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MO417 — Complexidade de Algoritmos I

Cid C. de Souza Candida N. da Silva Orlando Lee

14 de agosto de 2018

Cid C. de Souza, Candida N. da Silva, Orlando Lee MO417 — Complexidade de Algoritmos I

Antes de mais nada. . .

Uma versao anterior deste conjunto de slides foi preparada porCid Carvalho de Souza e Candida Nunes da Silva para umainstancia anterior desta disciplina.

O que voces tem em maos e uma versao modificada preparadapara atender a meus gostos.

Nunca e demais enfatizar que o material e apenas um guia enao deve ser usado como unica fonte de estudo. Para issoconsultem a bibliografia (em especial o CLR ou CLRS).

Orlando Lee

Agradecimentos (Cid e Candida)

Varias pessoas contribuıram direta ou indiretamente com apreparacao deste material.

Algumas destas pessoas cederam gentilmente seus arquivosdigitais enquanto outras cederam gentilmente o seu tempofazendo correcoes e dando sugestoes.

Uma lista destes “colaboradores” (em ordem alfabetica) edada abaixo:

Celia Picinin de MelloJose Coelho de PinaOrlando LeePaulo FeofiloffPedro RezendeRicardo DahabZanoni Dias

Introducao

O que veremos nesta disciplina?

Introducao

Como provar a “corretude” de um algoritmo

Introducao

Estimar a quantidade de recursos (tempo, memoria) de umalgoritmo = analise de complexidade

Introducao

Tecnicas e ideias gerais de projeto de algoritmos:divisao-e-conquista, programacao dinamica, algoritmosgulosos etc

Introducao

Tema recorrente: natureza recursiva de varios problemas

Introducao

Tema recorrente: natureza recursiva de varios problemas

A dificuldade intrınseca de varios problemas: inexistencia desolucoes eficientes

Algoritmos

O que e um algoritmo?

Algoritmos

Informalmente, um algoritmo e um procedimento computacionalbem definido que:

Algoritmos

recebe um conjunto de valores como entrada e

Algoritmos

produz um conjunto de valores como saıda.

Algoritmos

produz um conjunto de valores como saıda.

Equivalentemente, um algoritmo e uma ferramenta para resolverum problema computacional. Este problema define a relacaoprecisa que deve existir entre a entrada e a saıda do algoritmo.

Exemplos de problemas: teste de primalidade

Problema: determinar se um dado numero e primo.

Exemplo:

Entrada: 9411461

Exemplo:

Entrada: 9411461

Saıda: E primo.

Exemplo:

Entrada: 9411461

Saıda: E primo.

Exemplo:

Entrada: 8411461

Exemplo:

Entrada: 9411461

Saıda: E primo.

Exemplo:

Entrada: 8411461

Saıda: Nao e primo. (8411461 = 1913× 4397)

Exemplos de problemas: ordenacao

Definicao: um vetor A[1 . . . n] e crescente se A[1] ≤ . . . ≤ A[n].

Problema: rearranjar um vetor A[1 . . . n] de modo que fiquecrescente.

Entrada:

33 55 33 44 33 22 11 99 22 55 77

Entrada:

33 55 33 44 33 22 11 99 22 55 77

Saıda:

11 22 22 33 33 33 44 55 55 77 99

Instancia de um problema

Uma instancia de um problema e um conjunto de valores que servede entrada para esse.

Exemplo:Os numeros 9411461 e 8411461 sao instancias do problema deprimalidade.

Exemplo:O vetor

33 55 33 44 33 22 11 99 22 55 77

e uma instancia do problema de ordenacao.

A importancia dos algoritmos para a computacao

Onde se encontra aplicacoes para o uso/desenvolvimento dealgoritmos “eficientes”?

projetos de genoma de seres vivos

rede mundial de computadores

comercio eletronico

planejamento da producao de industrias

comercio eletronico

logıstica de distribuicao

comercio eletronico

logıstica de distribuicao

muitos outros. . .

Dificuldade intrınseca de problemas

Infelizmente, existem certos problemas para os quais nao seconhece algoritmos “eficientes” capazes de resolve-los.Eles sao chamados problemas NP-completos.

Curiosamente, nao foi provado que tais algoritmos naoexistem!

Esses problemas tem a caracterıstica notavel de que se umdeles admitir um algoritmo “eficiente” entao todos admitemalgoritmos “eficientes”.

Por que devo me preocupar com problemas NP-completos?

Por que devo me preocupar com problemas NP-completos?Problemas dessa classe surgem em inumeras situacoespraticas.

Exemplos:

calcular as rotas dos caminhoes de entrega de umadistribuidora de bebidas em Sao Paulo, minimizando adistancia percorrida. (vehicle routing)

Exemplos:

calcular o numero mınimo de containers para transportar umconjunto de caixas com produtos. (bin packing 3D)

Exemplos:

calcular a localizacao e o numero mınimo de antenas decelulares para garantir a cobertura de uma certa regiaogeografica. (facility location)

Exemplos:

muito outros. . .

Exemplos:

muito outros. . .

E importante saber identificar quando estamos lidando com umproblema NP-completo.

Algoritmos e tecnologia

O mundo ideal: os computadores tem velocidade deprocessamento e memoria infinitas. Neste caso, qualqueralgoritmo e igualmente bom e esta disciplina e inutil!

O mundo real: computadores tem velocidade deprocessamento e memoria limitadas.

Neste caso faz muita diferenca ter um bom algoritmo.

Exemplo: ordenacao de um vetor de n elementos

Suponha que os computadores A e B executam1G e 10M instrucoes por segundo, respectivamente.Ou seja, A e 100 vezes mais rapido que B .

Algoritmo 1: implementado na maquina A por um excelenteprogramador em linguagem de maquina (ultra-rapida).Executa 2n2 instrucoes.

Algoritmo 2: implementado na maquina B por umprogramador mediano em linguagem de alto nıveldispondo de um compilador “mais-ou-menos”.Executa 50n log n instrucoes.

O que acontece quando ordenamos um vetor de um milhao(106) de elementos? Qual algoritmo e mais rapido?

Algoritmo 1 na maquina A:2.(106)2 instrucoes

109 instrucoes/segundo≈ 2000 segundos

Algoritmo 2 na maquina B :50.(106 log 106) instrucoes107 instrucoes/segundo

≈ 100 segundos

Ou seja, B foi VINTE VEZES mais rapido do que A.

≈ 100 segundos

Ou seja, B foi VINTE VEZES mais rapido do que A.

Se o vetor tiver 10 milhoes (107) de elementos, esta razaosera de 2.3 dias para 20 minutos.

Algoritmos e tecnologia – Conclusoes

O uso de um algoritmo adequado pode levar a ganhosextraordinarios de desempenho.

Isso pode ser tao importante quanto o projeto de hardware.

A melhora obtida pode ser tao significativa que nao poderiaser obtida simplesmente com o avanco da tecnologia.

Problema da ordenacao

Problema da ordenacao.

Entrada: um vetor A[1 . . . n] de elementos comparaveis

Saıda: vetor A[1 . . . n] rearranjado em ordem crescente

Vamos comecar analisando o algoritmo de ordenacao baseado nometodo de insercao (Insertion sort).

Isto nos permitira destacar alguns dos aspectos mais importantesno estudo de algoritmos para esta disciplina.

Insercao em um vetor ordenado

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

O subvetor A[1 . . . j − 1] esta ordenado.

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

Queremos inserir a chave = 38 = A[j ] em A[1 . . . j − 1] demodo que no final tenhamos:

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

Queremos inserir a chave = 38 = A[j ] em A[1 . . . j − 1] demodo que no final tenhamos:

20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

Agora A[1 . . . j ] esta ordenado.

Como fazer a insercao

chave = 381 i j n

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

chave = 381 i j n

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

chave = 381 i j n

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

chave = 381 i j n

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

chave = 381 i j n

20 25 35 40 44 55 38 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 40 44 55 99 10 65 50

1 i j n

20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

Ordenacao por insercao

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

10 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

10 10 20 25 35 38 40 44 55 99 65 50

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

10 10 20 25 35 38 40 44 55 99 65 50

chave 1 j n

65 10 20 25 35 38 40 44 55 99 65 50

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

10 10 20 25 35 38 40 44 55 99 65 50

chave 1 j n

65 10 20 25 35 38 40 44 55 65 99 50

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

10 10 20 25 35 38 40 44 55 99 65 50

chave 1 j n

65 10 20 25 35 38 40 44 55 65 99 50

chave 1 j

50 10 20 25 35 38 40 44 55 65 99 50

chave 1 j n

99 20 25 35 38 40 44 55 99 10 65 50

chave 1 j n

10 10 20 25 35 38 40 44 55 99 65 50

chave 1 j n

65 10 20 25 35 38 40 44 55 65 99 50

chave 1 j

50 10 20 25 35 38 40 44 50 55 65 99

Descricao de algoritmos

Podemos descrever um algoritmo de varias maneiras:

usando uma linguagem de programacao de alto nıvel: C,Pascal, Java etc

implementando-o em linguagem de maquina diretamenteexecutavel em hardware

em portugues

em um pseudo-codigo de alto nıvel, como no livro do CLRS

em portugues

em um pseudo-codigo de alto nıvel, como no livro do CLRS

Usaremos essencialmente as duas ultimas alternativas nestadisciplina.

Exemplo de pseudo-codigo

Algoritmo Insertion-Sort: rearranja um vetor A[1 . . . n] demodo que fique crescente.

Insertion-Sort(A, n)1 para j ← 2 ate n faca2 chave ← A[j ]3 ⊲ Insere A[j ] no subvetor ordenado A[1 . . . j − 1]4 i ← j − 15 enquanto i ≥ 1 e A[i ] > chave faca6 A[i + 1] ← A[i ]7 i ← i − 18 A[i + 1] ← chave

Analise do algoritmo

O que e importante considerar?

Corretude do algoritmo: mostrar que para qualquer instanciado problema, o algoritmo para e devolve uma resposta correta.

Complexidade de tempo do algoritmo: determinar o numerode intrucoes necessarias no pior caso para ordenar nelementos?

O algoritmo para

Insertion-Sort(A, n)1 para j ← 2 ate n faca

. . .4 i ← j − 15 enquanto i ≥ 1 e A[i ] > chave faca6 . . .7 i ← i − 18 . . .

O algoritmo para

No laco enquanto na linha 5 o valor de i diminui a cada iteracaoe o valor inicial e i = j − 1 ≥ 1. Logo, a sua execucao para emalgum momento por causa do teste condicional i ≥ 1.

O algoritmo para

O laco na linha 1 evidentemente para pois o contador j atingira ovalor n + 1 apos n − 1 iteracoes.

O algoritmo para

O laco na linha 1 evidentemente para pois o contador j atingira ovalor n + 1 apos n − 1 iteracoes. (Por que j = n + 1?)

O algoritmo para

O laco na linha 1 evidentemente para pois o contador j atingira ovalor n + 1 apos n − 1 iteracoes. (Por que j = n + 1?)

Portanto, o algoritmo para.

Corretude de Insertion-Sort

E obvio que o Insertion-Sort funciona! (Certo??)

Talvez, mas uma prova rigorosa deste fato exige um certoformalismo.

Como provar que Insertion-Sort esta correto?

Invariante de laco

Definicao:

Um invariante de um laco e uma propriedade que vale no inıcio decada iteracao do laco e relaciona as variaveis do algoritmo a umaexecucao completa do laco.

Invariante de laco

Definicao:

O uso de um ou mais invariantes de laco permite provar (eentender) a corretude de um algoritmo.

Invariante de laco

Definicao:

O uso de um ou mais invariantes de laco permite provar (eentender) a corretude de um algoritmo.

Em geral, e mais difıcil descobrir um invariante apropriado doque mostrar sua validade se ele for dado de bandeja. . .

Invariante de laco

Invariante do laco da linha 1: (i1)

No comeco de cada iteracao do laco para das linhas 1–8, osubvetor A[1 . . . j − 1] e uma permutacao ordenada do subvetororiginal A[1 . . . j − 1].

Invariante de laco e corretude de Insertion-Sort

Suponha que o invariante vale.

Entao a corretude do algoritmo e “evidente”. Por que?

No ınicio da ultima iteracao temos j= n + 1. Assim, doinvariante segue que o (sub)vetor A[1 . . . n] esta ordenado!

Prova de invariante

A estrategia para mostrar a validade de um invariante e mostrar osseguintes dois fatos:

Prova de invariante

1 Inicializacao: Mostre que o invariante vale no inıcio daprimeira iteracao do laco.

Prova de invariante

2 Manutencao: Se o invariante vale no inıcio de uma iteracaoqualquer, entao ele vale no ınicio da proxima iteracao.

Prova de invariante

Note que (1) e (2) implicam que o invariante vale no inıcio dequalquer iteracao do algoritmo.

Prova de invariante

Note que (1) e (2) implicam que o invariante vale no inıcio dequalquer iteracao do algoritmo.

Isto e similar ao metodo de inducao matematica ou inducao finita.

Invariante de laco

Inicializacao: no inıcio temos j = 2 e o invariante diz que A[1 . . . 1]e uma permutacao ordenada subvetor original A[1 . . . 1], o que eclaramente verdadeiro.

Invariante de laco

Manutencao: suponha que o invariante vale em uma iteracaoqualquer.

Invariante de laco

Manutencao: suponha que o invariante vale em uma iteracaoqualquer.

Lembre-se de como o algoritmo trabalha.

Invariante de laco

Argumento informal: O algoritmo empurra os elementos maioresque a chave para seus lugares corretos e ela e colocada no espacovazio (posicao i + 1).

Invariante de laco

Argumento informal: O algoritmo empurra os elementos maioresque a chave para seus lugares corretos e ela e colocada no espacovazio (posicao i + 1).

Uma demonstracao mais formal deste fato exige invariantesauxiliares para o laco interno da linha 5.

Analise de complexidade

Em geral, nao basta saber que um dado algoritmo para.Se ele for muito lento, tera pouca utilidade.

Queremos projetar/desenvolver algoritmos eficientes (rapidos).

Mas o que seria uma boa medida de eficiencia de umalgoritmo?

Nao estamos interessados em quem programou, em quelinguagem foi escrito e nem qual maquina foi usada.

Queremos um criterio uniforme para comparar algoritmos.

Modelo Computacional

Uma possibilidade e definir um modelo computacional de umamaquina.

O modelo computacional estabelece quais os recursosdisponıveis, as instrucoes basicas e quanto elas custam(= tempo).

Dentre desse modelo, podemos estimar atraves de uma analisematematica o tempo que um algoritmo gasta em funcao dotamanho da entrada(= analise de complexidade).

A analise de complexidade depende sempre do modelocomputacional adotado.

Maquinas RAM

Salvo mencionado o contrario, usaremos o Modelo Abstrato RAM(Random Access Machine):

Maquinas RAM

simula maquinas convencionais (de verdade),

Maquinas RAM

possui um unico processador que executa instrucoessequencialmente,

Maquinas RAM

tipos basicos sao numeros inteiros e reais,

Maquinas RAM

tipos basicos sao numeros inteiros e reais,

ha um limite no tamanho de cada palavra de memoria: se aentrada tem “tamanho” n, entao cada inteiro e representadopor c log n bits para alguma constante c ≥ 1. (Isto garanteque e possıvel guardar o valor de n e indexar os elementosindividualmente.)

Maquinas RAM

executa operacoes aritmeticas (soma, subtracao,multiplicacao, divisao, piso, teto), comparacoes,movimentacao de dados de tipo basico e fluxo de controle(teste if/else, chamada e retorno de rotinas) em tempoconstante,

Maquinas RAM

Certas operacoes caem em uma zona cinza, por exemplo,exponenciacao,

Maquinas RAM

Certas operacoes caem em uma zona cinza, por exemplo,exponenciacao,

veja maiores detalhes do modelo RAM no CLRS.

Tamanho da entrada

Problema: Primalidade

Entrada: inteiro n

Tamanho: ⌊log2 n⌋+ 1 ≈ log2 n

Tamanho da entrada

Entrada: inteiro n

Problema: Ordenacao

Entrada: vetor A[1 . . . n]

Tamanho: n lg2 U onde U e o maior numero em A[1 . . . n]Tamanho: n (e usual usar isto no problema de ordenacao)

Tamanho da entrada

Entrada: inteiro n

Problema: Ordenacao

Entrada: vetor A[1 . . . n]

Tamanho: n lg2 U onde U e o maior numero em A[1 . . . n]Tamanho: n (e usual usar isto no problema de ordenacao)

Informalmente, o tamanho da entrada e o numero de bitsnecessario para especificar a entrada.

Medida de complexidade e eficiencia de algoritmos

A complexidade de tempo (= eficiencia) de um algoritmo e onumero de instrucoes basicas que ele executa em funcao dotamanho da entrada.

Adota-se uma “atitude pessimista” e faz-se uma analise depior caso.Determina-se o tempo maximo necessario para resolver umainstancia de um certo tamanho.

Alem disso, a analise concentra-se no comportamento doalgoritmo para entradas de tamanho GRANDE = analiseassintotica.

Analise do InsertionSort

Insertion-Sort(A, n) Custo # execucoes

1 para j ← 2 ate n faca c1 ?2 chave ← A[j ] c2 ?3 ⊲ Insere A[j ] em A[1 . . . j − 1] 0 ?4 i ← j − 1 c4 ?5 enquanto i ≥ 1 e A[i ] > chave faca c5 ?6 A[i + 1] ← A[i ] c6 ?7 i ← i − 1 c7 ?8 A[i + 1] ← chave c8 ?

O valor ck representa o custo (tempo) de cada execucao da linha k .

Denote por tj o numero de vezes que o teste no laco enquantona linha 5 e feito para aquele valor de j .

1 para j ← 2 ate n faca c1 n2 chave ← A[j ] c2 n − 13 ⊲ Insere A[j ] em A[1 . . . j − 1] 0 n − 14 i ← j − 1 c4 n − 15 enquanto i ≥ 1 e A[i ] > chave faca c5

∑nj=2 tj

6 A[i + 1] ← A[i ] c6∑n

j=2(tj − 1)

7 i ← i − 1 c7∑n

j=2(tj − 1)

8 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Denote por tj o numero de vezes que o teste no laco enquantona linha 5 e feito para aquele valor de j .

Tempo de execucao total

Logo, o tempo total de execucao T (n) de Insertion-Sorte asoma dos tempos de execucao de cada uma das linhas doalgoritmo, ou seja:

T (n) = c1n + c2(n − 1) + c4(n − 1) + c5∑n

j=2 tj+ c6

∑nj=2(tj − 1) + c7

∑nj=2(tj − 1).

+ c8(n − 1).

Tempo de execucao total

Logo, o tempo total de execucao T (n) de Insertion-Sorte asoma dos tempos de execucao de cada uma das linhas doalgoritmo, ou seja:

T (n) = c1n + c2(n − 1) + c4(n − 1) + c5∑n

j=2 tj+ c6

∑nj=2(tj − 1) + c7

∑nj=2(tj − 1).

+ c8(n − 1).

Como se ve, entradas de tamanho igual (i.e., mesmo valor de n),podem apresentar tempos de execucao diferentes ja que o valor deT (n) depende dos valores dos tj .

Melhor caso: tj = 1

∑nj=2 tj

6 A[i + 1] ← A[i ] c6∑n

j=2(tj − 1)

7 i ← i − 1 c7∑n

j=2(tj − 1)

8 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Melhor caso: tj = 1

∑nj=2 tj

6 A[i + 1] ← A[i ] c6∑n

j=2(tj − 1)

7 i ← i − 1 c7∑n

j=2(tj − 1)

8 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

O melhor caso de Insertion-Sort ocorre quando o vetor A jaesta ordenado. Para j = 2, . . . , n temos A[i ] ≤ chave na linha 5quando i = j − 1. Assim, tj = 1 para j = 2, . . . , n.

Melhor caso: tj = 1

1 para j ← 2 ate n faca c1 n2 chave ← A[j ] c2 n − 13 ⊲ Insere A[j ] em A[1 . . . j − 1] 0 n − 14 i ← j − 1 c4 n − 15 enquanto i ≥ 1 e A[i ] > chave faca c5 n − 16 A[i + 1] ← A[i ] c6 07 i ← i − 1 c7 08 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Melhor caso: tj = 1

T (n) = c1n + c2(n − 1) + c4(n − 1) + c5(n − 1) + c8(n − 1)= (c1 + c2 + c4 + c5 + c8)n − (c2 + c4 + c5 + c8).

Melhor caso: tj = 1

Este tempo de execucao e da forma an + b para constantes a e bque dependem apenas dos ci .

Melhor caso: tj = 1

Este tempo de execucao e da forma an + b para constantes a e bque dependem apenas dos ci .

Portanto, no melhor caso, o tempo de execucao e uma funcaolinear no tamanho da entrada.

Pior caso: tj = j

∑nj=2 tj

6 A[i + 1] ← A[i ] c6∑n

j=2(tj − 1)

7 i ← i − 1 c7∑n

j=2(tj − 1)

8 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Pior caso: tj = j

∑nj=2 tj

6 A[i + 1] ← A[i ] c6∑n

j=2(tj − 1)

7 i ← i − 1 c7∑n

j=2(tj − 1)

8 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Quando o vetor A esta em ordem decrescente, ocorre o pior casopara Insertion-Sort. Para inserir a chave em A[1 . . . j − 1],temos que compara-la com todos os elementos neste subvetor.Assim, tj = j para j = 2, . . . , n.

Pior caso: tj = j

∑nj=2 j

6 A[i + 1] ← A[i ] c6∑n

j=2(j − 1)

7 i ← i − 1 c7∑n

j=2(j − 1)

8 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Pior caso: tj = j

∑nj=2 j

6 A[i + 1] ← A[i ] c6∑n

j=2(j − 1)

7 i ← i − 1 c7∑n

j=2(j − 1)

8 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Lembre-se que:

j =n(n + 1)

2− 1 e

(j − 1) =n(n − 1)

Pior caso: tj = j

1 para j ← 2 ate n faca c1 n2 chave ← A[j ] c2 n − 13 ⊲ Insere A[j ] em A[1 . . . j − 1] 0 n − 14 i ← j − 1 c4 n − 15 enquanto i ≥ 1 e A[i ] > chave faca c5 n(n + 1)/2− 16 A[i + 1] ← A[i ] c6 n(n − 1)/27 i ← i − 1 c7 n(n − 1)/28 A[i + 1] ← chave c8 n − 1

Lembre-se que:

j =n(n + 1)

2− 1 e

(j − 1) =n(n − 1)

Pior caso: tj = j

T (n) = c1n + c2(n − 1) + c4(n − 1) + c5

n(n + 1)

2− 1

n(n − 1)

+ c8(n − 1)

c1 + c2 + c4 +c52

−c62

−c72

− (c2 + c4 + c5 + c8).

Este tempo de execucao e da forma an2 + bn + c onde a, b, c saoconstantes que dependem apenas dos ci .

Pior caso: tj = j

T (n) = c1n + c2(n − 1) + c4(n − 1) + c5

n(n + 1)

2− 1

n(n − 1)

+ c8(n − 1)

c1 + c2 + c4 +c52

−c62

−c72

− (c2 + c4 + c5 + c8).

Este tempo de execucao e da forma an2 + bn + c onde a, b, c saoconstantes que dependem apenas dos ci .

Portanto, no pior caso, o tempo de execucao e uma funcaoquadratica no tamanho da entrada.

Notacao assintotica

Ao analisarmos a complexidade de tempo (de pior caso) deInsertion-Sort, vimos que as constantes nao saoimportantes para determinar a sua taxa de crescimento.Ela e uma funcao quadratica an2 + bn + c para constantesa, b, c .

Notacao assintotica

Uma funcao deste tipo e limitada superiormente por umafuncao quadratica dn2 para alguma constante d . Usandonotacao assintotica, dizemos que o algoritmoInsertion-Sort tem complexidade de tempo O(n2).

Notacao assintotica

Uma funcao deste tipo e limitada superiormente por umafuncao quadratica dn2 para alguma constante d . Usandonotacao assintotica, dizemos que o algoritmoInsertion-Sort tem complexidade de tempo O(n2).

Mais adiante no curso discutiremos em detalhes o uso danotacao assintotica em analise de algoritmos.

Um algoritmo e chamado eficiente se a funcao que mede suacomplexidade de tempo e limitada por um polinomio notamanho da entrada.Por exemplo: n, 3n − 7, 4n2, 143n2 − 4n + 2, n5.

Mas por que polinomios?

(Polinomios sao funcoes bem “comportadas”).

Assim, Insertion-Sort e um algoritmo eficiente nestesentido.

Exemplo: teste de primalidade ingenuo

NaivePrimalityCheck(n)1 se n = 2 devolva E primo.2 para i ← 2 ate n − 1 faca3 se n mod i = 04 entao devolva Nao e primo.5 devolva E primo.

Complexidade: no pior caso sao executadas n − 2 iteracoes.A complexidade e 1 + (n − 2) + 1 = n.

Como o tamanho da entrada e lg n e n = 2lg n, o algoritmo NAO epolinomial no tamanho da entrada.

Vantagens do metodo de analise proposto

O modelo RAM e robusto e permite prever o comportamentode um algoritmo para instancias GRANDES.

O modelo permite comparar algoritmos que resolvem ummesmo problema.

A analise e mais robusta em relacao as evolucoes tecnologicas.

Desvantagens do metodo de analise proposto

Fornece um limite de complexidade pessimista sempreconsiderando o pior caso.

Em uma aplicacao real, nem todas as instancias ocorrem coma mesma frequencia e e possıvel que as “instancias ruins”ocorram raramente.

Nao fornece nenhuma informacao sobre o comportamento doalgoritmo no caso medio.

A analise de complexidade de algoritmos no caso medio ebastante difıcil, principalmente, porque muitas vezes nao eclaro o que e o “caso medio”.

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