Sistema de ecuaciones

2010

MÉTODO GRAFICO

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este último paso hay cuatro posibilidades:

1- Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

2- Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

L1

L2

L1 L2

x1

x2

MÉTODO GRAFICO

3 - Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

4 – si la franja la toman en una zona no en un punto, encontramos un sistema mal condicionado.

L1

L2

x2

x1

L1 L2

x1

x2

MÉTODO GRAFICO

Ejemplo 1:

Resolver por método grafico el siguiente sistema de ecuaciones.

X+y=5 ; 2x+y=9

Sln.

Para la primera ecuación se tiene que: x=5-y tal que

Para la segunda ecuación se tiene que: x=9-y/2

1234y

4321x

1357y

4321x

MÉTODO GRAFICO

MÉTODO GRAFICO

Solución {4.1}

y

x

solución

X+y=5

2x+y=9

REGLA DE CRAMER

Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

La regla de cramer consiste en una solución por determinantes:

Hallamos los determinantes Δx ( determinante de x), Δy (determinante de y), y Δs (determinante del sistema)

Después de tener los determinantes, hallamos las incógnitas x,y: x=Δx/Δs y= Δy/Δs

Si graficamos las dos funciones encontramos que se van a cortar en los puntos (x,y), como lo muestra la figura.

f1 f2

xx

y

REGLA DE CRAMER

REGLA DE CRAMER

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Ejemplo

x + y + z = 1

x - 2y + 3z = 2

x + + z = 5

REGLA DE CRAMER

Solución:

1 1 1

1 -2 3

1 0 1

1 1 1

2 -2 3

5 0 1

1 1 1

1 2 3

1 5 1

1 1 1

1 -2 2

1 0 5

Δ = 2 Δ1 = 21

Δ2 = -8 Δ3 = -11

X= 21

2X= -11

2y= = -4-8

2

ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS

Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.

Los métodos de eliminación son:

1º. Por adición o sustracción.

2º. Por igualación.

3º. Por sustitución.

ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS

1- Eliminación por adición o sustracción:

b) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.

b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.

c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.

d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS

Ejemplo

Resolver el sistema

x – 2y =9

2x + 8y = -12

Solución: multiplíquese ambos miembros de por 2, se obtiene:

2x – 4y = 18

Réstese de , desaparecen los términos “x”

12y = -30

Se obtiene y= -5/2

Remplaza “y” en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese “x”

x – 2y =9

x – 2(-5/2) = 9

x= 9 - 5

x = 4

1

2

1

32

3

ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS

2- Eliminación por igualación:

b) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.

c) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.

d) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

e) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS

Ejemplo

Resolver el sistema

x – 2y =9

2x + 8y = -12

Solución: despéjese “x” de y , se tiene:

x = 9 + 2y

x = -6 – 4y

Iguálense las dos ecuaciones que representan el valor de “x”

9 + 2y = -6 – 4y

Resuélvase

9 + 2y = -6 – 4y

2y + 4y = -6 – 4

6y = -15

y = -5/2

Sustituyendo en el valor de “y” , tenemos que:

x = 4 por tanto: x = 4; y = -5/2.

1 2

4

3

3

1

2

ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS

3. Eliminación por sustitución:

c) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.

d) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.

f) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

h) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.

ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS

Ejemplo

Resolver el sistema

x – 2y =9

2x + 8y = -12

Solución: Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en :

x = 9 + 2y

Sustitúyase en :

2(9 + 2y) + 8y = -12

18 + 4y + 8y =-12

6y = -15

y = -5/2

Sustitúyase en el valor hallado para "y".

x = 9 + 2(-5/2)

x = 4

1

2

1

3 2

3

3

GAUSS SIMPLE

GAUSS, CARL FRIEDRICH

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

El método de Gauss, también conocido como método de eliminación simple de Gauss, es una de las primeras técnicas empleadas por actuarios, matemáticos e ingenieros para la resolución de sistemas de ecuaciones. El método comprende dos fases:

Eliminación de las incógnitas hacia adelante

Sustitución hacia atrás

GAUSS SIMPLE

GAUSS SIMPLE

Eliminación de las incógnitas hacia delante: tiene el objetivo de reducir el sistema original a una forma triangular superior.

Para resolver una matriz por el método de gauss simple:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2 1 n

n n

n n

n n n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

| | | |

L

L

M M O M M

L

Obteniendo el valor de x3= l/i x2=(k-f*x3)/e x1=(j-c*x3-b*x2)/a

R1 R2 R3 R3 R3-(h/e)*R2

a b c0 e f0 h i

j

lk

R1

R2 R3

R2 R2-(d/a)*R1 R3 R3-(g/a)*R1

a b cd e fg h i

j

lk

R1

R2

R3

a b c

0 e f

0 0 i

j

lk

GAUSS SIMPLE

GAUSS SIMPLE

Ejemplo:Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

4X1-2X2-X3=95X1+X2-X3=7

X1 +2X2-X3=12

Solución:

4 -2 -1 9A = 5 1 -1 b = 7

1 2 -1 12

R2 R2-(5/4)*R1 R3 R3-(1/4)*R1

R1

R2 R3

4 -2 -15 1 -11 2 -1

9

127

GAUSS SIMPLE

R3 R3-(5/2/7/2)*R2

4 -2 -10 7/2 1/40 5/2 -3/4

9

39/4-17/4

4 -2 -10 7/2 1/40 0 -13/14

9

179/147

-13,7692308x3=

2,98351648x2=

0,29945055x1=

GAUSS - JORDAN

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria.

GAUSS - JORDAN

Ejemplo:Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

4X1-2X2-X3=95X1+X2-X3=7

X1 +2X2-X3=12

Solución: Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

4 -2 -10 7/2 1/40 0 -13/14

9

179/147

R1 R1-(-1/(-13/14)*R3 R2 R2-((1/4)/(-13/14)*R3

GAUSS - JORDAN

12,7857143-0,9285714300

10,442307703,50

-4,769230770-24

12,7857143-0,9285714300

10,442307703,50

1,1978022004

R1 R1-(-2)/(7/2)*R2

-13,7692308x3=

2,98351648x2=

0,29945055x1=

GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO

El sistema consiste en tomar de un sistema de ecuaciones dado una ecuación como pivote con el objetivo de darle forma de matriz idéntica al sistema de ecuaciones. Cuando se elimina una incógnita en una ecuación, Gauss –Jordan elimina esa incógnita en el resto de las ecuaciones.

El elemento delantero de cada fila diferente de cero, es llamado "pivote" éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

4X1-2X2-X3=95X1+X2-X3=7

X1 +2X2-X3=12

Para resolverla de una manera mas sencilla hallamos Gauss-Jordan y dividimos cada ecuación por su pivote.

12,7857143-0,9285714300

10,442307703,50

1,1978022004

Pivote 1 Pivote 2

Pivote 3

R1 /4

R2 /3.5

R3 /-0.92857143

GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO

-13,7692308100

2,98351648010

0,29945055001

Divídase cada ecuación en su respectivo pivote para obtener

De modo que: la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad y la solución se obtiene en el vector del lado derecho. Observe que no se requiere la sustitución hacia atrás para llegar a la solución.

-13,7692308x3=

2,98351648x2=

0,29945055x1=

FACTORIZACION LU

Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

FACTORIZACION LU

Para resolver un sistema de ecuaciones por este método se beben tener en cuenta los siguientes pasos.

Obtener la matriz triangular inferior “L” y la matriz triangular superior “U”.

Resolver Ly = b (para encontrar y).

El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre “y”.

Realizar Ux = y (para encontrar x).

El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada “x”, la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 (1) 0.1x1 + 7x2 – 0.3x3 = -19.3 (2)0.3x1 – 0.2x2 + 10x3 = 71.4 (3)

FACTORIZACION LU

Ejemplo:• Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

3 -0.1 -0.2

0.1 7 -0.3

0.3 -0.2 10

7.85

71.4

-19.3A = B =

FACTORIZACION LU

1. Se halla “U”

10-0,20,3

-0,370,1

-0,2-0,13

70,61510,02-0,190

-19,5616667-0,293333337,003333330

7,85-0,2-0,13

70,084293210,012041900

-19,5616667-0,293333337,003333330

7,85-0,2-0,13

U =

U =

2. Se halla “L”

10-0,20,3

-0,370,1

-0,2-0,13

10-0,20,3

06,9940,030769

23

0-0,1043,006

10-0,20,3

06,9940,03076923

003,00645754

FACTORIZACION LU

L =

L =

3. Se verifica L*U = A

FACTORIZACION LU

10,012041900

-0,293333337,003333330

-0,2-0,13

10-0,20,3

06,9940,03076923

003,00645754

X

10-0,20,3

-0,370,1

-0,2-0,13

FACTORIZACION LU

4. Se despeja “Y” de L*Y = b

10-0,20,3

06,9940,03076923

003,00645754 Y1

Y2

Y371,4

-17,158

9,02286245

70,2304564Y3=

-19,311487Y2=

2,61104636Y1=

FACTORIZACION LU

5. Se despeja “X” de U*X = Y

70,084293210,012041900

-19,5616667-0,293333337,003333330

7,85-0,2-0,13 X1

X2

X3 7,14

-2,75950815

2,61104636

9,0459498X3=

-2,76332892X2=

0,86847937X1=

http://www.galeon.com/student_star/ecuacio.html

http://www.uv.es/diaz/mn/node30.html

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte20.pdf

http://www.cramster.com/reference/wiki.aspx?wiki_name=Band_matrix

BIBLIOGRAFÍA