Matemáticas Básicas: Introducción alas Matemáticas Financieras

M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

ESDAI, Universidad Panamericana

1

2

1 Logaritmos

Leyes de los exponentes

Funciones exponenciales

Logaritmos

Logaritmo natural

2 Sucesiones

Sucesiones aritméticas

Sucesiones geométricas

Ejemplos

3

Logaritmos

4

Logaritmos

Leyes de los exponentes

5

En esta sección supondremos que las bases son númerospositivos, mientras que los coeficientes son números reales.

6

bm × bn = bm+n. (1.1)

Ejemplo 1.1.

b23 b

45 = b

23 + 4

5 = b2215 .

7

bm

bn= bm−n. (1.2)

Ejemplo 1.2.

b23

b45

= b23 − 4

5 = b− 215 .

8

(bm)n = amn. (1.3)

Ejemplo 1.3. (b

23) 4

5 = b(

23 × 4

5

)= b

815 .

9

(a

b

)n

= an

bn. (1.4)

Ejemplo 1.4. (a

b

) 23

= a23

b23

.

10

b−n = 1bn

. (1.5)

Ejemplo 1.5.

b− 23 = 1

b23

11

bnm = m

√bn. (1.6)

Ejemplo 1.6.

b23 = 3

√b2

12

Ejemplo 1.7.Simplifique

1 ax4 × a3x5.

2 a3x4 × a2y3 × x2y6

3y2

y

4(x2y3) × (xy5)

y4 × y3

5 (i3)3 × (i2)3

6

(5x

x2

)3

7

(x3

y5

)2

8

(2Z5

x3y5

)3

9(1.80)5 × (1.80)3 × (1.80)2

(1.80)

Puede consultar las respuesta en SageMathCloud.

13

Ejemplo 1.8.

1 10

2 b15 b

14

3

(b3/4b6/8

b1/4

)1/4

4 (y−2)3

5(a−1/4

)−2

6(y−4/7)(y−4/7)7

y−1/5

7 (1 + 0.075)−5 × (1 + 0.075)8

√x2y3

9a3 ×

√a4

5√

a10

Puede consultar las respuesta en SageMathCloud.

14

Logaritmos

Funciones exponenciales

15

Leyes de los exponentes y funciones exponenciales

Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = b

bx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) × expb (y)

bx−y = bx

byexpb (x − y) = expb (x)

expb (y)bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n

16

Logaritmos

Logaritmos

17

Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0

En otras palabras: Si y > 0, entonces

expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)

18

Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0

En otras palabras: Si y > 0, entonces

expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)

18

Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0

En otras palabras: Si y > 0, entonces

expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)

18

Definición 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0

En otras palabras: Si y > 0, entonces

expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (1.7)

18

Figura 1.1: expb(x) vs logb(x)

19

Propiedades de logaritmos

Las funciones logarítmicas revierten las operaciones realizadascon las exponenciales: Si x, y > 0, entonces

Las funciones logarítmicas... convierten... en...logb (1) = 0 1 0.

logb (b) = 1 b 1.

logb (xy) = logb (x) + logb (y) la multiplicación suma.

logb

(x

y

)= logb (x) − logb (y) la división resta.

logb (xn) = n logb (x) exponentes coeficientes.

20

Ejemplo 1.9.Simplificar log10 (1000) .

Solución.

log10 (1000) = log10

(103

)= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.

21

Ejemplo 1.9.Simplificar log10 (1000) .

Solución.

log10 (1000) = log10

(103

)= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.

21

Ejemplo 1.10.Simplificar log2 (32) .

Solución.

log2 (32) = log2

(25)

= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.

22

Ejemplo 1.10.Simplificar log2 (32) .

Solución.

log2 (32) = log2

(25)

= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.

22

Ejemplo 1.11.

Simplificar log5

(1

125

).

Solución.

log5

( 1125

)= log5

( 153

)= log5 (1) − log5

(53)

= 0 − 3 (log5 (5))= −3(1) = −3.

23

Ejemplo 1.11.

Simplificar log5

(1

125

).

Solución.

log5

( 1125

)= log5

( 153

)= log5 (1) − log5

(53)

= 0 − 3 (log5 (5))= −3(1) = −3.

23

Ejemplo 1.12.Solucionar log4 (x) = 1

2 .

Solución.

log4 (x) = 12 → x = exp4

(12

)→ x = 4 1

2

→ x =√

4 = 2.

24

Ejemplo 1.12.Solucionar log4 (x) = 1

2 .

Solución.

log4 (x) = 12 → x = exp4

(12

)→ x = 4 1

2

→ x =√

4 = 2.

24

Ejemplo 1.13.Solucionar log64 (16) = x.

Solución.

log64 (16) = x → 16 = exp64 (x)→ 24 = 64x

→ 24 =(26)x

→ 24 = 26x

→ 4 = 6x

→ x = 23 .

25

Ejemplo 1.13.Solucionar log64 (16) = x.

Solución.

log64 (16) = x → 16 = exp64 (x)→ 24 = 64x

→ 24 =(26)x

→ 24 = 26x

→ 4 = 6x

→ x = 23 .

25

Ejemplo 1.14.Solucionar logx (27) = 3.

Solución.

logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3

→ x = 3√

27 = 3.

26

Ejemplo 1.14.Solucionar logx (27) = 3.

Solución.

logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3

→ x = 3√

27 = 3.

26

Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :

1 log5

(53

);

2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

27

Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :

1 log5

(53

);

2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

27

Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :

1 log5

(53

);

2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

27

Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :

1 log5

(53

);

2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

27

Solución.

1

log5

(53

)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .

2

log5 (8) = log5

(23)

= 3 log5 (5) = 3.

3

log5 (36) = log5

(2232

)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

28

Solución.

1

log5

(53

)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .

2

log5 (8) = log5

(23)

= 3 log5 (5) = 3.

3

log5 (36) = log5

(2232

)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

28

Solución.

1

log5

(53

)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .

2

log5 (8) = log5

(23)

= 3 log5 (5) = 3.

3

log5 (36) = log5

(2232

)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

28

Solución.

1

log5

(53

)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .

2

log5 (8) = log5

(23)

= 3 log5 (5) = 3.

3

log5 (36) = log5

(2232

)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

28

Logaritmos

Logaritmo natural

29

Consideremos una inversión inicial de $1, a una tasa de interésanual de r = 1, a un plazo de T = 1, es decir, de un año. Sivariamos el número de periodos M, en el que se compone lainversión al año, obtenemos los siguientes resultados:

M (1 + 1/M)M

1 2.010 2.5937424601100 2.704813829421000 2.7169239322410000 2.71814592683

30

Como se puede observar,(

1 + 1M

)M

→ 2.71828182846

si M → ∞.

Observación 1.1.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).

31

Como se puede observar,(

1 + 1M

)M

→ 2.71828182846

si M → ∞.

Observación 1.1.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).

31

En general, realizando el cambio de variable M = N

r, tenemos

que

A(1 + r

N)NT = A(1 + 1

M)rMT

= A

((1 + 1

M

)M)rT

→ AerT

cuando N, M → ∞.

Observación 1.2.Esta es la motivacación de la fórmula de interés compuestocontinuamente.

32

Ejemplo 1.16.Resuelva 3 = e20x.

Solución.

3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x

→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549

33

Ejemplo 1.16.Resuelva 3 = e20x.

Solución.

3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x

→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549

33

Ejemplo 1.17.Resuelva 2 ln(x) = 1

Solución.

2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12

→ x = exp(12)

→ x = e12 =

√e ≈ 1.648

34

Ejemplo 1.17.Resuelva 2 ln(x) = 1

Solución.

2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12

→ x = exp(12)

→ x = e12 =

√e ≈ 1.648

34

Ejemplo 1.18.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?

Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:

1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)

→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.

El plazo debe ser aprox. 8.66 años.

35

Ejemplo 1.18.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?

Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:

1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)

→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.

El plazo debe ser aprox. 8.66 años.

35

Observación 1.3.Observe que el tiempo que se tarda en duplicar el monto, esindependiente de la cantidad inicial C0. Trate de verificar estehecho, con diferentes montón y de justificarlo algebraicamente.

36

Ejemplo 1.19.En los siguientes ejericios, evalué la expresión dada utilizandolas propiedades de los logaritmos:

1 ln e3

2 ln√

e

3 eln 5

4 e2 ln 3

5 e3 ln 2−2 ln 5

6 ln e3√e

e13

37

Ejemplo 1.20.Resuelva las siguientes ecuaciones:

1 4x = 532 log3 (2x − 1) = 23 2 = e0.06x

4 3 = 2 + 5e−4x

5 ln(x) = 13 (ln 16 + 2 ln 2)

6 3x = e2

38

Ejemplo 1.21.

1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?

2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?

3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?

39

Ejemplo 1.21.

1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?

2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?

3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?

39

Ejemplo 1.21.

1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?

2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?

3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?

39

Ejemplo 1.21.

1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?

2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?

3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?

39

Ejemplo 1.22.Determine el valor de las incógnitas en las siguientesecuaciones.

1 5x+1 = 32x

2 1002/x = (1 + 0.1)x

3 250 = 5(1 + 0.01)y − 10.01

Puede comprobar las respuestas en SageMathCloud.

40

Sucesiones

41

Definición 2.1.Una sucesión de número es una regla que asigna a cadanúmero entero positivo n ∈ N, un número real quedenotaremos por an.

42

Ejemplo 2.1.La sucesión 1, 0, 1, 0... se puede escribir con la regla

an =

1 si n es impar0 si n es par

o de manera explicita

a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 0...

43

Sucesiones

Sucesiones aritméticas

44

Definición 2.2.Una sucesión es aritmética si para n ∈ N, la diferencia entredos términos sucesivos es siempre la misma, es decir,

an+1 − an ≡ d,

donde d es una constante.

45

Si (an)n∈N es una sucesión aritmética, tal que an+1 − an ≡ d,

entoncesan = a1 + (n − 1) d (2.1)

es una fórmula para el n− ésimo término.

46

La fórmula para encontrar la suma hasta el n−ésimo términode una sucesión aritmética an está dada por

Sn = n

2 (a1 + an) . (2.2)

47

Ejemplo 2.2.

1 Encuentre el término 100 de la sucesión aritmética3, 7, 11, ...

2 Encuentre la suma hasta este término.

48

Como 7 − 3 = 11 − 7 = ... = 4, entonces d = 4, mientras queel primer término es a1 = 3. Entonces la fórmula para estasucesión es

an = 3 + (n − 1)4.

Entonces el término 100 es

a100 = 3 + (100 − 1)4 = 399.

49

La suma hasta el termino número 100 es

S100 = 1002 (a1 + a100) = 50 (3 + 399) = 20100.

50

Evaluación Continua 2.1.Determine cuales de las siguientes sucesiones son aritméticas.En caso de que sea aritmética, determine una fórmula paradicha sucesión.

1 1, 6, 11, 16, ...

2 13 , 1, 5

3 , 73 , ...

3 4, −1, −6, −11, ...

4 9, 12, 16, ...

5 12 , 1

3 , 14 , ...

51

Evaluación Continua 2.2.Si una sucesión en el ejercicio anterior es aritmética, cálcule lasuma hasta el sexto término usando la fórmula (2.2).

52

Sucesiones

Sucesiones geométricas

53

Definición 2.3.Una sucesión es geométrica si para n ∈ N, el cociente entredos términos sucesivos es siempre el mismo, es decir,

an+1

an

≡ r,

donde r es una constante.

54

Si (an)n∈N es una sucesión aritmética, tal que an+1an

≡ r,

entoncesan = a1r

n−1 (2.3)

es una fórmula para el n− ésimo término.

55

La fórmula para encontrar la suma hasta el n−ésimo términode una sucesión aritmética an está dada por

Sn = a1 (rn − 1)r − 1 . (2.4)

56

Ejemplo 2.3.

1 Encuentre el término 6 de la sucesión geométrica5, 10, 20, ...

2 Encuentre la suma hasta este término.

57

Como 105 = 20

10 = ... = 2, entonces r = 2 y como el primertérmino es a1 = 5, entonces una fórmula para el n−ésimotérmino es

an = 5(2n−1

).

De manera que el término 6 es

a6 = 5(26−1) = 5 · 25 = 160.

58

Sustituyendo n = 6, r = 2, a1 = 5 en la fórmula (2.4)obtenemos

S6 = 5 (26 − 1)2 − 1 = 315.

59

Evaluación Continua 2.3.Determine una fórmula para cada una de las siguientesucesiones geométricas:

1 3, 6, 12, ...

2 −1, 3, −9, ...

3 12 , 1

3 , 29 , ...

60

Evaluación Continua 2.4.En el ejercicio anterior, calcule la suma de cada sucesión hastael sexto término, usando la fórmula (2.4).

61

Sucesiones

Ejemplos

62

Ejemplo 2.4.Calcular a3 y S20, sabiendo que an es una sucesión aritméticacon a10 = −2 y a20 = 8.

63

Ejemplo 2.5.Calcular a15, sabiendo que an es una sucesión aritmética cona25 = 110 y d = 5.

64

Ejemplo 2.6.Calcular a1 y S5, sabiendo que an es una sucesión geométricacon a6 = 1

16 y r = 12 .

65

Ejemplo 2.7.Calcular a12 y S7, sabiendo que an es una sucesión geométricacon a3 = 1

16 y r = 19 .

66

3 Interés simple

Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa y tipo de interés

Plazo o tiempo

Tiempo real y tiempo aproximado

Descuento

Ecuaciones de valores equivalentes

Series

Aplicaciones

67

Interés simple

68

El monto M de una inversión se calcula sumando el capitalinicial C0 y el interés I :

M = C0 + I. (3.1)

Si el interés es simple, a una tasa de interés anual r, en unplazo de T años, el interés se calcula proporcinal al capitalinicial:

I = C0rT (3.2)

De esta manera, el monto final de la inversión está dado por

M = C0 + C0rT, (3.3)

o de manera más concreta

M = C0 (1 + rT ) . (3.4)

69

El monto M de una inversión se calcula sumando el capitalinicial C0 y el interés I :

M = C0 + I. (3.1)

Si el interés es simple, a una tasa de interés anual r, en unplazo de T años, el interés se calcula proporcinal al capitalinicial:

I = C0rT (3.2)

De esta manera, el monto final de la inversión está dado por

M = C0 + C0rT, (3.3)

o de manera más concreta

M = C0 (1 + rT ) . (3.4)

69

El monto M de una inversión se calcula sumando el capitalinicial C0 y el interés I :

M = C0 + I. (3.1)

Si el interés es simple, a una tasa de interés anual r, en unplazo de T años, el interés se calcula proporcinal al capitalinicial:

I = C0rT (3.2)

De esta manera, el monto final de la inversión está dado por

M = C0 + C0rT, (3.3)

o de manera más concreta

M = C0 (1 + rT ) . (3.4)

69

Interés simple

Monto

70

Ejemplo 3.1.Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $3500 que acuerda liquidar mediante un pago de inmediato de$1500 y un pago final 4 meses después. Acepta pagar 10 %deinterés anual simple sobre el saldo. ¿Cuánto deberá pagardentro de 4 meses?

71

Ejemplo 3.2.Una persona deposita $150 000 en un fondo de inversionesbursátiles que garantiza un rendimiento de 0.8 % mensual. Siretira su depósito 24 días después, ¿cuánto recibe?

72

Interés simple

Valor actual o presente

73

El valor actual, que equivale al capital, se puede encontrardespejando C en la fórmula del monto (3.4), como sigue:

C0 = M

1 + rT(3.5)

74

Ejemplo 3.3.Una persona participa en una “tanda” y le toca cobrar en eldecimoctavo mes. Si dentro de 18 meses recibirá $30 000,¿cuál es el valor actual de su tanda, con un interés simple de20 % anual?

75

Ejemplo 3.4.Un individuo compró un automóvil nuevo por el cual pagó$195 000 el primero de enero, y lo vende el primero de juniodel año siguiente en $256 000. Aparte del uso que ya le dio,del seguro que pagó, otros gastos que hizo, considerando sólolos valores de compra y venta, ¿fue una inversión convenientela operación que realizó si la tasa de interés de mercado era de11 %?

76

Interés simple

Interés

77

Ejemplo 3.5.Una persona obtiene un préstamo de $50 000 y aceptaliquidarlo año y medio después. Acuerda que mientras exista eladeudo pagará un interés simple mensual de 1.5 %. ¿Cuántodeberá pagar de interés cada mes?

78

Ejemplo 3.6.Si alguien deposita $75 000 en una cuenta bancaria que ofrecepagar 1.35 % mensual simple, ¿cuánto recibirá mensualmentede intereses?

79

Interés simple

Tasa y tipo de interés

80

Observación 3.1.La tasa de interés se expresa decimales; si la misma cantidadse expresa en porcentajes, nos referiremos a ésta como tipo deinterés. Por ejemplo, si el tipo de interés es r = 12 %,entonces la tasa de interés es r = 0.12.

81

Observación 3.1.La tasa de interés se expresa decimales; si la misma cantidadse expresa en porcentajes, nos referiremos a ésta como tipo deinterés. Por ejemplo, si el tipo de interés es r = 12 %,entonces la tasa de interés es r = 0.12.

81

Observación 3.1.La tasa de interés se expresa decimales; si la misma cantidadse expresa en porcentajes, nos referiremos a ésta como tipo deinterés. Por ejemplo, si el tipo de interés es r = 12 %,entonces la tasa de interés es r = 0.12.

81

Ejemplo 3.7.Una persona compra un reproductor de discos compactos quecuesta $1500. Paga un enganche de $800 y acuerda pagarotros $750 tres meses después. ¿Qué tipo de interés simplepagó?

82

Ejemplo 3.8.Una persona compró un automóvil el 1 de enero en $195 000 ylo vendió 17 meses después en $256 000. ¿Qué tasa de interéssimple anual le rindió su inversión?

83

Interés simple

Plazo o tiempo

84

Ejemplo 3.9.¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido a una tasade 19 % de interés anual simple?

85

Ejemplo 3.10.¿En cuánto tiempo se acumularían $5000 si se depositaran hoy$3 000 en un fondo que paga 1.2 % simple mensual?

86

Interés simple

Tiempo real y tiempo aproximado

87

Ejemplo 3.11.¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $10000 depositado el 15 de mayo del mismo año en una cuenta deahorros que paga 19 % anual simple?

88

Ejemplo 3.12.El 11 de julio se firmó un pagaré por $1 700 con 18 % deinterés. ¿En qué fecha los intereses llegarán a $150?

89

Interés simple

Descuento

90

Descuento

El descuento es una operación de crédito que se lleva a caboprincipalmente en instituciones bancarias, que consta en queéstas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valornominal descuentan una suma equivalente a los intereses quedevengaría el documento entre la fecha en que se recibe y lafecha del vencimiento. Con esta operación se anticipa el valoractual del documento.

91

Descuento Simple a una Tasa de Interés

El valor presente C0 de una cantidad M con vencimiento auna fecha posterior puede ser interpretado como el valordescontado de M. A la diferencia Dr = M − C0 se le conocecomo descuento simple de M a una tasa de interés odescuento racional sobre M .

92

Ejemplo 3.13.

Determinar el valor presente, al 6 % de interés simple, de$1500 con vencimineto en 9 meses, ¿cuál es su descuentoracional?

93

En este caso, M = $1500, r = 0.06 y T = 9/12 = 3/4 años.

Sabemos que M = C0(1 + rT ), de manera que el valorpresente es

C0 = M

1 + rT= 1500

1 + (0.06)(3/4) ≈ $1435.41;

y por tanto el descuento racional esDr = S − C = 1500 − 1435.41 = $64.95.

94

Descuento simple a una tasa de descuento

La tasa de descuento se define como la razón del descuentodado en la unidad de tiempo (en este caso un año) al capitalsobre el cual está dado el descuento.

95

EL descuento simple D (conocido también como descuentocomercial o bancario) sobre unan cantidad S por t años a latasa de descuento d está dado porcentajes

D = MdT (3.6)

y el valor presente de M está dado por

C0 = M − D = M − MdT = M (1 − dT ) . (3.7)

96

Ejemplo 3.14.

Hallar el descuento simple sobre una deuda de $1500 convencimiento en 9 meses a una tasa de descuento de 6 %.¿Cual es el valor presente de la deuda?

97

Tenemos S = 1500, d = 0.06 y T = 3/4; de manera que eldescuento simple es D = SdT = 1500(0.06)(3/4); mientrasque el valor presente esC = S − D = 1500 − 67.50 = 1432.50.

98

Comparando los ejemplos 3.13 y 3.14, es claro que el uso de latasa de descuento es más sencilla que la de interés; por estarazón en la práctica, es más utilizada la de descuento.

En ocasiones, al descuento comercial se le comonoce comointerés por adelantado.

99

Descuento de Pagarés

Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de lafecha de vencimiento. Cada comprador descuenta el valor deldocumento al vencimiento desde la fecha de la venta hasta lafecha de vencimiento a una tasa de descuento fijada.

100

Ejemplo 3.15.

Observe el pagaré que aparece en la siguiente página. Si elbanco realiza operaciones de descuento a 20 % anual, y si elseñor Díaz desea descontar el documento el 15 de junio, los$185 000 (el valor nominal del pagaré) devengarán lossiguientes intereses (descuento) durante los 2 meses en que seadelanta el valor actual del documento:

D = 185000(0.20)(2/12) ≈ 6166.67;

donde D está dado por la fórmula (3.6), con M = 185000,

r = 0.20 y T = 2/12años.

101

102

En consecuencia, se aplica el descuento de manera queC0 = 185000 − 6166.67 = 178833.33; por lo que el señor Díazrecibe $178833.33, que es el valor (actual) comercial deldocumento el 15 de junio, ya que se aplicó un descuentocomercial.

103

Ejemplo 3.16.

Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió $166666.67. Si el tipo de descuento es de 30 % y el pagaré vencía 4meses después de su descuento, ¿cuál era el valor nominal deldocumento en la fecha de su vencimiento?

104

Sabemos que

M = C0 + D (3.8)D = MdT. (3.9)

Si sustuimos (3.9) en (3.8) y despejamos M obtenemos:

M = Co + MdT (3.10)→ M (1 − dT ) = C0 (3.11)

→ M = C0

1 − dT; (3.12)

de manera que el valor nomimal del documento en la fecha desu vencimiento es

M = $166, 666.671 − (0.30)(4/12) ≈ $18518.52.

105

Ejemplo 3.17.

Una empresa descuenta un documento por el cual recibe$945.05. Si el tipo de descuento es de 25 % y el valor nominaldel documento era de $1 000, ¿cuánto tiempo faltaba para elvencimiento?

106

Sabemos que M = 1000, C0 = 945.05, de manera que

D = 1000 − 945.05 = 54.95,

y d = 0.25. Al despejar T de (3.6) obtenemos

T = D

Md= 54.95

(1000)(0.25) ≈ 0.2198años,

es decir, aproximadamente 2.64 meses.

107

Interés simple

Ecuaciones de valores equivalentes

108

Ejemplo 3.18.

Una empresa firma un pagaré por $120 000 a 90 días, a 25 %.Treinta días después, contrae una deuda por $100 000 parapagarla 2 meses después, sin intereses. Dos meses después dela primera fecha, acuerda con un acreedor pagar $150 000 enese momento y, para saldar el resto de su deuda, hacer unpago final 3 meses después de la última fecha, con interés de30 %. Determine el pago final convenido.

109

110

Figura 3.1: Diagrama de tiempo y valor

111

I + II = A + B

I = 120, 000 × (1 + (0.25)(3/12)) × (1 + (0.30)(2/12)) ≈ 133875II = 100, 000 × (1 + (0.30)(2/12)) ≈ 105, 000A = 150, 000 × (1 + (0.30)(3/12)) ≈ 161, 250

B = X

133875 + 105000 = 161250 + B → B = 77, 625

112

Ejemplo 3.19.Resuelva el ejemplo 3.18 utilizando como fecha focal el cuartomes, en vez del quinto.

113

I + II = A + B

I = 120, 000 × (1 + (0.25)(3/12)) × (1 + (0.30)(1/12)) ≈ 130, 687.50II = 100, 000 × (1 + (0.30)(1/12)) ≈ 102, 500A = 150, 000 × (1 + (0.30)(2/12)) ≈ 157, 500

B = X

1 + (0.30)(1/12)

130, 687.50+102, 500 = 157, 500+ X

1.0250 → X = 77, 579.69.

114

Ejemplo 3.20.Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000con 40 % de interés simple, que vence dentro de 4 meses.Además debe pagar otra deuda de $150 000 contraída hace 2meses, con 35 % de interés simple y que vence dentro de dosmeses. Considerando un interés de 42 %, ¿qué pago deberáhacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar$100 000 dentro de 6 meses?

115

116

I + II = A + B

I = 200, 000 × (1 + (0.40)(12/12))(1 + (0.42)(4/12)) ≈ 245, 614.04

II = 150, 000 × (1 + (0.35)(4/12))(1 + (0.42)(2/12)) ≈ 156, 542.05

A = 100, 0001 + (0.42)(6/12) = 82, 644.63

B = X

X = 319, 511.47.

117

Interés simple

Series

118

Series

Una serie o suma infinita S∞ es un número tal que

S∞ ≈ Sn = a1 + ... + an

para n suficientemente grande. En ocasiones, escribiremos

S∞ = a1 + a2 + ...

119

Series

Una serie o suma infinita S∞ es un número tal que

S∞ ≈ Sn = a1 + ... + an

para n suficientemente grande. En ocasiones, escribiremos

S∞ = a1 + a2 + ...

119

Proposición 3.1.

Si −1 < r < 1, entonces la suma infinita de la sucesióngeométrica an = a1r

n−1 está dada por la fórmula

S∞ = a1

1 − r. (3.13)

120

Ejemplo 3.21.Encontrar la suma infinita de la sucesión geométrica

1 − 12 + 1

4 − 18 + ...

121

Como−1/2

1 = 1/4−1/2 = −1/8

1/4 = ... = −12 ,

entonces r = −12 . De manera que la sucesión geométrica está

dada por

an =(

−12

)n−1.

122

Sustituyendo a1 = 1, r = −12 en (3.13), obtenemos

S∞ = 23 .

¿Qué representa este número?

123

Sustituyendo a1 = 1, r = −12 en (3.13), obtenemos

S∞ = 23 .

¿Qué representa este número?

123

Si consideramos la n−ésima suma parcial Sn = a1 + ... + an

de nuestra progresión y la comparamos con S∞ obtenemos lassiguientes observaciones:

Suma Parcial Sn |S∞ − Sn|S1 = 1.0 0.333S2 = 0.5 0.163S3 = 0.75 0.083S4 = 0.625 0.041S5 = 0.6875 0.020S6 = 0.65625 0.010

124

Como podemos observar, entre más términos sumemos, másnos acercamos a S∞ ≈ 0.666. De hecho, para cada margen deerror ε, podemos escoger un entero N suficientemente grandede manera que si n > N, entonces∣∣∣∣Sn − 2

3

∣∣∣∣ ≤ ε.

Para ver realizar un experimento númerico para calcular seriesgeométricas, puede usar este script en SageMathCloud.

125

Interés simple

Aplicaciones

126

El interés compuesto representa la acumulación de interesesque se han generado en un período determinado por un capitalinicial o principal a una tasa de interés durante ciertos periodosde imposición, de modo que los intereses que se obtienen alfinal de cada período de inversión no se retiran sino que sereinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.1

1Interés compuesto. (2016, 21 de abril). Wikipedia, La enciclopedialibre. Fecha de consulta: 20:36, mayo 2, 2016 desdehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Inter %C3 %A9s_compues-to&oldid=90612579.

127

Para un capital inicial C0, compuesto durante T años, N

periodos al año, a una tasa de interés anual r, el capital finalC(T ) está dado por

C(T ) = C0

(1 + r

N

)NT

. (3.14)

128

Ejemplo 3.22.Si se invierten C0 = $400, a una tasa de interés de r = 6 % aun plazo de T = 5 años, calcule el monto al final del plazo sila inversión se compone:

1 Anualmente2 Semestralmente3 Mensualmente4 Diariamente

129

1 N = 1

C(5) =(

1 + 0.061

)1×5= 535.2902310

2 N = 2

C(5) =(

1 + 0.062

)2×5= 537.5665517

3 N = 12

C(5) =(

1 + 0.0612

)12×5= 539.5400610

4 N = 360

C(5) =(

1 + 0.06360

)360×5= 539.9300261

130

Como puede observar a partir del ejercicio anterior, cuando N

se incrementa, C(T ) se aproxima más a una cantidad fija≈ 539.94.

Para el límite N → ∞, diremos que el interés se componecontinuamente y esta dado por la fórmua

C(T ) = C0erT . (3.15)

En el ejemplo anterior, C(5) = 400e0.06×5 = 539.9435230.

131

Evaluación Continua 3.1.Si se invierten C0, a una tasa de interés de r a un plazo deT = años, calcule el monto al final del plazo si la inversión secompone:

1 Anualmente2 Semestralmente3 Mensualmente4 Diariamente5 Continuamente

en los siguientes casos:

(a) C0 = 1000, r = 5 %, T = 10;(b) C0 = 8750, r = 1 %, T = 2;(c) C0 = 340, r = 12 %, T = 15.

Puede verificar sus resultados, usando este script enSageMathCloud.

132