MATEMÁTICAS PARA TI

Profesor: Alfonso René Bendaña Castillo

Alumnos:Janet Zavala Rodríguez

Idania Aquino cruzAndrés de Jesús Hernández Martínez

Temario Primer parcial

Segundo parcial

Tercer parcial

Inferencia lógica

Leyes básicas del álgebra de proposiciones

Leyes básicas del álgebra de conjuntos

Ejercicios capitulo 1(conjuntos y subconjuntos)

Ejercicios capitulo 2(operaciones con conjuntos)

Ecuaciones lineales

Relaciones numéricas

Ejercicios del grupo 10

Formulas de ecuaciones en una sola variable

Derivadas

Código del programa para graficar polinomios

MODUS PONENDO PONES. La regla de inferencia aplicada en el ejemplo procedente tiene un nombre latino, Modus Ponendo Ponens.

Premisa1 Si él está en el partido de futbol entonces él está en el estadio.Premisa2 Él está en el partido de futbol. Conclusión: Él está en el estadio. Sea: P= <<Él está en el partido de futbol>>Q = <<Él está en el estadio>>,

Entonces: Premisa1 P → Q Premisa2 P Conclusión: Q

Inferencia lógica

El nombre Modus Ponendo Ponens se puede explicar de la siguiente manera:

Esta regla de inferencia es el método (Modus), que afirma (Ponens) el consecuente, afirmado (Ponendo) el antecedente.

La regla de inferencia llamada Modus Ponendo Ponens permite demostrar que Q a partir de P→Q y P.

La regla de inferencia aprendida dice que si se tienen dos proposiciones de la forma P→Q y P, se puede decir la conclusión, Q.

MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)La regla de inferencia que tiene nombre latino Modus Tollendo Tollens se

aplica también a las proposiciones condicionales. Pero en este caso, negando Tollendo el consecuente se puede negar (Tollens)

en el antecedente de la condicional la deducción siguiente es un ejemplo de uno de los módulos Tollendo Tollens.

Premisa1.- Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella.Premisa2.- El astro no es una estrella.Conclusión: Por lo tanto no tiene luz propia. Se simbolizará el ejemplo de la manera siguiente: sea:P= <<Tiene luz propia >>Q=<<El astro es una estrella>> P→

T QT P

La abreviatura del Modus Tollendo Tollens es TT. Cuando el antecedente o el consecuente es una proposición molecular, puede usarse el paréntesis para mayor claridad.

(P)→ (Q)T (Q)T (P)Permite pasar de dos premisas: (a) una proposición condicional, y (b)

una proposición que niega el consecuente, a una conclusión que niega el antecedente.

La regla se aplica a todo conjunto de premisas de esta forma. El antecedente o el consecuente pueden ser proposiciones molecular

El uso de la doble negación es importante. Se necesita la negación de la consecuente en la primera premisa para poder aplicar la regla TT. El consecuente es TB. La negación de esta proposición molecular se co9nsige anteponiendo el símbolo que corresponde al <<no>>; y a si, TTB niega a TB. No se tiene TTB. Obsérvese que esto es lo que se ha realizado en la línea (3) utilizando el modus Tollendo Tollens se tiene la negación del antecedente es TA de manera que su negación es TTA. Finalmente todo se reduce a partir de la regla DN otra vez, para obtener A de TTA.es o proposiciones automáticas.

MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)Modus Tollendo Ponens. Una vez más, el nombre latino dice algo acerca

de la regla. Dice que negando (Tollendo) un miembro de una disyunción se afirma (Ponens) el otro miembro.

Simbólicamente, el modus Tollendo Ponens se puede expresar. De la premisa P V Qy la premisa TP__Se puede concluir Q De la premisa P V QY la premisa TQ___Se puede concluir P

La abreviatura para modus Tollendo Ponens es TP. Añadiendo paréntesis, Modus Tollendo Ponens se puede escribir.

De (P) V (Q)y T(Q)___ se deduce (P)

De (P) V (Q)y T(P)___ se deduce (Q)

Observe que una premisa la (negación) niega una parte de la disyunción. La conclusión afirma precisamente la otra parte. No importa cuál sea el miembro negado, el derecho o el izquierdo. La disyunción dice que por lo menos un miembro se cumple se sabe que el otro ha de cumplirse.

MODUS PONENDO TOLLENS (MPT)En lógica, el Modus Ponendo Tollens (en latín, modo que afirmado

niega), es una forma valida de argumento que dice:O bien A, o bien BAPor ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus Ponendo

Tollens podría ser: o bien es día o bien es noche.Otra manera de representarlo es:A←→B

Y aun otra manera es atreves de la notación del cálculo de secuentes: (A ←→B), A

P ˅ P ≡ P

P P P ˅ P

P ˄ P ≡ P

P P P ˄ P

Leyes de Idempotencia

Leyes básicas del álgebra de proposiciones

Leyes básicas del algebra de preposiciones

(P˅Q) ˅ R ≡ P ˅(Q ˅ R)

(P ˄ Q) ˄ R ≡ P ˄ (Q ˄ R)

Leyes Asociativas

P Q R PVQ (PVQ) VR Q V R PV(Q V R)

V V V V V V V

V F F V V F V

F V V V V V V

F F F F F F F

P Q R P^Q (P^Q) ^R Q ^R P ^(Q ^ R)

V V V V V V V

V F F F F F F

F V V F F V F

F F F F F F F

P ˅Q ≡ Q ˅ PP Q P ˅ Q

P ˄ Q ≡ Q ˄ PP Q P ˄ Q

Leyes Conmutativas

P Q Q ˅ P

P Q Q ˄ P

P ˅(Q ˄ R) ≡ (P ˅ Q) ˄(P ˅ R)

P Q R (Q ˅ R) P ˅(Q ˅ R) ↔ P ˅ Q P ˅ R (P ˅ Q) ˄(P ˅ R)

V V V V V V V V V

V V F F V V V V V

V F V F V V V V V

V F F F V V V V V

F V V V V V V V V

F V F F V V V V V

F F V F F V F V F

F F F F F V F F F

Leyes Distribuidas

• P ˄(Q ˅ R) ≡ (P ˄ Q) ˅ (P ˅ R)

P Q R (Q ˅ R) P ˄(Q ˅ R) ↔ P ˄ Q P ˅ R (P ˄ Q) ˅ (P ˅ R)

V V V V V V V V V

V V F V V V V F V

V F V V V V F F V

V F F F F V F F F

F V V V F V F F F

F V F V F V F F F

F F V V F V F F F

F F F F F V F F F

P ˅ Ø ≡ P

P Ø P ˅ Ø ↔ P

V F V V V

F F F F F

P ˄ Ԏ ≡ P

P Ԏ P ˄ Ԏ ↔ P

V V V V V

F V V V V

Leyes de Identidad

P ˅ Ԏ ≡ Ԏ

P Ø P ˄ Ø ↔ Ø

V F F F F

F F F F F

P ˄ Ø ≡ Ø

Leyes de Identidad

P Ԏ P ˄ Ԏ ↔ Ԏ

V V V V V

F V V V V

P ˅ ~P ≡ Ԏ P ˄ ~P ≡ Ø

Leyes del Complemento

P ˅ ~P Ԏ

V V F V

F V V V

P ˄ ~P Ø

V V F V

F V V V

~ ~ P ≡ P

P ¬P ¬ ¬P

~(P ˅ Q) ≡ ~ P ˄ ~Q

~ (P ˄ Q) Ξ ~ P ˅ ~ Q

Leyes de Morgan

P Q P ˅ Q ¬(P ˅ Q) ¬P ¬Q ¬P ^ ¬Q

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

P Q P ^ Q ¬(P ^ Q) ¬P ¬Q ¬P V ¬Q

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

Leyes de Idempotencia

• A ∩ A = AA U A = A

Leyes del álgebra de conjuntos

Leyes Asociativas• (A ∩ B ) ∩ C = A ∩(B ∩ C)

(A U A) U C = A U (B U C)

Leyes Conmutativas

• A ∩ B = B ∩ AA U B = B U A

Leyes de Identidad• A ∩ U = AA U Ø = A

Leyes de Identidad• A ∩ Ø = ØA U U = U

Leyes del Complemento• A ∩ A = Ø′A U A = U′

• ( A ) = A′ ′ U= Ø

Leyes del álgebra de conjuntosLeyes del Complemento

U = Ø

Leyes de Morgan

(A∩B) = A ′ ′ U B′

(A U B) = A ∩′ ′ B′

• 36. Escribir en notación conjuntista:1) R es un superconjunto de T.2) x es elemento de Y.3) M no es subconjunto de S.4) El conjunto potencia de W.5) z no pertenece a A.6) B está incluido en F.7) El conjunto vacio.8) R pertenece a A.

CAPITULO 1Conjuntos y subconjuntos

• 37 Enunciar verbalmente:1) A = {x| x vive en París}.• R= A es el conjunto de los x tales que x vive en Paris.

2) B = {x| x habla danés}.• R= B es el conjunto de los x tales que x habla danés.

3) C = {x| x es mayor de 21 años}.• R= C es el conjunto de los x tales que x es mayor de

21 años.

4) D = {x| x es ciudadano francés}.• R= D es el conjunto de los x tales que x es

ciudadano francés.

• 38. Escribir en forma tabular1) P = {x| - x – 2 =0}.• Resultado P = {2, -1}

2) Q = {x|x es una letra de la palabra <<calcular>>}.

• Resultado Q = {a, c, l, u, r}

3) R = {x| = 9, x -3 =5}.• Resultado Ø

4) S = {x es una vocal}. • Resultado S={a, e, i, o, u}

5) T = {x|x es una cifra de número 2324}.• Resultado T= {2, 3, 4}.

• 39. Si E={1,0}, decir entre las afirmaciones siguientes cuáles son correctas o incorrectas.

1){0} ɛ E Incorrecto

2) Ø ɛ EIncorrecto

3){0} E Correcto

4)0 ɛ E Correcto

5)0 E Incorrecto

• 40. En una exposición axiomática de la teoría de conjuntos, decir cuáles de estos símbolos representan una relación no definida:

1. 2. ɛ3.

Respuesta El símbolo ɛ representa una relación no definida.

SUBCONJUNTOS• 41. Si B = {0, 1, 2} hallar todos los subconjuntos

de B.Respuesta :Hay 8 subconjuntos

B, {0, 1}, {0, 2}, {1,2}, {0}, {1}, {2}, Ø

• 42. Si F = {0, {1, 2}} hallar todos los subconjuntos de F.Respuesta :Hay 4 subconjuntos

F, {0}, {{1,2}}, Ø

• 43. SeanA = {2,3,4}C = {x| -6x +8 = 0 }B = {x| = 4, x es positivo}D = {x | x es par}

Completar las siguientes afirmaciones insertando , o <<nc>> (no comparables) entre cada par de conjuntos:

1. A B2. A C 3. B C4. A nc D5. B D6. C D

• 44. Sean A = {1,2, …..,8,9}, B={2,4,6,8}, C={1,3,5,7,9}, D = {3,4,5} y E = {3,5}. ¿Cuáles conjuntos pueden ser iguales a X dadas las condiciones siguientes?

1. X y B son disjuntos2. X D y X B3. X A y X C4. X C y X A

• 45.Decir si son correctas o incorrectas las siguientes afirmaciones:

1. Todo Subconjunto de un conjunto es finito Correcto2. Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito

Incorrecta

Respuestas1. C,E2. D,E3. A, B, D4. Ninguno

• 46 Hacer un diagrama lineal de los conjuntos A, B, C y D del problema 43.

• 47 Hacer un diagrama lineal de los conjuntos A, B, C, D y E del problema 44.

• 48. Entre las afirmaciones siguientes decir cuales son correctas e incorrectas

1. {1, 4, 3} = {3, 4, 1} Correcto2. {1,3,1,2,3,2} {1,2,3} Correcto3. {4} ɛ {{4}} Correcto4. {4} {{4}} Incorrecto5. Ø {{4}} Correcto

• 49. Decir cuáles de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos:

1. El conjunto de rectas paralelas al eje x. Infinito2. El conjunto de letras del alfabeto. Finito3. El conjunto de números que son múltiplos de 5. Infinito4. El conjunto de animales que viven en la tierra. Finito5. El conjunto de números que son raíces de la ecuación

Finito6. El conjunto de círculos que pasan por el origen (0,0).

Infinito

• 50. Entre las afirmaciones siguientes decir cuál es correcta y cuál incorrecta. Aquí S es un conjunto cualquiera no vacio.

1. S Correcto2. S Incorrecto3. {S} Incorrecto4. {S} Correcto• Hacer un diagrama lineal de los conjuntos del siguiente

diagrama Venn.

• 31. Sea el conjunto universal U= {a,b,c,d,e,f,g} y sean A={a,b,c,d,e}, B ={a,c,e,g} y C={b,e,f,g}.Hallar

6. B' U C7. (A – C)'8. C' ∩ A 9. (A – B')'10. (A ∩ A')'

1. A U C 2. B ∩A 3. C – B4. B'5. A' - B

Resultados6. {b,d,f,c,g}7. C={b,e,f,g}8. {a,c,d}9. {b,d,f,g}10. U

Resultados1. U2. {a,c,c}3. {b,f}4. {b,d,f}5. {f}

CAPITULO 2Operaciones con conjuntos

32.Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces A B'

• Sea x ε A. Como A y B son disjuntos, x B; luego x pertenece a B [ . Queda demostrado que x ε A implica x ε B [, es decir, que A B [.

• 33. En los diagramas de Venn que siguen, rayar

• 34.Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A,B y C de modo que A,B y C tengan las siguientes características:

• 35. Determinar:

• 36. Completar las siguientes afirmaciones insertando , o nc entre cada par de conjuntos. Aquí Ay B son conjuntos arbitrarios.

• 37. La fórmula A-B =A ∩ B´ puede definir la diferencia de dos conjuntos mediante las solas operaciones de inserción y complemento. Encontrar una formula que defina la unión de dos conjuntos, A U B, mediante estas dos operaciones de intersección y complemento.

• AUB =(A´∩ B´)´

• 38. Demostrar: A-B es un subconjunto de AUB.

• 39. Demostrar: el Teorema 2-1: A B implica A∩B =A.

• 40. Demostrar: Si A∩B = Ø, entonces B ∩A´= B

• 41. Demostrar el Teorema 2-2: A B implica AUB=B

• 42. Demostrar: A´- B´= B – A

• 43. Demostrar el Teorema 2-3: A B implica B´ A´

• 44. Demostrar: Si A ∩ B= Ø, entonces AUB´=B´.

• 45. Demostrar: (A ∩ B)´= A´U B´

• 46.Demostrar el Teorema 2-4: A B implica AU(B-A)=B.

• /*Programa que resuelve un sistema de ecuaciones de 2x2 o 3x3, mediante el uso de la regla de Cramer.• *Creado por: Andrés de Jesús Hernández Martínez, Idania Aquino Cruz, Janet Zavala Rodríguez • *Grupo: 7ITI1• *Fecha de creación: 27 mayo de 2012• *Fecha de la última modificación: 29 mayo de 2012• */

• //Declaracion de librerias• #include <stdio.h>• #include <stdlib.h>• #include <math.h>• #include <conio.h>

• //Declaración de variables globales• int f, c;

• //Declaración de funciones• void calcula(int dim, float ar[f][c]);• int error(int tmp);• int valida(char array[]);• //Validación de números flotantes y enteros (+,-)• int validaFE(char array[])• {

Ecuaciones lineales

• //Declaración de variables locales• int i, val=0, cont=0,tam=0;• while(array[tam]!='\0')//Calcula el tamaño del array• tam++;• if((array[0]!='.')&&(array[0]!=13)&&(array[tam]!='.')&&tam<=5)//Valida que al

inicio y al final del array no contenga un punto y que el número maximo de dígitos sea 5

• {• for(i=0; i<tam; i++)• {

• if(array[0]=='-')//Valida signo negativo en los numeros• {

• if(((array[i]<=57)&&(array[i]>=48)&&(cont<=1))||(array[i]=='.'))//Valida que el array sea un numero flotante o entero

• {• if(array[i]=='.')• {• cont++;• }

• val=1;• }• else• {• if(i!=0)• {• val=0;• break;• }• }• }• else//Signo positivo en los numeros• {• if(((array[i]<=57)&&(array[i]>=48)&&(cont<=1))||(array[i]=='.'))//Valida que el array sea un numero flotante o entero• {

• if(array[i]=='.')• {• cont++;• }

• val=1;• }• else• {

• val=0;• break;• }• }• }• }• return val;

• }• //Validación de error de entrada de datos• int error(int tmp)• {• if(tmp>0)• {• system("cls");• printf("\nEntrada de datos incorrecta.(Presiona cualquier tecla para continuar)");• getch();• tmp=0;

• }• else• {• tmp=0;• }• return tmp;

• }• //Función encargada de mostrar en consola, la petición• //de variables para resolver el sistema de ecuaciones• void ingresa(void)• {• //Declaración de variables locales• int dim,i,j,tmp=0,val;• float ar[f][c];

• //Declaración de arreglo estatico• char letra[5]= {'a','b','c','d','\0'};• char arr[10];

• //Declaración de la dimensión de la matriz• dim=f*c;

• //Llena el arreglo dinamico• for (i=0; i<f; i++)• {• for (j=0; j<c; j++)• {• //Valida que solo se ingresen numeros

• do• {• tmp=error(tmp);//Llamada a la función validar entrada• system("cls");//Limpia la pantalla de consola• printf("Introduce el valor(máximo 5 dígitos #.###,#####,-#.## o -####) de la variable %c%d: ",

letra[j],i+1 );• fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada• gets(arr);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array• val=validaFE(arr);//Llama a la funcion validar numeros• if(val==1)//Verificador de entero o flotante• {• ar[i][j]=atof(arr);//Convierte el array en un numero flotante• }• tmp++; //Verificador de error• }

• while(val==0); //Si = 0 entonces el caracter ingresado no es un numero• tmp=0;• }• }

• //Imprime la matriz ordenada• puts("\nMatriz ordenada.\n");• for (i=0; i<f; i++)• {• for (j=0; j<c; j++)• {• printf("%.2f ", ar[i][j]);• }• puts("\n");//Imprime un salto de linea y da un retorno de carro• }

• printf("\nPresiona cualquier tecla para continuar.");• getch();//Espera hasta que una tecla es pulsada

• //Lamada a la función calcula, pasando parametros• calcula(dim, ar);• }

• //Función encargada de calcular el sistema de ecuaciones 2x2 y 3x3• void calcula(int dim, float ar[f][c])• {• //Declaración de variables locales• float delta,x=0,y=0,z=0;

• //Limpia la pantalla de la consola• system("cls");

• //Resuelve el sistema 2x2• if(dim==6)• {• printf("Solución al sistema de ecuaciones 2x2.\n\n");• //Determina valor delta• delta=ar[0][0]*ar[1][1]-ar[0][1]*ar[1][0];• //Valida división por cero• if(delta!=0)• {

• //Resolución por metodo de Cramer• x=(ar[0][2]*ar[1][1]-ar[0][1]*ar[1][2])/delta;• y=(ar[0][0]*ar[1][2]-ar[0][2]*ar[1][0])/delta;• //Imprime resultados• printf("\nx = %.2f", x);• printf("\ny = %.2f", y);• }• else• {

• printf("\nEl sistema de ecucaciones no tiene solución.");

• }• }• //Resuelve el sistema 3x3• else• {• printf("Solución al sistema de ecuaciones 3x3.\n\n");• //Determina valor delta• delta=ar[0][0]*ar[1][1]*ar[2][2]+ar[0][1]*ar[1][2]*ar[2][0]+ar[0][2]*ar[1][0]*ar[2][1]-ar[0][2]*ar[1]

[1]*ar[2][0]-ar[0][1]*ar[1][0]*ar[2][2]-ar[0][0]*ar[1][2]*ar[2][1];• //Valida división por cero• if(delta!=0)• {

• //Resolución por metodo de Cramer• x=(ar[0][3]*ar[1][1]*ar[2][2]+ar[0][1]*ar[1][2]*ar[2][3]+ar[0][2]*ar[1][3]*ar[2][1]-ar[0][2]*ar[1]

[1]*ar[2][3]-ar[0][1]*ar[1][3]*ar[2][2]-ar[0][3]*ar[1][2]*ar[2][1])/delta;• y=(ar[0][0]*ar[1][3]*ar[2][2]+ar[0][3]*ar[1][2]*ar[2][0]+ar[0][2]*ar[1][0]*ar[2][3]-ar[0][2]*ar[1]

[3]*ar[2][0]-ar[0][3]*ar[1][0]*ar[2][2]-ar[0][0]*ar[1][2]*ar[2][3])/delta;• z=(ar[0][0]*ar[1][1]*ar[2][3]+ar[0][1]*ar[1][3]*ar[2][0]+ar[0][3]*ar[1][0]*ar[2][1]-ar[0][3]*ar[1]

[1]*ar[2][0]-ar[0][1]*ar[1][0]*ar[2][3]-ar[0][0]*ar[1][3]*ar[2][1])/delta;• //printf("\nd = %.2f", delta);• //Imprime resultados• printf("\nx = %.2f", x);• printf("\ny = %.2f", y);• printf("\nz = %.2f", z);• }• else• {

• printf("\nEl sistema de ecucaciones no tiene solución.");

• printf("\n\nPresiona cualquier tecla para continuar.");• }

• int main()• {• //Declaración de variables locales• int op;• //Despliega el menú de la aplicación• do• {• system("cls");//Limpia la pantalla de la consola• printf("Programa para resolver conjuntos de ecuaciones 2x2 y 3x3 (Regla de Cramer).\n\n");• printf("Selecciona una opción del menú:\n");• printf("\t1 Resolver conjunto de ecuaciónes 2x2.\n");• printf("\t2 Resolver conjunto de ecuaciónes 3x3.\n");• printf("\t3 Salir.\n");• printf("\nIngresa la opción: ");• fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada• scanf("%i", &op);//Recibe el caracter de entrada• //Permite seleccionar alguna de las opciones del menú• switch(op)• {• //Opción 1 "Resolver sistemas 2x2"• case 1:• system("cls");• //Determina No. de columnas y filas en matriz• c=3;

• f=2;• ingresa();• getch();//Espera hasta que una tecla es pulsada• break;• //Opción 2 "Resolver sistemas 3x3"• case 2:• system("cls");• //Determina No. de columnas y filas en matriz• f=3;• c=4;• ingresa();• getch();//Espera hasta que una tecla es pulsada• break;

• case 3:• system("cls");• //Finaliza la ejecución de la aplicación• return(0);• break;• //Evalua las opciones no validas• default:• printf("\nOpción incorrecta.(Presiona cualquier tecla para continuar)");• getch();• break;• }• }• while(op!=3); //Mientras la opcion seleccionada sea diferente de 3 el menú se

vuelve a desplegar en pantalla• system("cls");• //Finaliza la ejecución de la aplicación• return 0;• }

SEGUNDO PARCIAL

1.-En un laboratorio de computo se cuenta con 30 PC’s, las cuales permanecen encendidas durante 16 horas continuas al día, y el consumo por PC es de 126 watts por hora. ¿Cómo calculara el departamento de mantenimiento el consumo total de energía para el laboratorio y el costo mensual de este, si por Kwh se cobra $0.617 pesos?

P=30T=16C=126CT=?KM=?Cos=$0.617

(((P*T)*C)*30)/1000=CT

CT=1,814.4 kwh

CT*Cos=KM

KM=$1,119.49

Relaciones numéricas

2.-Una empresa desarrolladora de software pone ala venta dos módulos con un costo de $50,000.00 y $70,000.00 respectivamente, aplicando un descuento por pago de contado del 5% ¿Una empresa X desea adquirir los 2 módulos pero solo paga de contado el de menor valor y el segundo lo pagara en un lapso de 1.3 años, si el plan de pagos del desarrollador comprende un aumento de 10% sobre el valor del módulo y después de un año un aumento del 1%, cual será el valor total de la adquisición al finalizar la transacción?

Mod1=50,000Mod2=70,000desc=0.05aum=0.1an=0.01CT=?

((Mod1*desc)-Mod1)+(((Mod2*aum)+Mod2)+(Mod2*an))=CT

CT=$125,200.00

1.- El volumen de un cono circular recto de radio r y de altura h, esta dado por la formula V=⅓π.r².h, expresar:

a) la altura k como una función explícita de V y r.b) el radio r como una función explícita de V y h.

Fórmula: V= ⅓π.r².h

a) h(r,v)= v = 3v ⅓π.r² π.r²

b) r(v,h)= √3v/π.hr

3.- Expresar la longitud d de la diagonal de un cuadrado como función de su área A.

A = A²d² = A² + A²

d² = 2A²d² = A²2

Sustituyendo (2) en (1)

A = d² 2

Despejando:

A.2 = d²d² = √2A

5.- Si f(x) = x²-x+1, calcular: f(1), f(-2), f(⅔)

f(1) = (1)² - 1+1f(1) = 1

f(-2) = (-2)² + 2 + 1f(-2) = 7

f(⅔) = (⅔)² - ⅔ + 1f(⅔) = 4/9 - ⅔ + 1 = 12-18+27 = 21 = 7/9

7.- Si f(x) = x + 1 demostrar que f(t) = f(1/t) y que f(-t) = -f(t) x

f(t) = t + 1 = t²+1 t t

* f(1/t) = (1/t) + 1/t (1/t) 1/t + t/1 = 1/t + t = t²+1 t

Por lo tanto: f(t) = f(1/t)

* f(-2) = -t + 1/-t = -t -1/t

-f(t) = -(t+1/t) = -t -1/t

9.- Si 0(y) = √y²+9, hallar; 0(√7), 0(4), 0(0)

* 0(√7) = √(7)²+9 = √7+9 = √16 = 4

* 0(4) = √(4)²+9 = √16+9 = √25 = 5

* 0(0) = √(0)²+9 = √9 = 3

11.- Si f(x) = x+1 , obtener f(√2) en su forma simplificada x-1

f(√2) = √2+1 * √2+1 = (√2+1)² = (√2)² + 2√2-1 = 2+1+2√2 = 3+2√2 √2-1 √2-1 (√2-1)² (√2)²-1 2-1

13.- Si f(x,y) = 2x²+3xy-2y², calcular; f(1,2), f(-1,-2), f(2,3), f(-2,-3)

f(1,2) = 2(1)² + 3(1)(2)-2(2)² = 2 + 6 – 8 = 0

f(-1,-2) = 2(-1)² + 3(-1)(-2)-2(-2)² = 2 + 6 – 8 = 0

f(2,3) = 2(2)² + 3(2)(3)-2(3)² = 8 + 18 – 18 = 8

f(-2,-3) = 2(-2)² + 3(-2)(-3)-2(-3)² = 8 + 18 – 18 = 8

15.- Si G(x,y) = x+y , calcular; G(√3, √2) en su forma más simplificada. x-y

G(√3, √2) = √3 + √2 = √3 + √2 * √3 + √2 = (√3)² + 2√3√2 + (√2)² √3 - √2 √3 - √2 √3 + √2 (√3)² - (√2)²

= 3 +2 √3 √2 + 2 = 5 +2 √3√2 = 5 +2√6 3-2 1

17.- Si f(x) = 1/x+1, obtener f(x-h)-f(x) h

f(x) = 1/x+1 f(x,h) = 1 x+h+1

f(x+h) – f(x) = 1 - 1 = (x-1) - (x+h+1) = x-1-x-h-1 = x+h+1 x+1 (x+1+h) (x+1) (x+1) (x+1+h)

-h = -h = -1 (x-1)(x+1+h) (x-1)(x+1+h) (x-1)(x+1+h)

d f(x) = limite f(x+h) – f(x)df h h

En cada uno de los ejercicios trazar la gráfica de la función dada.

9.- 4-x²f(x) = 4-x² y = 4-x²

x y-3 -5-2 0-1 30 41 32 03 -5

10.- √4-x²

x y-3 NA-2 0-1 √3 = 1.70 21 √ 3 = 1.72 03 NA

15.- x²-4x+1y=x^2-4x+1

x y-3 22-2 13-1 6 0 11 -22 -33 -24 15 6

Construir la gráfica de la ecuación dada.

19.- x+ y= 1 x+y-1=0 y=1-x

x y-3 4-2 3-1 2 0 11 02 -13 -2

23.- y=x²+1

x y-3 5-2 2 0 1-1 2 2 5

27.- X³+y=8y=8-x^3

x y-3 5-2 2 0 1-1 2 2 5

Trazar la gráfica de la función dada y hallar sus ceros reales.

29.- x²-x-2 y=x²-x-2

Ceros de la función: X=-1X=2

x y-3 10-2 4-1 0 0 -2 1 -2 2 0 3 4

31.- x²+2x-2 y=x²+2x-2Factorizando para encontrarlos ceros del a función:

x y-2 -2-1 -3 0 -2 1 1 2 6

X²+2x-2 aplicando x=-b±√b²-4ac 2a

X=-2 ±√(2)²-4(1)(-2) = -2±√12 = -2 + 2√3 2(1) 2 2 2X=-1+√3X=-1-√3

Ceros de la función:X=-2.72X=0.7

33.- x³-3x²+2xFactorizando:X(x²-3x+2)X(x-2) (x-1)Y=x³-3x²+2x

Ceros de la función: X=0X=2X=1

x y-2 -24-1 -6 0 0 1 0 2 0 3 6 4 24

En cada uno de los ejercicios resolver la ecuación dada y comprobar la solución.

1.- 3x-2=3-2x 3x-2-3+2x=0 5x-5=0 x=5/5 x=1 3(1)-2=3-2(1) por lo tanto 1=1 comprobación

3.- x – 3x = x-6 x - 3x = x - 6 2 5 2 2 5 2 2 x - 3x = x - 3 x - x - 3x + 3 = 0 2 5 2 2 2 5- 3x + 3 = 0 -3x = -3 -3x=-3(5) -3x=-15 x=-15/-3 x=5 5 5

Comprobación: -3(5) + 3 = 0 5

Por lo tanto:0=0

5.- 3x-(x+3)=x+4 3x-x-3-x-4=0 x-7=0 x=7 comprobación: 7-7=0 0=0

7.- 2(2x-a) – (a-2x) = 3x 4x-2a-a+2x-3x=0 3x-3a=03x=3a por lo tanto x=3a x=a comprobación: 3(a)-3a=0 por lo tanto 0=0

9.- (m+n)x + (m-n)x = 2m² x(m+x + m-x) = 2m² x(2m) = 2m²X=2m² x=m comprobación: m(2m) = 2m² por lo tanto 2m² = 2m² 2m

11.- x + x = a+b a(x/a + x/b) = a+b x + ax = a+b a b a bX(1 + a/b) = a+b x(b+a/b) = a+b x= a+b por lo tanto; x=(a+b)b X=b b+a (a+b) b

Comprobación: b+ a(b) = a+b por lo tanto; b+a = a+b b

13.- (x+a²) (x+b²) = (x+ab)² x²+a²b²x+a²b² = x²+2ab+a²b² A²b²x = 2abx a²b²x-2abx=0 x(a²b²-2ab) = 0X= 0 x=0 a²b²-2ab

Comprobación: (0 + a²) (0+b²) = (0+ab)² a²b² = a²b²

15.- 2x - 2 = 3 2x-2x+2 = 3 2 = 3 2(x+1) = 3(x-1) x-1 x+1 x-1 x+1 x-1 x+12x+2 = 3x-3 2x+2-3x+3=0 -x+5=0 x=+5Comprobación: 2(5) – 2 = 3 10 -2 = 3 2 = 3 por lo tanto; ½ = ½ 5-1 5+1 4 6 4 6

19.- 1/x – 1/r = 1/s – 1/x r-x = x-s xs(r-x) = x-s xr xs xrrs-sx = x-s rs-sx = rx-rs rs-sx-rx+rs=0 2rs-x(s-r) = 0 r2sr=x(s+r) 2rs/s+r = x x=2rs/(s+r)Comprobación: 2rs-(2rs/(s+r))(s+r) = 0 2rs-2rs=0 por lo tanto; 0=0

En cada uno de los ejercicios resolver la ecuación dada, primero para y en términos de x, y luego para x en términos de y (dicho de otro modo; despejar y en función de x y la x en función de y)

21.- 3x+2y = 6 2y = 6-3x y = 6-3x/2 3x = 6-2y x = 6-2y/3

23.- bx + ay = ab ay = ab-bx y = ab-bx/a bx = ab-ax x = ab-ay/b

En cada uno de los ejercicios despejar la letra indicada en función de las restantes.

25.- A = P(1 + rt) ; t A/P = 1+rt A/P – 1 = rt A-P/P = rt A-P/P/r = t A-P/Pr = t t = A-P/Pr

27.- s = s₀ + v₀t + ½gt² ; v₀ s-s₀ + ½gt² = v₀t v₀ = s – s₀ - ½gt²/t

1.- Un alambre de 21 metros se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de cada una de ellas es las tres cuartas partes de la longitud de la otra, hallar la longitud de cada par.

Alambre

21 metros

X + ¾x = 21

X(1 + ¾) = 21

X 7/4 = 21 x = 21 / 7/4 x = 12

X₁ = 12X₂ = 9

X₂ = 21 – 12X₂ = 9

2.- El denominador de una fracción excede al numerador en dos unidades. Si cada término de la fracción se aumenta en cinco unidades, la nueva fracción , hallar la fracción. ⅘

(1) x+5 = ⅘ (x+2)5

x+5 = ⅘x+7

R = ⅗

5x + 25 = 4x + 285x + 25 – 4x – 28 = 0X – 3 = 0 X = 3

Sustituyendo (1)

3+5 = ⅘3+2+5

8/10 = ⅘ = ⅘ ⅘

3.- Encontrar tres enteros consecutivos cuya sema sea igual a 21.X + (x+1) + (x+2) = 21 X + x + 1 + x + 2 = 213x + 3 = 21 3x = 21 – 3 3x = 18 x = 18/3 x = 6Sustituyendo en x sustituyendo en x+1 sustituyendo en x+2 x = 6 6+1 = 7 x₂ = 7 6 + 2 = 8 x₃ = 8

4.- Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 36.2x + (2x + 1) + (2x + 2) = 362x + 2x + 1 + 2x+2 = 366x + 3 = 36 6x = 36 – 3 6x = 36 x = 33/3 x = 11/2Sustituyendo en 2x sustituyendo en 2x+1 sustituyendo en 2x+22(11/2) = 11 2(11/2) + 1 = 12 2(11/2) + 2 = 13

5.- Hallar dos números cuya suma sea 24 y cuya diferencia sea 6.X + y = 24 sustituyendo:X – y = 6 x = 30 x = 15 15 + y = 242x = 30 2 y = 24 – 15

x = 15 y = 9 y = 9

6.- Hace ocho años un hombre tenia 7 veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo 3 veces la edad de su hijo. Hallar las edades actuales de ambos.

X = padre que tiene 36 años x – 8 = 7 (y-8)Y = hijo que tiene 12 años x – 8 = 7y – 56

7y – x = 48 (1)x = 3y (2)

-x + 7y = 48 x – 3y = 0 4y = 48 y = 48/4 y = 12 sustituyendo: 3(12) = x

3y = x x = 36

7.- Si de edad de A se aumenta en ¼ la edad que tenia hace 10 años, entonces la ⅕suma es igual a ⅓ de la edad que tendrá dentro de 10 años. Calcular la edad actual de A.

⅕A + ¼(A-10) = ⅓(A+10)A/5 + A/4 – 10/4 = A/3 + 10/3 A/5 + A/4 + 5/2 – A/3 = 0A/5 + A/4 – A/3 35/6 = 0 12a + 15a – 20a = 35/6

607a/60 = 35/6 (7A)6 = (35)(60) 42a = 2100 A= 2100/42 A = 50 años

8.- Dividir el número 40 en dos partes tales que si el cociente de la mayor entre la menor se disminuye en el cociente de la mayor, entonces la diferencia es igual al cociente de 16 entre la parte menor.

x = mayor X - 40-x = 16 40-x = menor40-x x 40-xX² - x²+80x-1600 = 16 80x-1600 = 16 (40-x)x 40-x (40-x)x 40-x(80x-1600)(40-x) = 16 80x-1600 = 16 (40-x)x x

80x-1600 = 16x 80x-1600-16x = 0 64x = 1600

Mayor = 25 Menor = 40-25 = 15 x = 1600/64 = 25

9.- Dividir el número 72 en tres partes tales que ½ de la primera parte ⅓ de la segunda parte y de la tercera parte, sean iguales entre si.

X + y +2 = 72 (1) x/2 = y/3 = z/4

X = 2y/3 2 = 4y/3

Sustituyendo en (1)2y/3 + y + 4y/3 = 72 2y + 3y + 4y = 72 9y = 216

3 y = 216/9 = 24X = 2(24) = 16 z = 4(24) = 32 3 3

X = 16 y = 24 z = 32

10.- El digito de las unidades de un número de dos cifras excede al digito de las decenas en 5 unidades. Si los dígitos se invierten y el nuevo número se divide entre el número original el cociente es 8/3 ¿Cuál es el número original?

Unidades = x x = y + 5 (1)Decenas = 10y número original = 10y+x

10x+y = 8 30x + 3y = 80y + 8x10y+x = 3 30x + 3y -80y – 8x = 0

22x – 77y = 0 (2) sust (1) en (2)22x = 77y 22(y+5) = 77y

22y + 110 = 77 110 = 55y y = 110/55 = 2 x= 2+5 = 7

Número original = 27

11.- Si el lado de un cuadrado se disminuye en 1 metro, su área disminuye en 39m². calcular la longitud del lado del cuadrado original.

Lado = x x -1 Área = x² x² - 39

x² - 39 = (x - 1) (x - 1)x² - 39 = x² - 2x + 1x² - 39 + x² + 2x + 1 = 0 -39 + 2x – 1 = 0 2x – 40 = 0 2x = 40.x = 40/2 x=20

Longitud del lado original del cuadrado es = 20 metros

X – 1X – 1 X² – x - x + 1X² – 2x + 1

12.- La longitud, en metros de una habitación es el triple de su ancho. Si la longitud se disminuye en 5 metros, y el ancho se aumenta en 2 metros, el área del cuarto no se altera. Calcular las dimensiones de la habitación.

A = b.h y

Área = xyx = 3y

X = 3y (1)

(x - 5)(y + 2) = xy (2)

Sustituyendo en (1)X = 3(10) x = 30

Longitud: 30 Ancho = 10

3y – 5 y + 23y² – 5y + 6y – 103y² + y -10

Sustituyendo (1) en (2)

(3y - 5)(y + 2) = (3y)y3y² + y – 10 – 3y² = 0Y – 10 = 0 y = 10

13.- Cierto trabajo puede ser efectuado por A en 3 horas, por B en 4 horas y por C en 6 horas. ¿Cuánto tiempo necesitarán para efectuar el trabajo juntos?

Razón de trabajo: A tarda 3 horas ⅓B tarda 4 horas ¼C tarda 6 horas ⅙

x/3 + x/4 + x/ 6 = 1 24x + 18x + 12x = 172

54/72 = 1 54x = 72 x = 72/54

X = 1 ⅓ horas

Fracción de trabajo realizada por cada uno

Trabajo realizado en unidad:x/3 + x/4 + x/6 = 1

14.- Una llave puede llenar un tanque en 2 horas, una segunda llave puede llenarlo en 3 horas, y otra llave puede llenarlo en 6 horas. Si el tanque esta inicialmente vacio y se abren simultáneamente las tres llaves. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar el tanque?

Razón:2 horas llena ½ tanques 3 horas llena ⅓ tanques 6 horas llena ⅙ tanques

x/2 + x/3 – x/6 = 1

18x + 12x – 6x = 1 36

24x/36 = 1 24x = 36 x = 36/24 x = 1½ horas

15.- A y B trabajando juntos pueden hacer cierto trabajo en 8 horas, y A solo puede hacerlo en 12 horas. ¿Cuánto tiempo necesitara B para hacerlo solo?

fracción de casa razón tiempopintada

A solo 1 ½ 12B solo 1 1/x xA y B 1 ⅛ 8

1/12 + 1/x = 1/8 x + 12x/12x = 1/8

(x + 12)8 = 12x8x + 96 = 12x 8x + 96 – 12x = 0 -4x + 96 = 0

-4x = 96 x = 96/-4 x = 24

B solo necesita de 24 horas para hacer el trabajo solo

16.- a puede pintar una casa en 8 días y B puede hacerlo en 6 días. ¿Cuánto tiempo necesitará B para terminar el trabajo después de que ambos han trabajado juntos durante 3 días?

fracción de casa razón tiempopintada

A solo 1 ⅛ 8B solo 1 ⅙ 6A y B 1 ⅛ + ⅙ 8 ± 63 días 7/24 3 * 7/24 3

1 – 3 * 7/24 = (⅛) fracción de casa que falta por pintar

1 casa ---- 6 días x = ⅛ * 6⅛ de casa ---- x días x = ¾ días

17.- A puede hacer un trabajo en 4 horas y B puede hacerlo en 12 horas, B empieza en trabajo pero cierto tiempo después lo reemplaza A, requiriéndose para todo el trabajo un total de 6 horas. ¿Cuánto tiempo trabajo B?

fracción de razón tiempotrabajo

A solo 1 ¼ 4B solo 1 1/12 12B primero – 1/12 - ¼ = -⅙A después

1 – 6 (-⅙) = 2 ½ fracción de trabajo

X = 6/2x/6 = ½

X = 3 horas

18.- Una tripulación puede remar con una velocidad de 9 kilómetros por hora en aguas tranquilas. Si necesitan el doble de tiempo para remar una cierta distancia contra la corriente, que para hacerlo en dirección a la corriente. Calcular la velocidad de la corriente.

X = velocidad de la corriente

Corriente abajo d = (9 + x)tCorriente bajo d = (9- x) 2t (9 + x)t = (9 - x)2t9t + xt = 18t – 2xt9t + xt – 18t + 2xt = 0-9t + 3xt = 0 x = 9t/3t x = 33xt = 9t

Velocidad de la corriente = 3 kilómetros por hora

19.- A y B parten al mismo tiempo de dos poblaciones distintas aminando el uno hacia en otro, si B camina 1 kilometro mas a prisa que A, entonces se encuentran a cabo de 6 horas, si A camina con la misma velocidad que B, entonces se encuentran al cabo de 5¼ horas. Calcular la distancia entre las dos poblaciones.

t = 6Velocidad de B = x+1 B d = v.t por lo tanto (x+1)tVelocidad de A = x A d = v.t

= x.t 6x + 6(x + 1) = 6x + 6x + 6Velocidad distinta = 12x+6 (1)5¼(x+1) + 5¼(x+1) = 5¼x + 5¼ + 5¼x + 5¼ = 21/2x + 21/2

12x + 6 = 21/2x + 21/2

12x + 6 – 21/2x – 21/2 = 0

3/2x – 9/2 = 0 3/2x = 9/2 x = 3

Sustituyendo x en (1)d = 12(3) + 6d = 42 km

20.- Un bote de motor puede navegar hasta 10 km corriente abajo en el mismo tiempo en que navega 6 km corriente por arriba. Si en velocidad disminuye 4 km por hora en ambos sentidos, entonces su velocidad cuando va corriente abajo es el doble que cuando navega corriente arriba. Calcular la velocidad que lleva cuando navega corriente abajo.

Vb = velocidad del boteVc = velocidad de la corrienteCorriente abajo = Vb + Vc = 10/tCorriente arriba = Vb – Vc = 6/t

Vb + Vc = 10/t Vb – Vc = 6/t 2Vb = 16/t despejando t = 16/2Vb = 8/Vb

-1 (Vb + Vc) = (10/t)-1 (Vb - Vc) = 6/t -2Vc = -4t Vc = -4t/-2 Vc = 2t t = 2/VcIgualando t 8/Vc = 2/Vc Vb = 4Vc

(Vb-4) + Vc = 2 [(Vb-4)-Vc]Vb-4 + Vc = 2Vb–8–2VcVb-4 + Vc – 2Vb+8+2Vc = 0-Vb+4+3Vc = 0 -Vb = -4-3Vc Vb=4+3V Vc = Vb-4/3 (Vb-4)/3 = VcVc=4Vc-4/3 3Vc = 4Vc-4 3Vc-4Vc+4=0 -Vc+4 –Vc = -4 Vc = 4

Entonces Vb = 4*4 = 16

Corriente abajo:16 + 4 = 20 km/h

Corriente arriba: 16-4 = 12km/h

21.- A puede caminar cierta distancia en 20 minutos y B puede caminar la misma distancia en 30 minutos. Si A parte 5 minutos después que B. ¿Cuánto tiempo habrá estado caminando B antes de lo que alcance A?

En 30 minutos

En 5 minutos

5/30 = ⅙ = (d/6)

60 minutos 1 dX minutos d/6

X = (60 * d/6) 1h

X = 10d/d

X = 10 minEn 60 minutos : A recorre 3d

B recorre 2dSe acercan: A-B 1d

22.- ¿Cuántos litros de alcohol de concentración del 20% y cuanto de concentración del 30% deberán mezclarse para obtener 100 litros de alcohol de concentración del 25%?

X = ? 50 al 30%Y = ? 50 al 20%

20x + 30y = 100 * 25 x + y = 10020 (100 - y) + 30y = 2500 x = 100 – y 2000 – 20y + 30y – 2500 = 0-500+ 10y = 0Y = 500/10 = 50

X + 50 = 100X = 100 – 50X = 50

23.- ¿Cuántos kilogramos de un mineral que contiene un 60% de plata pura y cuantos de un mineral que contiene un 90% deberán mezclarse para obtener 6 kg de aleación que tenga un 80% de plata pura?

60x + 90y = 6 * 80 x + y = 660(6-y) + 90y = 480 x = 6 - y360 – 60y + 90y = 480360 + 30y = 480 360 – 480 + 30y = -120 + 30 y y = 120/3y= 4 kilogramos

X + y = 6X + 4 = 6X = 6 – 4X = 2

4 kilogramos al 90%2 kilogramos al 60%

24.- ¿Cuántos litros de crema con 25% de grasa deberá añadirse a 80 litros de leche con 3% de grasa, para obtener una mezcla que contenga 5% de grasa ?

0.25x + 80(0.03) = (0.05)y X + 80 = y0.25x + 80(0.03) = (0.05) (x + 80)0.25x+ 2.4 = 0.05x + 40.25x + 2.4 – 0.05x – 4 = 00.2x – 1.6 0.2x = 1.6 x = 1.6/0.2 x = 8 litros de crema

25.- Un tanque contiene 100 kg de salmuera con un contenido de sal de 5%. ¿Cuántos kilogramos de agua pura deben evaporarse para obtener salmuera con un contenido de sal del 8%?

x = agua pura 5/100-x = 8/100

500 = 800 – 8x 8x = 300

X = 37 – 5 kg

En cada uno de los ejercicios resolver el sistema dado y comprobar el resultado gráficamente.

1.- 3x-y=2, 2x+3y=5

Resolviendo

3(3x-y)=3(2)2x+3y=5_____________11x=11x=11

Sustituyendo3(1)-2=yy=1

Solución (1,1)

3.- 2x-3y=9, 3x+4y=5

Resolviendo

4(2x-3y)=9(4)3(3x+4y)=5(3)_____________17x=41x=3

Sustituyendo(2(3)-9)/3=yy=-1

Solución (3,-1)

5.- 9x-7y=0, 5x+9y=0

Resolviendo

9(9x-7y)=0*97(5x+9y)=0*7__________116x=0x=0

Sustituyendoy=5(0)/9y=0

Solución (0,0)

7.- 3x+y=5, 6x+2y=7

Resolviendo

-2(3x+y)=5(-2)6x-2y=7__________0=-3

No tiene Solución

9.- 2x-6y=2, x-3y=3

Resolviendo

2x-6y=2-2(x-3y)=3(-2)__________0=-4

No tiene Solución

Formulas de ecuaciones en una sola variable

Formula para resolver ecuaciones en una variable de grado 1.Una ves simplificada la ecuación se puede representar como:

ax + b = 0 (a,b ε R, a±0)Solución: x = -b/a

Formula para resolver una ecuación en una variable de grado 2.Una ves simplificada la ecuación se puede representar como:

ax² + bx + c = 0 (a, b, c, ε R, a ± 0)Solución: x = -b ± √b² – 4ac

Si b² - 4ac < 0 Dichas raíces no existen en RSi b² - 4ac = 0 Entonces –b/2ª es raíz doble de la ecuación.Si b² - 4ac > 0 Dichas raíces son reales y distintas.

Formula para resolver ecuaciones de grado 4 en una sola variable.Una ves simplificada la ecuación se puede representar como:ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 (a, b, c, d, e ε R, a ± 0)Transformar la ecuación: X⁴ ± b/a x³ + c/a x² + d/a x + c/a = 0 (a±0)En la ecuación: (x² + px + q) (x² + rx + s) = 0

Y resolver ecuaciones de 2°X² + px + q = 0 x² + rx + s = 0

Formula para resolver ecuaciones de grado 3 en una sola variable.Una ves simplificada la ecuación se puede representar como:

ax³ + bx² + cx + d = 0 (a, b, c, d ε R, a±0)

1.- se dividen todos los términos por a, factorizando la ecuación. x³ + Bx² + Cx + D = 0 (B = b/a, C = c/a, D = d/a)

2.- se sustituye x por la ultima incógnita y, tal que x = y-B/3Obteniendo la ecuación equivalente: y³ + Py + q = 0 , (P = -B/3+C, q= 2 B³/33 –B+d)/3)

3.- se establece y = u + v obteniendo la ecuación: U³ + v³ + (u + v) (3uv + p) + q = 0

4.- si u + v verifica la ecuación, y además se cumple 3uv + p = 0, se obtiene:∆ = (4p³ + 27q³/3³) U = 3√-q-√4p³ + 27q³

V = 3√-q-√4p³ + 27q³ 3³ 2

Y = u+v√-q-√4p³ + 27q³ 3³ 2

+3 √-q-√4p³ + 27q³ 3³ 2

4.- deshaciendo las cambios obtenemos:

X = y – B/3 = 3√-q-√4p³ + 27q³ 3 + 2

√-q+√4p³ + 27q³ 3³ = B/3

Si; ∆ > 0 , u³ y v³ son reales, y luego u y v consta de una raíz real y des dos conjugadas, al igual que u y v, y por tanto también x.

∆= 0, u³ y v³ = - q/2, luego u = v consta de una raíz real y dos conjugadas y por tanto, también x.

∆ < 0, u ³ y v³, no usan raíces reales, luego u y v consta de tres raíces complejas, al igual que u y v, por tanto también x.

Formula para resolver una ecuación de grado 5 en una sola variable.Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factorización de radicales, ejemplo:X⁵ - x⁴ - x + 1 = 0 (x² + 1) (x + 1) (x - 1)² = 0

Otras no pueden factorizarse de manera sencilla. Usando la teoría de Galvis o por la regla de Ruffini.El polinomio de grado 5 con una sola variable, aun que tiene raíces, no se puede halar con métodos algebraicos, la excepción en las raíces reales o coeficientes enteros (reglas o algoritmos de Ruffini), sin embargo existen métodos numéricos para aproximar las raíces.

TERCER PARCIAL

Encada uno de los ejercicios, resolver la ecuación dada por factorización, y si no es posible hacerlo utilizando la fórmula. Comprobar las raíces por sustitución en la ecuación original.

1.- x²-3x+2=0

(x-1) (x-2)X=1 X= 2

3.- 3y²+2y-1=0

3(3y²+2y-1)=09y²+6y-3=0(3y-1) (3y+3)3y=1 3y=-3Y=⅓ y=-1

Sustitución: (1)²-3(1)+2=0 (2)²-3(2)+2=0 1-3+2=0 4-6+2=0

0=0 0=0

Sustitución: 3(⅓)² +2(⅓)-1=0 3(-1)²+2(-1)=0 ⅓+⅔-1=0 3-2-1=0 0=0 0=0

5.- (x-2)²+2=x

((x-2)(x-2)) + 2=xX = 2(x-2) (x-2) = (x-2) 1(x-2) (x-2) =1 x -2 = 1 (x-2) x = 1 + 2X = 3

7.- (x-3) (x+2)=2

X - 3X + 2X²-3x² 2x-6X²-x-6-6=0X²-x-12=0X= 1±√49/2X₁ = 4X₂ = -3

9.- x-1 + x-2 = 1 x+3 x+1

(x+1) (x-1) + (x-2) (x+3) = 1 (x+3) (x+1)X²-1+x²+x-6 = 1 2x²+x-7=1 x²+4x+3 x²+4x+32x²+x-7=x²+4x+32x²+x-7-x²-4x-3 = 0 x²-3x-10=0(x-5) (x+2) = 0 x ₁=5 x ₂=-2

11.- x²-2x-1=0

X = -(2)±√(-2)²-4(1)(-4)2(1)

= 2±√4+16= 2/2±2√5 2X= 1±√5

13.- 9u²-12u-1=0

X = -(-12) ±√(-12)²-4(9)(-1) 2(9)

X = 12±√144+3618

X= 12±6√5/18 x=⅔±√5/3X = 2±√5 3

15.- 2(x+2)² - (x-1)² = 2x+72(x²+4x+4) – (x²-2x+1) – 2x-7=02x²+8x+8-2x²+2x-1-2x-7=0X²+8x=0X= -8±√64 2X=-8±8/2

x₁=-8x₂=0

17.- (x-5) (x+1) = 2(x-2)²X-5X+1x²-5x x=-4±√(-4)²-4(-1)(-13) x-5 2(-1)X²-4x-5=2 (x²-4x-4) x=4±√-36X²-4x-5=2x²-8+8 2X²-4x-5-2x²+8x-8=0 x=4/2 ± 6i/2-x²+4x-13=0 x= 2 ± 3i

19.- z+10/2 =6z²+10 = 6 2z²+10 = 6zZ²-6z+10=0X= 6±√36-40 2X=6/2 ±√-4/2X=3±2i/2X= 3±i

21.- abx²-(a²+b²)x+ab=0X=(a²+b²)±√(a²+b²)²-4ab*ab

2ab= (a²+b²)±√(a⁴+2ª²b²+b⁴)²-4a²b²

2abX=(a²+b²)±√a⁴-2a²b²+b⁴

2abX=(a²+b²)±(a²-b²) 2a² = a/b 2ab 2ab2b² = b/a x= a/b2ab x=b/a

23.- x²-2bx+b²-a=0X= 2b±√(2b)²-4(1)(b²-a) 2b/2 ±√4√a

2(1) 2=2b±√4b²-4b²+4ª x=b±√a

2X=2b±√4a 2

27.- la longitud de un cuarto es 5 metros mayor que su ancho el área es 150 m². Hallar sus dimensiones.

a= b*h150=(5+x)x (5+10)=15150=5x+x² 15 m por 10 mX²+5x-150=0(x+15) (x-10)=0X=-15X=10

29.- Un tanque puede vaciarse utilizando dos válvulas en 2 horas. ¿Cuánto tiempo se necesitará para vaciar el tanque con cada una de las válvulas por separado si una de ellas puede hacerlo en 3 horas menos que la otra?Caudal= volumen/tiempo válvula A= v/ta

válvula B= v/tb(v/ta + v/b)*2=v (1)Tb=ta-3 (2)Sustituyendo:(v/ta + v/(ta-3))*2=v v/ta + v/ta-3 = v/21/ta + 1/(ta-3) = ½ ta-3 + ta = ½

ta(ta-3)2ta-3 = ½ 2ta-3 = ta²-3tata²-3ta 24ta-b-ta²+3ta=0-ta²+7ta-6=0ta²-7ta+6=0(ta-6)(ta-1)=0ta=6 ta=1ta= 6 horas tb=6-3=3tb= 3 horas

31.- Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera habido 20 miembros más, el costo para cada miembro hubiera sido $1 menos. calcular el número de miembros del club.

C= 600/xC-1=600 x+20600 -1 = 600 x x+20 x(x-20)(600/x) - x(x+20) = x(x+20) (600/x+20)(x+20)(600) – x(x+20)= x(600)600x + 12000 – x²-20x = 600x-x²-20x+12000=0X= 20±√(20)².(4)(-1)(12000)

2(-1)X= 20±√48400

-2X=20±220/-2X= -200/-2 = 100X=240/-2 = -120

33.- En física se demuestra que la distancia s (en metros) recorrida por un cuerpo en su caída libre en el vacío está dada por la fórmula s=v₀t + 1/2 gt² en donde v₀ es la velocidad inicial del cuerpo (en metros/seg), t es el tiempo de descenso (en seg). Calcular el tiempo que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacío si su velocidad inicial es 18metros/seg y g es 9.8 metros/seg².

S=v₀t + ½ gt²100=18t + ½ (9.8)t²100=18t + 49/10t²4.9t² + 18t – 100=0X=-18±√(18)²-4(4.9)(-100)

2(4.9)X=-18±√324+1960 9.8X=-18±√2284 9.8X= -18±√47.79 x= 3.04 seg 9.8 x=-6-71

35.- Las aristas de dos cubos diferentes en 2 cm y sus volúmenes diferentes en 218 cm³. Calcular la arista de cada cubo.

V= a³V= x³ (1)V= (x+2)³(v+218)= (x+2)³ (2)Sustituyendo 1 en 2X³ + 218=(x+2)³X³ + 218=x³+6x²+12x+86x²+12x+18-218=06x²+12x-20=0X= -12± √(12)²-4(6)(-210)

2(6)X=-12±√144+5040

12X= -12±√5184 12X= -12±72/12X= 5 centímetros X= 7 centímetros

X + 2X + 2 X²+2x 2x + 4X²+4x+4 x+2X³+4x+4x 2x²+8x+8X³+6x²+12x+8

En cada uno de los ejercicios calcular el máximo o mínimo de la función dada, comprobando el resultado gráficamente.

1.- 4x²+16x+19No hay máximo (a>0)

C-b²/4a= 19-(16)²/4(4) = 3 x= -16/2(4) =Mínimo = 3 para x = -2

3.- x²-6x+9

No hay máximo (a>0)x= -b/2a

c=-b²/4a = 9-(6)²/4(1)=0Mínimo = 0 Para x = 3

5.- 3+2x-x²

-x²+2x+3 x=b/2aNo hay máximo (a<0)C-b²/4a = 3-(2)²/4(-1) = 4Máximo = 4Para x=1

En cada uno de los ejercicios, calcular los valores de x para los cuales la función dada es positiva, negativa, nula, máxima o mínima. Comprobar gráficamente los resultados.

7.- x²-5x+4

C-b²/4a para x = -b/2a4- (-5)²/4(1) = (x-4) (x-1) =0X= 4 X=1

No tiene máximo =(a>0)Mínimo = -9/4 para x=5/2Positiva si: x<4 y x>1Cero si: x=4

9.- x²-2x+1

C-b²/4a para x = -b/2a1- (-2)²/4(1) = 0X=2/2(1)X= 1(x-1) (x-1) = 0X=1

No tiene máximo = (a>0)Mínimo= 0 para x=1Positiva para x ± 1No puede ser negativaCero si x=1

11.- x²-x+1

C-b²/4a x=-b/2(a)1-(-1)²/4(1) x=1/2(1)X= 1±√1-4/1

*La función no tiene ceros

No tiene máximo= (a>0)Mínimo = ¾ para x = ½ Positiva para x realNo es negativo No tiene neutro

15.- Calcular el número que excede a su cuadrado en la mayor cantidad posible.

y= x-x² -x²+x=0C-b²/4(a) para x = -b/2(a)Calculando el máximo = -1/2(-1)X= ½

17.- La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es constante e igual a 14 cm. Calcular las longitudes de los catetos para que el área del triángulo sea máxima.

14= a+bb=14-a (1)a=(a.b)/2 (2)Sustituyendo 1 en 2 A= (14-a)a/2(14-a)a/2=014a-a²/2=0

14a-a²=0 máximo:-a²+14a=0 x=-14/2(-1)

x=7a=x=7a=b=x=7

7 centímetros cada lado

19.- Un terreno rectangular, con un de sus lados de un río, va a ser cercado en sus otros 3 lados utilizando 100 metros de cerca de alambre. Calcular las dimensiones del terreno para que su área sea máxima.

a=b*hp=2b+2h

100= b+2h100-2h = ba=h(100-2h)a=100h-2h²100h-2h²=0-2h²+100h=0

X= -b/2(a)h=x=-100/2(-2)h=x=25-2h²+100h=b*h-2h²+100h/h=b-2(25)²+100(25)/25=bb=50 metros

Altura = 25 metrosBase = 50 metros

25.- Hallar la expresión que representa al conjunto de funciones cuadráticas de x con valor mínimo igual a 5 cuando x=3.

c-b²/4a x=-b/2ac-b²=/4ª = 5 3=-b/2a3(2a)=-b b=-6aC- (-6a)²/4a =5 c- 3.6a² = 5 c-9a=5

4ac=5+9a

b=-6a 3=-(6a)/2a 3=+3a a=3/3=1

Sustituyendo en la ecuación general

ax²+bx+c=0

a=1b=-6a ax²-6a bx +9a +5=0c=5+9a

En cada uno de los ejercicios resolver el sistema dado y comprobar gráficamente los resultados.

1.- 2x-y=6 2x-y-6=0 y²=x (2) 2x-6=y (1)Sustituir 1 en 2(2x-6)²=x (2x-6)²-x=04x²-24x+36-x=04x²-25x+36=0(x-4)(4x-a)=0X=4 y²=4 y=√4 y=2X=+a/4 y=6-2(a/4) y=b/2 y=-3/2(4,2) (a/4 – 3/2)

3.- 2x+y=4 y=4-2x (1) y²+4x=0 (2) sustituyendo 1 en 2

(4-2x)²+4x=0(4x²-6x+16)+4x=04x²-2x+16=0x=2±√((2)²-4(4)(16)/2(4)= No tiene solución

4-2x4-2x16-8x -8x+4x²16-16x+4x²

5.- 2x-3y=5 2x-3y-5=0 2x²+3y²=5 2x-5=3y (2x-5)/3=y2x²+3(2x-5/3)²=5 2x²+3(2x-5)²=52x²+(2x-5/3)²=5 6x²+(2x-5)²=156x²+4x²-20x+25-15=0 10x²-20x+10=010x²-20x+10-10=-10(10x²-20x/10)=-10/10 x²-2x=-1 x²-2x+1=0Y=(2(1) -5)/3=-1(x+1)(x-1)=0 x=1 x=1(1,-1)(1,-1)

7.- x+y=5 y=5-x x²+y²=9 x²+(5-x)²=9 x²-2x-10x+25-9=02x²-10x+16=0X=10±√(-10)²-4(2)(16)/2(2) 10±√100-128/4 10±√-28/4 = 10/4±2√7 √-1/4 = 5/2 ±√7i/2 = 5±√7i/2 x₁=5+√7i/2 x₂=5-√7i/25±√7i/2 + y=5 y=5-(5+√7i)/2 y=5-√7i/2 y=5+√7i/2Y=5-5+√7i = 10-5√7i(5+√7i/2 , 5-√7i) (5-√7i/2 , 5+√7i/2)

9.- x-y=0 -x=y y=1 2x²-xy+2y²=3 2x²-x²+2x²=3 3x²=3

x²=3/3 x²=1 x=±√1 x=1 , x=-1Y= 1 y=-1(1,1) (-1,-1)

11.- Encontrar los valores que debe tomar k para que la recta y=x+k sea tangente a la circunferencia x²+y²-10x+2y+18=0.

Y=x+k sustituyendo y en x²+y²-10x+2y+18=0 x²+(x+k)²-10x+2(x+k)+18X²+x²+2xk+k²-10x+x+2k+18 2x²+x(2k-8) + k²+2k+18 = 18

A B CX=-(2k-8) + √(2k-8)²-4(2)(k²+2k+18)

4x₁ = -2k/4 + 8/4 + √4k²-32k+64-8k²-16k-144 x₁ = -k/2 + 2 +√-4k²-48k-80

4 4X₂=-k/2 + 2 - √-4k²-48k-80

valores para los que se cumplen y no caen en números imaginarios k=48±32/-8

-4k²-48k-80K=48±√48²-4(-4)(-80) k=48±√2304-1280 k=48±√1024

2(-4) -8 -8

K₁= -10 k₂=-2

13.- x²+y²=4 x²+y²=4 4y²-x²=4 -x²+4y²=4

5y²=8 y²=8/5 y=+√8/√5 = 2√10/5X²=4-y² y=+2√10/5X²=4-(2√10/5)²= 4-4(10)/25= 4-40/25 y=-2√10/5X²=12/5 x=√12/5 = 2√15/5(2√10/5 , 2√15/5) (2√15/5 , -2√10/5)Solución (2√15/5 , 2√10/5) (2√15/5 , -2√10/5)(-2√15/5 , 2√10/5) (-2√15/5 , -2√10/5)

15.- 4x²+9y²=36 9x²+4y²=369(4x²+9x²) = 36(9) y²=180/65 = 36/13 y₁=6√13/13-4(9x²+4y²)=36(-4) y₂=-6√13/1336x²+81y²=324 4x²=36-9y²-36x²-16y²=-144 x²=36-9y²/4 = 36-9(6√13/13)² 65y²=180 x²=36-9(36(13)/169)/4 = 36-324/13/4 = 6√13/13 x₁= 6√13/13 x₂=-6√13/13(6√13/13 , 6√13/13),(-6√13/13 , - 6√13/13)(6√13/13 , - 6√13/13),(- 6√13/13 , 6√13/13)

17.- x²+y²=16 -9(x²+y²)=16(-9) 9x²+16y²=144 9x²+16y²=144

-9x²-9y²=-144X²=16-y² 9x²+16y²=144X²=16-0 7y²=0 y²=0 y=0X²=16 x=+4 x=-4Solución: (4,0) , (4,0) , (-4,0) , (-4,0)

19.- x²+y²=1 2x²=5 x²=5/2 x±√5/2 x²+y²=4 x=±√10/2 x=+√10/2 x=-√10/2Y²=1-x² y²=1-(√10/2)² y²=1-10/4 y²=-3/2Y=±√-3/2 y=+√6i/2 y=-√6i/2

Soluciones: (√10/2 , √6/2i) , (√10/2 , √6/2i) (- √10/2 , √6/2i) , (- √10/2 , - √6/2)

21.- Calcular dos números positivos tales que la columna de sus cuadros sea 29 y la diferencia de sus cuadrados sea 21.

X²+y²=29 y²=29-x²X²-y²=21 y²=29-25=4 2x²=50 x²=50/2x²=25 y²=4 x=±√25 y=±√4x=5 y=2

23.- Hallar las dimensiones de un rectángulo si su perímetro es 80 m y su área es 375 m².

a=b*h p=2b + 2h375=b*h 80=2b + 2h (1)375/h = b (2)

Sustituir 2 en 12(375/h) + 2h = 80 750/h+2h=80 750+2h²/h=80 750+2h²-80h=02h²-80h+750=0h=80±√(80)²-4(2)(750)

480±√6400-6000 480±20/4 h₁=25 h₂=15375/25=b b=15375/15=b b=25Solución: 25 cm 15cm

25.- Hallar el valor de k, en términos de p y m, para que la recta y=mx + k sea tangente a la parábola y²=4px.

Y=mx+kY²=4px (mx+k)²=4px(mx)²+2kmx+h²-4px=0m²x²+x(2km-4p)+k²=0A B CX=-(2km-4p)±√(2km-4p)²-4(m²)(k²)

2m²X=-2km – 4p ±√4km²-16kmp+16p²-4k²m² 2m² 2m² 2m²X=-k/m – 2p/m² ±√16kmp + 16p²

16kmp+16p²16kmp=-16p²16k=-16p²/mp

K = -16p²/16pK = -p/m (este valor hace que la raíz se cumpla)

DERIVADAS

Ejercicios de derivadas (solo los que tienen solución)

9.- (3x⁴-2x²+8) = (3x⁴) (2x²) + (8) = 12x³-4x

10.- (4+3x-2x³) = (4) + (3x) - (2x³) = 3-6x²

11.- (at⁵-5bt³) (at⁵) - (5bt³) = 5at⁴-15bt²

12.- (z/2² - z/7⁷) = (z² 2¯¹ - z⁷ 7¯¹) = (z² 2¯¹ ) - (z⁷ 7¯¹) = 2z/2 – 7z⁶ 7 = z-z⁶

13.- √v = (v) ½ = ½ v¯ ½ = 1/2√v

14.- (2/x – 3/x) = (2x¯¹) - (3x¯²) = -2x¯²+6x¯³ = -2/x² + 6/x³

15.- (2t 4/3 -3t⅔) = (2t4/3) - (3t⅔) = 8/3t ⅓- 6/3t¯⅓ = 8/3f⅓-2t¯⅓

16.- (2x¾ + 4x¯¼) = 6/4x¯¼ - 4/4x¯5/4 = 3/2x¯¼-x¯5/4

17.- (x⅔-a⅔)= (x⅔) - (a⅔) = 2/3x¯⅓

18.- (a+bx+cx²/x) = (a+bx+cx²)x¯¹) = -1(a+bx+cx²)x¯² + x¯¹ (a+bx+cx²) =

-a+bx+cx²/x² + x¯¹(b+2cx) = -ax-bx²-cx³+bx²+2cx³/x³ = -ax-cx³/x³ = -ax/x³ + cx³/x³ =

-a/x³ + c = c- a/x³

19.- y =√x/2 – 2/√x = (√x)(2)¯¹ -2(x)¯½ y= (((x)½)(2)¯¹) - (2(x)¯½)

Y= (2)¯¹ ( ½ x ¯½) – 2(- ½) (x¯3/2) y= 1/4√x + 1/(x)¯3/2 = 1/4√x + 1/x√x

20.- s = a+bt+ct²/√t = (a+bt+ct²)(t)¯½ (a+bt+ct²)(t)¯½ = (a+bt+ct²) (t)¯½(t) ¯½

(a+bt+ct²) = (a+bt+ct²)- ½ x-3/2 + (t) ¯½(b+2ct) = -a-b(-ct²)/2t3/2 + b+2ct/(t) ½ =-at ½ -bt(t) ½ -ct²(t) ½ + 2t3/2 b+2ct(2t3/2)/(2t3/2) (t) ½ = -at ½ /(2t3/2)(t) ½ -bt(t) ½ /2t3/2 t ½ -ct²(t) ½ /2t3/2 t ½ +2t3/2b/2t3/2t ½ +2ct 2ct3/2/2t3/2 t ½ = -a/2t3/2 – b/2t ½ - ct ½ /2 + b/t ½ + 2ct ½ = -a/2t(t) ½ - b/2t ½ - ct ½ /2 + 2ct ½ = -a/2t√t + b/2√t + 3c√t/2

21.- y= √ax + a/√ax = (√ax) + (a(ax)¯½) y= 1/2√ax (a) + a (- ½ ) (ax)-3/2

= a/2√ax – a/2(ax)3/2 (a) = a/2√ax – a²/2ax√ax = a/2√ax – a/2x√ax

22.- r= √1-20 = (1-20) ½ (1-20) ½ = ½ (1-20)¯ ½ (-2) = -1/(1-20) ½

23.- f(t)= (2-3t²)³ = f’(t)= (2-3t²)³ = 3(2-3t²)²(-6t) = -18t (2-3t²)²

24.- F(x) = 3√4-9x = F’(x) = (4-9x)¯⅓ = ⅓(4-9x)¯⅔(-9) = - 3/(4-9)¯⅔

26.- f(0) = (2-50)⅗ = f’(0) = ⅗(2-50)¯⅖(-5) = -3/(2-50)⅖

27.- y=(a-b/x)² = (a-b/x)²= (a-b/x¯¹)² = 2(a-bx¯¹) (-b(-1)x¯²) = 2(a-b/x) (b/x²) =

2b/x² (a-b/x)

28.- y= (a+b/x²)³ = (a+bx¯²)³

3(a+b/x²) (-2b/x³) = -6b/x³ (a+b/x²)

29.- y=x√a+bx = x(a+bx)½

(x(a+bx)½) = x (a+bx)½ + (a+bx)½ = x(½) (a+bx)¯½(b) + (a+bx)½ = xb/2(a+bx)½

+ (a+bx)½ = xb+2(a+bx)½(a+bx)½/2(a+bx½) = xb+2(a+bx)¹/2(a+bx)½ = xb+2a+2bx/2(a+bx)½

= 2a+3bx/2(a+bx)½ = 2a+3bx/²√a+bx

30.- s=t√a²+f² = t(a²+t²)½

t(a²+t²)½ = t (a²+t²)½ + (a²+t²)½ = t(½)(a²+t²)(2t) + (a²+t²)½ =

t² + (a²+t²) ½(a²+t²)½/(a²+t²)½ = t²+a²+t²/(a²+t²)½ = a²+2t²/√a²+t²

31.- y= a-x/a+b = (a-x) (a+x)¯¹

((a-x)(a+x)¯¹) = (a-x) (a+x) ¯¹ + (a+x)¯¹ (a-x)

= (a-x) (-1)(a+x)¯² (1) + (a+x)¯¹ (-1) = -a+x/(a+x)² - 1/(a+x) = (-a+x) (a+x) – (a+x)²/(a+x)²(a+x) = (a+x)(-a+x-(a+x))/(a+x)²(a+x) = -a+x-a-x/(a+x)² = -2a/(a+x)²

32.- y= a²+x²/a²-x² = (a²+x²) (a²-x²)¯¹

(a²+x²)(a²-x²)¯¹ = (a²+x²) (a²-x²)¯¹ + (a²-x²)¯¹ (a²+x²) = (a²+x²)(-1)(a²-x²)¯²(-2x)+

(a²-x²)¯¹(2x) = (a²+x²)2x/(a²-x²) + 2x/(a²-x²) = (a²-x²)(a²+x²)2x + 2x(a²-x²)/(a²-x²)²(a²-x²) =(a²-x²)((a²+x²)2x+2x(a²-x²))/(a²-x²)²(a²-x²) = 2a²x + 2x³ + 2a²x-2x³/(a²-x²)² = 4a²x/(a²-x²)²

33.- y=√a²+x²/x = (a²+x²)½x¯¹ =

((a²+x²)½x¯¹) = (a²+x²)½ (x¯¹) (1/2)(a²+x²)¯¹ (2x) = (-a²+x²)½ /x² + 1/(a²+x²)½ =

-(a²+x²)½ (a²+x²)½ + x²/x²(a²+x²)½ = (a²+x²) + x²/x²(a²+x²)½ = -a²-x²+x²/x²(a²+x²)½ = -a²/x²√a²+x²

34.- y=x/√a²-x² = x(a²-x²)¯½

(x(a²-x²)¯½) = x (a²-x²)¯½ + (a²-x²)¯½ = x(1/2)(a²-x²)¯3/2(-2x) + (a²+x²)¯½ =

x²/(a²-x²)3/2 (a²-x²)½ = (a²+x²)½ (x²+a²-x²)/(a²-x²)3/2 (a²-x²)½ = a²/(a²-x²)3/2

35.- r=0²√3-40 = 0²(3-40)½

(0²(3-40)½) = 0² (3-40)½ + (3-40)½ 0² = 0² ½ (3-40)½(-4) + (3-40)½ (20) =

-20²/(3-40)½ + 20(3-40)½ = -20² + 20 (3-40)/(3-40)½ = -20²+60-80²/(3-40)½ = 100²+60/(3-40)½= 60-100²/√3-40

37.- y=√a²+x²/a²-x² = √(a²+x²)(a²-x²)¯¹

((a²+x²)(a²-x²)¯¹)½ ( (a²+x²)(a²-x²)¯¹) = 1/2√(a²+x²)/(a²-x²) (2x(a²+x²)/(a²-x²)² + 2x/(a²-x²)) =

1/ 2(a²-x²)½/(a²-x²)½ (2x(a²+x²)(a²-x²)+2x(a²-x²)/(a²-x²)(a²-x²)) = 1/ 2(a²+x²)½/(a²-x²)½ ((a²-x²)(2x(a²+x²))+2x(a²-x²))/(a²-x²)²(a-x²) = (a²-x²)½ (2a²x + 2x³ + 2a²x – 2x³/(a²-x²)²) =(a²-x²)½ 4a²x/2(a²+x²)½(a²-x²)² = 2/a²x/(a²+x²)½(a²-x²)3/2 = 2a²x/(a²+x²)½(a²-x²)(a²-x²)½ = 2a²x/(a²-x²)√a⁴-x⁴

38.- s=3√2+3t/2-3t = (2+3t)⅓/(2-3t)⅓ = (2+3t)⅓(2-3t)¯⅓

= ((2+3t)⅓(2-3t)¯⅓) = (2+3t)⅓ (2-3t)¯⅓+(2-3t¯⅓) (2+3t)⅓ = (2+3t)⅓

(-⅓)(2-3t)4/3 (-3)+ (2-3t)⅓(⅓)(2+3t)⅔(3) = (2+3t)⅓/(2-3t)4/3 + (2-3t)⅓/(2+3t)⅔ = (2+3t+2-3t)⅓/(2+3t)⅓(2-3t4/3 =4/(2+3t)⅔(2-3t)4/3

39.- y=√2px = (2px)½

(2px)½ = ½ (2px)¯½(2p) = p/√2px = p/y y=√2px

40.- y= b/a √a²-x² = b/a (a²-x²)½

(b/a (a²-x²)½) = (b/a) (a²-x²)½ + (a²-x²)½ (b/a) = b/a(½) (a²-x²)¯½(-2x) = -(b/a)x

(1/(a²-x²)½) = -bx/a(a²-x²)½ -b²x/a²(b/a(a²-x²)½) = -b²x/a²y

41.- y=(a⅔-x⅔)3/2

(a⅔-x⅔)3/2 = 3/2 (a⅔-x⅔)½ (-2/3x¯⅓) = -(a⅔-x⅔)½/x+⅓ -3√(a⅔-x⅔)3/2 =

-3√y/x

52.- y=(x²-x)³; x=3

(x²-x)³ = 3(x²-x)²(2x-1) sustituyendo: x=3 = 540

53.- y=3√x + √x ; x=64

((x)⅓) + (x)½ = 1/3x¯⅔ + 1/2x¯½ sustituyendo: x=64 =1/12

54.- y=(2x)⅓ + (2x)⅔ ; x=4

(2x)⅓ + (2x)⅔ = 1/3 (2x)¯⅔ 2 + 2/3 (2x)¯⅓ 2 sustituyendo: x=4

=2/3(2x)⅔ + 4/3(2x)¯⅓ = 1/6 + 2/3 = 5/6

55.- y=√9+4x² ; x=2

Y=(9+4x²)½ = (9+4x²)½ = ½(9+4x²)¯½(8x) = 4x (9+4x²)¯½ sustituyendo: x=2 = 8/5

56.- y=1/√25-x² ; x=3 (25-x²)¯½

(25-x²)¯½ = -1/2 (25-x²)¯3/2(-2x) = x(25-x²)¯3/2 sustituyendo: x=3 =3(25-(3)²)¯3/2 =

57.- y=√16+3x ; x=3

Y = (16+3x)½x¯¹ (16+3x)½x¯¹ (16+3x)½ x¯¹ + x¯¹ (16+3x)½ = (16+3x)½ (-1)x¯² + x¯¹

(½)(16+3x)¯½ 3 = -(16+3x)½ + 3/2x(16+3x)½ = 2x(16+3x)½(16+3x)½ +3x³ = -2x(16+3x)+3x/2x³(16+3x)½ = -32x – 6x² + 3x²/ 2x³(16+3x)½ = -3x²-32x/2x³(16+3x)½ = -3x-32/2x²(16+3x)½ = -41/90

58.- y=x√8-x² ; x=2

(x(8-x²)½) = x (8-x²)½ + (8-x² ) = x(½)(8-x²)¯½(-2x) + (8-x²)½ = -x²/(8-x²)½ + (8-x²)½ =

-x²+(8-x²)½(8-x²)½/(8-x²)½ = -x²+8-x²/(8-x²)½ = -2x²+8/(8-x²)½ = 0/(8-x²)½ = 0

59.- y=x²√1+x³ ; x=2

(x²(1+x³)½) = x² (1+x³)½ + (1+x³)½ x² = x²(½)(1+x³)¯½ (3x²) + (1+x³) (2x) =

3x⁴/2(1+x³)½ + 2x(1+x³)½ = 3x⁴ + 2x(1+x³)½ 2(1+x³)½ / 2(1+x³)½ = 3x⁴+4x(1+x³)/2(1+x³)½ =3x⁴+4x+4x⁴/2(1+x³)½ = 7x⁴+4x/2(1+x³)½ = 112+8/6 = 120/6 =20

Problemas de la página # 50

1.- y=u⁶ , u=1+2√x

u⁶=6u⁵ (1+2(x)½) = 6u⁵(-½(2)x¯½) 6u⁵(1/√x) =6u⁵/√x

2.- y=√2u-u² u=x³-x

((2u)½ -u²) = (2u)½ - u² = ½ (2u)¯½ (x³-x) – 2u (x³-x) = 1/(2u)½ (3x²-1) –

2u(3x²-1) = (3x²-1) (1/√2u - 2u)

3.- y=a-u/a+u, u=b-x/b+x ; y=(a-u)(a+u)¯¹ u=(b-x)(b+x)¯¹

((a-u)(a+u)¯¹) = (a-u) (a+u)¯¹ + (a+u)¯¹ (a-u)+(a-u)(-1) (a+u)² u+(a+u)¯¹ (-u)

((b-x)(b+x)¯¹) = (b-x) (b+x)¯¹ + (b+x)¯¹ (b-x) = (b-x)(-1)(b+x)¯²+(b+x)¯¹(-1) =

-(b-x)(b+x)¯² - 1/b+x – (b-x)/(b+x)² - 1/(b+x) = -(b-x)(b+x) – (b+x)²/(b+x)²(b-x))/(b+x)²(b+x) =(b+x)(-(b-x)-(b+x))/(b+x)²(b+x) = -b+x-b-x/(b+x)² = -2b/(b+x)² (siguiente página)

= -(a-u)/(a+u)² (2-b/(b+x)²) + (1/(a+u))(2b/(b+x)²) = 2b(a-u)/(a+u)²(b+x)² + 2b/(a+u)(b+x)² =2b(a-u)(a+u)(b+x)²+2b(a+u)²(b+x)²/(a+u)²(b+x)²(a+u)(b+x)² = (b+x)²(a+u) (2b(a-u)+2b(a+u))/(a+u)²(b+x)²(a+u)(b+x)² = 2ab-2u+2ab+2u/(a+u)²(b+x)² = 4ab/(a+u)²(b+x)²

4.- y=u√a²-u² , u=√1-x² y=u(a²-u²)½ u=(-1x²)½

(u(a²-u²)½) = u (a²-u²)½ + (a²-u²)½ = u ½(a²-u²)¯½ (-u² )+ (a²-u²)½ (1-x²)½ =

u/2(a²-u²)½ -1 (u²) + (a²-u²)½ (½(1-x²)¯½(-2x)) = -u/2(a²-u²)½ (2u ) – (a²-u²)½/(1-x²)½ =

U²/2(a²-u²)½ (2u(½(1-x²)¯½(-2x))) – (a²-u²)½/(1-x²)½ = u²x/(a²-u²)½(1-x²)½ - (a²-u²)½/(1-x²)½=Xu²(1-x²)½-(a²-u²)½(1-x²)½x/(a²-u²)½(1-x²)½ = 2u²x-a²x/(a²-u²)½(1-x²)½ = 2x(u²-a²)/(a²-u²)½(1-x²)½

5.- 15x=15y+5y³+3y⁵Derivando x primero

15 = 15y+5y³+3y⁵

Derivando y15=15yy’+15y²y’ + 15y⁴Y’(15y+15y²+15y⁴)=15 y’=15/15y+15y²+15y⁴ = 1/y+y²+y⁴

6.- X=√y + 3√y1=(y)½ + (y)⅓ 1=1/2 (y)¯½y’+⅓y¯⅔y’1=1/2(y)½.y’ + 1/3(y)⅔.y’ = y’(3y⅔+2y½/6(y½)(y)⅔) y’=1/3y⅔+2y½/6y½y⅔ = 6y½y⅔/3y⅔+2y½ = ½(6y⅔)/y½(3y⅙+2)

19.- x²+xy+2y²=28; (2,3)2x+xy’+y.1+4y=0 2x+y+y’(x+4y)=0derivando y’Y’(x+4y)= -2x-yy’=-2x-y/x+4y sustituyendo (2,3) y’=-2(2)-3/2+4(3) = -4-3/2+12 = -7/14 =-½

20.- x³-3xy²+y³=4 ; (2,-1)3x²-(3x2yy’+y²3)+3y²y’=0 3x²-6xyy’-3y²+3y²y’=0 3x²-3y²+y’(-6xy+3y²)=0Y’(-6xy+3y²)= -3x²+3y²y’=-3x²+3y²/-6xy+3y² sustituyendo (2,-1)Y’= -3(2)²+3(-1)²/-6(2)(-1)+3(-1)² = -12+3/12+3 = -9/15 = -3/5

Ejercicios de la página 69

Calcular máximos y mínimos:

1.- x³-6x²+9x (1)

=x³-6x²+9x = 3x²-12x+9=0

Solución: 3x²-12x+9(3x-3)(x-3) x=3/3X₁= 1 x₂=3

2.- 10+12x-3x²-2x³12-6x-6x²-6x²-6x+12=0(-6x-1) (x+6)

Sustituyendo en (1) x₁ y x₂(1)³-6(1)²+9(1)=4 Máximos= 4 para x=1(3)³-6(3)²+9(3) =0Mínimos= 0 para x=3

PAG. 69Ejercicio 2

MáximoPara x = 1 Mínimo Para x = -2

Ejercicio 3

El resultado es un número imaginario, por lo tanto no hay máximos ni mínimos.

Ejercicio 5

Máximo para x=1 Mínimo para x=0 Mínimo para x=-1

Ejercicio 8

Máximo para

Mínimo para

Ejercicio 9

Máximo para x=4 Mínimo para x=0

Mínimo para x=a

Ejercicio 11

PAGINA 91

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Sustituyendo a

Sustituyendo a x

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

PAGINA 124

PAGINA 133

PAGINA 125

) u=x v=sen x

27.- +

Código del programa para graficar polinomios

Fecha de creación: 1/08/12Ultima modificacion: 12/08/12*/

//Declaracion de librerias#include<stdio.h>#include<conio.h>#include<stdlib.h>#include<graphics.h>#include<math.h>

//Declaracion de funcionesint error(int tmp);int validaFE(char array[]);int validaVar(char array[]);void ingresaMN(void);void lineal(int max, int min);void grafica_lin(float m, float b, int max, int min);void cuadratica(int max, int min);void grafica_cua(float a, float b, float c, int max, int min);void polinomio3(int max, int min);void grafica_poli3(float a, float b, float c, float d, int max, int min);void polinomio5(int max, int min);void grafica_poli5(float a, float b, float c, float d, float e, float f, int max, int min);int set_graph(void);void eje_xy(void);void eje_xyfix(void);

//Variables globalesint max_x=0,max_y=0;float tx=10.7; //Precision en la escala eje xfloat ty=11.9; //Precision en la escala eje y

//Funcion que traza los ejes x,y (polinomios de grado 1)void eje_xyfix(void){ //Declaracion de variables locales //Arreglo de caracteres para el eje x char* x1[]= {"-30","-29","-28","-27","-26","-25","-24","-23","-22","-21","-20","-19","-18","-17","-16","-15","-14", "-13","-12","-11","-10","-9","-8","-7","-6","-5","-4","-3","-2","-1","","1","2","3","4","5","6","7","8", "9","10","11","12","13","14","15","16","17","18","19","20","21","22","23","24","25","26","27","28","29","30","31" }; //Arreglo de caracteres para el eje y char* y1[]= {"200","190","180","170","160","150","140","130","120","110","100","90","80","70","60","50","40","30","20","10","0","-10","-20", "-30","-40","-50","-60","-70","-80","-90","-100","-110","-120","-130","-140","-150","-160","-170","-180","-190","-200","-210" }; setbkcolor(0); //Establece el color de fondo setcolor(15); //Establece el color de los trazos line(0,max_y/2,max_x,max_y/2); //Traza el eje de las x line(max_x/2,0,max_x/2,max_y); //Traza el eje de las y for(float i=0; i<=(max_x/tx); i++) { if((i*tx)<((max_x/2))||(i*tx)>((max_x/2)+tx)) { line(i*tx,(max_y/2),i*tx,((max_y/2)+3)); //Traza la escala en el eje x settextstyle(2,0,0); //Define estilo de texto setusercharsize(2,3,2,3); //Define tamano de texto outtextxy((i*tx)-3,(max_y/2)+6,x1[i]); //Coloca la escala numerica en el eje x } }

for(i=0; i<=(max_y/ty); i++) { if((i*ty)<((max_y/2)-ty)||(i*ty)>((max_y/2))) { line((max_x/2)+3,i*ty,max_x/2,i*ty); //Traza la escala en el eje y settextstyle(2,0,0); //Define estilo de texto setusercharsize(2,3,2,3); //Define tamano de texto outtextxy((max_x/2)+6,i*ty-1,y1[i]); //Coloca la escala numerica en el eje y } }}

//Funcion que traza los ejes x,y (polinomios de grado mayor que 1)void eje_xy(void){ //Declaracion de variables locales //Arreglo de caracteres para el eje x char* x1[]= {"-30","-29","-28","-27","-26","-25","-24","-23","-22","-21","-20","-19","-18","-17","-16","-15","-14", "-13","-12","-11","-10","-9","-8","-7","-6","-5","-4","-3","-2","-1","","1","2","3","4","5","6","7","8", "9","10","11","12","13","14","15","16","17","18","19","20","21","22","23","24","25","26","27","28","29","30","31" }; //Arreglo de caracteres para el eje y char* y1[]= {"20","19","18","17","16","15","14","13","12","11","10","9","8","7","6","5","4","3","2","1","0","-1","-2", "-3","-4","-5","-6","-7","-8","-9","-10","-11","-12","-13","-14","-15","-16","-17","-18","-19","-20","-21" };

setbkcolor(0); //Establece el color de fondo setcolor(15); //Establece el color de los trazos line(0,max_y/2,max_x,max_y/2); //Traza el eje de las x line(max_x/2,0,max_x/2,max_y); //Traza el eje de las y for(float i=0; i<=(max_x/tx); i++) { if((i*tx)<((max_x/2))||(i*tx)>((max_x/2)+tx)) { line(i*tx,(max_y/2),i*tx,((max_y/2)+3)); //Traza la escala en el eje x settextstyle(2,0,0); //Define estilo de texto setusercharsize(2,3,2,3); //Define tamano de texto outtextxy((i*tx)-3,(max_y/2)+6,x1[i]); //Coloca la escala numerica en el eje x } } for(i=0; i<=(max_y/ty); i++) { if((i*ty)<((max_y/2)-ty)||(i*ty)>((max_y/2))) { line((max_x/2)+3,i*ty,max_x/2,i*ty); //Traza la escala en el eje y settextstyle(2,0,0); //Define estilo de texto setusercharsize(2,3,2,3); //Define tamano de texto outtextxy((max_x/2)+6,i*ty-1,y1[i]); //Coloca la escala numerica en el eje y } }}

//Inicializa el modo graficoint set_graph(void){ //Declaracion de variables locales int graphdriver = VGA, graphmode= VGAHI, error_code; //Inicializa graficas del sistema modo VGA initgraph(&graphdriver, &graphmode, "C:\\TC\\BGI"); error_code = graphresult(); if (error_code != grOk) return(-1); // No se encontro hardware que soporte graficos if (graphdriver != VGA) { closegraph(); //Finaliza el modo grafico return 0; } return(1); // Modo grafico aceptado}//Coordenas maximasvoid calc_coords(void){ //Determina las coordenadas maximas del monitor max_x = getmaxx(); // Coordenadas maximas en x max_y = getmaxy(); // Coordenadas maximas en y}

//Trazo de grafica linealvoid grafica_lin(float m, float b, int max, int min){ //Declaracion de variables locales float x=0,y=0,i=0,j=0,xl=0,yl=0; int tmp=0; setcolor(12); //iniciar trazo en color rojo brillante i=min*tx; //Corrige rango de valores a graficar j=max*tx; //Corrige rango de valores a graficar for(i; i<=j; i++) { x=i; y=-1*(m*x+b); //Corrige y evalua la ecuacion lineal putpixel((x+(max_x/2))+(-b/m)*tx,y+max_y/2,12); //Coloca los puntos (x,y) en el eje de coordenadas //Rutina encargada de trazar la grafica de forma continua mediante lineas if(tmp==0) { xl=(x+(max_x/2))+(-b/m)*tx; yl=y+max_y/2; } if(tmp>1) { line(xl,yl,(x+(max_x/2))+(-b/m)*tx,y+max_y/2); xl=(x+(max_x/2))+(-b/m)*tx; yl=y+max_y/2; } tmp++; }}

//Define la grafica de la ecuacion linealvoid lineal(int max, int min){ //Declaracion de variables locales char m1[4], b1[4]; int tmp=0,val=0; float m=0,b=0; char *var[]= {"m","b"}; for(int i=0; i<2; i++) //Asignacion de variables { do { tmp=error(tmp);//Llamada a la funcion validar entrada system("cls");//Limpia la pantalla de consola printf("Ecuacion de la forma f(x)=mx+b.\n\n"); printf("Ingresa el valor de %s (###, #.## o -###):", var[i]); fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada if(i==0) { gets(m1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array val=validaVar(m1);//Llama a la funcion validar numeros if(val==1)//Verificador de entero o flotante { m=atof(m1);//Convierte el array en un numero flotante } } else { gets(b1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array val=validaVar(b1);//Llama a la funcion validar numeros if(val==1)//Verificador de entero o flotante { b=atof(b1);//Convierte el array en un numero flotante } } tmp++; //Verificador de error }

while(val==0); //Valida si la entrada es un digito tmp=0;//Puesta a 0 para requerir la proxima variable } //Determina si se puede ejecutar el modo grafico if (set_graph() != 1) { printf("Este programa requiere ejecucion en modo VGA.\n"); } else { //Funciones encargadas de la graficación del polinomio calc_coords(); eje_xy(); grafica_lin(m, b, max, min); getch(); closegraph(); // Termina el modo grafico }}

//Define la grafica de la funcion cuadraticavoid cuadratica(int max, int min){ //Declaracion de variables locales char a1[4], b1[4], c1[4]; int tmp=0,val=0; float a=0,b=0,c=0; char *var[]= {"a","b","c"}; for(int i=0; i<3; i++) //Asignacion de variables

{ do { tmp=error(tmp);//Llamada a la funcion validar entrada system("cls");//Limpia la pantalla de consola printf("Ecuacion de la forma f(x)=ax^2+bx+c.\n\n"); printf("Ingresa el valor de %s (###, #.## o -###):", var[i]); fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada if(i==0) { gets(a1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array val=validaVar(a1);//Llama a la funcion validar numeros if(val==1)//Verificador de entero o flotante { a=atof(a1);//Convierte el array en un numero flotante } } if(i==1) { gets(b1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array val=validaVar(b1);//Llama a la funcion validar numeros if(val==1)//Verificador de entero o flotante { b=atof(b1);//Convierte el array en un numero flotante } }

if(i==2) { gets(c1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array val=validaVar(c1);//Llama a la funcion validar numeros if(val==1)//Verificador de entero o flotante { c=atof(c1);//Convierte el array en un numero flotante } } tmp++; //Verificador de error } while(val==0); //Valida si la entrada es un digito tmp=0;//Puesta a 0 para requerir la proxima variable } //Determina si se puede ejecutar el modo grafico if (set_graph() != 1) { printf("Este programa requiere ejecucion en modo VGA.\n"); } else { //Funciones encargadas de la graficacion del polinomio calc_coords(); eje_xyfix(); grafica_cua(a, b, c,max, min); getch(); closegraph(); // Termina el modo grafico }}

//Funcion que grafica la ecuacion cuadraticavoid grafica_cua(float a, float b, float c, int max, int min){ //Declaracion de variables locales float x=0,y=0,i=0,j=0,xl=0,yl=0; int tmp=0; setcolor(12); //iniciar trazo en color rojo brillante i=min*tx; //Corrige rango de valores a graficar j=max*tx; //Corrige rango de valores a graficar for(i; i<=j; i++) { x=i; y=-1*(a*pow(x,2)+b*x+c); //Corrige y evalua la ecuacion lineal

if(((y<=0)&&(y>=-1000))||((y>=0)&&(y<=1000)))//Elimina errores de la grafica{ if(i<max_x/2) {

putpixel(max_x/2+x*tx,max_y/2+y,12); //Coloca los puntos (x,y) en el eje de coordenadas//Rutina encargada de trazar la grafica de forma continua mediante lineasif(tmp==0){ xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y;}if(tmp>1){ line(xl,yl,max_x/2+x*tx,max_y/2+y); xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y;}tmp++;

} if(i>max_x/2)

putpixel(max_x/2-x*tx,max_y/2+y,12); //Rutina encargada de trazar la grafica de forma continua mediante lineas

if(tmp==0) {

xl=max_x/2+x*tx;yl=max_y/2+y;

} if(tmp>1) {

line(xl,yl,max_x/2+x*tx,max_y/2+y);xl=max_x/2+x*tx;yl=max_y/2+y;

} tmp++;}

}}//Define el polinomio de grado 3void polinomio3(int max, int min){ //Declaracion de variables locales char a1[4], b1[4], c1[4], d1[4]; int tmp=0,val=0; float a=0,b=0,c=0,d=0; char *var[]= {"a","b","c","d"}; for(int i=0; i<4; i++) //Asignacion de variables {

do{ tmp=error(tmp);//Llamada a la funcion validar entrada system("cls");//Limpia la pantalla de consola printf("Ecuacion de la forma f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.\n\n"); printf("Ingresa el valor de %s (###, #.## o -###):", var[i]); fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada if(i==0) {

gets(a1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(a1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante

{ a=atof(a1);//Convierte el array en un numero flotante}

} if(i==1) {

gets(b1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(b1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ b=atof(b1);//Convierte el array en un numero flotante}

} if(i==2) {

gets(c1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(c1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ c=atof(c1);//Convierte el array en un numero flotante}

} if(i==3) {

gets(d1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(d1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ d=atof(d1);//Convierte el array en un numero flotante}

} tmp++; //Verificador de error}while(val==0); //Valida si la entrada es un digitotmp=0;//Puesta a 0 para requerir la proxima variable

//Determina si se puede ejecutar el modo grafico if (set_graph() != 1) {

printf("Este programa requiere ejecucion en modo VGA.\n"); } else {

//Funciones encargadas de la graficación del polinomiocalc_coords();eje_xy();grafica_poli3(a, b, c, d, max, min);getch();closegraph(); // Termina el modo grafico

//Grafica el polinomio de grado 3void grafica_poli3(float a, float b, float c, float d, int max, int min){ //Declaracion de variables locales float x=0,y=0,i=0,j=0,xl=0,yl=0; int tmp=0; setcolor(12); //iniciar trazo en color rojo brillante i=min*tx; //Corrige rango de valores a graficar j=max*tx; //Corrige rango de valores a graficar for(i; i<=j; i++) {

x=i;y=-1*(a*pow(x,3)+b*pow(x,2)+c*x+d); //Corrige y evalua la ecuacion linealif(((y<=0)&&(y>=-1000))||((y>=0)&&(y<=1000)))//Elimina errores de la grafica{ if(i<max_x/2) {

putpixel(max_x/2+x*tx,max_y/2+y,12); //Coloca los puntos (x,y) en el eje de coordenadas

//Rutina encargada de trazar la grafica de forma continua mediante lineasif(tmp==0){ xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y;}if(tmp>1){ line(xl,yl,max_x/2+x*tx,max_y/2+y); xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y;}tmp++;

} if(i>max_x/2)

putpixel(max_x/2-x*tx,max_y/2+y,12); //Rutina encargada de trazar la grafica de forma continua mediante lineas if(tmp==0) {

xl=max_x/2+x*tx;yl=max_y/2+y;

} if(tmp>1) {

line(xl,yl,max_x/2+x*tx,max_y/2+y);xl=max_x/2+x*tx;yl=max_y/2+y;

} tmp++;}

//Define el polinomio de grado 5void polinomio5(int max, int min){ //Declaracion de variables locales char a1[4], b1[4], c1[4], d1[4], e1[4], f1[4]; int tmp=0,val=0; float a=0,b=0,c=0,d=0,e=0,f=0; char *var[]= {"a","b","c","d","e","f"}; for(int i=0; i<7; i++) //Asignacion de variables {

do{ tmp=error(tmp);//Llamada a la funcion validar entrada system("cls");//Limpia la pantalla de consola printf("Ecuacion de la forma f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f.\n\n"); printf("Ingresa el valor de %s (###, #.## o -###):", var[i]); fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada if(i==0) {

gets(a1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(a1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ a=atof(a1);//Convierte el array en un numero flotante}

} if(i==1) {

gets(b1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(b1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ b=atof(b1);//Convierte el array en un numero flotante}

if(i==2) {

gets(c1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(c1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ c=atof(c1);//Convierte el array en un numero flotante}

} if(i==3) {

gets(d1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(d1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ d=atof(d1);//Convierte el array en un numero flotante}

} if(i==4) {

gets(e1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(e1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ e=atof(e1);//Convierte el array en un numero flotante}

} if(i==5) {

gets(f1);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el arrayval=validaVar(f1);//Llama a la funcion validar numerosif(val==1)//Verificador de entero o flotante{ f=atof(f1);//Convierte el array en un numero flotante}

tmp++; //Verificador de error}while(val==0); //Valida si la entrada es un digitotmp=0;//Puesta a 0 para requerir la proxima variable

//Determina si se puede ejecutar el modo grafico if (set_graph() != 1) {

printf("Este programa requiere ejecucion en modo VGA.\n"); } else {

//Funciones encargadas de la graficación del polinomiocalc_coords();eje_xy();grafica_poli5(a, b, c, d, e, f, max, min);getch();closegraph(); // Termina el modo grafico

//Grafica el polinomio de grado 5void grafica_poli5(float a, float b, float c, float d, float e, float f, int max, int min){ //Declaración de variables locales float x=0,y=0,i=0,j=0,xl=0,yl=0; int tmp=0; setcolor(12); //iniciar trazo en color rojo brillante i=min*tx; //Corrige rango de valores a graficar j=max*tx; //Corrige rango de valores a graficar for(i; i<=j; i++) {

x=i;y=-1*(a*pow(x,5)+b*pow(x,4)+c*pow(x,3)+d*pow(x,2)+e*x+f); //Corrige y evalua la ecuacion linealif(((y<=0)&&(y>=-1000))||((y>=0)&&(y<=1000)))//Elimina errores de la grafica

{ if(i<max_x/2)

{ putpixel(max_x/2+x*tx,max_y/2+y,12); //Coloca los puntos (x,y) en el eje de coordenadas //Rutina encargada de trazar la grafica de forma continua mediante lineas if(tmp==0) { xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y; } if(tmp>1) { line(xl,yl,max_x/2+x*tx,max_y/2+y); xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y; } tmp++; } if(i>max_x/2) putpixel(max_x/2-x*tx,max_y/2+y,12); //Rutina encargada de trazar la grafica de forma continua mediante lineas if(tmp==0) { xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y; } if(tmp>1) { line(xl,yl,max_x/2+x*tx,max_y/2+y); xl=max_x/2+x*tx; yl=max_y/2+y; }

tmp++; } }}

//Validacion de error de entrada de datosint error(int tmp){ if(tmp>0) { system("cls"); printf("\nEntrada de datos incorrecta.(Presiona cualquier tecla para continuar)"); getch(); tmp=0; } else { tmp=0; } return tmp;}

//Validacion de numeros flotantes y enteros (+,-)int validaVar(char array[]){ //Declaracion de variables locales int i, val=0, cont=0,tam=0; while(array[tam]!='\0')//Calcula el tamano del array tam++; if((array[0]!='.')&&(array[0]!=13)&&(array[tam]!='.')&&tam<=4)//Valida que al inicio y al final del array no contenga un punto y que el numero maximo de digitos sea 5 { for(i=0; i<tam; i++) { if(array[0]=='-')//Valida signo negativo en los numeros { if(((array[i]<=57)&&(array[i]>=48)&&(cont<=1))||(array[i]=='.'))//Valida que el array sea un numero flotante o entero { if(array[i]=='.') { cont++; }

val=1; } else { if(i!=0) { val=0; break; } } } else//Signo positivo en los numeros { if(((array[i]<=57)&&(array[i]>=48)&&(cont<=1))||(array[i]=='.'))//Valida que el array sea un numero flotante o entero { if(array[i]=='.') { cont++; } val=1; } else { val=0; break; } } } } return val;}//Validacion de numeros enteros (+,-) para la escala del eje xint validaFE(char array[]){ //Declaracion de variables locales int i, val=0, cont=0,tam=0; while(array[tam]!='\0')//Calcula el tamano del array tam++; if(((array[0]!='.')&&(array[0]!=13)&&(array[tam]!='.')&&tam==3&&array[0]=='-')||((array[0]!='.')&&(array[0]!=13)&&(array[tam]!='.')&&tam<=2))//Valida que al inicio y al final del array no contenga un punto y que el numero maximo de digitos sea 3 {

for(i=0; i<tam; i++) { if(array[0]=='-')//Valida signo negativo en los numeros { if((array[i]<=57)&&(array[i]>=48)&&(cont<=1))//Valida que el array sea un numero entero { val=1; } else { if(i!=0) { val=0; break; } } } else//Signo positivo en los numeros { if((array[i]<=57)&&(array[i]>=48)&&(cont<=1))//Valida que el array sea un numero entero { val=1; } else { val=0; break; } } } } return val;}

//Funcion encargada de mostrar en consola, la peticion//de valores max y min para graficar en el eje x,yvoid ingresaMN(int op1){ //Declaración de variables locales int max1=0,min1=0; char max[3], min[3]; int tmp=0,val=0,val1=0;

do { val1=1; tmp=error(tmp);//Llamada a la función validar entrada system("cls");//Limpia la pantalla de consola printf("\nIngresa el rango minimo de valores para x (rango -30<=x<=+30, valores enteros):\n"); fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada gets(min);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array val=validaFE(min);//Llama a la funcion validar numeros if(val==1)//Verificador de entero o flotante { min1=atoi(min);//Convierte el array en un numero entero if(min1<-30||min1>30)//Verifica que el valor min este dentro del rango { system("cls"); printf("Valor fuera de rango.(Pulsa cualquier tecla para continuar)\n"); val1=0; getch(); } } if(val1==1) { tmp++; //Verificador de error } } while(val==0||val1==0); //Valida si la entrada es un dígito tmp=0;//Puesta a 0 para requerir la proxima variable do { tmp=error(tmp);//Llamada a la función validar entrada system("cls"); printf("\nIngresa el rango maximo de valores para x (rango -30<=x<=+30, valores enteros):\n"); fflush (stdin);//Limpia el buffer de entrada gets(max);//Recibe la entrada del teclado y al almacena en el array val=validaFE(max);//Llama a la funcion validar numeros if(val==1)//Verificador de entero o flotante { max1=atoi(max);//Convierte el array en un numero entero if(max1<-30||max1>30)//Verifica que el valor min este dentro del rango

{ system("cls"); printf("Valor fuera de rango.(Pulsa cualquier tecla para continuar)\n"); val1=0; getch(); } } if(val1==1) { tmp++; //Verificador de error } } while(val==0); switch(op1) { case 1: system("cls"); lineal(max1, min1); break; case 2: system("cls"); cuadratica(max1, min1); break; case 3: system("cls"); polinomio3(max1, min1); break; case 4: system("cls"); polinomio5(max1, min1); break; }}

//Despliega el menu principalint main(){ //Declaración de variables locales int op=0; do { system("cls");

printf("Programa de Graficacion de Polinomios\n\n"); printf("1 Grafica funcion lineal.\n"); printf("2 Grafica funcion cuadratica.\n"); printf("3 Grafica funcion cubica.\n"); printf("4 Grafica polinomio de grado 5.\n"); printf("5 Salir\n\n"); printf("Selecciona una opcion: "); fflush(stdin); scanf("%i", &op); switch(op)//Selecciona el tipo de polinomio { case 1: system("cls"); ingresaMN(1); break; case 2: system("cls"); ingresaMN(2); break;

case 3: system("cls"); ingresaMN(3); break; case 4: system("cls"); ingresaMN(4); break; case 5: system("cls"); return(0); default: printf("\nOpcion incorrecta.(Presiona cualquier tecla para continuar)"); getch(); break; } } while(op!=3); system("cls");//Limpia la pantalla de consola return 0;//Termina la ejecuion de la aplicacion}

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