Post on 15-Jan-2020
Mecanica y Ondas
Salamanca, 2007-2008. Primer semestre
Indice
1 . Preliminares Matematicos 11. Sistemas de coordenadas ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1..1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21..2 Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51..3 Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Derivada de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. Gradiente de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Divergencia de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4..1 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134..2 Integrales de volumen y superficie . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. Rotacional de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165..1 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165..2 Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6. Laplaciana de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i
Capıtulo 1 .
Preliminares Matematicos
1. Sistemas de coordenadas ortonormales
Sea {u1, u2, u3} un sistema de ejes coordenados perpendiculares y sean {~j1,~j2,~j3}los respectivos vectores unitarios. Un vector ~r sera, en este sistema:
~r = x1~j1 + x2
~j2 + x3~j3 (1.1)
Dado que, en general, los vectores unitarios (salvo en coordenadas cartesianas)varıan de un punto a otro (dependen de las coordenadas), la diferencial de ~r sera:
d~r = dx1~j1 + dx2
~j2 + dx3~j3 + x1d~j1 + x2d~j2 + x3d~j3 (1.2)
que es otro vector y por tanto ha de escribirse
d~r = dl1~j1 + dl2~j2 + dl3~j3 = hidui~ji (1.3)
donde el indice i recorre los valores 1,2 y 3.Las cantidades hi definidas como
dli = hidui (1.4)
son los parametros de escala que caracterizan a un sistema de coordenadas con-creto. Como puede verse, el problema reside basicamente en determinar las valoresd~ji de los vectores de la base.
Los elementos de longitud, superficie y volumen son por tanto:
elemento de lınea
• dl1 = h1du1 es el elemento de longitud cuando u2 y u3 permanecen constantes
• dl2 = h2du2 es el elemento de longitud cuando u1 y u3 permanecen constantes
1
2 Capıtulo 1
• dl3 = h3du3 es el elemento de longitud cuando u1 y u2 permanecen constantes
elemento de superficie
• dS1 = dl2dl3 = h2h3du2du3 es el elemento de superficie cuando u1 permanececonstante
• dS2 = dl1dl3 = h1h3du1du3 es el elemento de superficie cuando u2 permanececonstante
• dS3 = dl1dl2 = h1h2du1du2 es el elemento de superficie cuando u3 permanececonstante
elemento de volumen
dV = dl1dl2dl3 = h1h2h3du1du2du3
1..1 Coordenadas cartesianas
La nomenclatura usual es:
• coordenadas
{u1, u2, u3} = {x, y, z} (1.5)
Preliminares Matematicos 3
��
����
��
��
��
��
��� ������������ ���
• vectores unitarios
{~j1,~j2,~j3} = {~i,~j,~k} (1.6)
donde los vectores unitarios son tangentes a la direccion de variacion de las coor-denadas.
4 Capıtulo 1
�
�
�
�
��
�
�
�������� ������� ���� ������������ ���
��
��
��
• Vector posicion
~r = x~i + y~j + z~k (1.7)
• Variacion de los vectores unitarios
En este caso los vectores unitarios son constantes por lo que la variacion de ~r sedebe solo a la variacion de sus coordenadas
d~i = d~j = d~k = 0 (1.8)
• Variacion del vector posicion
d~r = dx~i + dy~j + dz~k (1.9)
• Parametros de escala
hx = hy = hz = 1 (1.10)
Preliminares Matematicos 5
• Elementos de lınea
dlx = dx
dly = dy
dlz = dz (1.11)
• Elementos de superficie
dSx = dydz
dSy = dxdz
dSz = dxdy (1.12)
• Elemento de volumen
dV = dxdydz (1.13)
����
��
���������� ������������������
��
��
��
1..2 Coordenadas cilındricas
La nomenclatura usual es:
6 Capıtulo 1
• coordenadas
�
ρ
��
ϕ
���������������
�
��
��
{u1, u2, u3} = {ρ, ϕ, z} (1.14)
donde la relacion con las coordenadas cartesianas es
ρ =√
x2 + y2
ϕ = arctgy
xx = ρ cosϕ (1.15)
y = ρ senϕ
• vectores unitarios
Preliminares Matematicos 7
�
ρ
��
ϕ
����������� ���������������� �
��
��
��
{~j1,~j2,~j3} = {~jρ,~jϕ, ~k} (1.16)
Su relacion con los vectores cartesianos es:
~jρ = cos ϕ~i + sin ϕ~j ~i = cos ϕ~jρ − sin ϕ~jϕ
~jϕ = − sin ϕ~i + cos ϕ~j ~j = sin ϕ~jρ + cos ϕ~jϕ (1.17)
• Vector posicion
~r = ρ~jρ + z~k (1.18)
• Variacion de los vectores unitarios
d~jρ = dϕ~jϕ
d~jϕ = −dϕ~jρ (1.19)
8 Capıtulo 1
• Variacion del vector posicion
Puesto que este caso los vectores unitarios dependen de las coordenadas la variacionde ~r se debe tanto a la variacion de sus coordenadas como a la de los vectoresunitarios
d~r = dρ~jρ + ρdϕ~jϕ + dz~k (1.20)
• Parametros de escala
hρ = 1
hϕ = ρ
hz = 1 (1.21)
• Elementos de lınea
dlρ = dρ
dlϕ = ρdϕ
dlz = dz (1.22)
• Elementos de superficie
dSρ = ρdϕdz
dSϕ = dρdz
dSz = ρdρdϕ (1.23)
• Elemento de volumen
dV = ρdρdϕdz (1.24)
Preliminares Matematicos 9
1..3 Coordenadas esfericas
�
��θ
ϕ
��������������������� �������
��
��
��
• coordenadas
{u1, u2, u3} = {r, ϕ, θ}donde la relacion con las coordenadas cartesianas es
r =√
x2 + y2 + z2 x = r sin θ cosϕ
ϕ = arctg yx
y = r sin θ sin ϕ
θ = arcos zr
z = r cos θ (1.25)
• vectores unitarios
{~j1,~j2,~j3} = {~jr,~jϕ,~jθ} (1.26)
Su relacion con los vectores cartesianos es:
~jr = sin θ cos ϕ~i + sin θsenϕ~j + cos θ~k~jϕ = − sin ϕ~i + cos ϕ~j
~jθ = cos θ cos ϕ~i + cos θ sin ϕ~j − sin θ~k (1.27)
10 Capıtulo 1
~i = sin θ cos ϕ~jr + cos θ cos ϕ~jθ − sin ϕ~jϕ
~j = sin θ sin ϕ~jr + cos θ sin ϕ~jθ + cos ϕ~jϕ
~k = cos θ~jr − sin θ~jθ (1.28)
• Vector posicion
~r = r~jr (1.29)
• Variacion de los vectores unitarios
d~jr = senθdϕ~jϕ + dθ~jθ
d~jϕ = −dϕ(senθ~jr + cosθ~jθ)
d~jθ = −dθ~jr + cosθdϕ~jϕ (1.30)
• Variacion del vector posicionPuesto que este caso los vectores unitarios dependen de las coordenadas la variacionde ~r se debe tanto a la variacion de sus coordenadas como a la de los vectoresunitarios
d~r = dr~jr + rsenθdϕ~jϕ + rdθ~jθ (1.31)
• Parametros de escala
hr = 1
hϕ = r sin θ
hθ = r (1.32)
• Elementos de lınea
dlr = dr
dlϕ = r sin θdϕ
dlθ = rdθ (1.33)
• Elementos de superficie
dSr = r2 sin θdϕdθ
dSϕ = rdrdθ
dSz = r sin θdrdϕ (1.34)
Preliminares Matematicos 11
• Elemento de volumen
dV = r2 sin θdrdϕdθ (1.35)
�
������������������������ ���������� �����
2. Derivada de un vector
Sea ~A un vector que, en un determinado sistema de coordenadas ortonormales{u1, u2, u3}, se escribe
~A = A1~j1 + A2
~j2 + A3~j3 (2.1)
y por tanto su derivada sera:
~dA = dA1~j1 + dA2
~j2 + dA3~j3 + A1d~j1 + A2d~j2 + A3d~j3 (2.2)
Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior las expresiones en losdistintos sistemas de referencia son:
• cartesianas~dA = dAx
~jx + dAy~jy + dAz
~jz (2.3)
12 Capıtulo 1
• polares
~dA = dAρ~jρ + dAϕ
~jϕ + dAz~k + Aρd~jρ + Aϕd~jϕ + Azd~k (2.4)
Utilizando las expresiones para las derivadas de los vectores unitarios:
~dA = (dAρ − Aϕdϕ)~jρ + (dAϕ + Aρdϕ)~jϕ + dAz~k (2.5)
• esfericas
~dA = dAr~jr + dAϕ
~jϕ + dAθ~jθ + Ard~jr + Aϕd~jϕ + Aθd~jθ (2.6)
Utilizando las expresiones para las derivadas de los vectores unitarios:
~dA = (dAr − Aϕsenθdϕ− Aθdθ)~jr +
(dAϕ + Ar sin θdϕ + Aθ cos θdϕ)~jϕ +
(dAθ + Ardθ − Aϕ cos θdϕ)~jθ (2.7)
3. Gradiente de un escalar
Sea un escalar B. Se define como gradiente de B y se denota ~∇B al vector queverifica:
dB = ~∇B. ~dr (3.1)
En un sistema de coordenadas ortonormales {u1, u2, u3}, ~∇B sera un vector de laforma:
~∇B = g1~j1 + g2
~j2 + g3~j3 (3.2)
Dado que como vimos anteriormente ~dr se escribe
~dr = h1du1~j1 + h2du2
~j2 + h3du3~j3 (3.3)
y que dB al ser la derivada de un escalar sera simplemente:
dB =∂B
∂u1
du1 +∂B
∂u2
du2 +∂B
∂u3
du3 (3.4)
Substituyendo (3.2-4) en (3.1) obtenemos:
∂B
∂u1
du1 +∂B
∂u2
du2 +∂B
∂u3
du3 = h1g1du1 + h2g2du2 + h3g3du3 (3.5)
luego las componentes de ~∇g son:
( ~∇B)i = gi =1
hi
∂B
∂ui
(3.6)
Preliminares Matematicos 13
Por tanto, teniendo en cuenta las expresiones de hi en los diferentes sistemas decoordanadas tenemos:
• cartesianas
~∇B =∂B
∂x~i +
∂B
∂y~j +
∂B
∂z~k (3.7)
• polares
~∇B =∂B
∂ρ~jρ +
1
ρ
∂B
∂ϕ~jϕ +
∂B
∂z~k (3.8)
• esfericas
~∇B =∂B
∂r~jr +
1
r sin θ
∂B
∂ϕ~jϕ +
1
r
∂B
∂θ~jθ (3.9)
4. Divergencia de un vector
4..1 Teorema de Gauss
Sea un vector ~A. Se define como divergencia de ~A al escalar que verifica elTeorema de Gauss:
∫
V
~∇. ~A dV =
∫
S
~A. ~dS (4.1)
14 Capıtulo 1
�
Apliquemos este teorema al elemento de volumen de la figura. Se trata de uncubo de aristas dl1, dl2, dl3 de manera que el elemento de volumen es
dV = dl1dl2dl3 (4.2)
y las seis caras tienen por elemento de superficie
~dS1 = ±dl2dl3~j1
~dS2 = ±dl1dl3~j2
~dS3 = ±dl1dl2~j3 (4.3)
El signo ± se debe a que cada una de las dos caras a ui constantes tiene orientacionpositiva o negativa segun este dirigida en la direccion de ~ji o en la contraria. Laintegral de superficie se hace por tanto sobre las seis caras del elemento de volumen:
Preliminares Matematicos 15
4..2 Integrales de volumen y superficie
∫
V
~∇. ~A dl1dl2dl3 =
∫
u1+du1=cte
A1dl2dl3 −∫
u1=cte
A1dl2dl3 +
∫
u2+du2=cte
A2dl1dl3 −∫
u2=cte
A2dl1dl3 +
∫
u3+du3=cte
A3dl1dl2 −∫
u3=cte
A3dl1dl2 (4.4)
Substituyendo los elementos de lınea
∫
V
~∇. ~Ah1h2h3du1du2du3 =
∫
u1+du1=cte
A1h2h3du2du3 −∫
u1=cte
A1h2h3du2du3 +
∫
u2+du2=cte
A2h1h3du1du3 −∫
u2=cte
A2h1h3du1du3 +
∫
u3+du3=cte
A3h1h2du1du2 −∫
u3=cte
A3h1h2du1du2
(4.5)
Teniendo en cuenta que
Aihjhk(ui + dui)− Aihjhk(ui) = dui∂(Aihjhk)
∂ui
(4.6)
la expresion anterior se escribe:
∫
V
~∇. ~Ah1h2h3du1du2du3 =
∫∂(A1h2h3)
∂u1
du1du2du3 +
∫∂(A2h1h3)
∂u2
du1du2du3 +
∫∂(A3h1h2)
∂u3
du1du2du3 (4.7)
de modo que, identificando los integrandos, tenemos:
~∇. ~A =1
h1h2h3
[∂(A1h2h3)
∂u1
+∂(A2h1h3)
∂u2
+∂(A3h1h2)
∂u3
](4.8)
Aplicando esta expresion a los distintos sistemas de coordenadas:• cartesianas
~∇. ~A =∂Ax
∂x+
∂Ay
∂y+
∂Az
∂z(4.9)
16 Capıtulo 1
• polares
~∇. ~A =1
ρ
[∂(ρAρ)
∂ρ+
∂Aϕ
∂ϕ+
∂(ρAz)
∂z
](4.10)
• esfericas
~∇. ~A =1
r2 sin θ
[∂(r2 sin θAr)
∂r+
∂(rAϕ)
∂ϕ+
∂(r sin θAθ)
∂θ
](4.11)
5. Rotacional de un vector
5..1 Teorema de Stokes
Sea un vector ~A. Se define como Rotacional de ~A al vector que verifica el Teoremade Stokes: ∫
S
(~∇× ~A) ~dS =
∮
c
~A. ~dr (5.1)
donde S es el area encerrada por una curva cerrada c.
u2, u3
u2, u3+du3
u2+du2, u3+du3
u2+du2, u3
Apliquemos el teorema a la superficie dS3 (u3=cte) del dibujo
Preliminares Matematicos 17
5..2 Integrales de lınea
(~∇× ~A)3dS3 = (A1dl1)u2 + (A2dl2)u1+du1 − (A1dl1)u2+du2 − (A2dl2)u1 (5.2)
o bien:
(~∇× ~A)3 h1h2du1du2 = (A1h1du1)u2 + (A2h2du2)u1+du1
−(A1h1du1)u2+du2 − (A2h2du2)u1 (5.3)
Teniendo en cuenta que:
∂(A1h1)
∂u2
=(A1h1)u2+du2 − (A1h1)u2
du2
∂(A2h2)
∂u1
=(A2h2)u1+du1 − (A2h2)u1
du1
(5.4)
obtenemos:
(~∇× ~A)3 =1
h1h2
[∂
∂u1
(A2h2)− ∂
∂u2
(A1h1)
](5.5)
El mismo proceso se puede aplicar a las superficies dS1 y dS2. El resultado es:
(~∇× ~A)i =1
hjhk
εijk ∂(Akhk)
∂uj
(5.6)
que, escrito en los diferentes sistemas de coordenadas es:
• cartesianas
~∇× ~A =
(∂Az
∂y− ∂Ay
∂z
)~i
+
(∂Ax
∂z− ∂Az
∂x
)~j
+
(∂Ay
∂x− ∂Ax
∂y
)~k (5.7)
• polares
~∇× ~A =1
ρ
(∂Az
∂ϕ− ∂(ρAϕ)
∂z
)~jρ
+
(∂Aρ
∂z− ∂Az
∂ρ
)~jϕ
+1
ρ
(∂(ρAϕ)
∂ρ− ∂Aρ
∂ϕ
)~k (5.8)
18 Capıtulo 1
• esfericas
~∇× ~A =1
rsenθ
(∂Aθ
∂ϕ− ∂(Aϕsenθ)
∂θ
)~jr (5.9)
+1
r
(∂Ar
∂θ− ∂(rAθ)
∂r
)~jϕ
+1
rsenθ
(∂(rsenθAϕ)
∂r− ∂Ar
∂ϕ
)~jθ (5.10)
6. Laplaciana de un escalar
Sea un escalar B, se define como laplaciana de B al escalar 4B que verifica
4B = ~∇.( ~∇B) (6.1)
Segun esta definicion, combinando los resultados anteriores para la divergencia yel gradiente
4B =1
h1h2h3
[∂
∂u1
(h2h3
h1
∂B
∂u1
)+
∂
∂u2
(h1h3
h2
∂B
∂u2
)+
∂
∂u3
(h1h2
h3
∂B
∂u3
)](6.2)
es decir:
• cartesianas
4B =∂2B
∂x2+
∂2B
∂y2+
∂2B
∂z2(6.3)
• polares
4B =1
ρ
∂
∂ρ
(ρ∂B
∂ρ
)+
1
ρ2
∂2B
∂ϕ2+
∂2B
∂z2(6.4)
• esfericas
4B =1
r2
∂
∂r
(r2∂B
∂r
)+
1
r2senθ
∂
∂θ
(senθ
∂B
∂θ
)+
1
r2sen2θ
∂2B
∂ϕ2(6.5)
Preliminares Matematicos 19
7. Problemas
Enunciados
1) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas polares y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas polares.
2) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas esfericas y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas esfericas.
3) Hallar d~r en los tres sistemas de coordenadas.
4) Hallar la posicion, velocidad y aceleracion en los tres sistemas de coordenadas.
5) Sea el escalar a = x + y2 + z2. Calcular la circulacion de su gradiente cuandose pasa del extremo inferior del diametro vertical de una circunferencia contenidaen una esfera de radio r = 3 con centro en M = (2, 2, 1) al superior, siguiendo lacircunferencia que se encuentra en el plano formado por su centro y el eje Z.
6) Comprobar el teorema de Gauss para el vector ~a = (2x2,−4y2, z), en la regionlimitada por la superficie x2 + y2 = 4 y los planos z = ±2.
7) Comprobar el teorema de Stokes para el vector ~a = (x − 2y, y2z3, y3z2), en elcontorno dado por x2 + y2 = 1, z = 0 y en el hemisferio superior de la superficieesferica que tiene por borde dicha circunferencia.
8) Demostrar que para un vector ~A, se satisface que ∇ · (∇× ~A) = 0. Demostrartambien que para un escalar φ se cumple que ∇× (∇φ) = 0.
9)Escribir en polares la ecuacion de una elipse centrada en un foco
20 Capıtulo 1
1) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas polares y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas polares.
Solucion
~jρ se encuentra en el plano XY formando un angulo ϕ con el eje X. Tenemosentonces
~jρ = cos ϕ~i + sen ϕ~j
~jϕ se encuentra tambien en el plano XY formando un angulo (ϕ + π2) con el eje X
y por tanto~jϕ = − sen ϕ~i + cos ϕ~j
~jz se encuentra dirigido segun el eje Z,
~jz = ~k
La variacion de los vectores unitarios en coordenadas polares se determinara derivandolas expresiones anteriores y teniendo en cuenta que los vectores unitarios en coor-denadas carterianas permanecen constantes. Por lo tanto:
d~jρ = (− sen ϕ~i + cos ϕ~j) dϕ = ~jϕdϕ
d~jϕ = −(cos ϕ~i + sen ϕ~j) dϕ = −~jρdϕ
d~jz = 0
Preliminares Matematicos 21
2) Hallar la relacion entre los vectores unitarios en coordenadas esfericas y carte-sianas. Calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas esfericas.
Solucion
El vector unitario ~jϕ esta contenido en el plano XY formando un angulo (ϕ + π2)
con el eje X,~jϕ = − sen ϕ~i + cos ϕ~j
El vector unitario ~jr puede descomponerse en componentes segun el eje Z y en elplano XY , esta ultima formando un angulo ϕ con el eje X. Por lo tanto puedeescribirse:
~jr = cos θ ~k + sen θ(cos ϕ~i + sen ϕ~j)
El vector ~jθ se descompone en su parte segun el eje Z (con el que forma un angulo(θ + π
2)) y su parte en el plano XY (que forma un angulo ϕ con el eje X),
~jθ = − sen θ ~k + cos θ(cos ϕ~i + sen ϕ~j)
Para calcular la variacion de los vectores unitarios en coordenadas esfericas, bastaderivar las expresiones anteriores y tener en cuenta que los vectores unitarios encoordenadas cartersianas permanecen constantes. El resultado es:
d~jϕ = −(sen θ~jr + cos θ~jθ) dϕ
d~jr = dθ~jθ + sen θdϕ~jϕ
d~jθ = −dθ~jr + cos θdϕ~jϕ
22 Capıtulo 1
3) Hallar d~r en los tres sistemas de coordenadas.
Solucion
• Coordenadas cartesianas~r = x~i + y~j + z~k
d~r = dx~i + dy~j + dz~k
• Coordenadas polares
~r = ρ~jρ + z~jz
d~r = dρ~jρ + ρd~jρ + dz~jz = dρ~jρ + ρdϕ~jϕ + dz~jz
• Coordenadas esfericas~r = r~jr
d~r = dr~jr + rd~jr = dr~jr + r sen θdϕ~jϕ + rdθ~jθ
Preliminares Matematicos 23
4) Hallar la posicion, velocidad y aceleracion en los tres sistemas de coordenadas.
Solucion
• Coordenadas cartesianas~r = x~i + y~j + z~k
~v =d~r
dt= ~r = x~i + y~j + z~k
~a =d~v
dt= ~r = x~i + y~j + z~k
• Coordenadas polares~r = ρ~jρ + z~jz
~v = ρ~jρ + ρϕ~jϕ + z~jk
~a = (ρ− ρϕ2)~jρ + (2ρϕ + ρϕ)~jϕ + z~jk
• Coordenadas esfericas~r = r~jr
~v = r~jr + r(θ~jθ + sen θϕ~jϕ)
~a = (r − rθ2 − r sen2 θϕ2)~jr + (2rϕ sen θ + 2θϕr cos θ + r sen θϕ)~jϕ
+ (2rθ + rθ − r cos θ sen θϕ2)~jθ
24 Capıtulo 1
5) Sea el escalar a = x + y2 + z2. Calcular la circulacion de su gradiente cuandose pasa del extremo inferior del diametro vertical de una circunferencia contenidaen una esfera de radio r = 3 con centro en M = (2, 2, 1) al superior, siguiendo lacircunferencia que se encuentra en el plano formado por su centro y el eje Z.
Solucion
–20
24
6–2 0 2 4 6
–2
0
2
4
Teniendo en cuenta el centro M de la circunferencia, los puntos A y B en coorde-nadas se escribiran A = (2, 2, 4) y B = (2, 2,−2). Para calcular la circulacion delgradiente de a tendremos en cuenta que este se define como
da = ~∇a. ~dr
La circulacion del gradiente de a = x + y2 + z2 sera entonces
∮~∇a. ~dr =
∫ A
B
da = a(A)− a(B) = 22− 10 = 12
Se concluye que el resultado solo depende de los puntos inicial y final y no delcamino seguido desde A hasta B.
Preliminares Matematicos 25
6) Comprobar el teorema de Gauss para el vector ~a = (2x2,−4y2, z), en la regionlimitada por la superficie x2 + y2 = 4 y los planos z = ±2.
Solucion
Sea un vector ~a. Se define como divergencia de ~a al escalar que verifica el Teoremade Gauss,
�
����
��ρ�
∫
V
~∇.~a dV =
∫
S
~a.d~S
siendo V el volumen de la region considerada y S su superficie.Calcularemos por separado ambas integrales. Por la simetrıa del problema es
conveniente utilizar coordenadas polares. Sean Sρ, S+z y S−z las superficies que
rodean la region cosiderada. La integral de superficie sera por tanto∫
S
~a. ~ds =
∫
Sρ
aρdSρ +
∫
S+z
azdSz −∫
S−zazdSz
donde aρ az son las componentes del vector ~a en las direcciones perpendiculares ala superficie, es decir:
~a = 2x2~i− 4y2~j + z~k = aρ~jρ + aϕ
~jϕ + az~k
26 Capıtulo 1
Haciendo uso de las relaciones entre los vectores unitarios en coordenadas carte-sianas y polares se tiene que
aρ = 2ρ2(cos3 ϕ− 2 sen3 ϕ)
aϕ = −2ρ2 cos ϕ sen ϕ(cos ϕ + 2 sen ϕ)
az = z
La integral de superficie puede escribirse entonces como
∫
S
~a. ~ds =
[∫ 2π
0
∫ 2
−2
2ρ3(cos3 ϕ− 2 sen3 ϕ)dϕdz
]
ρ=2
+
+
[∫ 2π
0
∫ 2
0
zρdρdϕ
]
z=2
−[∫ 2π
0
∫ 2
0
zρdρdϕ
]
z=−2
= 16π
donde hemos utilizado que
∫ 2π
0
(cos3 ϕ− 2 sen3 ϕ)dϕ =[sen x
3
{cos2 x + 2
}+
cos x
3
{2 sen2 x + 4
}]2π
0= 0
Calculemos ahora la integral de volumen. El gradiente del vector ~a es
~∇.~a = 4x− 8y + 1
y por lo tanto tenemos que
∫
V
(~∇.~a) dV =
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
−2
(4ρ cos ϕ− 8ρ sen ϕ + 1) ρdρdϕdz = 16π
Preliminares Matematicos 27
7) Comprobar el teorema de Stokes para el vector ~a = (x − 2y, y2z3, y3z2), en elcontorno dado por x2 + y2 = 1, z = 0 y en el hemisferio superior de la superficieesferica que tiene por borde dicha circunferencia.
Solucion
Sea el vector ~a. Se define como rotacional de ~a al vector que verifica el Teoremade Stokes
�
�
�
����
∫
S
(~∇× ~a) ~ds =
∮
C
~a.~dr
siendo S el area encerrada por la curva cerrada C.Para el vector
~a = (x− 2y)~i + y2z3~j + y3z2~k
su rotacional es:
~∇× ~a = 2~k
En esfericas
• Sobre la superficie esferica
r = 1, 0 < ϕ < 2π, 0 < θ <π
2
28 Capıtulo 1
El elemento de superficie es a r = cte = 1. Por tanto
~dSr = r2 sin θdθdϕ~jr = sin θdθdϕ~jr
Mientras que~∇× ~a = 2(cos θ~jr − sin θ~jθ)
Por lo tanto
∫
S
(~∇× ~a) ~ds =
∫ π2
θ=0
∫ 2π
ϕ=0
2 cos θ sin θdθdϕ =
(−cos (2θ)
2
)π2
θ=0
(ϕ)2πϕ=0 = 2π
• Sobre la circunferencia
r = 1, , 0 < ϕ < 2π, θ =pi
2
x = cosϕ, y = sin ϕ, z = 0
~i = cos ϕ~jr − sin ϕ~jϕ, ~j = sin ϕ~jr + cos ϕ~jϕ, ~k = −~jtheta
En consecuencia~dr = dr~jr + r sin θdϕ~jϕ + rdθ~jθ = dϕ~jϕ
mientras que~a = (cos ϕ− 2 sin ϕ)(cos ϕ~jr − sin ϕ~jϕ)
Por lo tanto ∫~a. ~dr =
∫ 2π
ϕ=0
(cos ϕ− 2 sin ϕ)(− sin ϕdϕ
∫~a. ~dr =
∫ 2π
ϕ=0
(−sin 2ϕ
2+ 1− cos ϕ
)dϕ = 2π
En polares
En estas coordenadas el vector ~a se escribe
~a = (x− 2y)~i + y2z3~j + y3z2~k =
= (ρ cos2 ϕ− 2ρ sen ϕ cos ϕ + ρ2z3 sen3 ϕ)~jρ
+ (2ρ sen2 ϕ− ρ cos ϕ sen ϕ + ρ2z3 sen2 ϕ cos ϕ)~jϕ
+ ρ3 sen3 ϕz2~k
Calculemos en primer lugar la integral de superficie.
∫
S
(~∇× ~a) ~ds =
∫
S
(~∇× ~a)z~dsz = 2
∫ 2π
0
∫ 1
0
ρdρdϕ = 2π
Preliminares Matematicos 29
donde hemos utilizado
(~∇× ~a)z =
(∂ay
∂x− ∂ax
∂y
)= 2.
Calculemos ahora la integral de linea.
∮~a. ~dr =
∫aϕρdϕ
=
∫ 2π
0
(2ρ sen2 ϕ− ρ cos ϕ sen ϕ + ρ2z3 sen2 ϕ cos ϕ) ρdϕ
La integral se lleva a cabo en la linea dada por las ecuaciones z = 0 y ρ = 1 y portanto ∮
~a. ~dr =
∫ 2π
0
(2 sen2 ϕ− cos ϕ sen ϕ)dϕ = 2π
30 Capıtulo 1
8) Demostrar que para un vector ~A, se satisface que ∇ · (∇× ~A) = 0. Demostrartambien que para un escalar φ se cumple que ∇× (∇φ) = 0.
Solucion
Por simplicidad elegimos coordenadas cartesianas.
~∇.(~∇× ~A) =∂
∂x
(∂Az
∂y− ∂Ay
∂z
)+
∂
∂y
(∂Ax
∂z− ∂Az
∂x
)
+∂
∂z
(∂Ay
∂x− ∂Ax
∂y
)= 0
~∇× ( ~∇φ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂∂x
∂∂y
∂∂z
∂φ∂x
∂φ∂y
∂φ∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
Preliminares Matematicos 31
9)Escribir en polares la ecuacion de una elipse centrada en un foco
Solucion
�
�
��
��
���
���
��
��� �� ������� ����������
La ecuacion de la elipse en cartesianas es
(x− c)2
a2+
y2
b2= 1
dondec2 = a2 − b2
o bienc = aε
con
ε =
√1− b2
a2
En tal caso se verifican las sigientes relaciones
r1 = a− c = a(1− ε)
r2 = a + c = a(1 + ε)
a =r2 + r1
2
b2 = r1r2
c =r2 − r1
2
32 Capıtulo 1
Pasando la ecuacion de la elipse a polares
b2(ρ cos ϕ− c)2 + a2ρ2(1− cos2 ϕ) = a2b2
ρ2 cos2 ϕ(b2 − a2)− 2b2cρ cos ϕ + b2c2 − b2a2 + a2ρ2 = 0
c2ρ2 cos2 ϕ + 2b2cρ cos ϕ + b4 − a2ρ2 = 0
Es una ecuacion de segundo grado cuya solucion es:
ρ cos ϕ =±aρ− b2
c
Si tomamos el sino + (el signo − corresponderıa al otro foco)
ρ(a
c− cos ϕ) =
b2
c
o bien escribiendolo en terminos de r1 y r2
ρ =r2(1− ε)
1− ε cos ϕ
Para ϕ = 0, r = r2, perihelioPara ϕ = π, r = r1, afelio
Bibliografıa
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[3] Halpern A., 3000 solved problems in physics, Schaum’s solved problem series,Mc. Graw Hill, (1988)
[4] Holton G., Introduccion a los conceptos y teorıas de las ciencias fısicas, Re-verte (Barcelona), (1964)
[5] Kible T.W.B., Mecanica Clasica, URMO, Bilbao, (1974)
[6] Landau L.D. & Lifshitz E.M., Mecanica, Reverte, (Barcelona), (1978)
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[8] Fernandez Ranada A., Dinamica Clasica, Alianza editorial, Madrid, (1990)
[9] Fernandez Ranada A., Fısica Basica, Alianza editorial, Madrid, (1990)
[10] Resnick R., Introduccion a la Teorıa Especial de la Relatividad , LIMUSA,Mexico, (1977)
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