1

CMIP- Centro de Metrologia e Inovação em ProcessosUFSC- UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

Profª Andréa

Medidas de Tendência Central:

Média

Moda

Mediana

2

Média Aritmética ou Média Amostral

A média aritmética é a mais usada das três medidas de

posição (média, moda, mediana), por ser a mais comum e

compreensível delas, bem como pela relativa simplicidade

do seu cálculo, além de prestar-se bem ao tratamento

algébrico.

3

Média Aritmética ou Média Amostral

A média aritmética simples de um conjunto de

valores nada mais é do que a soma desses

valores dividida pela quantidade de valores.

1 1 2

n

i

i n

XX X X

Xn n

= + + += =

Tamanho da Amostra

1 1 2

N

i

i N

XX X X

N N = + + += =

Tamanho da População

4

1º Caso – Dados brutos ou o rol

Basta aplicarmos a equação:

n

X

X

n

1i

i==

5

Exemplo 1 :

Para calcular a média das idades, do número

de filhos e do salário dos funcionários da

empresa X, podemos utilizar os dados brutos

da Tabela ou o Rol

Solução:

O total de observações é n = 40.

6

Ordem

Idade

Ordem

Idade

Ordem

Idade

Ordem

Idade

Ordem

Idade

1ª18

11ª27

21ª37

31ª40

36ª45

2ª21

12ª27

22ª37

32ª42

37ª45

3ª23

13ª28

23ª37

33ª42

38ª46

4ª23

14ª28

24ª37

34ª42

39ª48

5ª23

15ª29

25ª37

35ª43

40ª49

6ª24

16ª32

26ª38

7ª25

17ª32

27ª38

8ª25

18ª33

28ª39

9ª26

19ª35

29ª39

10ª26

20ª36

30ª40

ROL -

Idade

7

Os 40 funcionários juntos viveram 1362 anos.

n

X

X

n

1i

i==

34,05 40

1362

40

X

X

40

1i

i

IDADE ====

anos

1362 =

18 +21 +23 +23 +23 + ...+48 +49

Não arredondar!

8

1 0

2 1

3 1

4 2

5 2

6 3

7 1

8 2

9 4

10 3

Nº de

filhos

Nº

11 0

12 0

13 0

14 2

15 2

16 3

17 2

18 0

19 2

20 2

Nº de

filhos

Nº

21 1

22 0

23 3

24 0

25 4

26 0

27 0

28 3

29 2

30 2

Nº de

filhos

Nº

31 1

32 1

33 1

34 2

35 4

Nº de

filhos

Nº

36 1

37 2

38 0

39 4

40 0

Nº de

filhos

Nº

Número de Filhos

9

Se fôssemos fazer uma

festa somente para os

filhos dos funcionários,

convidaríamos 63

pessoas.

n

X

X

n

1i

i==

filhos

1,575 40

63

40

X

X

40

1i

i

FILHOSN ====

63 = 0 +1 +1 +2 +2 +3 + ... + 0 + 4 + 0

Não arredondar!

10

Interpretações:

Os valores das séries se

concentram em torno de:

5,02625 salários mínimos;

34,05 anos e

1,575 filhos.

11

2º Caso – Distribuição de frequência sem intervalos de classes

i Número de

Filhos

fi

1 0 11

2 1 8

3 2 12

4 3 5

5 4 4

40

Aula anterior:2 + 2 + 2 + 2 + 2 +

2 + 2 + 2 + 2 + 2 +

2 + 2 = 24 filhos

= 2 . 12

12

Então, quando conhecemos a distribuição de

frequência sem intervalos de classes devemos

calcular a média aritmética aplicando a equação:

n

.fX

X

n

1i

ii==

= ifnOnde:

13

i Número de

Filhos Xi

Funcionários

fi

1 0 11

2 1 8

3 2 12

4 3 5

5 4 4

40 63

=

n

1i

ii .fX

n

.fX

X

n

1i

ii==

14

i Número de

Filhos

Funcionários

fi

1 0 11 0.11 = 0

2 1 8 1. 8 = 8

3 2 12 2.12 = 24

4 3 5 3.5 = 15

5 4 4 4.4 =16

40 63

=

n

1i

ii .fX

filhos

1,575 40

63

40

X

X

40

1i

i

FILHOSN ====

Mesma calculada com dados brutos.

15

3º Caso – Distribuição de frequência com intervalos de classes

i Idades (anos) fi

1 18 24 5

2 24 30 10

3 30 36 4

4 36 42 12

5 42 48 7

6 48 54 2

40

Do ROL

obtivemos média

34,05 anos.

16

Quando agrupamos os dados em intervalos de

classes, passamos a trabalhar com os dados

sem conhecimento de seus valores

individuais, ou seja, perdemos informação e

precisão.

O desconhecimento dos

valores individuais dos

dados faz com que se utilize

os pontos médios de classe

para calcular a média

estimada da série.

17

Ordem

Idade

1ª18

2ª21

3ª23

4ª23

5ª23

6ª24

7ª25

8ª25

9ª26

10ª26

Isso equivale a supor que a

média da idade dos 5

funcionários da primeira classe é

21, quando de fato é 21,6 anos.

18

Ordem

Idade

Ordem

Idade

1ª18

11ª27

2ª21

12ª27

3ª23

13ª28

4ª23

14ª28

5ª23

15ª29

6ª24

16ª32

7ª25

17ª32

8ª25

18ª33

9ª26

19ª35

10ª26

20ª36

Que a média da idade dos

10 funcionários da

segunda classe é 27

quando de fato é 26,5 anos

e assim, sucessivamente.

O ponto médio é uma

estimativa não tendenciosa

mas não é um valor

verdadeiro.

19

Para calcular esta média estimada usa-se a

mesma equação anterior, porém, substituindo-se

os valores da variável pelos pontos médios de

cada classe.

n

.fX

X

n

1i

ii==

= ifnOnde:

20

i Idades (anos) fi Xi

1 18 24 5

2 24 30 10

3 30 36 4

4 36 42 12

5 42 48 7

6 48 54 2

40

Calculando os pontos

médios:

21

i Idades (anos) fi Xi

1 18 24 5 21

2 24 30 10 27

3 30 36 4 33

4 36 42 12 39

5 42 48 7 45

6 48 54 2 51

40

Calculando os pontos

médios:

22

i Idades (anos) fi Xi

1 18 24 5 21

2 24 30 10 27

3 30 36 4 33

4 36 42 12 39

5 42 48 7 45

6 48 54 2 51

40

Calculando Xifi :

=

n

1i

ii .fX

23

i Idades (anos) fi Xi

1 18 24 5 21 21.5 =105

2 24 30 10 27 27.10 = 270

3 30 36 4 33 33.4 = 132

4 36 42 12 39 39.12 = 468

5 42 48 7 45 45.7 = 315

6 48 54 2 51 51.2 = 102

40 1392

=

n

1i

ii .fX

Calculando Xifi :

24

n

.fX

X

n

1i

ii==

= ifnOnde:

34,8anos40

1392

n

.fX

X

n

1i

ii

====

Calculando usando dados brutos ou Rol, a

média seria 34,05 anos. A média verdadeira é

34,05 anos enquanto 34,8 anos é uma média

estimada.

25

Os cálculos feitos com base em distribuições

intervalares são imprecisos.

Por esta razão, utiliza-se a distribuição de

frequência com intervalos de classes apenas

para apresentar os dados, mas se faz os

cálculos utilizando-se os dados brutos ou rol

e softwares apropriados.

26

Média Aritmética Ponderada – Notação X

Na média aritmética ponderada, as

observações possuem importâncias diferentes

ou “pesos” diferentes, como ocorre quando

calculamos sua média.

27

Exemplo

Suponha que cada uma das suas duas médias

seja composta por um exercício obrigatório de

Peso 2 e uma prova de Peso 8.

Neste caso, a prova é 4 vezes mais importante

que o exercício, porque 8 : 2 = 4.

Vamos supor também que

você tenha merecido 9 no

exercício e 7 na prova. Sua

média será, então:

28

Peso Nota

E 2 9

P 8 7

7,57,4010

74M

10

5618

10

7.89.2M

===

+=

+=

notapeso

nota.pesoM ==

29

Propriedades da Média

• A média de um conjunto de números é

única e sempre pode ser calculada;

• A média é influenciada (afetada) por

todos os valores da série. Assim, se um

valor se modifica, a média também se

modifica;

30

• Se somarmos uma constante a cada

um dos dados, a média ficará aumentada do

valor desta constante. Analogamente ela

ficará diminuída, multiplicada e dividida;

31

Somando 2 a cada valor.

85

40

5

791086==

++++=X

105

50

5

91112108==

++++=X

8 + 2 = 10

32

• A soma dos

desvios dos dados

até a média é

sempre zero.

Valor Desvios

6 6 - 8 = -2

8 8 - 8 = 0

10 10 - 8 = 2

9 9 - 8 = 1

7 7- 8 = -1

Soma Zero

8=X

33

34

A moda é o valor ou atributo que ocorrecom maior frequência.

Ela não necessariamente existe e, se existir, pode não ser única.

Moda

35

Num conjunto de dados ou numa

distribuição de frequências podem existir

duas modas (diz-se que os

dados/distribuição é bimodal), três modas

(trimodais), quatro ou mais modas

(polimodais) e, se não houver moda, diz-

se que os dados/distribuição se

enquadram como amodal.

Moda

36

X: 2, 3, 8, 2, 7, 3, 5, 4, 3, 1, 0, 3

Mo = 3 unimodal

A:7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 – A moda é 10

B: 3, 5, 8, 10, 12, 13 – não apresenta moda (amodal)

Y: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 – temos duas modas: 4 e 7 (bimodal)

1º Caso – Dados brutos ou o rol

37

Neste caso, fica ainda mais simplesobservar porque as frequências simples jáestão indicadas na distribuição ebasta observar, na coluna da freqüênciasimples absoluta, qual a maior freqüência.O valor da variável de maior frequênciaserá a moda.

Distribuição de frequência

38

Xi fi0 11

1 8

2 12

3 5

4 4

Total 40

Xi – N. de filhos

fi - frequência s. a

Ex: Distribuição de

frequência do número de

filhos da empresa do X

Mo = 2

Distribuição de frequência

39

Mo = 8

Distribuição de frequência

40

A mediana é o elemento central deuma série.Ela separa a distribuição em duas partes iguais.

Em outras palavras, deixa à sua esquerda a mesma quantidade de elemento que deixa à sua direita.

Mediana – Notação Md

41

Para obter a mediana, é necessárioPrimeiramente construir o Rol.

Mediana – Notação Md

42

a)Se n é ímpar: neste caso, existe um termo central “puro” e único que ocupa aposição

1º Caso – Dados brutos ou o rol

2

1+n

O valor do elemento que ocupa estaposição é a mediana.

2

1+n

43

Determinar a mediana da série

X: 2; 23; 12; 15; 13; 8; 10.

Exemplo

O Rol é dado por X: 2; 8; 10; 12; 13; 15; 23.

Posição da mediana:

2

1+n

44

Interpretação: 12 é o termo central da série. A quantidade de termos maiores (ou iguais) a ele é igual à quantidade de termos menores (ou iguais) a ele.

Exemplo

45

Se n é par: neste caso, não existe umtermo central “puro” e único que ocupa aposição (n + 1)/2 .

O termo central é um vazio entre doistermos da série. Ao se calcular a posiçãousando (n + 1)/2 o resultado daráfracionário, a mediana é, por convenção, a média aritmética entre os valores dos dois termos centrais.

1º Caso – Dados brutos ou o rol

46

Determinar a mediana da série X: 2;23; 12; 15; 13; 8; 10; 13.

O Rol é dado por X: 2; 8; 10; 12; 13; 13; 15; 23.

Exemplo

Posição da mediana: 5,42

18

2

1=

+=

+n

Md = (12+13)/2 = 12,5

47

Exemplo

Interpretação: 12,5 é o termo central da série.A quantidade de termos à sua direita é igual à quantidade de termos à sua esquerda.

48

Exemplo

Interpretação: 12,5 é o termo central da série.A quantidade de termos à sua direita é igual à quantidade de termos à sua esquerda.

49

Se os dados estão ordenados na forma de

uma distribuição de frequência, basta

calcularmos a posição utilizando (n+1)/2

e verificarmos o valor da variável que

ocupa esta posição utilizando a coluna de

freqüências acumuladas.

Se n é par também utilizamos a média

dos termos centrais

Distribuição de frequência

50

Exemplo

Determinar a medianada distribuição aseguir:

162

131

2

1=

+=

+n

Md = 3

51

Exemplo

Determinar a mediana do número de filhos dos funcionários da empresa XLembre-se de que n = 40, logo, a mediana será a média aritmética entre os dois termoscentrais (20º e 21º).

Md = 2

52

Utilização das Medidas de Tendência Central

Escolha da média:

•quando a distribuição dos dados é aproximadamente

simétrica;

• quando for necessário obter posteriormente outros

parâmetros que podem depender da média, como por

exemplo a variância, o desvio padrão, etc.

Escolha da mediana

• quando há valores extremos;

• quando desejamos conhecer o ponto central da distribuição;

•quando a distribuição dos dados é muito assimétrica.

53

Escolha da moda

•quando a medida de interesse é o ponto mais típico ou

popular dos dados;

•quando precisamos apenas de uma rápida ideia sobre a

tendência central dos dados.

Utilização das Medidas de Tendência Central

54