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Mercado de Capitales
Renta Fija – Parte 3
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Key Rate Durations
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La duración mide el riesgo de tasa de interés solamente ante cambios
paralelos de la curva de rendimientos
LIMITACIONES DE DURACION
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La curva de rendimientos no solo se traslada sino que cambia de acuerdo al
ciclos economico y las expectativas de tasas de interes y caracteristicas decada mercado
Duracion: movimientos no paralelos de curva
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KEY RATE DURATIONS
(DURACIONES PARCIALES)
•Mide riesgo de movimientos no paralelos de la curvade rendimientos
• Mide sensibilidad del bono/portafolio a un solo
sector de la curva de rendimientos manteniendo las
demás tasas constantes.
• Mide cambio aproximado en el valor de un bono
/portafolio en respuesta a cambio de 100pb en un
solo spot rate de la curva• La suma ponderada de Key rates del bono/portafolio
es equivalente a su Duracion efectiva
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bono de 5 años
Una duración clave para la tasa spot de 3 años es la derivada parcial
respecto de S(3)
Evaluado en S(3) = 5%
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Duraciones parciales
45.35 86.38 123.41 156.71
3917.63
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
1Yr 2Yr 3Yr 4Yr 5Yr
La suma de duraciones parciales asciende a $4329,la duración total del bono
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Cambios en curva de rendimientos
- 4%- 2%
0%+1%
+1%
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- 4%- 2%
0%+1%
+1%
+ + + +1 1 0 (-2) (-4)$.4535 $.8638 $.12341 $.15671 $39.18
El cambio de curva de rendimientos aumentaría el precio delTreasury a 5 años en $158
= $158
Cambios en curva de rendimientos
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Duraciones parciales del portafolio
• Escoger los puntos de curva donde se van amedir la sensibilidad de cambios en YTM (keyrates)
• Calcular participacion porcentual de cadabono en el portafolio de acuerdo a su valor demercado
•
Suma ponderada de key rates es la duracionefectiva
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Duraciones parciales del portafolio
Ejemplo
Cual es el efecto de incremento de 100pb en 2y, 150pb en10y, 80pb en 20y y una caída de 100pb en sector de25y?
Bono peso% D1 D2 D3 D4 Total
2 y 10% 2 0 0 0
10y 20% 0 10 0 0
20y 40% 0 0 20 025y 30% 0 0 0 25
Key rates 100% 0.20 2.00 8.00 7.50 17.70
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Duraciones parciales del portafolioEjemplo
-(+1%x0.2)=-0.2% decrease
-(+1.5%x2.0)=-3.0% decrease
-(+0.80%x8.0)=-6.4% decrease
-(-1%x7.5)=+7.5% increase
TOTAL: -2.1% decrease
Cual es el efecto de incremento de 100pb en 2y, 150pb en 10y 80pb en 20y ycaida de 100pb en sector de 25y?
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Usos de las duraciones parciales
• Implementación de estrategias oposicionamiento en curva
• Mejor medición de riesgos de tipos de interés:
• La sensibilidad de dos bonos con similar duración
efectiva no es la misma.
Diferencias KRD entre el Portafolio Real versus el Portafolio Sombra
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
3m 6m 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y 9y 10y
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Valorización por arbitraje
• Encontrar dos cosas que son básicamente lo
mismo, vender el mas caro comprar el mas
barato.
• Arbitraje:
– Cero inversión hoy
– Flujo positivo en algún momento del tiempo
(futuro) y estado del mundo
– Sin flujo de caja negativo en el futuro
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Relación entre los “zeros” y las tasas
de interes
• La función de descuento da el precio que uno
debe pagar para recibir un dólar en varias
fechas en el futuro.
• Considere un zero con valor nominal 1 y
vencimiento en T años:
dt = 1/(1+rt )T
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Valorización usando ceros
• Considere la siguiente estructura de pagos:
• Pensemos una alternativa sintética10 20 30 40 50
1 2 3 4 5
Año CF Replicación
1 10 10 zeros de 1 año
2 20 20 zeros de 2 años3 30 30 zeros de 3 año
4 40 40 zeros de 4 años
5 50 50 zeros de 5 año
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Valorizando usando ceros
• Considere un bono de dos años, con cash
flows de K1, k2 y valor de mercado que excede
su valor sintético.
Valor de mercado >d1k1+d2k2
La estrategia de arbitraje consiste en vender el
caro y comprar el barato:
Comprar K1 y k2 de ceros respectivamente y
vender una unidad de bono de 2 años.
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Proceso general para crear bonos
sintéticos
hoy año 1 año 2 año3
Bono 1 p1 k11 k12 k13
Bono 2 p2 k21 k22 k23
Bono 3 p3 k31 k32 k33
Que? P? w1 w2 w3
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Modelos de tasa de interés
• Características de un buen modelo de estructurade plazos:
• La meta es desarrollar una metodología que
provea una descripción de como evolucionaría laestructura de plazos a través del tiempo
• Esta descripción es deseable si:
– Captura importantes hechos estilizados acerca de la
estructura de plazos – No implica la presencia de ganancia por arbitraje
– Es computacionalmente manejable
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Problemas con la construcción de
árboles para Precios de Bonos
• La distribución de precios futuros para un
bono no puede verse como el de una acción
– El valor de un bono libre de riesgo al vencimiento
es conocida con certeza
– También existen restricciones en cuan alto puede
ir un bono
• Los bonos de largo plazo al día de hoy sevolverán bonos de corto plazo en el futuro.
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¿Qué tasa de interés modelar?
• Enfocarse en la tasa de interés de mas corto plazotal como la tasa overnight
• Considere la tasa de interés de composicióncontinua para un bono que vence en t+h:
• Teóricamente, la tasa con el menor vencimiento,
denotado porṙ
es la tasa de un bono con uninstante antes de su vencimiento, es decir elintercepto en la curva de rendimiento
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Estructura de árbol binomial para el
modelo de Vasicek
Paso
Paso
Paso
Paso
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Parametros del modelo
• Especificos del problema – T Vencimiento – Horizonte de planeamiento
– H tiempo – paso
• Tasa de corto plazo actual –
t ṙ t+h
• Específico de la dataμ media de largo plazo
σ volatilidad
Φ reversión a la mediaΦ = 1 no hay reversión
φ = 0 completa reversión a la media
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Paso Vasicek y probabilidades
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Propiedades de las probabilidades de
Vasicek
• La probabilidad q es estocástica y cambia cada
vez que la tasa de corto plazo cambia
• Cuando h0, q0.5
• Si u>r entonces q>0.5
• Si u<r entonces q<0.5
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Ilustración numérica• T = 0.5 años, h = 0.25 y
0ṙ = 8%, μ = 5%, σ = 6%, φ =
0.7
• Paso =Paso
Probabilidad de una subida cuando las tasas están en 8%:
Probabilidad de una subida cuando las tasas están en 10.53%:
Probabilidad de una subida cuando las tasas están en 5.47%:
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Predicción trimestral sobre 6 meses
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Formación de la estructura de plazos
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Estructura temporal bajo LEH
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Estructura temporal bajo LEH
Se necesita valorizar el cero de 2 años, bajo LEH:
Con la evolución de las tasas de C.P:
En T = 0:
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Estructura temporal bajo LEH
Bajo la misma lógica, podemos determinar los posibles precios de
un cero de 2 años en 1 año via LEH:
En el escenario de subida para un año:
En el escenario de bajada para un año:
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Estructura temporal bajo LEH
Dado los precios de un cero de 2 años, calculamos:
Entonces:
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Como ya conocemos los precios de un cero de 2 años en el año 1,
podemos calcular el precio de un cero de 3 años en el año 0 via LEH
como:
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Para recordar, ya tenemos:
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Incorporando la prima temporal
• - El LEH asume que los tenedores de bonos noreciben ninguna recompensa por encima de latasa libre de riesgo
• Cuando un inversionista considera mantenerun bono de dos años en vez de uno, podríarequerir una prima por tiempo o por liquidez.
• Para un periodo de tenencia h, el precio de unbono en tiempo t que incorpora esta prima odenominado fudge factor es:
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•En términos de retornos de bonos, el modelo deVasicek asume que la prima temporal es proporcionalal riesgo extra (medida por la desviación estandar)
• Quiere decir, que el modelo de Vasicek asume elexceso de retorno esperado por unidad de riesgo esuna constante λ para todos los bonos:
(Retorno esperado en el bono 1) – (tasa de corto plazo) =
Desviación estándar del retorno en el bono 1(Retorno esperado en el bono n) – (tasa de corto plazo)
Desviación estándar del retorno en el bono n
Incorporando la prima temporal
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Vasicek Fudge Factors
• Para mantener el exceso de retorno esperado
por unidad de riesgo constante, necesitamos
calcular un fudge factor
• El fudge factor o la penalidad de riesgo, con
vencimiento de 2h en el modelo de Vacisek es
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Una ilustración
• Regresando a la estructura de plazos calculada
en las páginas 5 – 12 e incorpore la prima
temporal para vencimientos mayores a un
año, siendo λ = 1/3:
• El precio en t=0 de un bono de 2 años es
ahora:
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Estructura temporal con prima
• De manera similar usamos un fudge factor de
0.0081 para el escenario de subidas y un
fudge factor de 0.0085 para el escenario de
bajada:
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• Entonces, encontramos que:
Estructura temporal con prima
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Introducción a estrategias dinámicas
• Recordemos:
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Valorizando una call en un bono
• Dado el siguiente árbol de precios en t = 1
año, valorice una opción call en un bono cero
de 2 años con precio de ejercicio en X = 0.94Cero de 1 año Cero de 2 años
(Bono subyacente)Opción CallCon X = 0.94
Año 1 Año 2 Año 2 Año 2Año 1 Año 1
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Valorizando una call en un bono
Encontremos N1, N2 tal que:
Por no arbitraje, el costo del portafolio de réplica es:
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Valorizando una opción call
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Año 0 Año 1 Año 2
Ilustración previa, año 1
Valorizando una opción call
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Para determinar el valor de la call en el año 0, F, busque una
estrategia de réplica tal que
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