Errores por Cancelación. Estos errores se producen al restarnúmeros de aproximadamente la misma magnitud. Por ejemplo, en laconocida fórmula del cálculo de raíces de un polinomio de grado 2,ax2 + bx + c = 0 (con a 6= 0)
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
una forma de evitar la cancelación que se produce cuandob ≈√
b2 − 4ac consiste en calcular primero la raíz de mayor valorabsoluto, es decir
x1 =−(
b + sign(b)√
b2 − 4ac)
2a
y después la segunda raíz x2 utilizando la relación x1x2 = ?
c/a.
Luis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 31 / 31
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Aritméticas de precisión finitaFuentes de errores numéricos.
Errores por Cancelación. Estos errores se producen al restarnúmeros de aproximadamente la misma magnitud. Por ejemplo, en laconocida fórmula del cálculo de raíces de un polinomio de grado 2,ax2 + bx + c = 0 (con a 6= 0)
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
una forma de evitar la cancelación que se produce cuandob ≈√
b2 − 4ac consiste en calcular primero la raíz de mayor valorabsoluto, es decir
x1 =−(
b + sign(b)√
b2 − 4ac)
2a
y después la segunda raíz x2 utilizando la relación x1x2 = c/a.
Luis Alvarez León () Análisis Numérico Univ. de Las Palmas de G.C. 31 / 31