Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión

• METODO DE CROSS.

Lección :

• 21.1 .- Rigidez en un extremo apoyado de una barra. Coeficiente de transmisión.

• 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución.

• 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto.

• 21.4 .- Método de Cross para nudos no traslacionales. Simplificaciones.

• 21.5 .- Método de Cross para nudos traslacionales. Simplificaciones.

21.1 .- Rigidez en un extremo apoyado de una barra.

MA

Rigidez = KAB = MA / φA

Flexibilidad = 1/KAB = φA / MA

fA =0= MA ·L ·L/2EIz - RA·L3/3EIz

δva = 0

δvb = 0

δhb = 0

φ Flb = 0

B

φA =MA·L/EIz - RA·L2/2EIz

MA·3/2·L = RA

KAB = MA / φA= 4·E·Iz / LφA =MA·L/EIz – 3/2·MA·L/2EIz

21.1 .- Coeficiente de transmisión.

MA

KAB = MA / φA= 4·E·Iz/L

B

δva = 0

δvb = 0

δhb = 0

φ Flb = 0

MBMA

B

φA = MA·L/3EIz - MB·L/6EIz

φB = 0 = - MBL/3EIz + MAL/6EIz

MA = 2·MB =>CtAB = MB/MA= 1/2

δva = 0δvb = 0

δhb = 0

φA = MA·L/3EIz

CtAB = MB/MA= 0

MAB

KAB = MA / φA= 3·E·Iz/L = 0,75· 4·E·Iz/L

21.1 .- Coeficiente de transmisión.

21.1 .- Coeficiente de transmisión.

MAB

CtAB = MB/MA= 0

KAB = MA / φA= 3·E·Iz/L

MAB

KAB = MA / φA= 4·E·Iz/L

CtAB = MB/MA= 1/2

MAB

CtAB = MB/MA= 0

KAB = MA / φA= 0

21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución.

C

B

D

E

MA= MAB + MAC + MAD + MAE

MAB

MB

MB

MAC

MAD

MAE

MA

MAB

MAC

MAD

MAE

MA

21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución.

MACC

CtAC = MC/MAC= 0

KAC = MAC/ φA= 3·E·Iz/L

MABB

KAB = MAB / φA= 4·E·Iz/L

CtAB = MB/MAB= 1/2

MADD

CtAD= MD/MAD= 0

KAD = MAD/ φA= 0

MAEE

CtAE = ME/MAE= 0

KAE = MAE/ φA= 3·E·Iz/L

21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución.

C

B

D

E

MA

CtAC = MC/MAC= 0

KAC = MAC / φA= 3·E·Iz/L

KAB = MAB / φA= 4·E·Iz/L

CtAB = MB/MAB= 1/2

CtAD = MD/MAD= 0

KAD = MAD / φA= 0

CtAE = MC/MAE= 0

KAE = MAE / φA= 3·E·Iz/L

KA = KAB + KAC + KAD + KAE

MA= MAB + MAC + MAD + MAE

KA = MA / φA = 4·E·Iz/L + 3·E·Iz/L + 0 + 3·E·Iz/L = 10·E·Iz/L

= (4/10)·KA

= (3/10)·KA

= (0/10)·KA

= (3/10)·KA

MAB= (4/10)·MA MB = (2/10)·MA

MAC= (3/10)·MA

MAD= (0/10)·MA

MAE= (3/10)·MA

21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)

BA

L MA MB

φB = 0 =q·L3/24EIz - MBL/3EIz - MAL/6EIz

| MB | = | MA | = M =>

q·L3/24EIz = M·L/2EIz

M = q·L2/12

MA = + q·L2/12 MB = - q·L2/12

21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)

δva = 0

δvb = 0

δhb = 0

φ Flb = 0

MBBP

fA = 0 = (P·L/2·L/2·1/2·(2/3·L/2+L/2)-RA·L·L·1/2·2/3·L)/EIz = (5/48·P·L3- 1/3·RAL3)/EIz

5/16·P = RA MB = -1/2·P·L + RAL = -3/16·P·L

MA = 0

BPA

b·RB

a·RA

21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)

fB = 0 = (RA·a2/2·(b+1/3·a) + RB·b3/3 - MBL2/6 - MAL2/3)/EIz

=>

ΣMA = 0 = MA + M - MB + RB·L

BA

La b

C

ΣMC = 0 = MA + M - MB + RB·b - RA·a

fA = 0 = (RB·b2/2·(a+1/3·b) + RA·a3/3 - MAL2/6 - MBL2/3)/EIz

φB = 0 = (RA·a2/2 + RB·b2/2 - MBL/2 - MAL/2)/EIz

MA MB

RA RBRA

a·RA

b·RB R’BR’A

21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)

Tipo de carga y Ligaduras MA MB

+ q·L2/12 - q·L2/12

0 - q·L2/8

+ q/L2·[L2·1/2·((a+c)2-a2) - 2/3·L·((a+c)3-a3) + 1/4·(a+c)4-a4)] - q/L2·[ 1/3·L·((a+c)3-a3) - 1/4·(a+c)4-a4)]

0 - q/8L2·[a4 -(a+c)4 + 2·L2·c(2·a+c)]

+ q·L2/30 - q·L2/20

0 - q·L2/15

0 - 7·q·L2/120

+ 5/96 · q·L2 - 5/96 · q·L2

ab

c

ab

c

q

q

q

q

21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)

Tipo de carga y Ligaduras MA MB

0 - 5/64 · q·L2

+ P·a·b2/L2 - P·b·a2/L2

0 - P·a·b(2·a+b) / 2·L2

+ P·a·(a+c)/L - P·a·(a+c)/L

+ P/L2·(a·b2 - a2·b) - P/L2·(a·b2 - a2·b)

+ M/L3·[a·b·(2a+b) - b3) + M/L3·[a·b·(a+2b) - a3)

qq

BAa b

P

BAa b

P

BAa c

Pb

P

BA

ba

BAa

bP

aP

b

M

21.4 .- Método de Cross .Introducción.

Objetivo: determinar los momentos que los nudos de una estructura ejercen sobre las barras.

Conocidos estos, puede determinarse el Diagrama de MF de cada barra, supuesta apoyada en sus extremos.

Conocidos estos, puede determinarse el Diagrama de MF de cada barra, supuesta apoyada en sus extremos.

Tipos de nudos rígidos:•Inamovibles o absolutamente fijos (fv, fh y φ nulos)•No traslacionales (fv, fh nulos, pero pueden girar) •Traslacionales: permiten desplazarse y girar.

Las deformaciones debidas a esfuerzos Normales y Cortantes se suelen despreciar frente a las de Flexión.

Las deformaciones debidas a esfuerzos Normales y Cortantes se suelen despreciar frente a las de Flexión.

21.4 .- Método de Cross .Etapas.

Se usa en nudos no traslacionales

1.- Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto (como si los nudos fuesen absolutamente fijos)

2.- Equilibrado de los nudos, repartiendo el momento de equilibrado entre las barras concurrentes proporcionalmente a sus rigideces.

21.4 .- Método de Cross .Ejemplo.

CA

L L

B

L

PIAB = IAC = Iz

KAC = 4·E· Iz/2L = 2·E· Iz/L

KAB = 3·E· Iz/L

KA = KAB + KAC = 5·E· Iz/L

CrAB = KAB/ KA = 3/5 = 0,6

CrAC = KAC/ KA = 2/5 = 0,4CA

B

P

L LP CA

AB L

21.4 .- Método de Cross .Ejemplo.

CrAB = 0,6

CrAC = 0,4

L LP CA

AB L

MC

CtAC = 1/2

- PL/4

-PL/20

-3PL/10

MA = + Pab2/L2 = + PL3/(2L)2 = + PL/4

MC = - Pba2/L2 = - PL3/(2L)2 = - PL/4

MB

CtAB = 0

0

0

0

MBA

CrAB = 0,6

-3PL/20

-3PL/20

MAC

CrAC = 0,4

+ PL/4

-PL/10

3PL/20

CtAC = 1/2

MA

MAB

MAC

MAD

MAE

C

B

PA

D

A

C

B

L

L

21.4 .- Método de Cross :ESPECIFICACIÓN DE MOMENTOS.

3 I

I I

P

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