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Mecánica de fluidos computacional: el método de la ecuación deBoltzmann en redes

Guillermo Barrios1, Raúl Rechtman2

Instituto de Energías Renovables,Universidad Nacional Autónoma de México,

Temixco, Mor.

9 de septiembre de 2015

Congreso Nacional de Estudiantes de Energías Renovables, Instuto de Energías Renovables, UNAM

1 gbv@ier.unam.mx2 rrs@ier.unam.mx

G. Barrios, R. Rechtman (IER-UNAM) MEBR 9 de septiembre de 2015 1 / 97

Contenido

1 Introducción

2 Autómatas celulares r = 1

3 Autómatas celulares para gases en redes

4 La ecuación de transporte de Boltzmann

5 De la teoría cinética a la mecánica de fluidos

6 Latttice Boltzmann equation

7 Natural convection in inclined cavities

8 Vortex induced vibrations on a cylinder

9 Plumas térmicas

10 Comentarios finales

Introducción

El método de la ecuación de Boltzmann en redes (MEBR) resuelve numéricamente laecuación de transporte de Boltzmann (ETP).

De la ETP se puede llegar a las ecuaciones de la mecánica de fluidos (MF) a través de unaexpansión de Chapman-Enskog.

El antecedente histórico del MEBR son los autómatas celulares para gases en redes(ACGR).

El MEBR resuelve numéricamente flujos.

Vibraciones en un cilindro por vórtices

x =x∗

r, y =

r, t =

νt∗

Re =Urν, m∗ =

H = 5, L = 38, x0 = 2.5, y0 = 10

70 ≤ Re ≤ 210, m∗ = 1, 2, k = 0.05, 0.1, 0.25, 0.5

k = 0.05,m∗ = 1

10.2 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4

Re = 70Re = 80Re = 90Re = 100Re = 110Re = 120Re = 130Re = 140Re = 150Re = 160Re = 170Re = 180Re = 190Re = 200Re = 210

k = 0.05,m∗ = 1

Introducción

1822–1845 Ecuaciones de Navier–Stokes,C-L Navier (1785-1836), G. G. Stokes (1819-1903)

1872–1896 Ecuación de transporte de Boltzmann, L. Boltzmann (1844-1906)Dt f (r , v , t) = J(f , f ′)

1917– 1939 Expansión de Chapman-Enskog,S. Chapman (1888-1970), D. Enskog (1884-1947)

1940–2015 Autómatas celulares,S. Ulam (1909-1984), J. von Neumann (1903-1957)

1954 Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook,

J(f , f ′) = (1/τ)[f (eq)(r , v , t)− f (r , v , t)]

1954–2015 Computadoras1973 Autómatas celulares para gases en redes, HPP

nk (r + ck , t + 1) = nk (r , t) + J(nk′ (r , t)), k = 0, . . . , 31986 Autómatas celulares para gases en redes FHP

nk (r + ck , t + 1) = nk (r , t) + J(nk′ (r , t)), k = 0, . . . , 5f (r , v , t) = 〈nk (r , t)〉

1988–2015 Método de la ecuación de Boltzmann en redesf (r , v , t)→ fk (r , t)

Introducción

Solución numérica de las ecuaciones de la mecánica de los fluidos.

De la ecuación de transporte de Boltzmann se obtienen las ecuaciones de la mecánica defluidos con ayuda de la expansión de Chapman–Enskog.

El método de la ecuación de Boltzmann en redes (MBER) es una discretización explícita aprimer orden de la ecuación de transporte de Boltzmann en el espacio, en el espacio develocidades y en el tiempo.

El MEBR es un método de simulación numérica directa.

Históricamente, el MEBR es la evolución de los autómatas celulares para gases en redes.

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

Un juego (en una hoja de papel)

1 En el primer renglón marcamos el cuadro del centro.

2 En el siguiente renglón marcamos los cuadros que en el renglón anterior tengan un cuadromarcado a la izquierda o a la derecha, pero no en los dos cuadros.

3 Repetimos el paso anterior T veces.

Un juego

N = 15, T = 7

Un juego

N = 31, T = 15

Un juego

N = 63, T = 31

Un juego

N = 127, T = 63

Un juego

N = 255, T = 127

Un juego

N = 511, T = 255

Un juego

· · · xi−2 xi−1 xi xi+1 xi+2 · · ·

· · · x′i−2 x′i−1 x′i x′i+1 x′i+2 · · ·?

x ′i = xi (t + 1) = f (xi−1(t), xi (t), xi+1(t))

xi−1 xi xi+1 f0 0 0 0 0× 20 00 0 1 1 1× 21 20 1 0 0 0× 22 00 1 1 1 1× 23 81 0 0 1 1× 24 161 0 1 0 0× 25 01 1 0 1 1× 26 641 1 1 0 0× 27 0

xi (t + 1) = xi−1(t)⊕ xi+1(t)

Un juego

· · · xi−2 xi−1 xi xi+1 xi+2 · · ·

· · · x′i−2 x′i−1 x′i x′i+1 x′i+2 · · ·?

xi−1 xi xi+1 f0 0 0 0 0× 20 00 0 1 1 1× 21 20 1 0 0 0× 22 00 1 1 1 1× 23 81 0 0 1 1× 24 161 0 1 0 0× 25 01 1 0 1 1× 26 641 1 1 0 0× 27 0

xi (t + 1) = xi−1(t)⊕ xi+1(t)

Un juego

· · · xi−2 xi−1 xi xi+1 xi+2 · · ·

· · · x′i−2 x′i−1 x′i x′i+1 x′i+2 · · ·?

xi−1 xi xi+1 f0 0 0 0 0× 20 00 0 1 1 1× 21 20 1 0 0 0× 22 00 1 1 1 1× 23 81 0 0 1 1× 24 161 0 1 0 0× 25 01 1 0 1 1× 26 641 1 1 0 0× 27 0

xi (t + 1) = xi−1(t)⊕ xi+1(t)

Otros juegos

La tabla de verdad tiene 23 renglones.Hay 223

= 28 = 256 juegos (o reglas).

R1[108] R1[60] R1[30] R1[150]

xi (0) = 1 con probabilidad 1/2.

N = 128, T = 64

Otros juegos

La tabla de verdad tiene 23 renglones.Hay 223

= 28 = 256 juegos (o reglas).

R1[108] R1[60] R1[30] R1[150]

xi (0) = 1 con probabilidad 1/2.

N = 128, T = 64

R1[60]

· · · xi−2 xi−1 xi xi+1 xi+2 · · ·

· · · x′i−2 x′i−1 x′i x′i+1 x′i+2 · · ·?

xi (t + 1) = f (xi−1(t), xi (t), xi+1(t))

xi−1 xi xi+1 f0 0 0 0 0× 20 00 0 1 0 0× 21 00 1 0 1 1× 22 40 1 1 1 1× 23 81 0 0 1 1× 24 161 0 1 1 1× 25 321 1 0 0 1× 26 01 1 1 0 0× 27 0

R1 60N = 128, T = 64.

Juegos r = 1

Los juegos son autómatas celulares unidimensionales booleanos de alcance r = 1.

autómata celular.El espacio . . . , i − 1, i, i + 1 . . . es discreto.El tiempo t = 0, 1, . . . es discreto.El estado en cada sitio, xi es un número entero.

unidimensional se refiere a que se juega en renglones.

booleano pues xi = 0, 1 falso,verdadero, apagado, encendido, blanco, azul, . . . .

alcance r = 1. xi (t + 1) depende de los estados en el sitio i , xi (t) y en r = 1 sitios a laderecha e izquierda, xi−1(t), y xi+1(t),

Autómatas celulares

AutómataMáquina que imita el comportamiento humano.

Diccionario Ilustrado de la Lengua Espa nola

Autómatas celulares

Stanislav Ulam(1909-1984)

John von Neumann(1903-1957)

Autómata celularresistencia al medio,

reproducción,

evolución de formas complejas

Modelos de:magnetismo,

reacciones químicas,

percolación,

terremotos, avalanchas,

tráfico de vehículos,

biología,

evolución de galaxias,

sistemas complejos,

fluidos.

El juego de la vida

x(i, j, t) =

0 muerto1 vivo

s(i, j, t) =

1∑k=−1

1∑m=−1

x(i + k , j + m)

− x(i, j)

x(i, j, t + 1) =

0 s(i, j, t) = 0, 11 x(i, j, t) = 1 y s(i, j, t) = 2, 31 x(i, j, t) = 0 y s(i, j, t) = 30 s(i, j, t) > 3

M. Gardner, Mathematical Games, The fantastic combinations of John Conway’s new solitaire “life”, Scientific American 223, pp 120-123, October, 1970.

F. Bagnoli, R. Rechtman, S. Ruffo, Some facts of Life, Physica A 171 249 (1991).

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

HPP model

Things must be made as simple as possible, but not simpler.A. Einstein

J. Hardy, Y. Pomeau, O. de Pazzis, J. Math. Phys., 14, (1973) 1746; J. Hardy, O. de Pazzis, Y. Pomeau, Phys. Rev. A 13 (1976) 1949.

HPP model

s(r , t) = (s0(r , t), . . . , s3(r , t)), sk ∈ 0, 1sk (r + ck , t + 1) = S · C(s(r , t))

Conservation of mass and momentum during collision C followed by streaming S.

HPP model

sk (r + ck , t + 1) =sk ⊕ (sk · sk+1 · sk+2 · sk+3)⊕(sk · sk+1 · sk+2 · sk+3)

fk (r , t) =〈sk (r , t)〉fk (r + ck , t + 1) =fk (r , t) + (1− fk )fk+1(1− fk+2)fk+3−

fk (1− fk+1)fk+2(1− fk+3)

n =∑

fk , u =1n

HPP model

conservation of mass (number of particles)

conservation of momentum on the x and y axes

conservation of momentum on each row

conservation of momentum on each column

No Galilean invariance

Things must be made as simple as possible, but not simpler.

A. Einstein

HPP model

conservation of momentum on each row

conservation of momentum on each column

No Galilean invariance

A. Einstein

FHP model

s(r , t) = (s0(r , t), . . . , s5(r , t)), sk ∈ 0, 1sk (r + ck , t + 1) = S · C(s(r , t))

Conservation of mass and momentum during collision C followed by streaming S.

U. Frisch, B. Hasslacher, Y. Pomeau, Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation, PRL 56 1505 (1986). U. Frisch, D. d’Humieres, B. Hasslacher, P.

Lallemand, Y. Pomeau, J. P. Rivet, Lattice gas hydrodynamics in two and three dimensions, Complex Systems 1 1 (1987).

FHP model

Galilean invariance

Navier-Stokes equation

Simple programming. Massive parallelization

Integer programmingParallelization

multibit, (64 bit words)massive parallelization (Connection Machine with 65,536 processors)MPI (Message Passing Interface) computing on clustersGPGPU (General Purpose Computing on Graphics Processing Units)

No Galilean invariant lattices in 3 dimensions

Noisy results and limited to “small” Reynolds numbers

LGCA opened the way for LBEM

FHP model

We have noticed in nature that the behavior of a fluid depends very little on the nature of theindividual particles in that fluid. For example, the flow of sand is very similar to the flow of water orthe flow of a pile of ball bearings. We have therefore taken advantage of this fact to invent a type ofimaginary particle that is especially simple for us to simulate. This particle is a perfect ball bearingthat can move at a single speed in one of six directions. The flow of these particles on a largeenough scale is very similar to the flow of natural fluids.

Richard Feynman according to Danny Hillis, excerpts from Reminiscing about Richard Feynman

http://longnow.org/essays/richard-feynman-connection-machine/

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

La ecuación de transporte de Boltzmann

... somos capaces de manipular las maderas y de ver como se transforman enfuego y luz, pero no vemos, sin embargo, que el fuego y la luz se condensenhasta constituirse en madera. Vemos que los frutos, las flores y otros muchosobjetos sólidos transforman en aroma gran parte de su sustancia, pero novemos, por su parte, que los átomos se reúnan para formar los sólidoscorrespondientes.

Galileo Galilei (Pisa, 1564–Arcetri, 1642)Consideraciones y DemostracionesMatemáticas sobre dos Nuevas Ciencias

www.computational-chemistry.co.uk

P = 760 mmHg = 101.3 kPa

T = 300 K = 26.85 C

V = 1 lt = 10−3 m3

n = 2.6822 partículas

d = 3.3× 10−9 m, diámetro partícula

〈l〉 =RT√

2πd2NAP= 1.02× 10−7 m, camino libre medio

〈l〉 = 340.85d

vrms =

)= 534 ms−1, N2

f (r , v , t)∆3r∆3v =

número promedio de partículasen un elemento de volumen ∆3ralrededor de r con velocidad enun elemento de volumen ∆3valrededor de v al tiempo t .

Ludwig Boltzmann (Viena 1844–Udine 1906)

v1, v2 −→ v ′1, v ′2v1 + v2 = v ′1 + v ′2

|v1|2 + |v2|2 =∣∣v ′1∣∣2 +

∣∣v ′2∣∣2v = (v1 + v2) /2

u = v2 − v1

v = v ′

u = u′

I b db dφ = Iσ(Ω)dΩ

Hipótesis de caos molecular

f (2)(r , v1, v2, t)d3r d3v1 d3v2 = f (r , v1, t)f (r , v2, t)d3r d3v1 d3v2

σ(v1, v2|v′1, v′2) = σ(−v′1,−v′2| − v1,−v2) σ(v1, v2|v′1, v′2) = σ(v′1, v′2|v1, v2)

u’/2

-u’/2

colision directa

colision inversa

u’/2

colision directa

colision restitutiva

Dt f (r , v , t) =

∂t+ v · ∇r +

Fm· ∇v

)f (r , v , t) =

∫d3v1

∫dΩσ(Ω)|v1 − v |

[f (r , v ′, t)f (r , v ′1, t)− f (r , v , t)f (r , v1, t)

n(r , t) =

∫dDv f (r , v , t), n densidad de número

u(r , t) =1n

∫dDv v f (r , v , t), u velocidad

θ(r , t) =mnD

∫dDv(v − u)2f (r , v , t), θ temperatura

D número de dimensiones.

Teorema H

H(t) =

∫d3v

∫d3r f (r , v , t) log (f (r , v , t))

dHdt≤ 0.

f (eq)(v) = n( m

)2/Dexp

[−m(v − u)2

Aproximación de Bhatnagar, Gross y Krook

∂t+ v · ∇r +

Fm· ∇v

)f (r , v , t) =

[f (eq)(r , v , t)− f (r , v , t)

f (eq)(r , v , t) = n( m

)2/Dexp

[−m(v − u)2

n = ρ(r , t), u = u(r , t), θ = θ(r , t).

P. L. Bhatnagar et al, Phys. Rev. 94, 511 (1954).

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

De la teoría cinética a la mecánica de fluidos

Ecuaciones de la mecánica de fluidos

Expansión de Chapman–Enskog

Teoremas de conservación

Ecuación de transporte de Boltzmann

ecuación de continuidad∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0

ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento(∂

∂t+ u · ∇

Fm− 1ρ∇(

P − µ

3∇ · u

ρ∇2u

ecuación de conservación de la energía(∂

∂t+ u · ∇

)θ = − 1

cV(∇ · u) θ +

kρcV∇2θ

∂t+∇ · (ρu) = 0

∂t+ u · ∇

Fm− 1ρ∇(

P − µ

3∇ · u

ρ∇2u

∂t+ u · ∇

)θ = − 1

cV(∇ · u) θ +

kρcV∇2θ

∂t+∇ · (ρu) = 0

∂t+ u · ∇

Fm− 1ρ∇(

P − µ

3∇ · u

ρ∇2u

∂t+ u · ∇

)θ = − 1

cV(∇ · u) θ +

kρcV∇2θ

ecuación de continuidad

∂t+∇ · (ρu) = 0

r =(x , y , z)

ρ =ρ(r , t)u =u(r , t) = (ux (r , t), uy (r , t), uz (r , t))

∇ · (ρu) =

∂x,∂

∂y,∂

)· (ρux , ρuy , ρuz )

=∂ρux

∂x+∂ρuy

∂y+∂ρuz

∂z∂ρux

∂x=ρ

∂x+ ux

ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento

esfuerzo disipaciónadvección cortante viscosa(

∂t+ u · ∇

Fm− 1ρ∇(

P − µ

3∇ · u

ρ∇2u

∂u∂t

(∂ux

∂t,∂uy

∂t,∂uz

)(u · ∇)u =

∂x+ uy

∂y+ uz

∂xu =ux

(∂ux

∂x,∂uy

∂x,∂uz

)(u · ∇)u =

(ux∂ux

∂x+ uy

∂y+ uz

∂z, ux

∂x+ uy

∂y+ uz

ux∂uz

∂x+ uy

∂y+ uz

ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento

∂t+ u · ∇

Fm− 1ρ∇(

P − µ

3∇ · u

ρ∇2u

P =P(r , t)

∇P =

(∂P∂x

,∂P∂y

,∂P∂z

)∇(∇ · u) =∇

(∂ux

∂x+∂uy

∂y+∂uz

)∇(∂ux

(∂u2

∂x2,∂u2

∂x∂y,∂u2

∂x∂z

∇2u =

(∂u2

∂x2,∂u2

∂y2,∂u2

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

Numerical solution of Boltzmann’s equation

∂t+ v · ∇r +

Fm· ∇v

)f (r , v , t) =

[f (eq)(r , v , t)− f (r , v , t)

f (eq)(r , v , t) = n( m

)2/Dexp

[−m(v − u)2

n(r , t) =

∫dDv f (r , v , t), n number density

u(r , t) =1n

∫dDv v f (r , v , t), u velocity

θ(r , t) =mnD

∫dDv(v − u)2f (r , v , t), θ temperature

LBEM D2Q9 model

time t = 0,∆t , 2∆t , . . .

space r = (i∆x , j∆y), i, j = 0, 1, . . . , ∆x = ∆y

velocities

0 k = 01 k = 1, . . . , 4√

2 k = 5, . . . , 8

f (r , t , t)→ fk (r , t)

LBEM D2Q9 model

BGK approximation

fk (r + ck ∆t , t + ∆t)− fk (r , t) =∆tτ

[f (eq)k (r , t)− fk (r , t)

Maxwell-Boltzmann distribution function

f (eq)k = wk n

ck · uc2

(3ck · u)2

− u2

w0 = 4/9, w→ = 1/9, w = 1/36

number density n and velocity u

n(r , t) =∑

fk (r , t), u(r , t) =1n

kinematic viscosity ν and speed of sound cs

ν = c2s (τ − τ0), cs = 1/

√3, τ0 = 1/2

LBEM D2Q9 model, heat transport

Temperature T

T (r , t) =∑

Tk (r , t)

Tk (r + ck ∆t , t + ∆t)− Tk (r , t) =∆tτT

[T (eq)

k (r , t)− Tk (r , t)]

equilibrium temperature distribution

T (eq)k = wk T

ck · uc2

]thermal diffusivity α

α = c2s (τT − τ0)

Boussinesq buoyancy force Fk

Fk = −3wkβ(T − T0)g · ck

acceleration of gravity g, thermal expansion coefficient β, reference temperature T0.

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

The problem

TH > TC

G. Huelsz, R. R., Heat transfer due to natural convection in an inclined square cavity using the lattice Boltzmann equation method,

International Journal of Thermal Sciences, 65 11 (2013).

Introduction

x =x∗

L∗y, y =

L∗y, t = t∗

L∗2y

, T =T∗ − T∗CT∗H − T∗C

Pr =ν

α= 0.71, A =

L∗xL∗y

= 1, Ra =gβ∆T∗L∗

αν, γ.

Nu = 1 +

∫v(x, y)T (x, y) dxdy.

Lattice Boltzmann equation, D2Q9 model

c5c2c6

c7 c4 c8

0 i = 0,

1 i = 1, 2, 3, 4,√2 i = 5, 6, 7, 8.

fk (r + ck , t + δt) = fk (r, t) +1τ

[f (eq)k (r, t) − fk (r, t)

Tk (r + ck , t + δt) = Tk (r, t) +1τT

[T (eq)

k (r, t) − Tk (r, t)]

Fk = 3gωkβ(T − TC )cky

f (eq)k = ωkρ

[1 + 3ck · u + 9(ck · u)2

/9 − 3u2/2

]T (eq)

k = ωk T [1 + 3ck · u]

ρ(r, t) =∑

fk , u(r, t) =1ρ

ck fk , T (r, t) =∑

ν = (τ − 1/2)/3 α = (τT − 1/2)/3

ω0 = 4/9, ω1,...,4 = 1/9, ω5,...,8 = 1/16

k = 0, . . . , 8.

Vertical cavity (γ = 90o)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Ra = 1× 103

Ra = 5× 103

Ra = 2× 104

Ra = 3× 104

Ra = 4× 104

Ra = 1× 105

Ra = 2× 105

Ra = 3× 105

Ra = 4× 105

Ra = 5× 105

103 104 105 106

1 2 1 2 1 2 1 2vmax 3.643 3.649 16.07 16.78 33.592 34.73 61.1054 64.63

x 0.806 0.813 0.816 0.823 0.845 0.855 0.901 0.850umax 3.690 3.697 19.432 19.617 66.52 68.59 182.73 217.36

x 0.175 0.178 0.117 0.119 0.058 0.066 0.039 0.0379Nu 1.118 1.118 2.229 2.243 4.490 4.519 9.614 8.799

Numax 1.513 1.505 3.465 3.528 7.321 7.717 13.742 17.925y 0.100 0.092 0.136 0.143 0.078 0.081 0.049 0.037

Numin 0.694 0.692 0.599 0.586 0.786 0.729 1.652 0.989y 0.990 1.0 0.990 1.0 0.0 1.0 0.990 1.0

1. G. Huellsz, R. R.

2. G. de Vahl Davis, Int. J. Numer. Meth. Fluids 3 227 (1983).

103 104 105 106

1 2 1 2 1 2 1 2vmax 3.643 3.649 16.07 16.78 33.592 34.73 61.1054 64.63

x 0.806 0.813 0.816 0.823 0.845 0.855 0.901 0.850umax 3.690 3.697 19.432 19.617 66.52 68.59 182.73 217.36

x 0.175 0.178 0.117 0.119 0.058 0.066 0.039 0.0379Nu 1.118 1.118 2.229 2.243 4.490 4.519 9.614 8.799

Numax 1.513 1.505 3.465 3.528 7.321 7.717 13.742 17.925y 0.100 0.092 0.136 0.143 0.078 0.081 0.049 0.037

Numin 0.694 0.692 0.599 0.586 0.786 0.729 1.652 0.989y 0.990 1.0 0.990 1.0 0.0 1.0 0.990 1.0

1. G. Huelsz, R. R.

2. G. de Vahl Davis, Int. J. Numer. Meth. Fluids 3 227 (1983).

NuRa 2 1∗ % 3 %

103 1.118 1.118 0.0 1.112 -0.5104 2.243 2.229 -0.6 2.168 -3.3105 4.519 4.490 -0.6 4.228 -6.4106 8.799 9.614 9.3 8.243 -6.3Ra 2 1† % 3 %

106 8.799 8.908 1.2 8.243 -6.3

1. G. Huelsz, R. R. ∗ . Lx = Ly = 103. † . Lx = Ly = 203. EBR.

2. G. de Vahl Davis, Int. J. Numer. Meth. Fluids 3 227 (1983). Diferencias finitas.

3. A. Bairi, Energy Conversion and Management 49 771 (2008). Elemento finito.

γ = 0

100 1000 10000 100000

Ra−Rac

Rac = 2, 586

vmax = A(Ra− Rac)α

Nu = B(Ra− Rac)β

α ∼ 0.57

β ∼ 0.22

−30 ≤ γ ≤ 30

v1 = vy (1/2, 9/10)

0 2000 4000 6000 8000

γ = 0

|γ| = 1

|γ| = 5

|γ| = 10

|γ| = 20

|γ| = 30

−30 ≤ γ ≤ 30

0 2000 4000 6000 8000

γ = 0

|γ| = 1

|γ| = 5

|γ| = 10

|γ| = 20

|γ| = 30

Nu(Ra, |γ|), 5× 103 ≤ Ra ≤ 105

Nu(Ra, |γ|) = B(|γ|)(Ra− Rac)β(|γ|) Rac =

2, 402 γ = 0

0 γ 6= 0

1e+03 1e+04 1e+05

γ = 0

γ = 90

γ = 120

0 30 60 90 120 150 180-0.05

−180 ≤ γ ≤ 180

-180 -120 -60 0 60 120 180

Ra = 1.0× 103

Ra = 5.0× 103

Ra = 2.5× 104

Ra = 5.0× 104

Ra = 1.0× 105

Numax = B Ra β B = 0.16 β = 0.29

1e3 1e4 5e4 1e5 2e5

1e3 5e4 1e5 2e5

Hysteresis

-30 -20 -10 0 10 20 30

Ra = 2.5 × 104

Hysteresis

-30 -20 -10 0 10 20 30

Ra = 2.5 × 104

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

Vortex induced vibrations on a cylinder

x =x∗

r, y =

r, t =

νt∗

Re =Urν, m∗ =

H = 5, L = 38, x0 = 2.5, y0 = 10

70 ≤ Re ≤ 210, m∗ = 1, 2, k = 0.05, 0.1, 0.25, 0.5

k = 0.05,m∗ = 1

10.2 10.4 10.6 10.8 11 11.2 11.4

k = 0.05,m∗ = 1

k = 0.1,m∗ = 1

10.1 10.6 11.1

k = 0.1,m∗ = 1

k = 0.25,m∗ = 1

10 10.2 10.4 10.6 10.8

Re = 70Re = 80Re = 90Re = 100Re = 110Re = 120Re = 130Re = 140Re = 150Re = 160Re = 170Re = 180Re = 190

k = 0.25,m∗ = 1

k = 0.5,m∗ = 1

10.02 10.06 10.1 10.14

Re = 70Re = 80Re = 90Re = 100Re = 110Re = 120Re = 130Re = 140Re = 150Re = 160Re = 170Re = 180Re = 190

k = 0.5,m∗ = 1

m∗ = 1fR =

√k/m

60 80 100 120 140 160 180 200 220

k = 0.05k = 0.10k = 0.25k = 0.50

fR(k = 0.05)

m∗ = 2fR =

√k/m

60 80 100 120 140 160 180 200 220

k = 0.05k = 0.10k = 0.25k = 0.50

fixedfR(k = 0.05)fR(k = 0.1)

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

Plumas térmicas en una cavidad

W =W∗

d∗, H =

Ra =gβ∆T∗d∗

Pr =ν

Ra número de RayleighPr número de Prandtlβ coeficiente de expansión térmicaα difusividad térmicaν viscosidad cinemáticag aceleración de la gravedad

Aire Ra = 8, 000 Agua Ra = 8, 000

t = 1 t = 40 t = 1 t = 40

0u2(W/2, y) dy

(a) (b)

0 40 80 120 160

0 20 40 60 80 100 120 140

Figura: The asymmetry A as a function of time t for different Rayleigh numbers showing the first symmetry breakdowns. (a) Air and Nd = 95. The curvethat oscillates for t > 100, in red, corresponds to Ra = 15, 000. For t < 90, starting from below, Ra = 16, 000, in green, Ra = 17, 000, in blue,Ra = 18, 000, in magenta, and Ra = 19, 000 ,in dark blue. (b) Water and Nd = 73. Starting from below, Ra = 5, 000 ,in red, Ra = 6, 000, in green, andRa = 7, 000, in blue.

(a) (b)

0 10 20

0 10 20 30

Figura: The asymmetry A as a function of time t for different Rayleigh numbers showing a loss of time symmetry. (a) Air and Nd = 95. The bottom curve,in red, corresponds to Ra = 40, 500. The amplitude of the oscillations of A decreases slowly and dies out. The top curve, in green, corresponds toRa = 40, 600. (b) Water and Nd = 73. The bottom curve, in red, corresponds to Ra = 17, 000 and the top one, in green, to Ra = 18, 000. The insetshows that for 20 ≤ t ≤ 30 and Ra = 18, 000 the amplitude of oscillation of A increases in time.

(a) (b) (c) (d)

Figura: Isotherms inside the cavity for air. (a) Ra = 16, 000, t = 195.475, Nd = 37. (b) Ra = 16, 000, t = 197.533,Nd = 37. (c) Ra = 50, 000,t = 47.486, Nd = 73. (d) Ra = 50, 000, t = 48.103, Nd = 73.

(a) (b)

0 2 4 6 8 10 12 14

0 4 8 12 16

Figura: The asymmetry A as a function of time t for different Rayleigh numbers. (a) Air. Starting from below, Ra = 70, 000 and Nd = 95, in red,Ra = 200, 000 and Nd = 150, in green, and Ra = 350, 000 and Nd = 150, in blue. (b) Water and Nd = 73. The asymmetrry A is displaced vertically inorder that the data do not overlap. Starting from below, Ra = 30, 000, in red, Ra = 40, 000, in green, and Ra = 60, 000, in blue.

Plumas térmicas en una cavidad(a) (b) (c)

1e+00 1e+01

1e+00 1e+01 1e+02

1e-01 1e+00 1e+01 1e+02

(d) (e) (f)

1e+00 1e+01

1e+00 1e+01 1e+02

1e-01 1e+00 1e+01 1e+02

Figura: Power spectra P of the aysmmetry A as a function of the frequency f for air, (a), (b), and (c) and water, (d), (e), and (f). The horizontal lines, in black

are drawn at the maximum power P and P/100. In (b), (c), (e), and (f) we find a power law behavior P = afb in some interval of f , shown as inclined lines (inblack) which are an aid to the eye and are not a numerical fit to the data. (a) Air, Nd = 95, and Ra = 70, 000. (b) Air, Nd = 150, and Ra = 200, 000. For

30 < t < 120 the straight inclined line (in black) is P = (109)f−5 (c) Air, Nd = 150, and Ra = 350, 000. For 3 < f < 120, the straight inclined line (in

black) is P = (3.0 × 106)f−3. (d) Water, Nd = 73, and Ra = 30, 000. (e) Water, Nd = 73, and Ra = 40, 000. For 20 . f . 70,

P = (3 × 109)f−7. (f) Water, Nd = 73, and Ra = 60, 000. For 20 . f . 100 the straight inclined line (in black) is P = (5 × 107)f−3.

AireRa = 70, 000 Ra = 200, 000 Ra = 350, 000

AguaRa = 30, 000 Ra = 40, 000 Ra = 60, 000

Contenido

1 Introducción

9 Plumas térmicas

Comentarios finales

Una larga historia:

Ecuación de transporte de Boltzmann (1872).

Expansión de Chapman-Enskog (1917 a 1939).

Autómatas celulares (1940-1950).

Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook 1954.

Computadoras 1954→ 2015.

Autómatas celulares para gases en redes, HPP 1973, FHP 1986.

Método de la ecuación de Boltzmann en redes 1988→ 2015.

A. Einstein

Comentarios finales

Una larga historia:

Ecuación de transporte de Boltzmann (1872).

Expansión de Chapman-Enskog (1917 a 1939).

Autómatas celulares (1940-1950).

Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook 1954.

Computadoras 1954→ 2015.

Autómatas celulares para gases en redes, HPP 1973, FHP 1986.

Método de la ecuación de Boltzmann en redes 1988→ 2015.

A. Einstein

Guillermo Barrios,gbv@ier.unam.mxInstituto de Energías Renovables, UNAM.

Guadalupe Huelsz,ghl@ier.unam.mxInstituto de Energías Renovables, UNAM.

Francisco Mandujano,gurupax@gmail.comFacultad de Ciencias, UNAM.

Raúl Rechtman,rrs@ier.unam.mxInstituto de Energías Renovables, UNAM.

Gracias

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