Post on 16-Mar-2020
Medición del perfil de la caraanterior de la córnea y su
relación con lentes simples degran profundidad focal
por
Andrea Fernanda Muñoz PotosiTesis sometida como requisito parcial
para obtener el grado de
MAESTRA EN CIENCIAS EN EL ÁREA DEÓPTICA
en el
Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica yElectrónica
Julio 2012Tonantzintla, Puebla
Supervisada por:
Dr. Eduardo Tepichin Rodriguez, INAOE,México
Dra. Sandra Franco, UMINHO, Portugal
c©INAOE 2012El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir
y distribuir copias en su totalidad o enpartes de esta tesis
Agradecimientos
A Dios por regalarme el don de la vida.
A mis padres y a mi hermana, gracias por enseñarme a que después de la tormenta
siempre viene la calma, por ser el motor de mi vida, y por apoyarme incondicionalmente.
A mi familia, por el cariño y confianza que me han brindado en todo momento, pero sobre
todo, por estar cada uno a su manera, respaldándome para alcanzar mis objetivos.
A Luis Gabriel Valdivieso Gonzales, por tu amor, gracias por tu soporte en todo mo-
mento y por permitir que sigamos construyendo ese sueño que iniciamos. Es hermoso
disfrutar contigo tantos momentos llenos de alegría, haciéndome sentir a cada momento
tu presencia y cercanía. Sin tu apoyo y el de tu familia, este trabajo no podría haberlo
concluido.
A los Doctores Eduardo Tepichín Rodríguez, Manuel Filipe Costa y a la Doctora San-
dra Maria de Braga Franco, mi más sincera gratitud por su confianza, paciencia y dispo-
sición en todo momento, mi mayor agradecimiento por haber sugerido y aceptado dirigir
este trabajo y enseñarme a disfrutar de él.
A la Doctora Estela López Olazagasti, por su amistad, por permitirme darme cuenta
de que lo importante es crecer como profesional, pero ante todo como persona. Gracias
por su valioso apoyo, comentarios y sugerencias.
A todos mis compañeros, amigos (Janet, Anilu, Oscar, Esteban, Benito, Edith) y pro-
fesores por su apoyo, por enseñarme a crecer en la academia, pero sobre todo a crecer
3
4
como ser humano.
A Cristina Oliveira, Geraldo Eustaquio, Jorge Cunha y Cátia Silva. por tantos momen-
tos de reflexión y apoyo para ayudarme a encontrar la razón por la que se alcanzó este
objetivo.
Finalmente, quiero agradecer al Conacyt por el apoyo en las becas de maestría y beca
mixta para estancia académica en Portugal número 363607, y por el apoyo del proyecto
PY CONACYT 98777 para viajar a España.
Como alguien escribió algún día “Tal como ocurre en otras ciudades del mundo, in-
cluso las del país natal, una persona al visitar un lugar siempre se lleva consigo algo de
ese sitio; como un acto majestuoso de comunión(común-unión), donde se deja un poco
de lo que se tiene y se toma algo para sustituirlo. La magia estaba hecha. El contacto se
había establecido. Nadie era ya el mismo. El encantamiento había surtido efecto”. Gracias
a todos por permitirme disfrutar de esta magia.
Índice general
Agradecimientos 3
1. Introducción General 12
2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 16
2.0.1. Miopía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.0.2. Hipermetropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.0.3. Presbicia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.0.4. Astigmatismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Descripción matemática de la Córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Técnicas para la determinación de la topografía córnea . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Técnicas que utilizan el principio de reflexión . . . . . . . . . . . 34
2.2.1.1. Queratometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1.2. Fotoqueratoscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1.3. Videoqueratoscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2. Técnicas que utilizan el principio de proyección . . . . . . . . . . 38
2.2.2.1. Topógrafos de proyección de hendidura . . . . . . . . . 38
2.2.2.2. Topógrafos de rasterestereografía . . . . . . . . . . . . 39
5
Índice general 6
2.2.2.3. Topógrafos que utilizan interferometría de moiré . . . . 39
3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 44
3.1. Cálculo de la Aberración Esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1. Aberración Esférica Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2. Polinomios de Aberración para la Aberración Esférica . . . . . . 60
3.1.3. Caústica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4. Relación de la Cintura de la Caústica con la profundidad de foco . 65
4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de la cór-
nea 69
4.1. Calibración X-Y del sistema de adquisición . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1. Procedimiento para la adquisición de las imágenes . . . . . . . . 79
5. Conclusiones y Trabajo a Futuro 86
A. Anatomía Macroscópica de la Córnea 88
A.0.2. Anatomía Microscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.0.2.1. Epitelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.0.2.2. Membrana de Bowman . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.0.2.3. Estroma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.0.2.4. Membrana De Descemet . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.0.2.5. Endotelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B. Descripción cuantitativa de la córnea 93
B.1. Descripción Cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
B.1.1. Centro de la Córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B.1.2. Direcciones de la córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.2. Descripción punto a punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Índice general 7
B.2.1. Elevación corneal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B.2.2. Pendiente y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
B.2.2.1. Radio de curvatura axial . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
B.2.2.2. Radio de curvatura tangencial . . . . . . . . . . . . . . 99
C. Algoritmo de Canny 101
C.0.3. Obtención del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
C.0.3.1. Supresión no máxima al resultado del gradiente . . . . 103
C.0.4. Histéresis de umbral a la supresión no máxima . . . . . . . . . . 104
Índice de figuras
2.1. Mecanismos de visión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Principales estructuras oculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Ojo esquemático de Emsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Modelo esquemático de Gullstrand-Emsley . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. Modelo esquemático de Le Grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6. Ojo emétrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7. Ojo miope viendo al infinito. La imagen se enfoca por delante de la retina 23
2.8. Ojo miope viendo un objeto cercano. La imagen cae sobre la retina . . . . 23
2.9. Ojo hipermétrope en visión lejana. La imagen se enfoca por detrás de la
retina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10. Ojo hipermétrope en visión cercana. La imagen se enfoca también por
detrás de la retina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11. Córnea como lente esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.12. Lente astigmática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.13. Localización de la córnea en el globo ocular . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.14. Modelo esquemático de la córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.15. Principio óptico del queratómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.16. Imagen de anillos de Plácido obtenida por queratoscopía . . . . . . . . . 37
2.17. Modelo esquemático optado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8
Índice de figuras 9
2.18. Relación entre el modelo esquemático optado y la córnea . . . . . . . . . 43
3.1. Aberración esférica de una lente simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Aberración esférica y círculo de menor confusión de una lente simple . . 45
3.3. Rayos meridionales refractados en una superficie esférica . . . . . . . . . 47
3.4. Trazado de rayos meridionales por el método Q-U . . . . . . . . . . . . . 49
3.5. Refracción de un rayo meridional en una superficie esférica . . . . . . . . 51
3.6. Definición de la aberración esférica longitudinal SphL . . . . . . . . . . 52
3.7. Relación de Delano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8. Cáustica de la aberración esférica primaria. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9. Parámetros de dependencia de la cintura de la cáustica . . . . . . . . . . 66
3.10. Valores adoptados para obtener la profundidad de foco del ojo . . . . . . 67
4.1. Ojo de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. Proyección de patrones conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Tearscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4. Patrón del Tearscope proyectado sobre una superficie corneal . . . . . . . 72
4.5. Core transversal de la línea proyectada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6. Imagen binarizada del patrón proyectado con el Tearscope . . . . . . . . 74
4.7. Imagen de un papel milimétrico ubicado verticalmente . . . . . . . . . . 76
4.8. Imagen del patrón de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.9. Imagen del patrón de referencia proyectado sobre la córnea . . . . . . . . 77
4.10. Línea proyectada sobre el ojo haciendo un berrido circular . . . . . . . . 78
4.11. Dispositivo utilizado, patentado por la Universidade do Minho . . . . . . 78
4.12. Imágenes capturadas por la Cámara 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.13. Imágenes capturadas por la Cámara 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.14. Imágenes binarizadas para la Cámara 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.15. Imágenes binarizadas por la Cámara 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Índice de figuras 10
4.16. Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 1 . . . . . . . . 81
4.17. Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 2 . . . . . . . . 82
4.18. Unificación de la información para las cámaras 1 y 2 . . . . . . . . . . . 82
4.19. Diferentes perspectivas de la superficie anterior de la córnea . . . . . . . . . . 83
4.20. Valores de la superficie anterior de la córnea reportados por un topógrafo
comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.1. La Córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.2. Esquema de la membrana basal epitelial, Estructuras de anclaje y Capas
de Bowman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.3. Membrana de Descemet y Endotelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.1. Zonas de la córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B.2. Ubicación del Limbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.3. Ejes ópticos del ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B.4. Representación esquemática de meridiano y semi-meridiano de la córnea 97
B.5. Elevación corneal medida con respecto a una superficie esférica de referencia 98
B.6. Radio de curvatura axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.7. Radio de curvatura tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Índice de tablas
2.1. Valores para el modelo del ojo esquemático de Emsley [34] . . . . . . . 18
2.2. Valores para el modelo esquemático de Gullstrand-Emsley [34] . . . . . . 19
2.3. Valores para el modelo esquemático de Le Grand [34] . . . . . . . . . . . 20
2.4. Relaciones más utilizadas para describir la forma de la córnea [41] . . . . 32
2.5. Valores de asfericidad para la superficie anterior de la córnea [41] . . . . 33
2.6. Radio de curvatura medio de la superficie posterior de la córnea . . . . . 40
2.7. Radio de curvatura medio de la superficie anterior de la córnea . . . . . . 41
4.1. Valores reportados de la superficie anterior de la córnea por los dos dispo-
sitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11
Capítulo 1
Introducción General
Debido a la complejidad inherente del ojo humano, el análisis y la descripción de su
funcionamiento óptico se han abordado en la literatura con diferentes enfoques y simpli-
ficaciones [1]. Entre los diferentes modelos teóricos propuestos se destacan aquellos que
suponen que las superficies ópticas del ojo están compuestas por superficies esféricas o
asféricas con simetría de revolución, con un valor constante asfericidad Q [1-12]. Estos
modelos rotacionalmente simétricos, asumen un valor constante de radio en el centro de
la córnea [13].
El grado creciente de complejidad de los modelos teóricos tiende a proporcionar una
descripción más realista del sistema óptico del ojo y hace que sea más compatible con los
datos experimentales y clínicos [9]. Por ejemplo, para obtener una descripción anátomica
más precisa de la córnea humana, se deben tener en cuenta factores importantes como la
forma asimétrica de rotación [10, 11, 14-18].
La córnea es la estructura anatómica ocular que se encuentra en la parte anterior del ojo
humano, es totalmente transparente y entre sus diversas funciones está la de proteger el iris
y el cristalino. La córnea además de proteger a otras estructuras oculares tiene la función
de focalizar, junto con el cristalino, las imágenes en nuestra retina. Por ello, se puede
12
Capítulo 1. Introducción General 13
considerar a la córnea como el primer elemento que conforma el sistema óptico de nuestros
ojos, con la mayor contribución a la potencia de refracción total del ojo [12, 19, 20].
Debido a ésto, el conocimiento de su topografía, así como su espesor y sus deformaciones,
tienen innumerables aplicaciones.
El interés en la descripción y la visualización de la forma de la córnea se ha incremen-
tado durante los últimos años debido a la evolución en el campo de la cirugía refractiva.
El conocimiento detallado de su topografía es decisiva en este tipo de cirugías [21-23].
Además, en el estudio sobre el uso en lentes de contacto [24-26], en la cirugía ocular
[27-29], cuando se evalúa la calidad óptica del ojo [30] y en el diagnóstico y tratamiento
de patologías de degeneración como el queratocono [31-33].
Como ya se mencionó, la córnea junto con el cristalino son responsables de formar
la imagen sobre la retina. Cuando esto ocurre se habla de un ojo emétrope. En casos
contrarios, cuando la imagen se forma antes es un ojo miope y cuando se forma después
de la retina se llama un ojo hipermétrope. Este tipo de formaciones de la imagen en un
lugar diferente a la retina son denominados ametropías, las cuales si se analizan desde el
punto de vista óptico se traducen en imágenes fuera del foco [34].
El objetivo tanto de los anteojos, como de las lentes de contacto y la cirugía refractiva;
es el de corregir este tipo de problemas de enfocamiento o de corrimiento de foco.
Por otro lado, este problema de enfocamiento ha sido resuelto en óptica, con los lla-
mados sistemas ópticos de gran profundidad de campo, que a su vez implica una gran
profundidad de foco.
Si tomamos en cuenta que la cara anterior de la córnea puede ser tratada como una su-
perficie refractora y en algunos casos simplificados como una lente simple, es importante
hacer un análisis de los sistemas ópticos simples de gran profundidad de foco, para poder
relacionarlos con el ojo.
Es por ello que, en la primera parte de ésta tesís, el objetivo principal es analizar
sistemas ópticos de gran profundidad de foco y su posible relación con el perfil de la
Capítulo 1. Introducción General 14
lente; para ajustar este conocimiento a resolver problemas refractivos del ojo.
En este caso, sabemos que un factor importante es el llamado círculo de mínima con-
fusión [35].
Por tanto, el primer objetivo específico de este trabajo, es el de calcular el círculo de
mínima confusión del ojo humano para encontrar su posible dependencia con el perfil de
la cara anterior de la córnea. De aquí, se quiere desprender la posibilidad de proponer a
largo plazo nuevos modelos de perfiles de ablación.
Para ello, se analizarán teórica y experimentalmente las llamadas cámaras fotográficas
de foco fijo, las cuales presentan una gran profundidad de campo, que se puede interpretar
como gran profundidad de foco, entendiéndose ésta última como el rango de distancias
en las que puede estar un objeto sin que se pierda significativamente detalle al capturar su
imagen.
Por otro lado, como ya se mencionó tener una medida del perfil de la cara anterior de
la córnea es de vital importancia. Existen varios trabajos teóricos que predicen el perfil de
la cara anterior de la córnea. En nuestro caso, estamos interesados en perfiles obtenidos a
partir de datos clínicos [1, 8, 10-12, 15-18, 20, 22-26, 29-31, 36, 37].
Sin embargo, estos trabajos dependen de datos obtenidos con equipos oftálmicos co-
merciales, por lo que se tiene poco control sobre éstos.
Por ello, como segundo objetivo de esta tésis, está el de proponer y probar varias téc-
nicas experimentales que nos permitan tomar medidas directamente de ojos de pacientes.
Para lograr los objetivos propuestos, en el capítulo dos, se presenta una breve des-
cripción del sistema óptico ocular, así como los errores refractivos presentes en el ojo,
un análisis de la córnea desde el punto de vista óptico, y los dispositivos clásicamente
utilizados para obtener la topografía y realizar mediciones sobre ella.
En el tercer capítulo se presenta el análisis de lentes simples de gran profundidad de
foco desde el punto de vista de la óptica geométrica, para encontrar finalmente una relación
directa entre la aberración esférica y la profundidad de foco.
Capítulo 1. Introducción General 15
En el cuarto capítulo se presentan las técnicas propuestas y finalmente la técnica im-
plementada para obtener información de la superficie anterior de la córnea.
Para finalizar se presentan las conclusiones, recomendaciones y las perspectivas de
trabajo futuro.
Capítulo 2
Sistema óptico ocular, ametropías y
técnicas de medida
Alrededor del 70% de la información que recibe el ser humano llega a través del sen-
tido de la vista. El proceso por el cual percibimos una escena se denomina ’visión’y puede
dividirse en tres etapas (Figura 2.1): óptica, retiniana y cerebral. La primera etapa consiste
en la formación en la retina de una imagen real e invertida del objeto exterior median-
te el sistema óptico del ojo. En la retina, los fotorreceptores muestrean dicha imagen y
transforman la energía luminosa en impulsos nerviosos que son transmitidos a los niveles
superiores del procesado visual a través del nervio óptico. En los centros visuales de la
corteza cerebral se realiza la interpretación de la escena.
16
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 17
Figura 2.1: Mecanismos de visión
Las principales estructuras oculares involucradas en la formación de la imagen retinia-
na son la córnea, el iris y el cristalino, y en menor medida, los humores acuoso y vítreo
(Figura 2.2).
Figura 2.2: Principales estructuras oculares
Para realizar una representación del sistema óptico de un ojo, se han llevado a cabo
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 18
diferentes propuestas de modelos esquemáticos, los cuales tratan de predecir el fenómeno
de formación de imágenes en la retina. Uno de ellos es el modelo del ojo esquemático
de Emsley [34], el cual asocia el poder refractor del ojo a solo una superficie refractora
(Figura 2.3), con valores para indice de refracción, radio de curvatura y un poder total
descritos en la Tabla 2.1.
Figura 2.3: Ojo esquemático de Emsley
Medio índice de refracción radio de curvatura distancia entre las superficies Potencia total
n R [mm] d [mm] P [D]
Aire 1
5.55 60
Humor vítreo 4/3 22.22
Tabla 2.1: Valores para el modelo del ojo esquemático de Emsley [34]
Otro modelo esquemático importante es el modelo de Gullstrand-Emsley, el cual des-
cribe al ojo por medio de tres superficies refractoras: la córnea y superficies anterior y
posterior del cristalino (Figura 2.4), los valores optados para estas superficies se presentan
en la Tabla 2.2
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 19
Figura 2.4: Modelo esquemático de Gullstrand-Emsley
Medio índice de refracción radio de curvatura distancia entre las superficies Potencia total
n R [mm] d [mm] P [D]
Aire 1.000
7.800
córnea 4/3 3.6 60.483
10.000
cristalino 1.416 3.6
-6.00
Humor vítreo 4/3 16.69620
Tabla 2.2: Valores para el modelo esquemático de Gullstrand-Emsley [34]
También, existen modelos más complejos que consideran más superficies para des-
cribir el funcionamiento del sistema ocular, como lo es el modelo de Le Grand, el cual
considera cuatro superficies refractoras: las superficies anterior y posterior de la córnea
y las superficies anterior y posterior del cristalino (Figura 2.5). Los valores optados para
estas superficies se presentan en la Tabla 2.3
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 20
Figura 2.5: Modelo esquemático de Le Grand
Medio índice de refracción radio de curvatura distancia entre las superficies Potencia total
n R [mm] d [mm] P [D]
Aire 1.0000
7.800
córnea 1.3771 0.550
6.500
Humor acuoso 1.3374 3.050 59.940
10.200
cristalino 1.4200 4.000
-6.000
Humor vítreo 1.3360 16.59655
Tabla 2.3: Valores para el modelo esquemático de Le Grand [34]
Los modelos descritos anteriormente y otros modelos más del sistema ocular, hacen
referencia a ojo emétropes en los cuales la imagen se forma en la retina (Figura 2.6). Pero
realmente existen variaciones en los radios de curvatura de las superficies consideradas en
dichos modelos, y en los valores de los índices de refracción, los cuales producen que la
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 21
imagen elaborada por el sistema ocular, no siempre se encuentra enfocada sobre la retina.
Estos defectos de refracción o ametropías son todas aquellas situaciones en las que, por
mal funcionamiento óptico, el ojo no es capaz de proporcionar una buena imagen.
Figura 2.6: Ojo emétrope
Los defectos de refracción generalmente son congénitos, aunque en algunos casos pue-
den ser adquiridos. Cuando los defectos de refracción son congénitos, se les denomina
ametropías. Alguno de los defectos de refracción (miopía, hipermetropía, astigmatismo
y presbicia) aparecerán tarde o temprano a lo largo de la vida, por lo que es importante
saber cómo se corrigen y cuáles son las indicaciones específicas en cada caso particular.
A continuación se describen brevemente, las ametropías típicas del ojo humano [38].
2.0.1. Miopía
La miopía es la ametropía más conocida porque es la que se presenta con más frecuen-
cia. Cuando una persona es miope, ve mal de lejos aunque de cerca vea perfectamente.
Son varias las causas que en forma aislada o combinada determinan que un ojo sea miope.
Para explicarlas es útil la comparación del ojo con la cámara fotográfica.
Para que la lente enfoque la imagen sobre la película fotográfica, ésta última deberá
estar exactamente en el foco de la lente. Si por algún error de construcción la caja de
la cámara es más grande que lo calculado, la película quedará por detrás del foco de la
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 22
lente y, al tomar la fotografía, estará desenfocada. Por tanto, una primera causa de miopía
consiste en que el ojo es más grande de lo normal en el sentido antero-posterior, o sea que
la distancia entre la córnea y la retina es mayor que la normal; lo que hará que la retina esté
por detrás del punto donde normalmente la córnea y el cristalino deben enfocar la imagen.
Otra causa habitual de la miopía consiste en que la córnea o el cristalino tengan un
poder óptico mayor que el debido. Esto hará que los rayos de luz se enfoquen por delante
de la retina aunque el tamaño del ojo sea normal. El resultado es el mismo que el anterior:
el punto de enfoque está por delante de la retina.
Por tanto, cuando un ojo miope enfoca al infinito (visión lejana), la luz que incide en
él llega en forma de rayos paralelos que convergen por delante de la retina, por lo que
la imagen en la retina queda desenfocada y la visión es borrosa. Cuando este mismo ojo
mira un objeto cercano, los rayos de luz que inciden en él son divergentes, por lo que el
punto de enfoque se desplaza hacia atrás. Si el objeto al que se mira está en una distancia
próxima apropiada, los rayos de luz se refractarán a través de la córnea y el cristalino de
forma que enfocarán en la retina, proporcionando una visión nítida.
Las Figuras 2.7 y 2.8, explican gráficamente la condición óptica del ojo miope. En la
Figura 2.7 se ve un ojo miope que enfoca al infinito. Los rayos de luz son paralelos y, ya
sea por un mayor poder óptico de la córnea y cristalino o por un diámetro antero-posterior
mayor del ojo, dichos rayos convergen en un punto F, colocado por delante de la retina.
La imagen que se forma en la retina está fuera de foco: la persona ve borroso, tanto más,
cuanto mayor sea la miopía. En la Figura 2.8 el mismo ojo fija un objeto cercano, por lo que
los rayos de luz que inciden sobre él son divergentes. El poder óptico del ojo ha cambiado,
por lo que el punto F se desplaza hacia atrás, acercándose a la retina o superponiéndose a
ella.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 23
Figura 2.7: Ojo miope viendo al infinito. La imagen se enfoca por delante de la retina
Figura 2.8: Ojo miope viendo un objeto cercano. La imagen cae sobre la retina
El principal síntoma visual de una persona miope es que la visión lejana es defectuosa,
tanto más cuanto mayor sea la miopía. Para mejorar su visión lejana, el miope tendría que
aplanar al máximo su cristalino con el fin de desplazar su foco hacia atrás, para acercarlo
lo más posible a la retina. Sin embargo el cristalino solo es susceptible de ser abombado
por la acomodación para ver objetos próximos, pero no puede ser aplanado más desde el
punto de relajación, que corresponde con la visión lejana habitual. Esto hace que el miope
no pueda esforzarse para ver mejor de lejos. La visión cercana es normal en el miope, y
llega a ser óptima a una determinada distancia, que corresponde justamente a aquella en
que el foco se proyecta exactamente sobre la retina. Cuanto mayor sea la miopía menor
será esta distancia y por ello quienes tengan una miopía muy aguda deberán acercarse
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 24
mucho a los objetos que deseen ver con claridad.
La miopía puede aparecer en cualquier individuo aunque es más frecuente si existen
antecedentes del problema en su familia. Habitualmente la miopía se inicia desde la infan-
cia y progresa conforme se desarrolla la persona hasta estabilizarse en la adolescencia.
2.0.2. Hipermetropía
La hipermetropía es mucho menos frecuente que la miopía y, por lo tanto, se le conoce
menos. Volviendo al símil de la cámara fotográfica se podrá entender mejor el mecanismo
de esta ametropía. Al construir la cámara, su lente fue calculada de tal forma que pudiera
enfocar los objetos que están al infinito sobre la película, y se diseñó de tal forma que esta
lente pudiera desplazarse hacia delante para enfocar los objetos cercanos. Imaginemos
ahora que el constructor cometió uno de tres errores al construir la cámara. En primer
lugar, hizo que la caja fuera mas corta, por lo que la película está más cerca de la lente de
lo que debiera. Enfocada al infinito, la lente formará la imagen detrás de la película, por
lo que la fotografía estará fuera de foco. Otra cosa que pudo haber sucedido es que, en
una caja de tamaño adecuado, colocara la lente un poco por detrás de su posición normal,
lo que se traducirá en una situación en todo semejante a la anterior. Finalmente, siendo el
tamaño de la caja y posición de lente los adecuados, el fabricante pudo haber situado por
error una lente de menor potencia que la debida. Esta lente hará que los rayos de luz que la
incidan enfoquen por detrás del foco teórico calculado, es decir, por detrás de la película.
En todos los casos la imagen se formará detrás de la película haciendo que la fotografía
esté desenfocada.
Por tanto, al igual que el miope, el sujeto hipermétrope ve mal de lejos pero ve igual-
mente mal de cerca. Las Figuras 2.9 y 2.10 explican gráficamente esta situación.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 25
Figura 2.9: Ojo hipermétrope en visión lejana. La imagen se enfoca por detrás de la retina
Figura 2.10: Ojo hipermétrope en visión cercana. La imagen se enfoca también por detrás
de la retina
La hipermetropía se presenta esencialmente bajo dos formas. Si un ojo es ligeramente
más corto que lo normal, la imagen enfocada por la córnea y el cristalino caerá por detrás
de la retina. De igual forma, el ojo puede ser de tamaño normal pero la córnea puede
ser más plana de lo normal o el cristalino menos curvo de lo debido, por lo que el poder
óptico de estas estructuras será menor y no podrán hacer que los rayos de luz enfoquen
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 26
en la retina sino detrás de ella. Si la capacidad de acomodación del sujeto no es suficiente
para enfocar los rayos de luz sobre la retina, el enfoque se producirá igualmente detrás
de ésta por lo que la visión será defectuosa. Al fijar la mirada en la visión próxima, se
precisará aun mayor capacidad de acomodación para lograr enfocar la imagen (abombar
más el cristalino), pero, esto ya no será posible por lo que la imagen de cerca será aun más
borrosa.
Las molestias del hipermétrope difieren de las del miope por la sencilla razón de que
el hipermétrope sí cuenta con un mecanismo para intentar ver mejor: la acomodación, es
decir, el esfuerzo del músculo ciliar para abombar el cristalino y dar con ello mayor poder
óptico al ojo para así enfocar la imagen sobre la retina. Ésta es la razón por la cual el
hipermétrope, que ve mal de lejos y de cerca, presenta con frecuencia fatiga ocular ya
que constantemente intenta corregir su problema mediante el esfuerzo de la acomodación.
Esto se traduce en malestar, irritación ocular, e incluso en cefaleas [38].
Un dato interesante consiste en que los niños muy pequeños son habitualmente hiper-
métropes, pero esta situación se corrige espontáneamente conforme el niño crece, ya que
los ojos crecen también. La hipermetropía es hereditaria, por lo que los hijos de hipermé-
tropes tienden a ser igualmente hipermétropes. Al igual que para la miopía, no existe en la
actualidad forma de evitar que aparezca y se desarrolle.
2.0.3. Presbicia
La presbicia es lo que popularmente se conoce como vista cansada. Como se expuso
anteriormente, para ver objetos cercanos el ojo debe acomodar; es decir, aumentar la cur-
vatura de su cristalino para hacerlo más convexo y poder así enfocar sobre la retina los
rayos de luz que inciden en él en forma divergente. También se dijo que esto se logra con
la contracción del músculo ciliar, que libera la tensión del cristalino permitiendo que éste
se abombe gracias a su elasticidad propia.
Ahora bien, con la edad el cristalino se endurece y pierde elasticidad. Si bien el múscu-
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 27
lo ciliar al contraerse lo relaja, la pérdida de elasticidad le impide abombarse y aumentar
así su poder de refracción. El cristalino ya no es capaz de abombarse lo suficiente para
enfocar la imagen de objetos cercanos en la retina. El resultado es que la persona, aún
con buena visión lejana, presenta una visión cercana defectuosa. Este fenómeno ocurre, a
todas las personas sin excepción, después de los cuarenta años de edad aproximadamente.
2.0.4. Astigmatismo
El astigmatismo es una situación óptica tan frecuente como la miopía pero no por ello
se le conoce por igual. Ello se debe seguramente a que en la vida cotidiana tenemos más
contacto con lentes esféricas que con lentes cilíndricas, que son las que pueden corregir
este tipo de defectos. En este tipo de lentes, la potencia refractiva depende del meridiano
de incidencia de la luz.
El astigmatismo corresponde entonces, en el ojo, a la condición óptica en la que la
córnea o el cristalino dejan de ser lentes esféricas para incluir, en mayor o menor grado,
un defecto cilíndrico.
Para entender la forma de una córnea normal, basta con imaginar un balón esférico al
que se le secciona una porción cualquiera. Esta porción es una sección de esfera cuyos
meridianos tienen la misma curvatura (Figura 2.11).
Figura 2.11: Córnea como lente esférica
Si se toma ahora una llanta de automóvil y se hace un corte paralelo a uno de sus diá-
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 28
metros (Figura 2.12). Esta porción de llanta presenta dos curvaturas distintas: la primera,
más plana, corresponde a la superficie de rodaje de la llanta; la segunda, más acentuada,
corresponde a la sección de la llanta perpendicular al sentido del rodaje. Si esta sección
de llanta fuera una lente óptica sería una lente astigmática, ya que no tendría el mismo
poder de refracción en todos sus meridianos. Los más planos funcionarían como una lente
esférica poco potente, los más curvos como una lente esférica muy potente. Por tanto, si
una lente esférica enfoca la luz en un solo punto, una lente astigmática lo hace en parte
en un punto correspondiente a los meridianos más planos y en parte en un segundo punto
correspondiente a los meridianos más curvos, por lo que es imposible obtener con dichas
lentes una sola imagen en foco.
Figura 2.12: Lente astigmática
Los astigmatismos se presentan esencialmente por modificaciones en la forma de la
córnea aunque igualmente pueden deberse a trastornos del cristalino. Los astigmatismos
pueden presentarse aislados o combinados con una miopía o una hipermetropía. Todas las
combinaciones son posibles. De igual forma, al presentarse una presbicia, ésta se añade
al astigmatismo previo (en caso de que éste existiera), complicando aún más la condición
óptica del ojo.
Por tanto, una córnea astigmática muestra dos meridianos principales, uno más plano
y otro más curvo, perpendiculares entre sí, [38].
Dentro de los modelos que se explicaron anteriormente, este trabajo se centra en el
modelo esquemático del ojo de Emsley. Como ya se describió, este modelo considera
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 29
solo una superficie refractora que coincide con la córnea de un ojo humano. Aunque en
principio, éste modelo parece limitado, es importante tener en cuenta que la córnea es la
primera y más potente superficie refractiva del ojo y es responsable alrededor del 80 %
del poder de refracción total, alcanzando por si misma de 41 a 44 dioptrías en el centro de
la misma (dos tercios del poder refractivo total del ojo) [19, 39, 40], demostrando que la
aproximación de este modelo es muy cercana a la realidad.
La córnea es un tejido transparente, avascular y elástico que se encuentra en la parte
anterior del globo ocular (Figura 2.13). Su superficie frontal está en contacto directamente
con la película lagrimal (protegiendo a la córnea de la deshidratación y ayudando a man-
tener la superficie corneal regular) y la superficie posterior de los párpados, mientras que
su superficie posterior limita la cámara anterior del ojo y está en contacto con el humor
acuoso [41].
Figura 2.13: Localización de la córnea en el globo ocular
Debido a su posición, la córnea tiene que cumplir ciertos criterios físicos y realizar una
variedad de funciones especializadas. Una de ellas es, junto con la esclerótica, mantener la
presión intraocular, para apoyar las estructuras internas del ojo y resistir el trauma. Además
de su función mecánica, la córnea, por ser el elemento de mayor poder de refracción del
sistema óptico [19, 39, 40] y la transparencia del ojo, permite el paso de la luz en la retina.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 30
Uno de los métodos más usuales para obtener información de la forma de la córnea es
la topografía corneal, la cual permite evaluar fundamentalmente la forma y la curvatura
corneal, buscando las regularidades o irregularidades de su superficie anterior o posterior.
Inicialmente, el estudio de la topografía corneal se limito a su curvatura. El primer
registro para determinar el radio central de la córnea, fué efectuado por Scheiner en 1619,
el cual comparaba el tamaño de la imagen formada por reflexión en la superficie de la
córnea con imágenes formadas por varios espejos convexos de diferentes curvaturas.
Luego, en 1820 Ferdinand Cuigner desarrollo un queratómetro. Este método permitía
observar imágenes sobre la córnea, utilizando un ”pinhole” y teniendo en cuenta dentro de
su protocolo el alineamiento de la fuente de luz, la córnea y el observador, [41].
En 1832, Krause, determinó las dimensiones exactas en forma y tamaño del ojo hu-
mano, incluyendo el grosor de la córnea, del cristalino y su poder refractor, describiendo
la superficie anterior de la córnea como una superficie esférica y la posterior como un
paraboloide. El aplanamiento periférico de la córnea fué reconocido por Senff en 1846.
El queratómetro o oftalmómetro, creado por Herman Helmotz en 1856, fué el primer
dispositivo que hizo posible cuantificar la curvatura corneal. La primera técnica más utili-
zada para determinar clínicamente la topografía corneal fué la queratometría, este sistema
se basa en las leyes de la reflexión y considera a la superficie anterior de la córnea como
un espejo convexo.
Luego, el portugués Antonio Placido desarrolló el queratoscopio, inventado original-
mente por Henry Goode en 1847.
Placido en 1880, construyo un dispositivo que proyecta anillos concéntricos sobre la
córnea dando información sobre su superficie, pero su modelo original carecía de magni-
ficación suficiente, dando información cualitativa, pero no cuantitativa. En 1882, Placido
fotografió una de esas imágenes, por lo que se considera ese momento el inicio de la
fotoqueratoscopía.
Gullstrand en 1896, fué el primero que en aplicar la fotoqueratometría para llevar a
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 31
cabo el análisis cuantitativo de la superficie corneal utilizando como patrón de proyección
los anillos de Placido, desarrollando un algoritmo para poder cuantificar la forma de los
anillos al ser proyectados sobre la córnea; dando importantes herramientas para el análisis
de la topografía corneal; infortunadamente, este proceso era demasiado lento para llevarlo
a cabo en las prácticas clínicas.
En 1981 Rowsey y colegas inventan el corneoscopio, dispositivo capaz de documentar
e imprimir en forma rápida y ampliada la técnica de Plácido, cubriendo aproximadamente
el 55 % de la córnea, comparado con el queratómetro que sólo abarca un 8%.
En la actualidad, gracias al desarrollo de la cirugía refractiva han aparecido diversos y
sofisticados equipos que discriminan en forma muy minuciosa la topografía de la córnea.
La topografía corneal es normalmente descrita de tres diferentes maneras: cuantitati-
vamente, punto a punto ver Apéndice B, y matemáticamente.
2.1. Descripción matemática de la Córnea
Para describir la forma de la córnea, se recurre a expresiones matemáticas [1-11,
13-16], las cuales son utilizadas por investigadores en el área de la visión, debido a su
apicación en la óptica visual y en el estudio de las aberraciones. Estas expresiones ma-
temáticas, se pueden llevar a cabo de diferentes maneras, algunas describen la superficie
anterior de la córnea por medio de ecuaciones polinomicas complejas [42, 43] y otras
aproximan el perfil de la córnea a secciones cónicas [44].
Una de las expresiones matemáticas más utilizadas para describir el perfil de la córnea
es un elipsoide [45, 46]. A continuación se presenta el modelos matemático formulado por
Baker, Ecuación 2.1 [41], el cual describe una sección cónica que se utiliza para realizar
una descripción bidimensional de la superficie corneal.
y2 = 2r0x− px2, (2.1)
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 32
donde r0 es el radio apical, p es un parámetro que define cualquier familia de cónicas
que tenga el mismo radio r0 por tanto, este factor dependerá del modelo adoptado para la
forma de la córnea. Los valores de p, pueden ser:
p < 0 hipérbola,
p = 0 parábola,
0 < p < 1 elipse prolata,
p = 1 círculo,
p > 1 elipse oblata.
(2.2)
Otra de las formas usualmente utilizadas para describir la forma de la córnea son la
asfericidad Q y la excentricidad e, las cuales pueden aplicarse a las superficies cónicas. A
continuación se presenta la Tabla 2.4, donde se encuentran las relaciones entre ellas.
e2 p Q
e2 1− p −Qp 1− e2 1 +Q
Q −e2 p− 1
Tabla 2.4: Relaciones más utilizadas para describir la forma de la córnea [41]
A continuacion en la Tabla 2.5, se presentan algunos valores de asfericidad Q, para la
superficie anterior determinada por diferentes autores. Es importante notar, que los valo-
res negativos de asfericidad indican que la córnea se aplana en dirección a la periferia,
correspondiendo a una elipse prolata.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 33
Autor/Año Asfericidad Q
Townsley/1970 -0.30
Mandell et al./1971 -0.23
Guillon et al./1986 -0.18
Patel et al./1993 -0.01
Tabla 2.5: Valores de asfericidad para la superficie anterior de la córnea [41]
2.1.1. Potencia
Una vez conocido el radio de curvatura de cada punto de la superficie anterior de la
córnea (axial o tangencial), se puede conocer la potencia a través de la siguiente Ecuación:
P =n2 − n1
r, (2.3)
donde n1 es el índice de refracción del aire (n1 = 1), n2 es el índice de refracción
de la córnea que según el Modelo del Ojo de Indiana [47], es n2 = 1.333 y r el radio
de curvatura de la superficie expresado en m. La misma ecuación pude ser aplicada a
la superficie posterior de la córnea, teniendo en cuenta que n1 representa el índice de
refracción de la córnea y n2 el índice de refracción del humor acuoso que es 1,3375.
Reemplazando estos valores en la Ecuación 2.3, se tiene:
P =0, 333
r. (2.4)
Por tanto, la ecuación 2.4, estima el poder de refracción paraxial, cuando los rayos
incidentes son aproximadamente normales a la córnea, siendo válida solamente para la
zona central.
Todos los métodos expuestos anteriormente permiten obtener información sobre la
superficie anterior de la córnea, sin embargo si lo que se desea es realizar un proceso
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 34
descriptivo más exacto de la córnea se debe considerar que esta formada por dos super-
ficies refractoras. Con un índice de refracción de 1,337, y valores promedios de radio de
curvatura de la superficie anterior de 7,8 mm y para la posterior de 6,5 mm (Figura 2.14).
Figura 2.14: Modelo esquemático de la córnea
2.2. Técnicas para la determinación de la topografía cór-
nea
En la actualidad, existen varios métodos que permiten determinar la topografía corneal.
En esta sección, se describiran las técnicas más utilizadas para determinar la topografía
corneal,las cuales pueden dividirse en dos grupos: las que utilizan el principio de reflexión
y las basadas en el principio de proyección [48-52].
2.2.1. Técnicas que utilizan el principio de reflexión
En esta técnica se proyectan unos patrones sobre la cara anterior de la córnea que
actúa como superficie de reflexión, de modo análogo a como lo hacen los queratómetros
y los fotoqueratoscopios, utilizan la película lagrimal como un espejo convexo. Según la
óptica geométrica, en los espejos convexos cuanto más curva es la superficie, más pequeña
resulta la imagen reflejada y más juntos aparecen los patrones, [53, 54]. Así se puede
calcular la pendiente de la córnea, y con la información de la inclinación de la superficie
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 35
anterior de la córnea se calcula el radio de curvatura y, a partir de él, el poder corneal.
La única manera de estimar datos de elevación es midiendo la altura del ápex corneal
con respecto a una superficie de referencia, que algunos topógrafos consiguen utilizando
premisas que en ocasiones no se cumplen en la realidad. Una de las técnicas más utilizados
es la queratometría.
2.2.1.1. Queratometría
La queratometría (de queratos que es cuerno, córnea y metros que es toma de medidas),
es una prueba realizada a un paciente en la que se determina el radio de curvatura de la
superficie anterior de la córnea. El principio óptico en el que se basa se presenta en la
Figura 2.15, donde la córnea se considera como un espejo convexo.
Figura 2.15: Principio óptico del queratómetro
De la Figura 2.15, por semejanza de triángulos, se tiene que:
h
x=h′
f ′, (2.5)
donde h es el tamaño del objeto, h′ es el tamaño de la imagen, x es la distancia entre
el objeto y el vértice del espejo y f ′ es la distancia focal del espejo convexo que se ha
ubicado aproximadamente igual a la distancia desde el vértice a la imagen.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 36
Como la distancia focal para un espejo esférico convexo f ′ es la mitad de su radio de
curvatura f ′ =r
2, reemplazando en la Ecuación 2.5:
r
2x=h′
h, (2.6)
donde r es el radio de curvatura del espejo convexo.
Por tanto, conociendo el tamaño del objeto, el tamaño de su imagen y la distancia entre
el objeto y la superficie, se puede obtener directamente el radio de curvatura:
r =2h′x
h. (2.7)
La Ecuación 2.3 es la base de la mayor parte de los queratómetros, dicha ecuación
puede denominarse fórmula queratométrica, la cual también permite obtener la potencia
dióptrica. En estos instrumentos el valor máximo del índice de refracción de la córnea
tomado es de 1,3375, el cual se utiliza teniendo en cuenta una aproximación para las
superficies anterior y posterior de la córnea.
2.2.1.2. Fotoqueratoscopia
Inicialmente, la queratoscopía permitía obter información cualitativa de la forma de
la córnea. Para conseguir más información, se hizo necesario almacenarla para posterior-
mente ser analizada. El primer análisis cuantitativo fué atribuído a Gullstrand, él ubico una
cámara fotográfica en la abertura central de los disco de Plácido y desarrollo un algoritmo
para obtener datos cuantitativos a partir de las imágenes de los anillos de Plácido [55-57].
A partir de entonces, surgieron varios fotoqueratoscópios los cuales tenían como objetivo
de medir mayores áreas utilizando patrones de formas diferentes.
En la actualidad, se han publicado diferentes trabajos sobre el diseño y la implemen-
tación de diferentes queratoscopios [58].
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 37
2.2.1.3. Videoqueratoscopia
Los sistemas de videoqueratoscopia, utilizan cámaras CCD para la adquisición de las
imágenes. En ellos, la imagen de las patrones estilo disco de Plácido se capturan en forma-
to de vídeo, se digitalizan y se analizan mediante computador. Al utilizar un videoquera-
toscopio comercial, el paciente se debe fijar en una luz situada en el centro del cono de las
miras, y es fundamental que quien capture la imagen, alinee bien la imagen en los ejes x
e y (controlados por una cruz lateral) y en el z, es decir, que la imagen esté bien enfocada,
Figura 2.16.
Figura 2.16: Imagen de anillos de Plácido obtenida por queratoscopía
La mayoría de los sistemas utiliza el centro de la mira más interna o la reflexión de
la luz de fijación como punto de referencia a partir del cual la posición de cada punto se
puede derivar matemáticamente. De este modo se obtiene información cuantitativa acerca
de una superficie corneal (de aproximadamente 11 mm) que sólo excluye el área muy
central (<0,3 mm). En ocasiones se puede perder algo de información por la existencia de
sombras correspondientes a la nariz, las cejas o los párpados.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 38
2.2.2. Técnicas que utilizan el principio de proyección
En estos sistemas, la imagen se forma en la superficie de la película lagrimal del mis-
mo modo que una diapositiva se proyecta sobre una pantalla. Se caracterizan por medir
directamente la forma auténtica de la córnea, y por eso se pueden derivar de ellos la incli-
nación, el radio de curvatura y el poder corneal. Entre otras ventajas, tienen la posibilidad
de cubrir la totalidad de la córnea,manteniendo la precisión de la reconstrucción de los
datos tanto muy centrales como muy periféricos con un nivel de resolución habitualmente
superior al de los sistemas de reflexión. Además, pueden caracterizar muy bien las varia-
ciones sobre la normalidad en la córnea, ya que no asumen ninguna forma predeterminada
de la misma y son capaces de obtener información de áreas irregulares no reflectivas que
aparecerían mudas para un topógrafo de reflexión.
Los sistemas de proyección son menos sensibles a una falta de alineación perfecta o
enfoque que los de reflexión y, por lo tanto, menos proclives a errores dependientes del
examinador. Sin embargo, el papel que el espesor de la película lagrimal pueda jugar en
la reconstrucción de los mapas no se conoce completamente al día de hoy. Espesores de
película lagrimal tan variables como de 7 a 40 µm podrían dar lugar a resultados tanto
generales de toda la córnea como focales muy dispares en estos sistemas que poseen una
resolución tan alta. Además, por eso hay que controlar la representación del menisco la-
grimal creado por los párpados. A su vez, estos sistemas pueden utilizar la proyección de
hendiduras,rasterografía, interferencia de moiré.
2.2.2.1. Topógrafos de proyección de hendidura
Los topógrafos de proyección de hendidura, como el Orbscan R©, obtienen 40 imáge-
nes de la totalidad de la córnea que contienen cada una 240 puntos, lo que hace un total
de 9.600 puntos, con una resolución de 2 µm. La hendidura escanea la córnea con un
ángulo de incidencia conocido, y la cámara, también con un ángulo conocido, adquiere
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 39
la imagen que contiene los contornos de la cara anterior y posterior de la córnea, lo que
permite por sustracción conocer también el grosor de la misma. La principal limitación
del sistema es que requiere un tiempo de adquisición de imágenes relativamente largo (0,8
segundos)durante el cual pueden darse alteraciones debidos al movimiento de los ojos
[59].
2.2.2.2. Topógrafos de rasterestereografía
En los topógrafos de rasterestereografía o rasterfotogametría, una malla es proyectada
sobre la película lagrimal con una inclinación conocida. La elevación se calcula median-
te la comparación del desplazamiento de la malla cuando se proyecta sobre la córnea a
diferencia de cuando se proyecta sobre una superficie plana.
2.2.2.3. Topógrafos que utilizan interferometría de moiré
En los topógrafos regidos por interferencia de moiré, dos conjuntos de líneas paralelas
se proyectan oblicuamente sobre la córnea, uno desde el lado temporal y otro desde el
nasal, sobreponiéndose en la córnea. La adición de estas dos imágenes da lugar a franjas
de interferencia circulares que representan puntos de igual altura [60].
Existen varios trabajos publicados sobre la determinación de la curvatura anterior y
posterior de la córnea, estos estudios determinan la curvatura de la superficie anterior
porque están más enfocados en aplicaciones para la cirugía refractiva, en las Tablas 2.6 y
2.7 se presentan los valores reportados por dichos trabajos.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 40
Autor/Año Número de ojos Radio de Curvatura Observaciones
Gullstrand/1909 [34] 6,8
Le Grand/1980 [34] 6,5
Royston et al./1990 [36] 15 6,35 Meridiano vertical
Dunne et al./1991 [41] 60 6,78 Meridiano horizontal
Dunne et al./1992 [41] 60 6,82 Meridiano horizontal
Patel et al./1993 [41] 20 5,81 Meridiano horizontal
Edmund/1994 [41] 6,71
Lam et al./1997 [41] 60 6,51 Meridiano horizontal
Dubbelman et al./2002 [41] 83 6,40
Dubbelman et al./2006 114 6,53
Tabla 2.6: Radio de curvatura medio de la superficie posterior de la córnea
Algunos autores [61-63], encontraron una relación entre los valores de los radios de
curvatura anterior y posterior de la córnea dada por:
rpost = 0, 81 ∗ rant. (2.8)
Si se considera que la superficie anterior de la córnea está en contacto con aire (n=1) y
la superficie posterior con el humor acuoso (n=1,336), se puede considerar la potencia de
cada una de las superficies corneales y por tanto la potencia total, utilizando la Ecuación
paraxial:
P = Pant + Ppos − Pant ∗ Ppos ∗e
n′, (2.9)
dónde, Pant es la potencia de la superficie anterior , Ppos es la potencia de la superficie
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 41
Autor/Año Número de ojos Radio de Curvatura Observaciones
Gullstrand/1909 [34] 7,7
Gullstrand/1924 [41] 220 7,858 Hombres
Stenstrom/1948 [41] 1000 7,86
Gullstrand-Emsley/1952 [34] 7,8
Tait/1956 [41] 2000 7,85
Sorsby et al./1969 [41] 194 7,80
Lowe/1969 [41] 157 7,67
Le Grand/1980 [34] 7,8
Royston et al./1990 [41] 15 7,77 Meridiano horizontal
Dunne et al./1991 [41] 60 7,92 Meridiano horizontal
Dunne et al./1992 [41] 60 7,96 Meridiano vertical
Patel et al./1993 [41] 20 7,71 Meridiano horizontal
Longanesi et al./1996 [41] 38 7,76 Meridiano vertical
Lam et al./1997 [41] 60 7,80 Pacientes chinos
Bennett-Rabbetts/1998 [34] 7,8
Dubbelman et al./2002 [41] 83 7,87
Tabla 2.7: Radio de curvatura medio de la superficie anterior de la córnea
posterior, e es el espesor corneal y n′ el indice de refracción de la córnea [41].
Las potencias de cada superficie se calculan usando la siguiente Ecuación 2.3, con-
siderando n′ = 1, 376, n = 1 y r = 7, 8 ∗ 10−3m, para el calculo de la potencia de la
superficie anterior, y sustituyendo estos valores en la ecuación 2.3, se tiene que:
Pant = +48, 21D.
Para calcular la potencia de la superficie posterior se considera n′ = 1, 376, n = 1, 336
y r = 6, 8 ∗ 10−3m, por tanto:
Ppos = −5, 88D.
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 42
Sustituyendo los valores obtenidos en la Ecuación 2.3, y considerando un valor medio
del espesor corneal de 550 µm para un espesor corneal central, se obtiene un valor de
+42,22 D, para una potencia total de la córnea que como ya se mencionó, representa cerca
del 70 % de la potencia total del ojo.
En el cálculo de la potencia corneal se consideran las superficies corneales esféricas,
así como un espesor corneal constante. Pero, en la realidad el espesor corneal varia del
centro a la periferia de la córnea, y la superficie corneal tiene una forma asférica [1-12], es
por ello que existen dispositivos comerciales que permiten obtener información real tanto
de la superficie anterior como posterior de la córnea.
Teniendo en cuenta que si se toma como modelo esquemético del ojo humano un siste-
ma compuesta por solo una lente (Figura 2.17), la cual esta constituída por dos superficies
refractoras, las cuales si se relacionan con la disposición de la córnea en el ojo humano es-
tán dispuestas como se presenta en la Figura 2.18, se podrá realizar en el siguiente capítulo
un análisis de las superficies refractoras desde el punto de vista de la óptica geométrica y
su relación con la llamada aberración esférica.
Figura 2.17: Modelo esquemático optado
Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 43
Figura 2.18: Relación entre el modelo esquemático optado y la córnea
Capítulo 3
Análisis de Lentes Simples de Gran
Profundidad de Foco
Las aberraciones se han observado desde que aparecieron los primeros instrumentos
ópticos como microscopios y telescopios en los siglos XVII y XVIII y, por supuesto han
tratado de corregirse. Al estudio y modelado de las aberraciones han contribuido: Ernst
Abbe (1840-1905) quien trabajo para la empresa Carl Zeiss, Philipp Ludwig von Seidel
(1821-1896) con sus aportes desde la óptica geométrica y Fritz Zernike (1888-1966), entre
otros [35].
La aberración esférica es la más importante de todas las aberraciones primarias, ya que
afecta a todo el campo de una lente, incluyendo las proximidades del eje óptico (Toraldo
Di Francia, 1953). El nombre de esta aberración se debe a que se observa en la mayoría
de las superficies esféricas, de refracción o reflectantes [35]. Esta aberración es debida a
las diferentes posiciones de enfoque de los rayos marginales y paraxiales, tal y como se
muestra esquemáticamente en la Figura 3.1. El valor de ésta aberración se puede calcular
por medio de diferentes métodos.
44
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 45
Figura 3.1: Aberración esférica de una lente simple
Desde el punto de vista del trazado de rayos, sin tener en cuenta la aproximación pa-
raxial, la aberración esférica ocurre para un objeto puntual en el eje de una lente simple
donde los rayos del objeto que pasan a través de las regiones exteriores de dicha lente lle-
gan a un foco en un punto diferente de los rayos que pasan cerca del centro de la misma.
En consecuencia, la imagen formada será una mancha circular de luz, cuyo diámetro se
denomina círculo de menor confusión, en el cual se produce la menor perdida de informa-
ción y por tanto es la posición donde la calidad de la visión es menos afectada, ver Figura
3.2.
Figura 3.2: Aberración esférica y círculo de menor confusión de una lente simple
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 46
Se han propuesto varios modelos del sistema ocular. Uno de ellos, es relacionarlo
con una cámara fotográfica. En la actualidad las cámaras fotográficas contienen sistemas
ópticos de múltiples lentes con el fin de reducir al mínimo las aberraciones, logrando una
mejor calidad en la imagen. Sin embargo, en los inicios de la fotografía, existían cámaras
simples que usaban sólo una lente la cual permitía una gran profundidad de foco con
resoluciones de imagen aceptables.
En este capítulo, se realizará un análisis teórico de la aberración esférica con el fin de
llevar a cabo su cálculo y determinar así la mejor posición del enfoque de los rayos; en
otras palabras, determinar la posición del círculo de menor confusión.
Para llevar a cabo estos propósitos: en la primera sección, se lleva a cabo, desde el
punto de vista de la óptica geométrica, el cálculo de la aberración esférica.
En la segunda sección, se analiza la aberración esférica primaria para una lente delga-
da.
En la sección tres, se analiza la aberración esférica utilizando funciones polinómicas.
En la sección cuarta, se analiza la cáustica.
3.1. Cálculo de la Aberración Esférica
Para llevar a cabo el cálculo de la aberración esférica se tendrán en cuenta las ecua-
ciones básicas del trazado de rayos meridionales refractados en una superficie esférica,
Figura 3.3.
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 47
Figura 3.3: Rayos meridionales refractados en una superficie esférica
En la Figura 3.3, se muestra una superficie refractante esférica y un rayo interceptando
la superficie en el punto P. La superficie normal a P es N la cual coincide con el centro de
curvatura de la superficie esférica, C. La convención de signos utilizada, supone que la luz
viaja de izquierda a derecha, por tanto:
-El radio de curvatura r es positivo si el centro de curvatura está a la derecha del vértice
de la superficie refractora y negativo en caso contrario. La curvatura C es la inversa de el
radio de curvatura (c = 1r).
-Los ángulosU yU ′ de acuerdo con la geometría analítica, son positivos si la pendiente
del rayo es positivo y negativos en el caso contrario.
-El ángulo de incidencia I es positivo si el rayo llega a la superficie de izquierda a
derecha, por debajo del normal, o de derecha a izquierda por encima de lo normal. Este
ángulo es negativo en caso contrario.
-El ángulo de refracción I ′ es positivo si el rayo sale de la superficie de izquierda a
derecha, por encima de la normal, o de derecha a izquierda por debajo del normal. Este
ángulo es negativo en caso contrario.
-L es la distancia desde el vértice de la superficie a la intersección del rayo antes de la
refracción con el eje óptico (objeto). Es positiva si este objeto es a la derecha del vértice,
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 48
y negativa si está a la izquierda.
-L′ es la distancia desde el vértice de la superficie a la intersección del rayos después de
la refracción (imagen). Es positiva si esta imagen está a la derecha del vértice, y negativa
si está a la izquierda. Esta regla es válida para la luz que viaja de izquierda a derecha, así
como para la luz que viaja de derecha a izquierda.
-Y es la altura del rayo incidente, es positiva si el rayo atraviesa a la superficie óptica
por encima del eje óptico y negativa en caso contrario.
-n y n′ son los índices de refracción de los medios.
Teniendo en cuenta la convención de signos descrita y utilizando la les del seno; de la
Figura 3.3, para los triángulo PCB y PCA, se tiene:
sin I
L− r= −sinU
r, (3.1)
y
sin I ′
L′ − r= −sinU ′
r. (3.2)
Sumando los ángulos internos para los triángulos PCB y PCA, y utlizando la Ley de
Snell, se tiene:
I − U = I ′ − U ′, (3.3)
y
n
n′=
sin I ′
sin I. (3.4)
Utilizando además el Método Q-U para trazado de rayos, se analizará la Figura 3.4,
definiendo el rayo meridional por el ángulo U y un segmento perpendicular Q desde el
vértice de la superficie de los rayos meridionales.
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 49
Figura 3.4: Trazado de rayos meridionales por el método Q-U
De donde se puede analizar que:
sin I = Qc+ sinU. (3.5)
Luego, utilizando la ley de Snell y la definición de la Ecuación 3.3, se tiene que:
Q′ =sin I ′ − sinU ′
c. (3.6)
Para obtener las expresiones equivalentes cuando la superficie es plana (c=0), de la
Figura 3.4, se puede ver que:
− sinU =Q
L
y
tanU =Y
L.
Utilizando la Ecuación 3.1 y multiplicando por nr, se tiene que:
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 50
n
L=n
r− n
r
sin I
sin I − sinU. (3.7)
Luego, utilizando la Ecuación 3.2, se tiene:
n′
L′=n′
r− n′
r
sin I ′
sin I ′ − sinU ′. (3.8)
Restando las Ecuaciones 3.8 y 3.7 y utilizando la ley de Snell, resulta:
n′
L′− n
L=
(n′ − n)r
+n sin I ′
r
(− 1
sin I − sinU− 1
sin I ′ − sinU ′
). (3.9)
La Ecuación anterior es exacta y nos es útil, para encontrar la dependencia de la abe-
rración esférica con el diámetro del círculo de mínima confusión.
Antes de calcular esta aberración, se tendrán en cuenta algunas expresiones de los valo-
res de los segmentos Q y Q’, definido a partir del trazado de rayos meridionales refractados
en una superficie esferica, como se presentan en la Figura 3.3. A partir de las definiciones
para dichos segmentos dadas por las Ecuaciones 3.5 y 3.6, y utilizando algunas relaciones
trigonométricas se tiene que:
Q
r= sin I − sinU = 2 sin
(I − U
2
)cos
(I + U
2
)(3.10)
y
Q′
r= sin I ′ − sinU ′ = 2 sin
(I ′ − U ′
2
)cos
(I ′ + U ′
2
). (3.11)
Teniendo en cuenta el valor del segmento PA desde el vértice hasta la intersección del
rayo marginal con la superficie óptica, como se muestra en la Figura 3.5:
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 51
Figura 3.5: Refracción de un rayo meridional en una superficie esférica
Se tiene que:
PA = 2r sin
(I − U
2
)= 2r sin
(I ′ − U ′
2
), (3.12)
por tanto,
Q = 2r sin
(I − U
2
)cos
(I + U
2
)= PA cos
(I + U
2
)(3.13)
y
Q′ = 2r sin
(I ′ − U ′
2
)cos
(I ′ + U ′
2
)= PA cos
(I ′ + U ′
2
). (3.14)
Ahora, basándonos en una definición más formal para el cálculo de la aberración es-
férica, como se muestra en la Figura 3.6, y teniendo en cuenta que para un sistema con n
superficies ópticas, la imagen de una superficie será el objeto para la siguiente superficie.
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 52
Figura 3.6: Definición de la aberración esférica longitudinal SphL
De la Figura 3.6, se puede notar que la aberración esférica longitudinal para la imagen
es:
SphL = L′ − l′ (3.15)
y la aberración esférica longitudinal para el objeto, antes de pasar por la superficie
óptica, está dada por:
SphL−1 = L− l. (3.16)
Donde el sub índice -1 indica una superficie anterior.
Por tanto, para encontrar una expresión para la aberración esférica se utlizará el Mé-
todo descrito por Conrady en 1957. El primer paso es considerar la Ecuación 3.9, que se
puede escribir como:
n′
l′− n
l=
(n′ − n)r
+n sin I
r
(1
sin I − sinU− 1
sin I ′ − sinU ′
).
Reagrupando términos se tiene que:
n′
l′− n
l=
(n′ − n)r
+n sin I
r(sin I − sinU)
(1− sin I − sinU
sin I ′ − sinU ′
), (3.17)
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 53
pero, reescribiendo la Ecuación 3.1 y multiplicandola por un factor nr, se tiene que:
r
L= 1− sin I
sin I − sinU,
reemplazando la expresión antes mencionada en la Ecuación 3.17, resulta:
sin I
sin I − sinU=1-
r
L=L− rL
. (3.18)
Utilizando los valores de Q y Q′ de las Ecuaciones 3.13 y 3.14, se tiene:
n′
L′− n
L=
(n′ − n)r
+n(L− r)
rL
(1− Qr
Q′r
),
por tanto,
n′
L′− n
L=
(n′ − n)r
+n(L− r)
rL
(1− Q
Q′
). (3.19)
La Ecuación 3.19, es exacta para cualquier rayo meridional. Para los rayos paraxiales,
se tiene la Ecuación de Gauss, dada por:
n′
l′− n
l=n′ − nr
, (3.20)
restando las Ecuaciones 3.20 y 3.19, se tiene:
n′(L′ − l′)L′l′
− n(L− l)Ll
=n(L− r)
Lr
(Q
Q′− 1
). (3.21)
Reorganizando, la Ecuación 3.21 se tiene:
(L′ − l′) = L′l′n(L− r)n′Lr
(Q
Q′− 1
)+L′l′n(L− l)
n′Lr,
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 54
por lo tanto,
SphL =L′l′n(L− r)
n′Lr
(Q
Q′− 1
)+L′l′n(L− l)
n′Lr,
reemplazando, obtenemos:
SphL =
[nL′l′
n′Ll
]SphL−1 +
n(L− r)L′l′
n′rL
(Q−Q′
Q
). (3.22)
Sustituyendo la Ecuación 3.13 en 3.14, resulta:
SphL =
[nL′l′
n′Ll
]SphL−1 +
n(L− r)L′l′
n′rL
(cos(I+U2
)− cos
(I′+U ′
2
)cos(I′+U ′
2
) ). (3.23)
Utilizando la siguiente identidad trigonométrica:
cosα− cos β = 2 sin
(β + α
2
)sin
(β − α2
)(3.24)
y teniendo en cuenta que U = U ′ + I − I ′, se obtiene:
SphL =
[nL′l′
n′Ll
]SphL−1 +
2n(L− r)L′l′
n′rL
(sin(I+U ′
2
)− sin
(I−I′2
)cos(I′+U ′
2
) ). (3.25)
Donde el primer término es la amplificación longitudinal de la superficie, el segundo
término la aberración esférica introducida por la superficie óptica y el último término la
aberración esférica longitudinal transferida.
La Ecuación 3.25, determina la aberración esférica para un sistema compuesto por dos
superfies refractoras, pero como la idea es encontrar una ecuación que defina la aberración
esférica en términos de parámetros que se puedan medir fácilmente, se hizo uso del método
propuesto por Delano en 1952. Este método presenta una relación de refracción de un rayo
paraxial y uno marginal, como se aprecia en la Figura 3.7. Estos rayos no necesariamente
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 55
se originan en el mismo espacio objeto.
Figura 3.7: Relación de Delano
De la Figura 3.7, se tiene:
sinU = − sx,
por tanto:
SphL = − s′
sinU ′
ySphL−1 = −s
sinU, (3.26)
obteniendo así:
SphL =
[nU sinU
n′U ′ sinU ′
]SphL−1 −
ni(Q′ −Q)n′U ′ sinU ′
. (3.27)
Reemplazando los valores de los segmentos Q y Q′ de las Ecuaciones 3.13, 3.14 y
3.24 se tiene:
SphL =
[nU sinU
n′U ′ sinU ′
]SphL−1 −
2niPA
n′U ′
[sin(I+U ′
2
)sin(I′−I2
)sinU ′
]. (3.28)
La ecuación anterior puede aplicarse a sistemas ópticos formados por k superficies a
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 56
lo largo de un eje común. Para pequeñas aperturas PA es aproximado a la altura y del rayo
meridional.
Usando relaciones de transferencia: U+ = U ′, u+ = u′, n+ = n′ y remplazándolas se
tiene:
SphLk =
[n1U1 sinU1
n′kU′k sinU
′k
]SphL0 +
k∑j=1
2niPA
n′kU′k
[sin(I+U ′
2
)sin(I′−I2
)sinU ′k
]. (3.29)
Donde el sub índice 0 es para el objeto, el sub índice k es para la superficie anterior y
el sub índice k + 1 es de la superficie de la imagen. El factor que acompaña SphL0 es el
aumento longitudinal de todo el sistema.
3.1.1. Aberración Esférica Primaria
La aberración esférica primaria es obtenida cuando la abertura es lo suficientemente
grande para alejarse de la aproximación paraxial y entonces producir aberración esférica,
pero, lo suficientemente pequeña para evitar los términos de alto orden.
Por tanto, si PA = y en la Ecuación 3.29, entonces:
SphLk =
[n1U
21
n′kU′2k
]SphL0 +
k∑j=1
niy(i+ u′)(i′ − i)2n′kU
′2k
. (3.30)
Donde el factor que acompaña a SphL0 es la magnificación longitudinal del sistema
óptico.
La ecuación anterior puede escribirse como:
SphLk =
[n1U
21
n′kU′2k
]SphL0 +
k∑j=1
SphLc, (3.31)
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 57
donde SphLc es la aberración esférica longitudinal y está dada por:
SphLc =yni(i+ u′)(i′ − i)
2n′ku′2k
=yni(i+ u′)
(nn′ i− i
)2n′ku
′2k
=y nn′ i
2(i+ u′)(n− n′)2n′ku
′2k
. (3.32)
Reescribiendo la expresión anterior se tiene:
SphLc =ny4F 2
2n′ky21
( nn′− 1)[(1
r− 1
l
)n
n′− 1
l
] [1
r− 1
l
]2, (3.33)
donde F es la distancia focal efectiva que se define como la distancia desde el plano
focal hasta un plano imaginario llamado plano principal y y1 es la altura de un rayo me-
ridional a la entrada de la pupila. Reemplazando y por S, (S2 = x2 + y2), debido a la
simetría de rotación del sistema óptico, la aberración esférica longitudinal puede escribir-
se como:
SphL = aS2, (3.34)
donde a es el coeficiente de la aberración esférica longitudinal.
Luego, la aberración esférica transversal:
SphT = bS3, (3.35)
donde b es el coeficiente de la aberración esférica transversal.
Los valores de la aberración esférica transversal son fáciles de obtener a partir de la
aberración esférica longitudinal:
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 58
u1 = −SphT0SphL0
,
u′k = −SphTkSphlk
. (3.36)
Es importante notar que la aberración esférica longitudinal es positiva, si el foco mar-
ginal está a la derecha del foco paraxial.
Usando la Ecuación 3.36 la aberración esférica transversal se puede escribir como:
SphTk =
[n1u1n′ku
′k
]SphT0 +
k∑j=1
SphTC, (3.37)
donde la contribución de la aberración esférica transversal es:
SphTC =y nn′ (n− n′)(i+ u′)i2
2n′ku′k
. (3.38)
Con frecuencia, la Ecuación 3.38 se expresa de la siguiente manera:
SphTC = σi2, (3.39)
dónde:
σ =y nn′ (n− n′)(i+ u′)
2n′ku′k
. (3.40)
Puesto que nuestro trabajo está enfocado a encontrar el diámetro de circulo de mínima
confusión del ojo, y éste se relaciona directamente con la aberración esférica transversal,
se generalizará la Ecuación 3.38 que se analizó para una sola superficie refractora para
una lente delgada o gruesa, recordando que una lente está compuesta por dos superficies
refractoras. Dicha relación se puede calcular a partir de la Ecuación 3.33 pero sumando
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 59
las contribuciones para las dos superficies:
SphT =(n− 1)l′22n2y2
[(1
r1− n+ 1
l1
)(1
r1− 1
l1
)2
y41 −(
1
r2− n+ 1
l′2
)(1
r2− 1
l′2
)2
y42
].
(3.41)
Particularizando el caso, para lentes delgadas, se tiene que:
SphT =(n− 1)kl′2y
3
2n
{(n2k − c1 + (n+ 1)ν1
)(nk − 2 (c1 − ν1)) + n (c1 − ν1)2
},
(3.42)
dónde:
ν1 =1
l1,
c1 =1
r1,
c2 =1
r2,
k = c1 − c2.
(3.43)
Hasta el momento, se puede analizar que la magnitud de la aberración esférica depende
de la forma de la lente y de las posiciones objeto e imagen.
La siguiente expresión de la aberración esférica para lentes delgadas fué calculada por
Conrady en 1957:
SphT = −l′ky3(G1k
3 −G2k2c1 +G3k
2ν1 +G4kc21 −G5kc1ν1 +G6kν
21
). (3.44)
Particularizando el caso, para objetos en el infinito l′k = f, y para objetos a una distan-
cia finita l′k = [k(n− 1) + ν1]−1 .
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 60
Donde, las funciones G de la ecuación 3.44 están determinadas por:
G1 =n2(n− 1)
2,
G2 =(2n+ 1)(n− 1)
2,
G3 =(3n+ 1)(n− 1)
2,
G4 =(n+ 2)(n+ 1)
2,
G5 =2 (n2 − 1)
n,
G6 =(3n+ 2)(n− 1)
2n.
(3.45)
De aquí se puede observar que la aberración esférica se incrementa con el cubo de la
abertura.
3.1.2. Polinomios de Aberración para la Aberración Esférica
En la sección 3.1.1, se encontraron expresiones para la aberración esférica, teniendo
en cuenta aberturas relativamente pequeñas, por lo que los términos de alto orden no se
consideraban. Pero si la abertura es grande se debe tener en cuenta la altura de los rayos.
Considerando ésta altura, se tiene:
ρ = S. (3.46)
La ecuación anterior representa la altura de los rayos en la pupila de salida donde
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 61
S2 = x2 + y2, entonces la aberración esférica longitudinal, esta dada por:
LA0(ρ) = a0 + a2ρ2 + a4ρ
4 + a6ρ6 + ... =
∞∑i=0
a2iρ2i, (3.47)
donde a0 es el desplazamiento longitudinal del foco paraxial de referencia, a2ρ2 es
la aberración esférica longitudinal primaria ó de 3 orden, a4ρ4 es la aberración esférica
longitudinal secundaria ó de 5 orden.
Luego, la aberración esférica longitudinal y transversal se pueden expresar a partir de
la Ecuación 3.36 de la siguiente manera:
u′k = −TA0(ρ)
LA0(ρ)= − ρ
rw, (3.48)
donde rw es el radio de curvatura del frente de onda esférico de referencia con semi-
diámetro unitario.
De manera general, si el radio de curvatura es la distancia de la pupila a la imagen:
rw = lk − l′k, (3.49)
entonces:
TA0(ρ) = b1ρ+ b3ρ3 + b5ρ
5 + b7ρ7 + ... =
∞∑i=0
b2i+1ρ2i+1, (3.50)
donde b1ρ es la aberración esférica transversal del rayo paraxial en el plano de obser-
vación, b3ρ3 es la aberración esférica transversal primaria SphT y
b2i+1 =a2irw. (3.51)
Otra forma útil de escribir estos polinomios es por medio de la aberración del frente
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 62
de onda:
W (ρ) = c2ρ2 + c4ρ
4 + c6ρ6 + c8ρ
8 + ... =∞∑i=0
c2i+2ρ2i+2. (3.52)
El desplazamiento4f del plano de observación con respecto al foco paraxial (positivo
si se aleja de la lente) está dado por:
4f = a0 = b1rw = −2c2r2w. (3.53)
3.1.3. Caústica
En presencia de la aberración esférica los rayos de luz siguen la trayectoria que se
ilustra en la Figura 3.8. En 1978, la envolvente de estos rayos fue llamada caústica por
Alejandro Cornejo et al. [64].
Figura 3.8: Cáustica de la aberración esférica primaria.
Donde L1 es la distancia desde el foco paraxial hasta el foco marginal, L2 es la distan-
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 63
cia desde el foco paraxial hasta la posición donde la desviación del frente de onda es cero,
L3 es la distancia desde el foco paraxial hasta donde se encuentra la cintura de la cáustica,
lugar donde se encuentra el mejor enfoque y L4 es la posición desde el foco paraxial hasta
el final de la caústica.
Asumiendo solo presencia de la aberración esférica primaria y usando las Ecuaciones
3.51 y 3.53, las cuales se reemplazan en la Ecuación 3.47, la aberración esférica longitu-
dinal medida en un plano con un foco desplazado en relación al foco paraxial, está dada
por:
LA0(ρ) = a0 + a2ρ2 = b1rw + b3rwρ
2 = b1rw + SphL(ρ). (3.54)
Y la aberración esférica transversal con el mismo foco desplazado está dada por:
TA0(ρ) = b1ρ+ b3ρ3 = b1ρ+ SphT (ρ). (3.55)
Por tanto, la desviación del frente de onda W medida en la pupila de salida, con res-
pecto a la esfera de referencia con un radio de curvatura rw, es:
W (ρ) = c2ρ2 + c4ρ
4 = − b12rw
ρ2 − b34rw
ρ4. (3.56)
Considerando el foco paraxial como el plano donde no hay desplazamiento de foco, se
tendría que:
b1 = 0, (3.57)
por lo tanto, a partir de la Ecuación 3.54, la distancia L1 del foco paraxial al foco mar-
ginal, que por definición es la aberración esférica marginal, se determinaría a partir de la
variación del frente de onda de la pupila máxima con respecto a una distancia normalizada,
en este caso a0, dada por:
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 64
(d(W (ρ))
dρ
)ρ=ρmax
= − b1rwρmax −
b3rwρ3max = 0.
Por lo tanto:
b1 = −b3ρ2max,
Como b1 =a0rw
, entonces:
L1 = a0 = −b3rwρ2max. (3.58)
De la Ecuación 3.56, la posición axial del centro de curvatura de la esfera de referencia
para obtener la desviación mínima del frente de onda en el borde de la pupila de salida se
obtiene cuando:
dW (ρmax)
drw=
b12r2w
ρ2max +b34r2w
ρ4max = 0,
reemplazando, se tiene:
W (ρmax) = b1 +b3ρ
2max
2. (3.59)
Teniendo en cuenta la convención de signos:
b1 =b3ρ
2max
2. (3.60)
A partir de la Ecuación 3.52, la distancia L2 del foco paraxial a la posición para la
mínima desviación del frente de onda en la pupila de salida es:
L2 = a0 = b1rw = −b32rwρ
2max =
L1
2. (3.61)
La cintura de la cáustica o mejor posición focal, que es la distancia desde el foco
paraxial hasta la cintura de la cáustica:
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 65
L3 = L1 −L2
2= −3
4b3rwρ
2max =
3
4L1. (3.62)
Por último para encontrar el final de la caústica, se impone la condición de que la
pendiente de TA(ρ) es una función de ρ y es igual a cero, al margen de la pupila de salida:
[dTA0(ρ)
dρ
]ρ=ρmax
= b1 + 3b3ρ2max = 0. (3.63)
Así,
b1 = −3b3ρ2max, (3.64)
usando de nuevo la Ecuación 3.54, la distancia L4 desde el foco paraxial al final de la
cáustica:
L4 = −3b3rwρ2max = 3L1. (3.65)
3.1.4. Relación de la Cintura de la Caústica con la profundidad de
foco
Una vez determinados los factores que influyen en la mejor posición de enfoque de una
lente simple con presencia de aberración esférica primaria, ecuación 3.62, se determinarán
los parámetros necesarios para encontrar la profundidad de foco de una lente simple de
distancia focal fija, teniendo en cuenta que para cámaras de foco fijo esta distancia se
utiliza para obtener la máxima profundidad de campo. Entendiéndose que la profundidad
de campo es mayor cuando más cerrado se encuentra el diafragma, ósea cuando menor es
el diámetro de la abertura de entrada de la lente.
De acuerdo a la Ecuación 3.62, la posición de la cintura de la cáustica es:
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 66
L3 = −3
4b3rwρ
2max =
3
4L1.
Luego el diámetro del círculo de mínima confusión, según [35] es:
w =2
c
[dW (ρ)
dρ
]ρ=ρmax
=2
c
(− b1rwρmax −
b3rwρ3max
),
como b1 =a0rw
, que es el desplazamiento del plano de observación con respecto al foco
paraxial, entonces:
w =2
c
(−a0r2wρmax −
b3rwρ3max
).
Si b3ρ2max = 2b1 =2a0rw
, entonces:
w = −6
c
(a0r2wρmax
). (3.66)
Por tanto el diámetro del círculo de mínima confusión (Figura 3.9), depende del despla-
zamiento del plano de observación con respecto al plano paraxial a0, el radio de curvatura
de la lente (r), el radio de curvatura del frente de onda esférico de referencia (rw) y la
distancia del eje óptico a un punto en el extremo de la pupila (ρmax).
Figura 3.9: Parámetros de dependencia de la cintura de la cáustica
Una vez determinado el diámetro del círculo de mínima confusión, encontraremos el
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 67
valor del rango de desplazamientos en el plano de observación, para obtener la profundidad
de foco del ojo, dado por:
a0 = −w.c.rw6.rw
(3.67)
Por tanto, si el sensor que se utiliza para determinar el diámetro del círculo de mínima
confusión es el ojo humano, y se requiere que su tamaño sea de 2 conos en la retina;
para una agudeza visual de 2020
, el diámetro del círculo de mínima confusión sería w =
5µm. Teniendo en cuenta el Modelo del ojo de Indiana [34], y considerando los valores
de diámetro máximo de la pupila=7mm, índice de refracción del humor vítreo=1.337 y
diámetro del círculo de mínima confusión=5µm,como se presentan en la Figura 3.10:
Figura 3.10: Valores adoptados para obtener la profundidad de foco del ojo
Realizando los cálculos para una superficie cuya distancia focal tiene en cuenta la
aproximación paraxial, la profundidad de foco es:
a0 = 6µm. (3.68)
Según lo analizado a lo largo de éste capítulo uno de los factores determinantes para el
cálculo de la aberración esférica es el tamaño de la pupila de entrada, parámetro que clíni-
camente no se altera, por tanto en el capítulo siguiente se estudiará otro factor importante
Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 68
que es el perfil de la superficie de entrada, el cual puede ser cambiado por medio de cirugía
refractiva la cual tiene objetivo corregir las ametropías, modificando el poder dióptrico de
la córnea. Al ser la superficie anterior de la córnea el mayor componente refractivo del
sistema ocular, la mayoría de las técnicas refractivas actuan sobre ésta zona,consiguiendo
cambios significativos en la refracción. Por tanto si se implementa una técnica capaz de
medir éstas modificaciones, se podrá realizar un monitoreo de dicha cirugía.
Capítulo 4
Resultados experimentales de la
medición de la superficie anterior
de la córnea
Como fue descrito en los capítulos anteriores el conocimiento de la topografía de la
córnea tiene innumerables aplicaciones unas de ellas se citan en los siguientes trabajos
[15-17, 21, 27-31]. Actualmente, existen en el mercado diferentes dispositivos que permi-
ten recuperar la información de la topografía corneal, un ejemplo de ellos es el Orbscan R©y
el Pentacan R©, los cuales utilizan un sistema de iluminación que proyectan en la córnea,
y posteriormente realizan un barrimiento de ésta capturando las imágenes con una cámara
de vídeo cuya disposición angular con respecto a la superficie en estudio es conocida, por
tanto aplicando un método de triangulación se obtiene la información de la superficie en
estudio.
El inconveniente de estos dispositivos comerciales además de su costo, es el poco
control que se puede obtener sobre ellos. Es por eso, que poder acceder a un dispositivo
que proporcione la misma información que dispositivos comerciales pero que sea de fácil
69
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 70
acceso es de vital importancia.
Utilizando el mismo principio de funcionamiento de dispositivos comerciales como el
Orbscan R©y Pentacan R©, se intento construir un dispositivo de reconstrucción tridimen-
sional de la superficie anterior de la córnea. Inicialmente se trato de proyectar un patrón
conocido (cuadrícula o línea) sobre un ojo de prueba, ver Figura 4.1, pero las imágenes
obtenidas para su posterior procesamiento presentaban un bajo contraste, tal y como se
muestra en la Figura 4.2, dificultando el procesamiento de imágenes, razón por la cual no
se puedo continuar con la idea.
Figura 4.1: Ojo de Prueba
Figura 4.2: Proyección de patrones conocidos
Posteriormente se pensó en mejorar el sistema de iluminación, entonces se utilizo co-
mo sistema de iluminación un Tearscope R©(Figura 4.3), el cual es un dispositivo fabricado
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 71
por Keeler Instruments Inc. Este instrumento es utilizado en optometría para observar la
película lagrimal de manera no invasiva y realizar evaluaciones sobre el tiempo de ruptura
y espesor de la capa lagrimal, para así, tener en cuenta dicho análisis en la adaptación de
lentes de contacto y en el tratamiento de la sequedad ocular.
Figura 4.3: Tearscope
Este dispositivo utiliza patrones de proyección diseñados por el Dr. Jean Pierre Gui-
llon, los cuales al proyectarse sobre una superficie corneal se observa distribuidos de ma-
nera uniforme Figura 4.4, facilitando el análisis cualitativo de la deformación de dicho
patrón al Optometrista.
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 72
Figura 4.4: Patrón del Tearscope proyectado sobre una superficie corneal
Antes de procesar las imágenes adquiridas se realiza un tratamiento digital con el fin
de eliminar el ruido presente debido a iluminación proveniente de la fuente de iluminación
utilizada, para lleva a cabo dicho procesamiento se recurre a la utilización de binarización
de imágenes, que tiene como principal objetivo lograr extraer o aislar regiones u objetos
de interés de las imágenes. Para extraer esta información se necesita aplicar algoritmos
sobre las imágenes, los cuales permitirán analizar la imagen de forma matemática y tomar
el control de ella.
La segmentación digital de una imagen se logra cuando se divide o se separa ésta, en
las partes u objetos que la conforman. La manera en la que logra esta subdivisión indicará
el método de segmentación utilizado. Los métodos más comunes de segmentación están
relacionados con las variaciones en la imagen de la intensidad de los niveles de escala
de grises, las diferencias de textura o colores entre vecindades de píxeles o simplemente
cambios drásticos en las intensidades de ciertas regiones de la imagen.
El proceso llevado a cabo después de la adquisición de la imagen consiste en identifi-
car la posición de los bordes de la córnea, para ello inicialmente se realiza un suavizado de
la imagen para reducir la influencia del speckle y del ruido de fondo debido a la ilumina-
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 73
ción ambiental con la ayuda de un filtro Canny ( Apéndice C), posteriormente el proceso
de binarización se lleva a cabo realizando un corte transversal en la imagen obtenida del
patrón proyectado; como su distribución en intensidades es aproximadamente Gaussiana
(Figura 4.5), se puede asumir que las coordenadas en la imagen de los puntos que repre-
sentan la intercepción del patrón proyectado con la superficie anterior de la córnea son en
aproximación, las coordenadas de la posición central del corte transversal.
Figura 4.5: Core transversal de la línea proyectada
Utilizando el rango de valores en niveles de gris de la Distribución Gaussiana del
patrón proyectado sobre el ojo, se definió un umbral de binarización según el siguiente
criterio:
UMBRAL = Imin +H(Imax − Imin), (4.1)
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 74
donde Imin e Imax son los valores de las intensidades mínimas y máximas respectiva-
mente de la Distribución Gaussiana y H es un valor comprendido entre 0 y 1 que se ajusta
dependiendo del nivel de ruido de toda la imagen. La posición del punto medio (PM )
del rango en píxeles con niveles de gris superior al valor del umbral, definen la posición
central de la Distribución Gaussiana.
Una vez llevado a cabo el procesamiento descrito anteriormente, se puede asumir que
las coordenadas (U,V) de los puntos que representan la intercepción del patrón proyectado
con la superficie del cuerpo a reconstruir son en aproximación, las coordenadas (U,V)
dadas en píxeles de la posición central del corte transversal. En la Figura 4.6, se muestra
el resultado de la aplicación de la teoría antes descrita sobre la imagen adquirida.
Sin embargo es importante resaltar, que hasta el momento todo el procesamiento apli-
cado es llevado a cabo sobre la imagen adquirida, la cual tiene como sistema coordenado
los píxeles, por tanto posteriormente se debe llevar a cabo un procedimiento para reali-
zar la conversión de las coordenadas de las cámaras a las coordenadas reales dadas en
milímetros.
Figura 4.6: Imagen binarizada del patrón proyectado con el Tearscope
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 75
4.1. Calibración X-Y del sistema de adquisición
Puesto que el procedimiento antes mencionado, da información de las coordenadas de
los puntos sobre la imagen binarizada en píxeles, se debe realizar un proceso de conversión
de píxeles a mm sobre el objeto para poder llevar a cabo la reconstrucción tridimensional
apropiada. Esta conversión se realiza utilizando un objeto patrón de dimensiones cono-
cidas, ubicándolo sobre el plano de ubicación de la superficie a reconstruir. En la Figura
4.7, se observan una imagen de un papel milimétrico, cuyos cuadros tienen 1mm de lado,
este papel fué utilizado como patrón de conversión. De esta imágen se puede apreciar cla-
ramente que no existe una alta influencia de las aberraciones geométricas en el objetivo
de la cámara, para ver esto, se ubican las líneas rectas en los extremos de las imágenes,
donde se puede apreciar que no existen deformaciones superiores a un píxel de la lineali-
dad del papel milimétrico. Por tanto, se puede aplicar un factor de conversión de píxeles a
milímetros directamente; de la imagen se encontró que estos factores, son:
Fx = 0, 0181mm
pixel,
y
Fy = 0, 0181mm
pixel.
Luego se procedió a encontrar la relación entre el patrón proyectado y el reflejado,
relación que típicamente es utilizada por los topografos corneales [65] [66], pero no se
obtuvieron los resultados esperados pues existía gran perdida de información entre el pa-
trón proyectado y el reflejado por la córnea en las Figuras 4.8 y 4.9, se presentan imagenes
adquiridas para el patrón de referencia y el reflejado por la córnea. Una manera de mejorar
la gran perdida de información sería realizar la captura simultanea de más de una imagen
para así solucionar los problemas presentes por las sombras producidas por las pestanãs,
así como también la inclusión de un sistema externo de iluminación para así poder tener
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 76
Figura 4.7: Imagen de un papel milimétrico ubicado verticalmente
un sistema de referencia en el momento de la unificación de la información.
Figura 4.8: Imagen del patrón de referencia
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 77
Figura 4.9: Imagen del patrón de referencia proyectado sobre la córnea
Para resolver el problema anterior inicialmente se propuso utilizar la proyección de
una línea, con la cual se realizaría un barrido circular para poder obtener la reconstruc-
ción de la superficie anterior de la córnea (Figura 4.10), por ello se decidió utilizar de un
dispositivo patentado por la Universidad de Minho Figura 4.11, el cual está compuesto bá-
sicamente por dos partes: un sistema de iluminación que permite obtener un haz en forma
de linea, y un sistema óptico para capturar las imágenes que posteriormente son procesa-
das. Todo el equipo está montado sobre un soporte que puede moverse horizontalmente y
verticalmente. También forman parte del equipo un soporte para la barbilla, donde el pa-
ciente apoya la cabeza durante las mediciones, y una computadora para el almacenamiento
de las imágenes y procesamiento de datos.
El sistema de iluminación es simple y compacto y se ha desarrollado de manera que
pueda realizar movimientos de rotación a alta velocidad. esta formado por una fuente de
luz, un sistema de colimación y una lente cilíndrica y una lente convergente. Es importante
resaltar que la lente cilindrica esta conectada a un motor que permite realizar rotaciones
controladas de ésta desde 0◦ hasta 360◦.
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 78
Figura 4.10: Línea proyectada sobre el ojo haciendo un berrido circular
Figura 4.11: Dispositivo utilizado, patentado por la Universidade do Minho
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 79
El haz de luz al centrarse en la córnea, produciendo una sección óptica y mediante su
rotación se obtienen secciones ópticas de varios meridianos de la córnea. Las imágenes
de las secciones ópticas obtenidas son capturados por dos cámaras CCD constituyendo,
junto con sus lentes, el sistema óptico del equipo. Las cámaras están dispuestas en planos
perpendiculares entre sí y sus ejes ópticos forman un ángulo conocido con respecto al haz
de luz.
Ambas cámaras están conectadas a un computador a través de una tarjetas de adqui-
sición y son controladas por un software que le permite adquirir las imágenes. Como el
haz de luz gira, las cámaras adquieren imágenes ópticas de varias secciones de la cór-
nea. Las imágenes obtenidas para cada una de las cámaras se utilizan posteriormente para
determinar la topografía de la córnea.
4.1.1. Procedimiento para la adquisición de las imágenes
Antes de la adquisición de las imágenes, el paciente debe apoyar la cabeza en el soporte
para barbilla. A continuación, con la ayuda del sistema de desplazamiento horizontal y
vertical, la línea de luz se enfoca sobre la córnea del paciente.
Luego, las dos cámaras adquieren imágenes simultáneamente, mientras que el haz de
luz gira, permitiendo obtener una exploración completa de la córnea. La adquisición se
hace en forma de una secuencia de imágenes, las cuales se analizan utilizando un algoritmo
desarrollado específicamente para este fin, utilizando el software Matlab R©.
Después de la adquisición de las imágenes para cada una de las cámaras Figuras 4.12
y 4.13, el primer paso consiste en identificar la posición de los bordes de la córnea en
cada una de las imágenes obtenidas, para ello se lleva a cabo el mismo procesamiento de
suavizado y binarización utilizado para la imagen obtenida con el Tearscope R©.
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 80
Figura 4.12: Imágenes capturadas por la Cámara 1
Figura 4.13: Imágenes capturadas por la Cámara 2
Este procedimiento se realiza para cada una de las imágenes adquiridas. Las Figuras
4.14 y 4.15, muestran los puntos representativos de la línea proyectada, capturadas para
las cámaras 1 y 2 usando un valor de H = 0.3.
Figura 4.14: Imágenes binarizadas para la Cámara 1
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 81
Figura 4.15: Imágenes binarizadas por la Cámara 2
Después, se llevo a cabo el mismo proceso de correspondencia entre las coordenada
en píxeles y las coordenadas en milímetros, para ello se utilizó un procedimiento similar
al descrito en la sección 4.1, para cada una de las cámaras, los resultados se presentan en
las Figuras 4.16 y 4.17.
(a) Imagen a 0 grados de barrido (b) Imagen a 30 grados de barrido
(c) Imagen a 150 grados de barrido
Figura 4.16: Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 1
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 82
(a) Imagen a 60 grados de barrido (b) Imagen a 90 grados de barrido
(c) Imagen a 120 grados de barrido
Figura 4.17: Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 2
Puesto que la idea fundamental es aprovechar las perspectivas de cada cámara para
reconstruir tridimensionalmente el objeto de interés, se hace necesario unificar la informa-
ción que proviene de cada una de ellas. Para llevar a cabo este proceso, se tuvo en cuenta la
coincidencia entre el eje visual y eje de iluminación, obteniendo los resultados mostrados
en la Figura 4.18.
Figura 4.18: Unificación de la información para las cámaras 1 y 2
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 83
Posteriormente, todos los puntos obtenidos de la unificación de información se ajustan
a un polinomio de cuarto grado, obteniéndose la forma de la superficies anterior de la
córnea, Figura 4.19.
Figura 4.19: Diferentes perspectivas de la superficie anterior de la córnea
Para verificar los valores obtenidos de radio de curvatura de superficie anterior de la
córnea se analizó al mismo paciente con un dispositivo comercial y los valores obtenidos
de observan en la Figura 4.20.
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 84
Figura 4.20: Valores de la superficie anterior de la córnea reportados por un topógrafo
comercial
En la Tabla 4.1, se presenta la comparación entre los valores de radio de curvatura
de la superficie anterior de la córnea reportados por el topografo corneal Orbscan y el
dispositivo utilizado.
Dispositivo utilizado Radio de curvatura promedio
[mm]
Patente Uminho 8.00±0.0182
Orbscan 7.990±0.001
Tabla 4.1: Valores reportados de la superficie anterior de la córnea por los dos dispositivos
Los resultados obtenidos demuestran que el dispositivo utilizado para obtener medidas
del radio de curvatura de la superficie anterior de la córnea junto con la técnica de proce-
Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 85
samiento digital de imágenes utilizada presentan una alta presició al ser comparadas con
un dispositivo comercial.
Capítulo 5
Conclusiones y Trabajo a Futuro
En la realización del presente trabajo de investigación se puede concluir que:
Se demostró que el diámetro de mínima confusión para una superficie refractora de-
pende de su radio de curvatura y del diámetro de la pupila de entrada del sistema, lo cual
implica que si se utiliza un modelo esquemático como el de Emsley, se podrá disminuir la
aberración esférica cambiando el radio de curvatura de la córnea.
Se demostró que los resultados obtenidos con el dispositivo utilizado para obtener me-
didas del radio de curvatura de la superficie anterior de la córnea junto con la técnica de
procesamiento digital de imágenes utilizada, presentan una alta presición al ser compara-
das con un dispositivo comercial.
Se utilizó un dispositivo que permite por medio del procesamiento digital de imágenes
obtener medidas de la superficie anterior de la córnea directamente de ojos de humanos.
Como trabajo a futuro se pretende implementar un dispositivo de reconstrucción tri-
dimensional de la superficie anterior de la córnea en el Instituto Nacional de Astrofísica
Óptica y Electrónica, el cual permitirá obtener una colaboración interdisciplinar entre las
áreas de las ciencias exactas y la salud.
Se pretenderá utilizar este dispositivo para realizar medidas sobre pacientes en ámbito
86
Capítulo 5. Conclusiones y Trabajo a Futuro 87
clínico, permitiendo obtener la información suficiente para obtener una base de datos sobre
las deformaciones presentes en la superficie anterior de la córnea, lo cual permitirá que el
dispositivo se convierta en una valiosa herramienta de diagnóstico, para la adaptación de
lentes de contacto y la valoración y el seguimiento detallado en la cirugía refractiva.
Apéndice A
Anatomía Macroscópica de la
Córnea
Situada en la abertura anterior de la esclera, la córnea, tiene una superficie de 170
mm2,representa una sexta parte del área total de la parte externa del globo ocular. Vista
de frente,la córnea mide en el adulto aproximadamente entre 11-12.5 mm., en su diámetro
horizontal y 10.5-11.5 mm., en el vertical y es más fina en el centro (una media de 0.52
mm.) que en la periferia (0.65 a 0.75 mm). Tiene forma aproximada de casquete esférico
de curvatura mayor que el globo escleral (Figura A.1).
88
Apéndice A. Anatomía Macroscópica de la Córnea 89
Figura A.1: La Córnea
A.0.2. Anatomía Microscópica
Histológicamente está formada por cinco capas: epitelio, membrana de Bowman, es-
troma, membrana de Descemet y endotelio. En situación normal, carece de vasos sanguí-
neos y linfáticos.
A.0.2.1. Epitelio
Su espesor mide 50 µm, se renueva cada 7 días y representa cerca del 10 % del espesor
total de la córnea. El epitelio corneal esta formado por 5 ó 6 filas de células estratifica-
das, no querantinizadas las cuales se agrupan en tres tipos de células: células superficiales,
intermedias y basales. Las células superficiales, tiene una forma poligonal con un diáme-
tro entre 40-60 µm teniendo mayor espesor en el centro que en la periferia. Las células
Apéndice A. Anatomía Macroscópica de la Córnea 90
intermedias tiene forma de alas y forman capas de células que migran para la superficie
de la córnea. Las células basales tienen una forma cilíndrica con una altura de 20 mm y
un ancho de 10 mm son las más activas de todo el epitelio corneal, están situadas más en
profundidad y componen la única capa de células columnares. La principal función del
epitelio es proteger al ojo de los traumas externos, impedir el paso de desechos y bacterias
a otras capas de la córnea.
A.0.2.2. Membrana de Bowman
Es una zona acelular, de 10 a 15 µm de espesor, situada debajo del epitelio. El mar-
gen anterior limita anteriormente con la membrana basal del epitelio y el borde posterior
se mezcla con las fibras de colágeno anteriores del estroma. Bajo microscopia óptica, la
membrana de Bowman parece homogénea, pero la microscopia electrónica permite obser-
var que está compuesta por fibrillas cortas de colágeno tipo I (cuya función principal es
presentar resistencia al estiramiento), con diámetros de 20 a 25 µm y bandas de 67 µm,
dispuestas al azar en una matriz amorfa. (Figura A.2).
Figura A.2: Esquema de la membrana basal epitelial, Estructuras de anclaje y Capas de
Bowman
Apéndice A. Anatomía Macroscópica de la Córnea 91
Se suele considerar que la capa de Bowman es resistente al traumatismo, ofreciendo
una barrera a la invasión corneal por microorganismos y células tumorales, pero no se
ha demostrado. Por otro lado, se ha constatado que la membrana de Bowman carece de
capacidad regeneradora cuando se lesiona. Durante la curación de la herida se forma una
capa delgada, con una fina estructura idéntica a la de la capa de Bowman; sin embargo,
esta capa secundaria no recupera su espesor original.
A.0.2.3. Estroma
Es un tejido conectivo denso, que constituye aproximadamente el 90 % del grosor de la
córnea. Consta fundamentalmente de fibras de colágeno, células y sustancia fundamental.
El 78 % es agua. Las fibrillas de colágeno corresponden aproximadamente al 80 % del
peso seco de la córnea, la sustancia fundamental el 15 % y los elementos celulares tan
sólo un 5 %.
A.0.2.4. Membrana De Descemet
Tiene un espesor de aproximadamente unos 3 µm al nacer y 8 a 10 µm en el adulto.
Es una lámina basal gruesa producida por el endotelio. Mediante microscopia electrónica
se observa que la membrana de Descemet está compuesta por zonas anterior en banda y
posterior homogénea. La zona anterior se produce en el útero, aproximadamente a los 4
meses de gestación y la porción posterior se produce después del nacimiento, y su grosor
aumenta con la edad, más en las mujeres, llegando a ser el doble que en los hombres hacia
los 70 años [67]. Periféricamente, aparecen en el ojo normal engrosamientos localizados
de la membrana de Descemet, que reciben el nombre de cuerpos de Hassall-Henle. A
diferencia de la capa de Bowman la membrana de Descemet se desprende del estroma con
facilidad, regenerándose con rapidez tras la lesión. (Figura A.3).
Apéndice A. Anatomía Macroscópica de la Córnea 92
Figura A.3: Membrana de Descemet y Endotelio
A.0.2.5. Endotelio
Posteriormente a la membrana de Descemet se encuentra una única capa da células
planas hexagonales. La microscopia electrónica permite observar las células normales de
superficie plana con bordes netamente delimitados. Las células endoteliales, de forma más
cuboidea y de una altura aproximada de 10 µm al nacer, se aplanan con la edad hasta
aproximadamente 4 µm en los adultos. Por lo general, no existe actividad mitótica en el
endotelio tras el nacimiento. Algunas células endoteliales mueren a lo largo de la vida,
dando como resultado una disminución gradual de la población de células endoteliales
con la edad. Cuando se produce una pérdida celular por la edad o por un traumatismo, las
células vecinas cubren la zona que ha quedado vacía. Ello da como resultado un aumento
del área celular y una disminución de la densidad celular.
Apéndice B
Descripción cuantitativa de la
córnea
B.1. Descripción Cuantitativa
La descripción cuantitativa de la superficie anterior de la córnea puede ser dividida en
cuatro zonas geográficas del ápex al limbo, que se pueden observar con la vídeoqueratos-
copía en color (Figura B.1) [41]:
93
Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 94
Figura B.1: Zonas de la córnea
La primera zona, es la central o óptica que mide entre 3 ó 4 mm, cubre la pupila y
es la responsable de la visión de alta definición. La parte central es casi esférica y su
curvatura no varía más de 0,05 mm., (0,25 D)[68, 69], se denomina ápex o vértice corneal.
La segunda zona es la para-central mide entre 7 u 8 mm., su radio de curvatura es mayor
que el de la zona central y en ella la córnea empieza a aplanarse junto con la zona central;
es muy importante para adaptar lentes de contacto. La tercera es la zona periférica la cual
mide 11 mm. aproximadamente,es la zona de máximo aplanamiento y la cuarta es la zona
límbica que mide 12 mm., que es como un anillo de 0,5 a 1,00 mm de ancho junto a la
esclera.
B.1.1. Centro de la Córnea
La mayoría de los sistemas ópticos hechos por el hombre tienen simetría de rotación
alrededor de una línea, conocida como el eje óptico. Si las superficies refractoras son
esféricas, ésta es la línea que une los centros de curvatura de estas superficies. Por el
contrario, para describir plenamente las propiedades ópticas del ojo humano, es necesario
Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 95
introducir diferentes tipos de ejes. Esto es debido a la carencia de simetría del ojo y debido
a que el punto de fijación y la fóvea no se sitúan a lo largo del eje de simetría más adecuado.
Normalmente, para describir a la córnea se tienen en cuenta cuatro ejes: el eje visual, el
centro geométrico, el apex corneal y el centro de la pupila de entrada [34].
El centro geométrico, o anatómico, es el punto equidistante de dos puntos opuestos
del limbo (Figura B.2) que es una zona de transición de aproximadamente tiene 1 mm
de ancho entre la córnea y la esclerótica. Se utiliza como un punto de referencia en la
adaptación y evaluación de lentes de contacto.
Figura B.2: Ubicación del Limbo
El punto de intersección con el eje visual de la córnea se denomina visual, es el punto
de referencia en la descripción de las propiedades ópticas tanto de la córnea como todo el
sistema ocular. Algunos autores sugieren que este centro es coincidente con el vértice de
la córnea.
El apex corneal es el punto de mayor curvatura de la córnea (o un radio menor de
curva).
Desde el punto de vista óptico, la pupila hace el papel de diafragma del sistema ocular
limitando los rayos luminosos que pasan al interior del ojo. El centro de la pupila de
entrada es la intercepción de la línea que une el punto de fijación y el centro de la pupila.
En la Figura B.3, se ilustran los ejes ópticos del ojo humano.
Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 96
Figura B.3: Ejes ópticos del ojo humano
B.1.2. Direcciones de la córnea
Para describir la topografía de la córnea, es importante definir una localización. Nor-
malmente, esta localización se hace a lo largo de meridianos que son líneas que cruzan
a la córnea a lo largo de su diámetro desde un punto del limbo hasta otro punto opuesto.
La designación de los meridianos depende del ángulo que hace con respecto a la línea
horizontal, comenzando por 0◦, continuando con la dirección contraria a las manecillas
del reloj hasta 180◦, Figura B.4. Otro concepto manejado es el de semi-meridiano, que
corresponde a una línea que une el centro de la córnea con un punto del limbo, Figura B.4.
Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 97
Figura B.4: Representación esquemática de meridiano y semi-meridiano de la córnea
B.2. Descripción punto a punto
En esta descripión, se representan los valores de los radios de curvatura, en diferen-
tes lugares de la córnea. Aunque este método parece sencillo, es difícil de asimilar una
impresión general de la forma de la córnea representada por un conjunto de números. Pa-
ra hacer más fácil la evaluación de la topografía corneal, estos valores se representan en
forma de gráfico de curvas de nivel. Hay varios formatos posibles para la determinación
y presentación de la topografía corneal [70], cada uno tiene sus ventajas, limitaciones y
aplicaciones.
B.2.1. Elevación corneal
Una forma de describir la forma de la topografía de la córnea es determinar la variación
punto a punto de su elevación con respecto a un plano de referencia. Generalmente, este
plano de referencia se ubica de manera tangencial al vértice de la córnea o situado al
nivel del limbo. Aunque esta técnica permite obtener una impresión general de toda la
topografía de la córnea, pueden pasar desapercibidas pequeñas deformaciones de ella. Es
por eso, que los topógrafos comerciales utilizan superficies de referencia esféricas (Figura
Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 98
B.5) para observar las variaciones de esas pequeñas alteraciones.
Figura B.5: Elevación corneal medida con respecto a una superficie esférica de referencia
B.2.2. Pendiente y curvatura
La topografía corneal tambien puede ser descrita en términos de la pendiente, que
puede ser obtenida a partir de la pendiente de la córnea que se puede obtener mediante el
cálculo de la primera derivada. Los sistemas de topografía basados en anillos de Plácido
miden directamente la pendiente de la superficie anterior de la córnea y a partir de ésta
determinan la curvatura y la potencia corneal.
Una forma alternativa de expresar la forma de la superficie de la córnea es a través de
su curvatura, la cual puede definirse de dos maneras diferentes: curvatura axial y curvatura
tangencial. Puesto que el inverso de la curvatura de un punto determina su radio, hay dos
tipos de radio de curvatura que se utilizan comúnmente en la descripción de superficie de
la córnea y para calcular la potencia de la córnea, el radio de curvatura axial y el tangencial.
B.2.2.1. Radio de curvatura axial
También es llamado radio de curvatura sagital o global, para todos los puntos de la
superficie, el radio se mide con respecto a su origen a lo largo del eje visual del sistema.
Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 99
La precisión de estas medidas tiende a disminuir según se avanza hacia la periferia de la
superficie en cuestión, Figura B.6.
Figura B.6: Radio de curvatura axial
B.2.2.2. Radio de curvatura tangencial
También designado como instantáneo o local, es independiente de cualquier eje, de-
pende solo de la curvatura de cada zona corneal. Para una superficie asferica como la
córnea los centros de curvatura no están localizados, por tanto esta medida hace referencia
al radio de la esfera que mejor ajusta la curvatura para un área circunscrita que cubre las
inmediaciones del punto en cuestión. La ventaja de este método es que representa más fiel-
mente aquellos puntos de la periferia o aquellas áreas con irregularidades focales, Figura
B.7.
Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 100
Figura B.7: Radio de curvatura tangencial
El radio de curvatura tangencial, puede calcularse a partir de la siguiente Ecuación:
rt =(1 + ( dy
dx)2)3/2(
∂2y∂x2
) . (B.1)
Apéndice C
Algoritmo de Canny
El proceso llevado a cabo se realizo utilizando el algoritmo de Canny, el cual es un
método para la detección de bordes, que se basaba en tres criterios, estos son:
- Criterio de detección: expresa el hecho de evitar la eliminación de bordes importan-
tes y no suministrar falsos bordes.
- Criterio de localización: establece que la distancia entre la posición real y la locali-
zada del borde se debe minimizar.
- Criterio de una respuesta: integra las respuestas múltiples correspondientes a un
único borde.
Uno de los métodos relacionados con la detección de bordes es el uso de la primera
derivada, la que es usada por que toma el valor de cero en todas las regiones donde no
varía la intensidad y tiene un valor constante en toda la transición de intensidad. Por tanto
un cambio de intensidad se manifiesta como un cambio brusco en la primera derivada,
característica que es usada para detectar un borde, y en la que se basa el algoritmo de
Canny.
El algoritmo de Canny consiste en tres grandes pasos:
101
Apéndice C. Algoritmo de Canny 102
• Obtención del gradiente: en este paso se calcula la magnitud y orientación del vector
gradiente en cada píxel.
• Supresión no máxima: en este paso se logra el adelgazamiento del ancho de los
bordes, obtenidos con el gradiente, hasta lograr bordes de un píxel de ancho.
• Histéresis de umbral: en este paso se aplica una función de histéresis basada en
dos umbrales; con este proceso se pretende reducir la posibilidad de aparición de
contornos falsos.
C.0.3. Obtención del gradiente
En este paso se calcula la magnitud y la orientación del vector gradiente en cada uno
de los píxeles de la imagen. Antes de calcular el vector gradiente, se realiza un suavizado
de la imagen original y una eliminación del posible ruido a partir de la aplicación de un
filtro gaussiano sobre la imagen. El filtrado gaussiano se puede interpretar como la convo-
lución de la imagen con una máscara predefinida, cuyos elementos vienen determinados
por la desviación estándar del filtro σ y por una constante c. Tal y como se muestra a con-
tinuación, los elementos de la máscara de convolución se calculan mediante la siguiente
ecuación:
Gσi,j = c.e
−(i2 + j2)
2σ2 , (C.1)
donde:
i, j: Fila y columna de cada elemento de la máscara considerando que el origen se encuen-
tra en el centro de dicha máscara.
c:Constante por la que se debe multiplicar cada elemento para que la suma de todos ellos
sea igual a 1.
σ:Desviación estándar del filtro cuyo valor está comprendido entre 0 y 3 (cuánto más
Apéndice C. Algoritmo de Canny 103
cercano a 3 sea el valor de σ , más suavizada quedará la imagen original).
Una vez se suaviza la imagen, para cada píxel se obtiene la magnitud y la orientación
del vector gradiente. El vector gradiente de una imagen f(x,y) en un punto (x,y), se define
como un vector bidimensional dado por la ecuación:
G[f(x, y)] =
Gx(x, y)
Gy(x, y)
=
∂f(x, y)
∂x∂f(x, y)
∂y
,el vector gradiente es un vector perpendicular al borde que apunta en la dirección de
máxima variación de intensidad (de negro a blanco). Su magnitud |G[f(x, y)]| y dirección
φ(x,y) vienen dadas por:
|G[f(x, y)]| =√G2x(x, y) +G2
y(x, y), (C.2)
φ(x,y) = arctanGy(x, y)
Gx(x, y). (C.3)
Cuanto mayor sea esta variación de intensidad, mayor será la magnitud del vector
gradiente.
C.0.3.1. Supresión no máxima al resultado del gradiente
En este segundo paso se realiza una supresión de los píxeles que no presentan una
máxima variación de intensidad (pequeña magnitud del vector gradiente). Para ello, se
consideran las direcciones de 0◦,45◦, 90◦ y 135◦ (respecto al eje horizontal) y a cada píxel
se le asigna una de estas direcciones (la que más se aproxime a la dirección del vector
gradiente calculada anteriormente). A continuación, se compara la magnitud del vector
gradiente en la dirección asignada con la de al menos uno de sus píxeles vecinos en esa
dirección. En el caso de que esta magnitud sea menor, se le asigna un 0 de magnitud a
dicho píxel; de lo contrario, se le asigna al píxel el valor que tenga la magnitud del vector
Apéndice C. Algoritmo de Canny 104
gradiente. Siguiendo este mismo procedimiento para cada uno de los píxeles, se consigue
suprimir los píxeles que no presentan una elevada variación de intensidad y se obtienen
los píxeles que se podrían considerar como posible ’borde’. Un dato importante a añadir
sería la introducción de ruido durante este procedimiento, el cual podría ocasionar una
confusión en la asignación de valores de magnitud del vector gradiente de cada uno de
los píxeles. De ser así, los píxeles con valor de magnitud 0 podrían pasar a tener un valor
diferente y a considerarse como ’borde’.
C.0.4. Histéresis de umbral a la supresión no máxima
Un último paso en la aplicación del algoritmo de Canny es la realización de una histé-
resis de umbral con el objetivo de eliminar el posible ruido detectado en el paso anterior.
Se consideran dos umbrales (el primero más pequeño que el segundo), de manera que pa-
ra cada píxel de la imagen (con valor diferente de 0) se observa si la magnitud del vector
gradiente es superior al segundo umbral; de ser así, se asignará un 1 a dicho píxel. De lo
contrario, se tendrá que comparar si ese valor de magnitud es superior al primer umbral.
En el caso de que sea superior, también se asignará un 1 a ese píxel, pero si se trata de un
valor inferior, se le asignará un 0 (es decir, por debajo del primer umbral no se detectará
ningún píxel como borde). Como resultado, se obtiene una imagen binaria (salida de la
función) que en adelante se representará como una matriz.
Referencias
[1] L.N. Thibos y A. Bradley. “Modeling the refractive and neuro-sensor systems of
the eye”. En: Visual Instrumentation: Optical Design and Engineering Principle
(1999), págs. 101-159.
[2] A. Gullstrand. “Appendix II”. En: Handbuch der Physiologischen Optik (1909),
págs. 351-352.
[3] W. Lotmar. “Theoretical eye model with aspherics”. En: JOSA A 61.11 (1971),
págs. 1522-1529.
[4] A.C. Kooijman. “Light distribution on the retina of a wide-angle theoretical eye”.
En: JOSA 73.11 (1983), págs. 1544-1550.
[5] R. Navarro, J. Santamaría y J. Bescós. “Accommodation-dependent model of the
human eye with aspherics”. En: JOSA A 2.8 (1985), págs. 1273-1280.
[6] H.L. Liou y N.A. Brennan. “Anatomically accurate, finite model eye for optical
modeling”. En: JOSA A 14.8 (1997), págs. 1684-1695.
[7] L.N. Thibos y col. “Spherical aberration of the reduced schematic eye with elliptical
refracting surface”. En: Optometry & Vision Science 74.7 (1997), pág. 548.
[8] A.D. Priest. “The development of an average, anatomically based, young adult,
GRIN eye model”. En: (2004).
105
Referencias 106
[9] A.V. Goncharov y C. Dainty. “Wide-field schematic eye models with gradient-index
lens”. En: JOSA A 24.8 (2007), págs. 2157-2174.
[10] J.M. González-Méijome y col. “Asphericity of the anterior human cornea with diffe-
rent corneal diameters”. En: Journal of Cataract & Refractive Surgery 33.3 (2007),
págs. 465-473.
[11] R.G. Anera y col. “Differences between real and predicted corneal shapes after
aspherical corneal ablation”. En: Applied optics 44.21 (2005), págs. 4528-4532.
[12] M.A. Rosales y col. “Anterior corneal profile with variable asphericity”. En: Ap-
plied optics 48.35 (2009), págs. 6594-6599.
[13] M. Mrochen y M. Büeler. “Asphärische Optiken”. En: Der Ophthalmologe 105.3
(2008), págs. 224-233.
[14] H.T. Kasprzak y D. Robert Iskander. “Approximating ocular surfaces by generalised
conic curves”. En: Ophthalmic and Physiological Optics 26.6 (2006), págs. 602-609.
[15] J.R. Jiménez, R.G. Anera y L. Jiménez del Barco. “Effects on visual function of ap-
proximations of the corneal-ablation profile during refractive surgery”. En: Applied
Optics 40.13 (2001), págs. 2200-2205.
[16] G. Dai. “Optical surface optimization for the correction of presbyopia”. En: Applied
optics 45.17 (2006), págs. 4184-4195.
[17] S. Norrby y col. “Model eyes for evaluation of intraocular lenses”. En: Applied
optics 46.26 (2007), págs. 6595-6605.
[18] X. Wei y L. Thibos. “Modeling the eye’s optical system by ocular wavefront tomo-
graphy”. En: Optics Express 16.25 (2008), págs. 20490-20502.
[19] Y. Le Grand y S.G. El Hage. “Physiological optics”. En: Springer Series in Optical
Sciences, Berlin: Springer, 1980 1 (1980).
Referencias 107
[20] P.M. Kiely, G. Smith y L.G. Carney. “The mean shape of the human cornea”. En:
Journal of Modern Optics 29.8 (1982), págs. 1027-1040.
[21] K. Kamiya y col. “Influence of excimer laser photorefractive keratectomy on the
posterior corneal surface”. En: Journal of Cataract & Refractive Surgery 26.6 (2000),
págs. 867-871.
[22] Marguerite B. McDonald Mark W. Doubrava Christian K. Kim Alnette Lee Tan Sa-
bong Srivannaboon Steven J. Coorpender Stephen D. Klyce. “Corneal topography
of small-beam tracking excimer laser photorefractive keratectomy”. En: Journal of
Cataract & Refractive Surgery 25.5 (1999), págs. 675-684.
[23] Stephen D. Klyce Steven J. Coorpender Marguerite B. McDonald Lucciano Luc-
ci Michael J. Lynn George O. Waring III Jonathan R. Kemp Carlos E. Martinez.
“Diurnal fluctuations in corneal topography 10 years after radial keratotomy in the
prospective evaluation of radial keratotomy study”. En: ().
[24] W.T. Evardson y W.A. Douthwaite. “Contact lens back surface specification deri-
ved from the EyeSys videokeratoscope”. En: Contact Lens and Anterior Eye 22.3
(1999), págs. 76-82.
[25] T. Bufidis, A.G.P. Konstas y E. Mamtziou. “The role of computerized corneal to-
pography in rigid gas permeable contact lens fitting”. En: Eye & Contact Lens 24.4
(1998), pág. 206.
[26] W. Douthwaite y S. Pardhan. “Comparison of a videokeratoscope and an autokera-
tometer as predictors of the optimum back surface curves of rigid corneal contact
lenses”. En: Ophthalmic and physiological optics 17.5 (1997), págs. 409-413.
[27] Y. Okada y col. “Analysis of changes in corneal shape and refraction following
scleral buckling surgery”. En: Japanese journal of ophthalmology 44.2 (2000),
págs. 132-138.
Referencias 108
[28] G. Beltrame y col. “Corneal topographic changes induced by different oblique
cataract incisions”. En: Journal of Cataract & Refractive Surgery 27.5 (2001),
págs. 720-727.
[29] C. Wirbelauer y col. “Corneal shape changes after pars plana vitrectomy”. En:
Graefe’s Archive for Clinical and Experimental Ophthalmology 236.11 (1998),
págs. 822-828.
[30] R.K. Maloney, S.J. Bogan y GO Waring. “Determination of corneal image-forming
properties from corneal topography”. En: American journal of ophthalmology 115
(1993), págs. 31-31.
[31] Y.S. Rabinowitz, J. Garbus y P.J. McDonnell. “Computer-assisted corneal topo-
graphy in family members of patients with keratoconus”. En: Archives of ophthal-
mology 108.3 (1990), pág. 365.
[32] J.S. Chan y col. “Accuracy of videokeratography for instantaneous radius in kera-
toconus”. En: Optometry & Vision Science 72.11 (1995), pág. 793.
[33] G.U. Auffarth, L. Wang y H.E. Völcker. “Keratoconus evaluation using the Orbscan
topography system”. En: Journal of Cataract & Refractive Surgery 26.2 (2000),
págs. 222-228.
[34] D.A. Atchison, G. Smith y G. Smith. “Optics of the human eye”. En: (2000).
[35] D. Malacara y Z. Malacara. Handbook of optical design. Vol. 85. CRC, 2004.
[36] JM Royston, MCM Dunne y DA Barnes. “Measurement of the posterior corneal
radius using slit lamp and Purkinje image techniques”. En: Ophthalmic and Phy-
siological Optics 10.4 (1990), págs. 385-388.
[37] R.I. Barraquer, M.C. de Toledo y E. Torres. Distrofias y degeneraciones corneales:
Atlas y texto. SciELO Espana, 2004.
Referencias 109
[38] Tipos de Defectos Refractivos (Ametropías). Universidad Complutense de Madrid.
http://www.ucm.es/info/clinopto/Tiposdedefectosrefractivos.htm.
[39] J.H. Krachmer. Cornea. Volume 1. Fundamentals of Cornea and External Disease.
Mosby, 1997.
[40] J.D. Brandt. “Central Corneal Thickness–Tonometry Artifact, or Something Mo-
re?” En: Ophthalmology 114.11 (2007), págs. 1963-1964.
[41] Sandra Maria de Braga Franco. “Determinação Óptica da Estrutura Tridimensional
da Córnea”. Tesis doct. Universidade do Minho, 2005.
[42] H.C. Howland, J. Buettner y R.A. Applegate. “Computation of the shapes of nor-
mal corneas and their monochromatic aberrations from videokeratometric measu-
rements”. En: Vision Science and Its Applications 2 (1994), págs. 54-57.
[43] HC Howland, A. Glasser y R. Applegate. “Polynomial approximations of corneal
surfaces and corneal curvature topography”. En: Tech. Dig. Ser. Opt. Soc. Am 3
(1992), págs. 34-37.
[44] H.T. Kasprzak y D. Robert Iskander. “Approximating ocular surfaces by generalised
conic curves”. En: Ophthalmic and Physiological Optics 26.6 (2006), págs. 602-609.
[45] H. Burek y WA Douthwaite. “Mathematical models of the general corneal surface”.
En: Ophthalmic and Physiological Optics 13.1 (1993), págs. 68-72.
[46] R. Lindsay, G. Smith y D. Atchison. “Descriptors of corneal shape”. En: Optometry
& Vision Science 75.2 (1998), pág. 156.
[47] L.N. Thibos y col. “The chromatic eye: a new reduced-eye model of ocular chro-
matic aberration in humans”. En: Applied Optics 31.19 (1992), págs. 3594-3600.
[48] Y. Mejía-Barbosa y D. Malacara-Hernández. “A review of methods for measuring
corneal topography”. En: Optometry & Vision Science 78.4 (2001), pág. 240.
Referencias 110
[49] D. Azar, M. Salvat y A. Benson. “Corneal topography, ultrasound biomicroscopy,
and scatterometry”. En: Current Opinion in Ophthalmology 7.4 (1996), pág. 83.
[50] GL Morrow y RM Stein. “Evaluation of corneal topography: past, present and futu-
re trends.” En: Canadian journal of ophthalmology. Journal canadien dóphtalmo-
logie 27.5 (1992), pág. 213.
[51] S.D. Klyce. “Corneal topography and the new wave”. En: Cornea 19.5 (2000),
pág. 723.
[52] “Advances in Eye Research”. En: vol. 2. Nova Science Publishers, Inc, 2011. Cap. V.
[53] E. Hecht. Optik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2005.
[54] D. Malacara y D. Malacara. Óptica básica. Fondo De Cultura Economica USA,
2004.
[55] P.R. Keller y P.P. Saarloos. “Perspectives on corneal topography: a review of video-
keratoscopy”. En: Clinical and Experimental Optometry 80.1 (1997), págs. 18-30.
[56] CW Fowler y TN Dave. “Review of past and present techniques of measuring cor-
neal topography”. En: Ophthalmic and Physiological Optics 14.1 (1994), págs. 49-58.
[57] S.A. Dingeldein y S.D. Klyce. “The topography of normal corneas”. En: Archives
of ophthalmology 107.4 (1989), pág. 512.
[58] P.S. Binder. “Videokeratography”. En: Eye & Contact Lens 21.2 (1995), pág. 133.
[59] A. Benito. “Estudio de la córnea y topografía corneal.” En: (2009).
[60] T.W. Smith. “Corneal topography”. En: Documenta Ophthalmologica 43.2 (1977),
págs. 249-276.
[61] M. Dunne, J.M. Royston y D.A. Barnes. “Normal variations of the posterior corneal
surface”. En: Acta ophthalmologica 70.2 (1992), págs. 255-261.
Referencias 111
[62] M. Dubbelman y col. “Radius and asphericity of the posterior corneal surface deter-
mined by corrected Scheimpflug photography”. En: Acta Ophthalmologica Scandi-
navica 80.4 (2002), págs. 379-383.
[63] C. Edmund. “Posterior corneal curvature and its influence on corneal dioptric po-
wer”. En: Acta Ophthalmologica 72.6 (1994), págs. 715-720.
[64] A. Cornejo y D. Malacara. “Caustic coordinates in Platzeck-Gaviola test of conic
mirrors”. En: Applied Optics 17.1 (1978), págs. 18-19.
[65] Guilherme Vaz Torres. “Nova Abordagem para o Processamento e Análise de Ima-
genes Topográficas da Córnea Humana”. Tesis de lic. Universidade do São Paulo,
2006.
[66] Luis Alberto V. de Carvalho. “Desenvolvimento de um Instrumento Computarizado
para Medida da Curvatura da Córnea durante o Ato Cirúrgico”. Tesis doct. Univer-
sidade do São Paulo, 1996.
[67] D.H. Johnson, W.M. Bourne y R.J. Campbell. “The ultrastructure of Descemet’s
membrane: I. Changes with age in normal corneas”. En: Archives of Ophthalmology
100.12 (1982), pág. 1942.
[68] RB Mandell y R.S. Helen. “Stability of the corneal contour.” En: American jour-
nal of optometry and archives of American Academy of Optometry 45.12 (1968),
pág. 797.
[69] B.A.J. CLARK. “Mean Topography of normal corneas”. En: The Australian Jour-
nal of Optometry 57.4 (1974), págs. 107-114.
[70] C. Roberts y col. “Corneal topography: a review of terms and concepts.” En: Jour-
nal of cataract and refractive surgery 22.5 (1996), pág. 624.