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CÁLCULO I lim ( )x k
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PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
1
MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
(
) ;
df
dx; ( )f x dx
EJERCICIOS
Profesora Nidia Leiva Calderón
Profesora Carmen Mora Chavarría
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
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df
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INDICE
TEMA PÁGINA
Presentación 1
I Conocimientos previos
Ia) Leyes de potencias 1
Ib) Fórmulas notables 2
Ic) Factorización 2
Id) Racionalización 7
II Límites
Definición y ejemplos gráficos 8
Ejercicios 9
Teoremas sobre límites y ejemplos 11
Ejercicios 14
Límites al infinito y límites infinitos 16
Límites al infinito. Ejemplos 17
Ejercicios 18
Límites infinitos. Ejemplos 19
Ejercicios 19
Continuidad y ejemplos 20
Ejercicios 22
III Derivadas
Concepto, reglas de derivadas y fórmulas de derivadas 25
Ejemplos 26
Ejercicios 28
Derivadas de orden superior y ejercicios 30
Derivadas implícitas y ejercicios 30
Rectas tangente y normal y ejercicios 31
Regla de L’Hopital y ejemplos 33
Ejercicios 42
Problemas de razón de cambio. Ejemplos 43
Ejercicios 44
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Problemas de optimización y ejemplos 46
Ejercicios 48
Cuadro de variación y trazo de gráficas. Ejemplos 49
Ejercicios 53
Mas ejemplos 54
Mas ejercicios 57
Otros ejemplos 58
IV Integrales
Concepto y fórmulas 60
Ejemplos 60
Ejercicios 66
Integración por partes. Ejemplos 68
Ejercicios 70
V Anexos 75
VI Recopilación de exámenes 76
VII Exámenes resueltos 89
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Presentación
La matemática básica es una herramienta necesaria para el buen desempeño en diferentes
actividades cotidianas y es en la escuela primaria y secundaria donde se adquieren esos
conocimientos indispensables. Estas herramientas son también necesarias para cursar con éxito
el curso de cálculo diferencial e integral.
Se presenta aquí un compendio de ejercicios con lo cual las colaboradoras buscan apoyar al
alumno en ese proceso para obtener un buen resultado. Se muestran algunos tópicos
necesarios ,ejemplos y ejercicios.
Se le recomienda al estudiante utilizar internet como apoyo en este proceso. Se le aporta la
dirección de internet www.laprofedemate.com, páginas en las cuales se puede encontrar más
práctica y el apoyo para evacuar dudas con alguna de las profesoras que se encuentran adscritas a
la página.
Se le recuerda que este folleto no sustituye al docente en clase, el objetivo es acompañarle en
esta nueva meta en la vida. También se agradece señalar a través de la página interactiva
cualquier omisión o sugerencia mientras se utiliza este material.
I CONOCIMIENTOS PREVIOS
Algunos conceptos básicos que el estudiante debe manejar son:
I a) Leyes de potencias y resultados
1. ( ... ) ...n n n nx y z x y z 2.
n n
n
x x
y y
3. n m n mx x x
4. n
n m
m
xx
x
5. .( )n m n mx x 6.
0 1x
7. 1 1
/n n
n nx x
x x
8.
1
nnx x
9. n
m nmx x 10. 1
. .m n n m n mx x x
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Ib) Fórmulas
1. 2 2 2( ) 2x y x xy y
2. 2 2 2( ) 2 x y x xy y
3. 2 2( )( )x y x y x y
4. 2 2 3 3( )( )x y x xy y x y
5. 2 2 3 3( )( )x y x xy y x y
6. 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y
7. 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y
Ic) Factorización
Recordemos que factorizar una expresión es escribirla como un producto. Hay varios tipos de
factorización, los básicos que ocuparemos en este curso son:
1. Factor común (puede ser monomio o polinomio)
2. Agrupación
3. Por Fórmulas notables
4. Fórmula General
5. División Sintética
1. Factor Común
En este método la idea es sacar el o los factores que tengan en común cada término que compone
la suma o resta en el polinomio
1.1 Factorizar 4 6 7 9 8 33 9 15
8 2 4
x ms m x s m x
4 6 7 9 8 3 3 75 4 93 9 15 3 5
38 2 4 2 4 2
x ms m x s m x mx xs mm x s
1.2 Factorizar 4 2( ) 5 5 3 ( )c b c b z c b
4 2 4 2
3 3 2 2 3
( ) 5 5 3 ( ) ( ) 5( ) 3 ( )
( ) ( ) 5 3 ( ) ( ) 3 3 5 3 3 )
c b c b z c b c b c b z c b
c b c b z c b c b c c b cb b zc zb
2. Agrupación
Consiste en agrupar términos de forma que las agrupaciones formadas posean un factor común
2.1 Factorizar 2 3 2 24 4a ax x a ax
2 3 2 2 2 2 2 2 24 4 (1 4 ) ( 4 1) (1 4 ) (1 4 )a ax x a ax a x ax x x a ax a x a x
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2.2 Factorizar 3 22 2 4 4m m m
3 2 2 2 2
2
2 2 4 4 2 ( 1) 4( 1) (2 4)( 1)
2( 2)( 1) 2( 2)( 1)( 1)
m m m m m m m m
m m m m m
3. Por Fórmulas notables
Este método consiste en aplicar una o varias de las fórmulas notables que antes se expusieron, por
ejemplo
3.1 Factorizar 4
210049
81
xx
2
4 2 2 222100 10 10 10
49 7 7 781 9 9 9
x x x xx x x x
( aplicando la 3 FN)
3.2 Factorizar 6 64r
6 3 2 2 3 3 2 2 64 ( ) 8 ( 8)( 8) ( 2)( 2 4) ( 2)( 2 4)r r r r r r r r r r ((aplicando la 4 y 5 FN)
3.3 Factorizar 2 2 41 6 9a am m
Aquí se van a utilizar dos formas de factorización: agrupación y fórmula notable
Se agrupan algunos términos: 2 2 4 2 2 41 6 9 1 6 9a am m a am m
Luego se aplica la primera fórmula notable en los términos agrupados a la derecha así:
2 2 4 2 26 9 ( 3 )a am m a m
finalmente se aplica la tercera fórmula notable en la expresión ya que es una diferencia
de cuadrados: 2 2 2 21 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 )a m a m a m
Por lo tanto la factorización completa queda
2 2 4 2 2 4 2 2
2 2 2 2
1 6 9 1 6 9 1 ( 3 )
1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 3 1 3
a am m a am m a m
a m a m a m a m
4. Fórmula General
Permite factorizar cualquier polinomio de la forma 2y ax bx c (a lo que se la llama
parábola). Con la fórmula 2 4
2
b b acy
a
es posible encontrar las raíces del polinomio 1x
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y 2x donde 2
1
4
2
b b acx
a
;
2
2
4
2
b b acx
a
por lo tanto la factorización de
2y ax bx c es 1 2( )( )y x x x x
Recordar que a la expresión 2 4b ac se llama discriminante y se denomina con el signo es
decir 2 4b ac .
Hay que recordar al factorizar que: {
0
0
0
}
4.1 Factorizar 22 3 5z z
Si y = 22 3 5 2, 3, 5z z a b c entonces
2 24 ( 3) 4(2)( 5) 49b ac entonces
( 3) 49 3 7
2(2) 4y
{
1
10 5
4 2x 2
41
4x
} , así la factorización
completa de la expresión es 2 52 3 5 1 (2 5)( 1)
2z z x x x x
4.2 Factorizar 23 6 3m m entonces
y = 2 23 6 3 3( 2 1) 0m m m m , es decir raíz real se repite, entonces
( 2) 0 21
2(1) 2y
la factorización completa es
y = 23 6 3m m =
23( 1)( 1) 3( 1)m m m
4.3 Factorizar 22 5 9a a ,
En esta expresión el 0 no existen raíces reales, por lo que la expresión no se
factoriza
4.4 Factorizar
4
3
2
32 9a a
Aquí se realiza una sustitución para que la expresión quede de la forma 2ax bx c , así,
4 2 2
3 3 3
22
32 9 2 9a a a a
y se realiza la sustitución
2
3
u a ,
2 2
3 3
2
22 9 2 9a a u u
, aplicando la fórmula general, la factorización será
2 2
3 31 10 1 10 1 10 1 10u u a a
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8
2 2
3 3
2 2 2
3 32 9 1 10 1 10 1 10 1 10a a u u a a
5. División Sintética
Este es un método para factorizar polinomios en el cual se trabaja con los divisores del número
independiente en el polinomio y con los divisores del coeficiente principal. Se va probando el
proceso con cada divisor del término independiente y con cada divisor del término independiente
dividido por cada divisor del coeficiente principal hasta que el residuo sea 0. Se realiza el proceso
en un polinomio, las veces que sea necesaria. Se ilustrará este método con algunos ejercicios
5.1 Factorizar 4 23 4x x
Paso 1) Escribir la expresión en forma descendiente de acuerdo al exponente de la
variable de uno en uno: 4 2 4 3 23 4 0 3 0 4x x x x x x
Paso 2) Encontrar los divisores del término independiente 4, con signos positivo y
negativo: 1, 2 4
Paso 3) Se colocan los coeficientes en una tabla de la siguiente forma:
1 0 -3 0 -4 (# a probar)
residuo
Paso 4) Se escoge uno de los divisores (a probar) y se empieza el proceso. Se baja el
coeficiente principal, se multiplica este por el divisor y el resultado se escribe debajo del
segundo coeficiente, se suman y el resultado se escribe bajo este segundo coeficiente y se
procede en forma similar hasta que se terminen los coeficientes y el resultado de la última
suma sea 0, en tal caso (x - #) es el factor.. Si el residuo no es cero, quiere decir que ese
divisor no es raíz del polinomio por lo tanto hay que escoger otro divisor para el proceso
Por ejemplo se utilizará el divisor -1 y se realiza el proceso para ver si el residuo es 0, así:
1 0 -3 0 -4 -1
-1 1 2 -2
1 -1 -2 2 -6 (es el residuo)
Aquí el último número (residuo) al final del proceso, no es cero, lo que significa que -1 no
es una raíz real de ese polinomio. Si el último número resultante (residuo) es 0
terminamos el proceso con ese divisor, y ese divisor resulta ser un cero o raíz del
polinomio y un factor o raíz del polinomio es (x – el número escogido)
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Seleccionar otro de los posibles factores, por ejemplo el 2
1 0 -3 0 -4 2
2 4 2 4
1 2 1 2 0
Aquí el residuo es cero por lo que 2 es una raíz real para el polinomio dado, y para
expresar factorizado el polinomio se toma los números resultantes como los nuevos
coeficientes del nuevo polinomio pero con un grado menor que el grado del polinomio
original, es decir la factorización es: 4 2 3 23 4 ( 2 2)( 2)x x x x x x
De ser necesario se repite el proceso con un divisor del nuevo término independiente, en
este caso 2 y los nuevos divisores son 1, 2 ,y se escoge por ejemplo el -2
1 2 1 2 -2
-2 0 -2
1 0 1 0
Así la factorización de 3 2 22 2 ( 1)( 2)x x x x x y la factorización completa es
4 2 23 4 ( 1)( 2)( 2)x x x x x
Factorizar 3 24 3 8 6x x x
Se definen los divisores del término independiente 6 y del coeficiente principal 4 así:
los divisores de 6 con signo positivo y negativo, son: {1,2,3,6} y los divisores de 4 son:
1, 2, 4
Por lo tanto los posibles ceros o raíces son: 1 3 3
1,2,3,6, , ,2 2 4
así selecciono por
ejemplo el con - 3
4 , así
4 3 8 6 - 3
4
-3 0 -6
4 0 8 0
Entonces 33 2 2
44 3 8 6 (4 8)( )x x x x x
3 2 24 3 8 6 ( 2)(4 3)x x x x x es la factorización completa de la expresión
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Ejercicios. Factorice cada una de las siguientes expresiones:
43 4 4 2 72
3 2 3 6
2 5 6 4 3
5m 15 30 11) 8) a
6 2 7 81
2) y 100 9) 4c 16 4
3) 3 ( ) 10) 27x 54 8 16
4)
s m s m ks
y cm m
a b b a x b a x x x
10 8 6 4 3 2
4 2 3 6
4 2
2 3 3
m 11) 2y 3 7 18
5) 6x 13 10 15 6 12) r 1
6) 8x 26 15 13) b 6
m m m y y
x x x
x b
4 22
5
7) 2 2 14) 2 5 2 4xa x a x s s
Id) Racionalización
Racionalizar un denominador es obtener una expresión equivalente que no contenga radicales en
el denominador. Algunas veces es conveniente también eliminar los radicales en el numerador.
1) Racionalizar 7 3
5
x
7 7 74 4 4
7 7 7 73 3 4 7
5 5 5 5x x x
xx x x x
Así se elimina el radical en el denominador que es lo que se buscaba
2) Racionalizar 43 4x x
x
4 4 333 4 3 4 (3 4 )
(3 4 )x x x x x x x x
x xxx x x
3) Racionalizar la fracción 318 2
3 1
x x
x
23 3
2
2 9 1 3 118 2 18 2 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1
2 3 1 (3 1) 3 1 2 (3 1) 3 12 (3 1) 3 1
3 1 1
x x xx x x x x
x x x x
x x x x x x xx x x
x
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4) Cuando en la fracción hay un binomio a racionalizar, se recurre a la tercera fórmula
notable, así: racionalizar 3 15
5
x
x
2 2
15 3 15 3 5 3(5 )( 5)
5 5 5 ( ) ( 5)
3( 5 )( 5)3( 5)
5
x x x x x
x x x x
x xx
x
Ejercicios. Racionalizar las siguientes expresiones
2
3 3 2 21) 7)
2
5 42) 8)
1 3 1 2 1 3
3) 91
x b b
x b
x z
x z
r s
s
3 24 3)
1 1
n n n
n
2
4 2
7 49 2 5 34) 10)
25 5 2 3 5
2 25) 11)
5 2 3
2 76)
2 18
m a a
m a
h x
h x h x
x x x
x x
2
4
3 5 1 713)
1 12)
14) 1 5 12 3
1
r
r
r d d
r d
II Límites
Definición de límite: El límite de una función f(x) en un punto x=a es igual a L si para todo
es posible hallar tal que si ( ) , ,f x L L x a a y se denota con
lim ( )x a
f x L
Ejemplos gráficos: Dada una función es posible encontrar el límite de la función para diferentes
valores de x. Por ejemplo en el gráfico que se representa h(x),
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g x
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Ejercicios. Considere las funciones y encuentre los límites:
1.1) lim ( )x
g x
1.2) 1.5
lim ( )x
g x
1.3)0
lim ( )x
g x
1.4) 1.5
lim ( )x
g x
1.5) 1.5
lim ( )x
g x
1.6) lim ( )x
g x
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g x
; (
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14
a) lim ( )x
f x
b) lim ( )x
f x
c) 0
lim ( )x
f x
d) 6
lim ( )x
f x
Teoremas sobre límites
Sea f(x) y g(x) dos funciones, f(x) 0, g(x) 0 y sea k una constante , entonces
1 ) limx c
k k
2 ) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
3 ) lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
4 ) lim ( )( )
lim lim ( )( ) lim ( )
x c
x c x c
x c
f xf xsi g x
g x g x
0
5 ) ( ) lim ( )
lim ( ) lim ( ) x cg x g x
x c x cf x f x
s i ( ) 0f x
6 ) lim ( ) lim ( )x c x c
g f x g f x
7 ) lim ( ) lim ( )n nx c x c
f x f x
S i n es par , entonces ( ) 0f x
La función f(x) y/o g(x) puede ser una raíz, un logaritmo o una función trigonométrica : senx , cosx,
tgx, etc
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Ejemplos. Calcule cada uno de los siguientes límites
1) Calcule 3
3
4lim
2 4x
x x
x
Sustituyendo en el límite la x por 3, resulta 3 3
3
4 3 4 3 9 4 3lim
2 4 2(3) 4 2x
x x
x
2) Calcule 1
log( 1)lim
1z
z
z
1
log( 1) log(2)lim
1 0x
z
z
(se dice aquí que el límite no
existe, pero si tiende a -
Algunas ocasiones al evaluar el límite, resulta una forma indeterminada 0
;0
, en tal
caso debe reescribirse el límite o manipularse algebraicamente la función para poder
calcular el límite
3) Calcule 3
32
7 22lim
6 2 4x
x x
x x
23 3 2
3 3 2 22 2 2 2
( 2) 2 117 22 0 7 22 2 11 19lim lim lim lim
6 2 4 0 6 2 4 2( 2)( 2 1) 2( 2 1) 18x x x x
x x xx x x x x x
x x x x x x x x x
3
32
7 22 19 lim
6 2 4 18x
x x
x x
4)
-
- - -
30
2
3 3 30 0 0
1 1lim
1 1 1 1 1 1lim lim : lim
0
x
x x x
x x
xf
x x x x x
5) Encuentre 3
3 6lim
1 2x
x
x
3
3 6 0lim
01 2x
x
x
Aquí se aplica racionalización en el numerador y en el denominador
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df
dx ( )f x dx
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16
2
23 3
3 3 3
3 63 6 3 6 1 2 1 2lim lim
1 21 2 3 6 1 2 3 6
3 1 2 3 1 2 1 2lim lim lim
3 33 6 3 6 3 6
x x
x x x
xx x x x
xx x x x
x x x x x
x xx x x
3
4 2 3 6 2 lim
6 3 31 2x
x
x
6) Resolver
2
0
1 1lim x
x
x
2
0
22
0 0 0 0
1 1 0lim
0
2 1 12 1 1lim lim lim 2 2 lim 2
x
x x x x
xf
x
x x xx xx
x x x
7) Resolver
4
lim tan 1x
x
x
4 4
4lim : lim tan 1 1 1 0 tan 1x x
x k xf
x x
8) Resolver0
1 1lim x
x x
x
0 0
2 2
0 0 0
0 0 0
1 1 0 1 1 1 1lim : lim
0 1 1
1 1 1 1 1 1lim lim lim
1 1 1 1
2 1 1 2 1 1lim lim 2 1 lim 1
21 1 1 1
x x
x x x
x x x
x x x x x xf
x x x x
x x x x
x xx x x x
x x x
x xx x x x
9)
3
3 33
33 3
3
4lim
34 105 4lim existe lim
43 0 3lim3
x
x x
x
x x
xx x x xno
x xx x
x
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; (
)
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17
10) 2 2
2
2lim
2 2x a
a ax x
xa x a x
2 2
2
2 2 2 2
2
2 0lim
2 2 0
2 ( ) ( ) ( ) 0lim lim lim lim 0
2 2 ( ) 2( ) ( 2)( ) ( 2) 2
x a
x a x a x a x a
a ax x
xa x a x
a ax x a x a x a x
xa x a x x a x a x x a x x a
11)2
3
9lim
2 3x
x
x x
2
3
2
2 23 3 3
2
3 3 3
9 0lim :
02 3
3 3 3 39 2 3 2 3 2 3lim lim lim
2 3 1 2 3 12 3 2 3
3 3 32 3 2 3 6 3 9 9lim lim 9 lim 9
3 1 1 1 1 4 1 2 3
x
x x x
x x x
xf
x x
x x x xx x x x x x x
x x x xx x x x
x x xx x x x x
x x x x x
Ejercicios. Determine de ser posible, cada uno de los límites:
1)
2
cot( ) 3lim
6csc( ) sec(2 )x
x
x x
2)
3(2 )
0
3 53lim 6
log( 2)
h h
h
e
h
3) 2
2
(4 )lim
tan (4 )x
sen x
x
4 2
2 32
124) lim
4 4z
z z
z z z
4 2
21
5 45) lim
1r
r r
r
6)
3 2 2 3
2 2lim
2x k
x kx k x k
x kx k
7) lim2w h
w h
w h w
8)
0
4 2lim
25 5z
z
z
9)210
1 7lim
4 32 80t
t t
t t
10)3 3
2
7 8 5lim
5 2 3x
x x
x x
11) 2
0
ln( 5)lim
1 xx
x x
e
12)
1
1 1lim
1 1x x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
18
13) Sea la función 4
2 4 , 2( )
, 2
x x sixf x
x six
, encuentre el 1
lim ( )x
f x
14) Considere la función
3 25ln( 2 ) 1
( ) 4
1
x xsi x
g x x
x si x
, encuentre el 1
lim ( )x
g x
15) 3
40
tan (5 )lim
2 3x
x
x
16)5 2 3
5 2 32
8 32 4lim
2 16 8 63z
z z z
z z z
17)0
arccos( )lim
( )x
x
sen x
18) 2
0
(8 ) 3lim
6 (3 )x
sen x
sen x
19)0
1ln
2lim
1xx
x
e
20)8 4
2
17 16lim
12
m
m m
m
21) 3 2 2
4 2 2 3
2 4 2lim
2s a
s as a s
s a s as
22)1
5 2lim
2 1x
x
x
23)
0lim
4 16x
x
x
24)3 2
31
5 3lim
3 2t
t t t
t t
25) 3
1
1lim x
x
ax bx a b
26) 210
1 7lim
4 32 80x
x x
x x
27) 2
3
9lim
2 3x
x
x x
28)
0
ln 2lim
1 xx
x
e
29) 2
0
(3 1)lim
4 ln(2 1)
a
a
a e
a a
30) 3 2
32
2 6 24 8lim
8x
x x x
x
31) 23
12 3lim
1 7x
x
x x
32) 3 2
32
3 12 4lim
8x
x x x
x
33) 2
3 21
1lim
4 4x
x x x
x x x
34) 0
4 16lim
5 25x
x
x
35) 3
41
3 2lim
4 3x
x x
x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
19
36) 20
7 49lim
3 5 9x
x
x x x
37)
20
3 2 3lim
2x
x x
x x
Respuesta a los ejercicios anteriores
3 7 4 5 5 71)R : 2)R:1 3)R:-38 4)R: 5)R:3 6)R: 7)R:2 8) R: 9) R: 10) R:
7 3 3 2 288 5
kh
4 111)R:- 12) R: 13)R: 14)R:-1 15)R:0 16)R:0 17)R: 18) R: 19)R:-
16 2
1 4 320)R:0 21)R:0 22) R: 23)R:-8 24)R: 25)R: 26)R: 27)R:9 28) R:+
2 3 a b
10 2 5 1 5 1 329)R:+ 30)R: 31) R: 32)R: 33)R: 34)R : 35) R: 36) R: 37) R:
3 3 3 10 4 2 2 3
Límites infinitos y al infinito. Abusando de la notación y a modo de ejemplo, se presentan
algunas operaciones con infinitos. Sea k una constante k , entonces
1)
2)
3)( )( )
4)( )( )
5)( )( )
k
06) 0
7) 0
8) ,0
k
k
kdepende
9) 0
( ) 0
si kk
si k
10 )
0( )
0
si kk
si k
11 )S i n IN ( )n si n 12) ( )
si
nes par
n es impar
Expresiones Indefinidas
0 00; ;0 , ;1 ;(0)( );
0
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
20
Ejemplos. Encuentre los siguientes límites que tienden a infinito
En estos límites se deben sacar a factor, la variable con el exponente más alto de la expresión, si
es una fracción ésta variable con su exponente debe sacarse por separado numerador y
denominador
1) 6 11 8
2 7
5 9 2 3lim
3 7x
x x x
x x
11
6 11 8 5 11 3
2 77
5 7
4
5 11 3
5 7
5 2 39
5 9 2 3lim : lim
1 73 73
5 2 39
lim 01
3
7
x x
x
xx x x x x x
fx x
x
po
x x
xkx
rx x
x
d
x
que ca a
2)
44
2
16 7 3 1lim
2 3x
x x
x
4 44 4
2 2
16 7 3 1 16 7 3 1lim lim :
2 3 2 3x x
x x x xf
x x
44 4
3 4 3 4
22
2
44 3 43 4
2 2
2 2
7 3 7 316 1 16 1
lim lim 32 3
2
7 3 17 3 1616 1
lim lim 3 3
2 2
x x
x x
x xx x x x
xx
x
xxx x xx x
x xx x
43 4 4
2
7 3 116
16lim : 0
3 22
x
x x x kf
xx
9
4 9 5 9
77
7
1 23
3 23) lim lim
53
53
x x
xx x x x
xx
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
21
5)
3 3 27 25 1lim
2n
n n n
n
3 23
2 23 3 2
3 32 2 2
7 11 25
7 25 1lim lim
221
7 1 71 25 1
lim lim2
1
n n
n n
n nn nn n n
nn
n
n nn n n
nn
2
3 3 2
125
1 56
2 11
7 25 1lim 6
2n
n
n
n n n
n
De los ejercicios resueltos se puede comprobar empíricamente el siguiente teorema :
Teorema: Dados y bi ja números reales y dados los polinomios de la forma
1 2
1 2 1 0 y ....n n n
n n na x a x a x a x a
1 2
1 2 1 0 b .... m m m
m m mx b x b x b x b
entonces
se c umple que:1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
0 si n < m
....lim si n = m
b .... b
(depende) si n > m
n n n
n n n n
m m mxm m m m
a x a x a x a x a a
x b x b x b x b
Ejercicios. Resuelva cada uno de los siguientes límites al infinito:
1) 7 6 17
8 2
2 4 8lim
6 3x
x x x
x x x
2)4 2 7
59 3
2 3lim
2 x
x x x
x x x
3) 75 7 5
2 9
4 6 3 3 2 lim
3 2 x
x x x x x
x x x
4) 7 67 64 5 64 5
lim1s
s s s
s
5) 2
2
3 1 4lim
4 5 3x
x x x
x
6) 82 8 5
3 2
5 6 3lim
2 5x
x x x
x x x
7) 2lim 8 6
xx x x
8) 2lim 10 4 2
xx x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
22
9) 10 2 2
lim5 7 4x
x
x
10)2 3 3 3
3 2 3
(3 2 2) 4 5lim
4 1 ( 1)x
x x x x x
x x x
11) 2
2
3 2lim
3 1x
x x
x x x
12) 2 2lim 4 2 3 4 7 9z
z z z z
Respuesta a los ejercicios anteriores
31) R : 2)R:0 3)R:0 4)R:3 5)R: 6)R:0 7)R:+
2
18) R:+ 9) R:1,01 10) R:+ 11) R:+ 12) R:
4
Límites infinitos. Cuando al sustituir el valor de la variable en el límite, el resultado es ó - ,
se debe resolver los límites laterales (es decir por la derecha y por la izquierda), así
1) 22 2 2
2 2 1 1lim lim lim
4 ( 2( 2) 2 0x x x
x x
x x x x
se deben resolver los límites
laterales así: 2
2
2
1 1lim
1 2 0lim
1 12lim
2 0
x
x
x
x
x
x
no existe el límite
Ejercicios. Resuelva cada uno de los siguientes límites infinitos:
1)22
3 6lim
4w
w
w
2)
4
4
5lim
4t
t
t
3)
4
3
2 ln(2)lim
3z
z
z
4)7
lim7a
a
a
5) 0
( ) 3limx
sen x
x
6) 2
0
(4 )
2 (l
1)im
x
x
x e
x ln x
7) 21
3 4lim
1
x
x x
8)
2
23
4 12lim
9s
s
s
Respuesta a los ejercicios anteriores
2 : 7 : 1 :1)R : 2)R:+ 3)R:+ 4)R: 5)R: + 6) R:+ 7) R: 8) R: +
2 : 7 : 1 :
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
23
Continuidad
Otra aplicación de los límites es el de continuidad de una función. Dada una función f(x) definida
en un intervalo I, se dice que esta función es continua en un punto c I si cumple las siguientes
tres propiedades:
1. (c)f existe y está bien definida
2. lim ( )x c
f x
existe
3. ( )f x = lim ( )x c
f x
(es decir, el resultado de la primera propiedad es igual al resultado en la
segunda propiedad)
Si no se cumpliera al menos una de las tres anteriores propiedades, se dice que la función es
discontinua. La función es continua en un intervalo I , si es continua en cada punto c I
Ejemplos.
1) Dada la función ( ) 3 5 4 6s x x , es ( )s x una función continua en x = 1?
Para probar esto considerar c = 1, entonces
1.1 (1) 3 5(1) 4 6 3 9 3(3) 9s
1.2 1 1
lim ( ) lim(3 5 4 6) 9x x
s x x
1.3 (1)s 1
lim ( )x
s x
se cumple la continuidad para x = 1
2) Considere la función
( 1)log( ) 1
( ) 4
5 1
xx esi x
h x
x si x
Analice si la función es continua en x = 1
2.1) (1 1)log(1 ) log(2)
(1)4 4
eh
2.2)1 1
lim ( ) lim 5 4 2x x
h x x
2.3)se cumple la igualdad ( )h x = 1
lim ( )x
h x
?
No se cumple la igualdad porque log 2
24
, por lo tanto la función no es continua, es decir es
discontinua en x= 1
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
24
3) Considere la siguiente función f(x) = { (
} Encuentre el valor de a para que
la función sea continua en x =
Solución
(
)
( )
( (
) (
) -
3.3 Si se cumple la propiedad 3) entonces 3 = -
a =
4) Considere la siguiente función g(x) =
{
(
(
√
}
Es g(x) una función continua en el conjunto de los números reales?
Solución
4.1 Para x = -1
4.1.1) g(-1) = ln(--1) + 1 = 0 + 1 =1
4.1.2) ( {
( ( (
( ( ) ( (
por lo tanto
(
4.1.3 Se cumple la tercera propiedad si: (
( por lo tanto g(x) es continua
en x= -1
4.2 Para x = 0
4.2.1) g(0) = ( = e
4.2.2) ( {
( ( ) ( (
(√
)
por lo tanto
( , por lo que g(x) es discontinua en x = 0
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
25
5)Sea g x una función continua definida por:
( 1) 3
ln( ) 1 1
( ) 3( ) 1 0
1 1 0
x
x si x
g x e x x si x
xsi x
x
Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales
5.1) Si x = -1
5.1.1) ln (1) + 1 = 1
5.1.2
( 1) 3 0
1
1 1
1
) lim 3( ) 3(0) 1lim ( ) lim ( ) 1
) lim (ln( ) 1 1
x
x
x x
x
a e x x eg x g x
b x
5.1.3) [ ln (1) + 1] = 1
lim ( ) 1x
g x
Entonces la función g(x) es continua en x = -15
5.2 Si X=0
5.2.1 g(0) = (0 1) 33(0 0 ) 0e e e 3.2.2
2
0 0 0
0 10 0
( 1) 3 1
0
1 11 1 0 1 1 1 1) lim lim lim
0 1 1 1 1
1 1lim ( ) lim lim lim ( )
21 1 1 1
) lim 3( ) 3(0)
x x x
x xx x
x
x
xx x xa
x x x x x
xg x g x noexiste
x x x
b e x x e e
por lo tanto la función f(x) no es continua en x = 0, entonces g(x) es una función discontinua en el
conjunto de los números reales
Ejercicios
1) Diga si la siguiente función f(x) es continua en x= -2 2
2
12
1
( )
32
1
____________ ___
_______________ __
x xsí x
x
f x
xsí x
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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26
2) Diga si la función g(x) es continua en el conjunto de los número reales,
2
3
4 x<2
g(x)= 3 3 si x = 2
24 si x>2
4
x
x
x si
x
x
3) Es la función continua en x=2 y en x=3? Compruebe su respuesta
2 4 11 si 5 2
= 3 5 si 2 3
11 3 si 3
x x x
f x x x
x x
4) Es 2
2
2
5 2 si 2
3 5 2 si 2 3
4 3 =
9 si 3<
3
2 si 3=
x x
xx
x xf x
xx
x x
x
continua en IR
6) Es la función continua en IR?, si
2
3 2
2 3
3 2
4 2
2
2 3 si 1
2 6 5
5 si x = 1
= 12 12 4 si 1 1
3 30 27
5 4 si x>1
3 2
x xx
x x x
n x x x xx
x x x
x x
x x
7) Es la función continua en x=-2 y en x=3?
2
2
2
2
2
2
6 22 10 si 2
2 5 2
6= si 2 3
12 7
6 9 si 3
9
x xx
x x
x xp x x
x x
x xx
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
27
8) Encuentre el valor de k para que la función m(x) sea continua en x=3, si
2
si 3m =
3 si 3
k x
xk
x xx
x
9) Encuentre el valor de k para que g(x) sea continua en x=2?
5 2
3
si 2 =
si 2
k
xk
x xg x
x x
10) Encuentre el valor de k para que la función 3 5 4
( )2 3 4x
x k sixm x
k six
sea continua en x=4
11) Averigue el valor de la variable k para que g(x) sea continua en x=1
(
{
12) Encuentre el valor de las variables a y b, para que f(x) sea continua en x =-2 y en x = 2, si
( {
13) Encuentre el valor de las variables a y b, para que f(x) sea continua en IR, si
si 2
= 3 1 si 2 3
si 3
xa b x
f x x x
a bx x
14) Encuentre el valor de las variables k y m, para que g(x) sea continua en IR
2 si 1
= 2 si 1 2
2 si 2
kx m x
g x mx x
mx k x
15) Encuentre el valor de las variables k y m, para que h(x) sea continua en x=-1 y x=2
2
3 si 1
= 4 8 si 1 2
2 4 si 2
kx m x
h x x x x
mx k x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
28
III Derivadas Sea f(x) una función definida en el conjunto de los números reales. La derivada de la función f(x),
denotada con f’(x) es f’(x) = ( ) ( )f x h f x
h
si este límite existe
Ejercicios. Encuentre la derivada de cada expresión por medio de la definición
1) 3 1y x 2) 2
( ) 2 3f x x 3) 3( ) 4s x x x
4) 1
( )3
h xx
5) 5 7
( )2
xl x
x
6)
37( )
2
xs x
x
Reglas de derivación
2
1) ( ) '( ) 0
2) ( ) '( ) '
3) ( ) '( ) ' '
4) ( ) . '( ) ' '
' '5) ( ) '( )
6) '( ) '( ( )) '( )
f x k f x
f x kx f x kx
f x u v f x u v
f x u v f x u v v u
u u v v uf x f x
v v
gof x g f x f x
1xx
1arccscx18.xsectanx9.
1xx
1arcsecx17.senxcosx8.
x1
1arccotx16.cosxsenx7.
x1
1arctanx15.
xlna
1xlog6.
x1
1arccosx14.
x
1lnx
xarcsenxee
cotxcscxcscx12.lnaaa3.
tanxsecxsecx11.xn
1x2.
xcsc(cotx)10.nxx
2
2
2
2
2a
2
xx
xx
n 1n
n
21nn
.5
1
1.13.4
.1
2
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
29
Ejemplos. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones
1)
2
33 25y s s
s
2 1 19 7 533 63 3 3 3 3
2
16 4 8
3 3 3
2 4 45 5 5 20 4
95 140 20'
3 3 3
sy s s s s s s s
s s s
y s s s
2)
( )
1
( ) 2 2 ( )
cos( )`( ) 0 2 0 2 ln(2)
2 ( )
x sen e e ex
ex ex
m x e e x ex sen e sen ex
e e exm x e ex e
ex sen ex
3) 1 2 1 3( ) 2 7n n
l r r r r r r
3
1 2 1 2 3 43 2
1
1 3 1 3 2
( ) 2 7 2 7
3`(r) 2 2 3 7 4
2
nn n n n n
nn n n
l r r r r r r r r r r
l n r nr n r n r
3
3
4
2
724
14) 5 ( ) 3 ln( )
1 1 3 ' 5 3 ln(3) 3
1 4
x
x
y arcsen x x x
x
y xxx x
2
2 2 1
15) ( ) 5
tan(2 )
1 ' cos( )( ) 2 5 ln(5) 5
tan(2 )
x x e
x x x e e x
y sen x e xe
y x e e sen x x exe
6) 2 1 csc 3
' 2 csc 3 csc cot 2 1
se utilizala fórmula de prl x x x
l x x x
oducto
x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
30
2 3
2 2 2
7) cos( ) ln 5
1 5 ' ( ) (2) 3ln 5
5 2 5
x
x x
y e x
y sen e e xx x
4
3 6 4
26
sec( ) 38) ln( 2 )
5
(sec( ) tan ( ) 3(4) 5 ( 5) sec( ) 3 1 1 `
2 25
e
x xy x
x
x g x x x x xy
x xx
3 45
42 4 4 35
3 2
9) 4arctan(5 2) ( 4 )
1 1 ' 4 (15 ) ( 4 ) cos( 4 )(4 4 ln(4)
1 (5 2) 5
x x
x x x x x x
y x sen x e
y x sen x e x e x ex
2 2 310) ln sec 3 csc 33
m x x x e
2
3sec 3 tan 33 3
' 2csc 3 cot 3
2 ln sec 3 sec 33 3
x x
m x x x
x x
3 23 211) arctan 3
2
xs x x
x
2 2
2 4
2 2
2 4
3 2 3 2 1' 3arctan 3 6
1 92
8 1' 18 arctan 3
1 92
x xs x x x
xx
s x x xxx
5 3 3 3
3
4 7 212) arctan
x x x x x xf x x
x
3
3 3 1/2 3 3 3 352
14 7 14
1f x x x x x x xx x xxx
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
31
12
1/2 152
17
252
14 7 14
1
1 12 27 14
1 5
f x x x x xx
f x x xx x
8 4
33
5 1 3
3
6 2 2
16 17 113) log 1
16 17 1 log 1
1 80 17 3 cos
1 ln 3
x xg x sen x x
x
g x x x x sen x x
g x x x x xx
4 2
3 3
2
3
4 2
3 3 3 3 23 3
5 7
2 3 23 3
8 10
3 43 3
3 5 4
14) tan 2
3 5 4 tan 2
3 5 4 tan 2
7 5 5 2 12 2 ln 2
3
x
x
x
x
x x x
h x ex
h x x x x x xx x e
h x x x x x e
h x x x x x
3
3 2
6
215) sec log
2 ln 2 3 2 1 sec tan sec
ln10
xx
x xx x
f x x e xx
x xf x x x e x e
x x
Ejercicios. Encuentre la primera derivada de cada función
1) 7 24 arccos 2
3
xy x e xe
2) 3
5arctan( ) ln 4 ( )y x sen x x
3)
1 9
77 55 3
2y= (4s -6s)
s s s s
s
4) 1/3 4 4
5l(x) 9sec(x) ln 6 log( )
x x xx x
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
32
5) 3
(z 4 ) 5 1
6
7 4( ) -e
5 ( ) 2
z z zm z e z z
sen z z
6) 9 49 cos(5z) z ( ) 4arctan( )zy z sen z
7) 12( ) 6 8 3 ( ) ( )xg x x x ln x sen x
8) 4(2 ) 6 3y ln sen x x x
9) 4 44 4 ln(4 ) 4 (4 ) (4) (4 4)x xy x x x ln ln ln x
10) 5
43( ) (2
csc)
xe arctanxg x sen e
x lnx
11) 4 2 3 1h x x ln x
12) 3 2
5 7 log 2m x x x
13) 3
488
5 7ln log(8) 8
8 8x
x xy x
x
14) 3 2
2log (2 4 lnxs x x x sen e
15) 2
6 2
2 3 5
6(1 )( ) arccos(5 )
( 3) (3 )
xf x x e x
x sen x x
16) 2csc 3 2 6
x x
n x e lnx
17)
2
7 3 3
3 2
4
2 5 ln 24 tan 2 1x x
x xf x x
x
18) 4
3 2 5
3 csc 2 3
xg x
x x
19) 1 23 5 4xy x
20) 5 4 2 5( ) 3 ( ) ( 2 ) xm x cos lnx tan x x e
21) 24 5
( )
sen x cos xi x
tan x
22)
4
5
2
( (4 2))( )
2 4 9
x ee x arcct sen xj x
sen x x
23) 2 23( ) log (7 ) ln (3 5) tan( )xg x x arc e
24) ( ) 2(2 3) ( 4 ) (7 ) (2)x xm x x cos e ln e log x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
33
25) 23 6
5 (4 2)( ) log(
()
)
sen xg x
cox
xx
s
26) 5 9 2(4 3 ) 7 3 xy tang x sen x x e
27) 9( ) 8 (3 2) (2 5) ( ( ) 1)2
s x arctan x cos x ln sen
28) 3 2
( )tan ( ) s (6 1)
f xx en x
x
29) 2 2 2
2
1 3 7xk x tan x ln sen e
x
30) 3 7 2
3 4 2xx e arcsenx
b x tan ln esecx lnx
31)
2 2
2 33
csc
3 3 tan2
x
x
sen e x
Derivada de orden superior Es derivar la derivada, así la segunda derivada o derivada de orden 2 es derivar la primera derivada, la derivada de orden 3 o tercera derivada es derivar la segunda derivada y así sucesivamente
Encontrar la derivada de orden 5 de 5 7 33 2 8y x x x
5 7 3
4 6 2
3 5
2 4
3
2
3 2 8
´ 15 7 24
'' 60 42 48
''' 180 210 48
' 360 840
360 2520
v
v
y x x x
y x x x
y x x x
y x x
y x x
y x
Ejercicios. Encontrar la derivada de orden 3 en las siguientes funciones
1) 2 4
ln1
xy
x
2) 2(3 5) ( 6)y x x
3) (3 5)
x
xy
e
4) 5cos(3 )xy x
5) ( ) 4sec( ) tan( )r z z z
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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34
Derivación Implícita
2 5 7 3
4 7 5 6 3 2
5 6 2 3 3 4 7
5 6 2 3 3 4 7
3 4 7
5
4 2 3 3 cos(2 )
8 2 ´ (15 3 7 )́ (2 )(2 3 )́
2 ´ 3 7 ´ 3 ´ (2 ) 2 (2 ) 15 8
[́2 3 7 3 (2 )] 2 (2 ) 15 8
2 (2 ) 15 8´
2 3
x y x y x y
x y x y x y y sen x y y y
y x y y y y sen x y sen x y x y x
y x y y sen x y sen x y x y x
sen x y x y xy
x
6 2 37 3 (2 )y y sen x y
Ejercicios. Encuentre las siguientes derivadas implícitas
1) (
2) (
3) √ (
4) 2 32 7 ln 1 5xy x y x
5) 5 2 1 3tan 2x y sen yx x y
6) 2 42 2xy sen x x
7) 2( ) cos(3 ) 5x xe y sen x y y
8) 5 7 29 8 (2 )y x y x sen x y
9) ( ) 35 2 4 1x yy e e xy y
10) 4 9
x yxye x xy e
Recta tangente y normal
Otra aplicación de la derivada es la de conocer la recta tangente o normal (perpendicular
u ortogonal a una curva dada en un punto específico
1) Considere la función 5 ( 1)4 xy x e .
Calcule la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa 1.
También la ecuación de la línea recta normal en el mismo punto.
Si x =1 entonces el punto es , 4 ( 1)
5 ( 1)
20´
2 4
x
x
x ey
x e
entonces
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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35
1.1 ) ecuación de línea recta: 19 13
2 3 2 3m b
entonces
19 13
2 3 2 3y m es la
ecuación de la línea recta tangente
1.2) ecuación de la línea recta normal: Si 19 2 3
192 3perpm m
entonces la
ecuación de la línea recta normal es 2 3 21 3
19 19y x
2) Considere la curva definida por f(x) = xsen(x) + 5x
2.1) Determinar la ecuación de la línea recta tangente a f(x) en el punto cuya abscisa es 0
a) Si x = 0 entonces y = 0 , P(0,0) b) f’(x) = sen(x) + xcos(x) + 5 c) m = sen(0) + (0)cos(0) + 5 = 5 d) Entonces b = 0 por lo que la ecuación de la recta tangente es y = 5x
2.2) Determinar la ecuación de la línea recta normal a f(x) en el punto cuya abscisa es 0
Si 1
5m
y P(0,0), entonces la ecuación de la recta normal es
5
xy
3) Determine las ecuaciones de las líneas rectas tangente a la curva 2 23 5x xy y en el
punto donde la ordenada es 1.
Si y=1 entonces x=-4 y x=1, por lo tanto hay dos líneas tangentes una en el punto (-4,1) y otra en el
punto (1,1)
Derivando queda 2 3
2 3 3 ` 2 ` 0 `3 2
x yx y xy yy y
x y
Punto (1,1)
51 2 2
5m b y x
es la ecuación de la línea recta tangente en este punto
Punto (-4,1)
5 1 11 1
10 2 2m b y x
es la ecuación de la línea recta tangente en este punto
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
36
Ejercicios. Resuelva cada ejercicio
1) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de ecuación y = 4x - en los
puntos de la curva en los cuales la ordenada es y = 3
2) Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la curva de ecuación - 5 = y
que contienen la abscisa x = 2
3) Considere la ecuación sen(2x + y) – 3x = 4y. Encuentre la ecuación de la línea recta
tangente a la curva de ecuación dada y que contiene el punto Q(0,0)
4) Determine la ecuación de la línea recta tangente y normal a la ecuación
y = √ en el punto de abscisa x = 1
5) Considere la curva 5 3 22 5 3 5x x y y y Encuentre la ecuación de la línea recta
que contiene el punto ( 1,-1) y que:
5.a) es tangente a la curva de ecuación dado 5.b) es normal a la curva de ecuación dada
6) Considere la curva 3 5 23 2 4 14x x y y Encuentre la ecuación de la línea recta que
contiene el punto ( 2,1) y que:
6.a) es tangente a la curva de ecuación dado 6.b) es normal a la curva de ecuación dado
7) Sea la curva de ecuación Encuentre la ecuación que
contienen el punto (2,3) y que:
7.a) es tangente a la curva de ecuación dado 7.b) es normal a la curva de ecuación dado
8) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) línea(s) recta(s) tangente(s) a la curva 2 4 5x y
sabiendo que la ordenada es y=1. También encuentre la(s) línea(s) recta(s) normal(s)
9) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva 3 cos xy 2 x y en x= 0
10) Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la curva de ecuación 2 2 2 4 3( ) 25 2 3 ln(3 4)x y x y x y en el punto (1,2)
11) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva de ecuación 2 6 5 6y xy y en el punto de abscisa -1
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
37
12) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva de ecuación 2 4 5x y xy si ordenada es 1
REGLA DE L’HÔPITAL
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de L'Hôpital o regla de
L'Hôpital-Bernoulli usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma
indeterminada
0 o
0
. La aplicación de esta regla frecuentemente convierte una forma
indeterminada en una forma determinada, permitiendo así evaluar el límite fácilmente.
Sean f y g, g 0, dos funciones tales que se cumple:
lim 0 y lim g 0x a x a
f x x
ó lim x a
f x
y lim gx a
x
Entonces se cumple que
0
lim : 0x a
f xfi o
g x
Y la regla de L'Hôpital establece que
lim = lim x a x a
f x f x
g x g x
Ejemplos: Utilizando la regla de L’Hopital resuelva los siguientes límites
1)
2
22
4lim
5 6x
x
x x
2 2
2 22 2 2
4 0 2 4 4lim = ' lim lim 4
5 6 0 2 5 1 5 6x x x
x x xL H
x x x x x
2)
3
2 3
3 5 4lim
6 6x
x x
x x
3 2
2 3 2
3
2 3
3 5 4 9 5lim : ' lim : '
6 6 2 18
18 18 3 5 4 1lim : ' lim lim
2 36 36 6 6 2
x x
x x x
x x xfi L H fi L H
x x x x
x x xfi L H
x x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
38
Sin embargo hay algunos casos en los cuales al realizar la sustitución, ésta no es de la forma0
0 o
por lo que mediante alguna manipulación algebraica puede llevarse el ejercicio a tener la
forma indeterminada para aplicar L'Hôpital.
Caso I: Forma: 0
Sean f y g dos funciones tales que se cumple:
lim x a
f x
y lim g 0x a
x
O lim 0x a
f x
y lim gx a
x
Entonces se cumple que lim : 0 0x a
f x g x fi o
entonces
g lim lim lim lim
1 1x a x a x a x a
f x xf x g x o f x g x
g x f x
Y en cualquiera de los casos da la forma indeterminada 0
: 0
fi o
dando pie a utilizar la regla
de L'Hôpital. Ejemplo:
0
0 0
2
0 0 0
lim ln : 0
1
lnlim : ' lim haciendo extremos y medios
1 cot csccsc
1
0 2 lim lim : ' , lim
cos 1 cos 0
x
x x
x x x
senx x fi
x xfi L Hx x
xsenx
sen x senx fi L Hx x x
senx senx
0
cos 0 = = 0 lim ln 0
cos 1 x
x xsenx x
x xsenx
Caso II: Forma
Sean f y g dos funciones tales que se cumple:
lim x a
f x
y lim gx a
x
. Entonces se cumple que
lim :x a
f x g x fi
entonces debemos de intentar resolver la operación y de
no ser posible entonces debemos resolver el siguiente límite:
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
39
lim 1 = lim lim 1 = lim 1 lim
Calculando c
lim '
x a x a x a x a x a
c
x a
g x g x g xf x f x f x
f x f x f x
g xc fi L H
f x
Ejemplos 1)
0
0 0
0 0
1 1lim :
0 cos 1 0lim : ' lim : '
0 cos 0
0 1 1lim = lim 0
cos cos 2
x
x x
x x
fix senx
senx x xfi L H fi L H
xsenx senx x x
senx
x x xsenx x senx
2)
lim ln :
ln ln lnlim 1 = lim lim 1 lim 1 lim
x
x x x x x
c
x x fi
x x xx x x
x x x
Calculo c:
lnlim : '
1
0lim =
1 1
x
x
xc fi L H
x
x
Vuelvo al limite solicitado:
lnlim 1 1 0
lim ln
x
x
xx
x
x x
Caso III: Potencia indeterminada: f orma: 0 00 , ,1
Sean f y g dos funciones tales que se cumple alguna de las siguientes condiciones:
lim 0x a
f x
y lim g 0x a
x
0lim : 0
g x
x af x fi
O
lim x a
f x
y lim g 0x a
x
0lim :
g x
x af x fi
O
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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40
lim 1x a
f x
y lim gx a
x
lim : 1g x
x af x fi
Entonces para calcular el límite se procede:
lim ln
lnlim lim e
g xf x
x ag x
cg x f x
x a x af x e
Calculamos c
lim ln = lim g ln : 0
Calculo este limite pues es el caso 1.
g x
x a x af x x f x f
Ejemplo: 1)
0lim ln
0 ln
00lim : 0 lim
x
xx
c
x
x x
xxx fi e e
0 0 0
0
0 0 0
2
calculando c
lnlim ln lim ln : 0 lim :
1
1
1 ' lim = lim 0 lim 1
1 1
x
x x x
x
x x x
xc x x x fi fi
x
xL H x e
x x
2)
0
lim ln cot
ln cot0
0 0lim cot : lim
senx
xsenx
c
x
senx x
x xx fi e e
0 0
0
22
0 0 0
calculando c
lim ln cot lim ln cot : 0
ln cotlim : '
1csc
1 csccsc
cscot cotlim = lim lim csc cot csc cot
senx
x x
x
x x x
c x senx x fi
xfi L H
xsenx
xx
x x
x x x x
2
2
20
22 2 20 0 0 0 0
2
c
csc cot
1
csclim lim lim lim 0 lim cot 1
coscot cos cos
senx
x x x x x
x
x x
x sen x senxsenx x exx xsenx x
sen x
Más ejemplos. Encuentre los siguientes límites aplicando L´Hopital
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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41
1)
0
4 1 cos 4 0 1 cos 0 0 1 1 0lim . .
cos 0 0 cos 0 0 0 0x
x xf i
sen x x x sen
`
0 0 0
4 1 cos 4 4lim lim lim
cos cos coscos cos
L H
x x x
x x sen x sen x
sen x x x x x x sen xx x sen x x
0
4 4 0 4 0lim 2
2cos 2cos0 0 0 2 0x
sen x sen
x sen x x sen
0
4 1 coslim 2
cosx
x x
sen x x x
2) 2 2 2 '
2'
1 1 1 2 1 2 1lim lim lim =
0 0
2 2 2 2 1lim = =0 lim 0
0
L H
x x x x x xx x x
L H
x x x xx x
x x x x x
e e e e e e e e e e
x x
e e e e e e
3) 4 4 4
1
2 17 2 17 1 2 16 2 2 0lim = . .
2 2 03 1 2 3 1 1 2 4 2x
xf i
x
344 '
31 1 1 4
11
4 172 17 2 3 1lim lim lim
13 1 2 3 4 1732 3 1
L H
x x x
xx x
x xx
34 43 12 124
4 1 1 1 1 1
3 2 3 8 2412 16 3 2 3 2
4
1
2 17 1lim
243 1 2x
x
x
5) 3 31
1 ln 1 1 ln1 1 1 0 0lim
3 2 1 3 1 2 1 3 2 0x
x x
x x
'
3 2 21 1
1 11 1
1 ln 01lim lim3 2 3 3 3 1 3 0
L H
x x
x x x
x x x
' 2 2
1
1 111lim
6 6 1 6
L H
x
x
x
31
1 ln 1lim
3 2 6x
x x
x x
6) 3 3
lim . .5 4 5 4 5
x
xxf i
'3 3 ln3 3 ln3 3 ln3 ln3lim lim lim lim 0 0
5 4 4 ln 4 4 ln 4 4 ln 4 ln 4
xx x xL H
x x xx x x x
3lim 0
5 4
x
xx
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
42
7) 33
1
1 1 1 1 1 0lim . .
2 2 03 2 1 3 2x
xf i
x
3 3 2'
33 21 1 1
1
1 2 3 2 1 3 2 4 43lim lim lim
1 3 33 2 3 132 3
L H
x x x
x xx
x xx
3
1
1 4lim
33 2x
x
x
8)
2 20
cos 0 cos 0 0 0 0 0lim . .
0 0 0x
x x sen x senf i
x
'
20 0 0
1 cos coscos cos coslim lim lim
2 2
L H
x x x
x x sen x xx x sen x x xsen x x
x x x
0
limx
x
2
sen x
x
0
0 0lim = =0
2 2 2x
sen x sen
2
0
coslim 0 x
x x sen x
x
9) 1 1
0lim 2 1 1 2 1 1 1 0 . .x
xx e e e f i
1 11 01 1 1 0
lim 2 1 1 lim . .1 1 1 0
2 1 2 1
xx
x x
e e ex e f i
x
11
12
2` 2
2
2 2
1
2 1lim lim lim
1 2 22
2 1 2 1
xx
xL H
x x x
eee xx x
x
x x
11 2
2
2
4 4 1lim lim
2
xx
x x
e xe x x
x
2
2
4 14
2
x x
x
1
2
4 14
lim2
x
x
ex x
1
e
0
44
0
2
1
0
04 42
2 2 2
e
1
lim 2 1 1 2x
xx e
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
43
10) 2
lim 2 ln 2 2 2 ln 2 2 0 ln 0 0 . .x
x x f i
'
2 2 2
2
1ln 2 2lim 2 ln 2 lim lim
1 1
2 2
L H
x x x
x xx x
x x
2
1
2limx
x
1 1
2 2x x
2 2
1lim lim 2 (2 2) 0
1
2
x xx
x
2
lim 2 ln 2 0x
x x
11) 2
lim 2 tan tan 0 . .2 2 2x
x x f i
Calculo en radianes: RAD
'
2
2 2 2 2
1 12lim tan lim lim lim
2 2 cot cot csc
L H
x x x x
x
x x xx x x
2 2
2 22
1lim lim s 1
1 2
sx x
en x sen
en x
2
lim tan 12x
x x
12) 2 0 2
0 0lim 1 ln lim 1 ln 0 0 . .x
x xe x e f i
2 2
2
0 0
0
ln ln 0lim 1 ln lim .
1 1
1 1
x
x x
x
xe x f i
e e
2'
0
1
limL H
x
x
2 x
2
0 0
2 2
22 1 0
lim lim .1 0
1 1
x
x xx xx
x x
ex f ie xe
ee e
0 0
'
0 00
4 1 4 1 0lim 0
1 1 0 1
x xL H
x xx
e e e e
e xe e e
2
0lim 1 ln 0x
xe x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
44
13) 1 1
0
0lim 0 0 0 . .x
xxe e e f i
1 11 0
0 0lim lim . .
1 1
0
xx
x x
e exe f i
x
1
1
2'
0 0
1
lim lim1
x
x L H
x x
ee x
x
2
1
x
1
0lim x
xe
Si .
11
0
0lim x
xe e e
Si
11
0
0lim 0x
xe e e
Entonces 1
0lim No existex
xe
1
0lim No existex
xxe
14) 2 2
1 1
2 2 0
0lim 0 0 0 0 0x
xx e e e
15) 00
1 1 1 1 1 1 1 1lim . .
1 1 0 1 1 0 0 0xxf i
e x e
0
00 0 0
11 1 1 0 1 0 1 1 0lim lim lim . .
1 0 1 1 01 1 0 1
x x
x x xx x x
x e x e ef i
e x x e x e e
0'
0 00
1 1 1 1 0lim . .
1 1 0 01 1 0
xL H
x xx
e ef i
e xe e e
'
0 0 0lim lim lim
2
x x xL H
x x x x xx x x
e e e
e e xe e xe
xe (2 )x 0
1 1 1lim
(2 ) 2 0 2x x
16) 1
1 1 1 1 1lim . .
1 ln 1 1 ln1 0 0x
xf i
x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
45
2 2
1 1 1
1 ln ( 1) ln ln1 1 1 0lim lim lim
1 ln ( 1) ln ( 1) ln (1 1) ln1 0x x x
x x x x x x x
x x x x x x
2
'
1 1
1 212 1
lim lim1
ln
L H
x x
x xx
xxx
xx
ln 1x x
x
2
1
1 2 1 2 1 0lim
ln 1 ln1 1 1 0x
x x
x x
'
1
4 1 4 1 3lim
1 1 21 1
1
L H
x
x
x
1
1 3lim
1 ln 2x
x
x x
17) 1 1
lim . .x
xxe x e f i
1 1 1
0lim lim 1 1 1 1 1 0x x
x xxe x x e e e
1 1
01 1 1 1 1 0lim
1 1 0 0 0
x
x
e e e
x
1
2'
1
lim
x
L H
x
ex
2
1
x
1 1
0lim 1x
xe e e
1
lim 1 x
xxe x
Ejercicios. Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método de L’Hopital
1) 2
0
ln(1 ) 1lim
x
x
e x
x
2) 20
cos(2 ) cos(3 )limx
x x
x
3) 1
1 ln
1 cos( )limx
x x
x
4) 2
20
cos 2cos 1limx
x x
x xsenx
5) 0
2lim
2cos(2 ) 2
x x
x
e e
x
6) 0
1 2lim
1 cos( )x x x
7) 20
4 2
1 coslimx x x
8) 0
1 1lim
1xx x e
9) 1
1lim
1 lnx
x
x x
10) 1
( 1)
ln(2 1)limx
sen x
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
46
11) 0
ln(1 )limx
x senx
xsenx
12) 1
2 2lim x
xx e x
13) ( )
0lim sen x
xx
14)
2
1lim (2 1)x x
x
15)
1
2
2lim
2
x
x
x
16) 2
2lim
1
x
xx
x e
e
17)
1
3
3lim
3
x
x
x
18)
1
( )lim x x
xe x
PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO
Definición: La derivada f´(a) es la razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x si x =a
En un problema de razones de cambio relacionadas, el propósito es calcular la razón de cambio de
una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad (la cual podría medirse más
fácilmente). El procediendo consiste en obtener una función que relacione las dos cantidades y
luego aplicar derivación implícita para diferenciar ambos miembros de la ecuación planteada con
respecto al tiempo t. Estos problemas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:
1. Leer el problema cuidadosamente 2. Realizar una ilustración, de ser posible, de la situación planteada. 3. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo. 4. Identificar las razones y los datos que se conocen, así como la razón que se busca. 5. Escribir una fórmula o ecuación que relacione las variables. De ser posible, trabajar con
una sola variable. 6. Derivar la ecuación encontrada
Ejemplo.
1. En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondas circulares. El radio rdel círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 3 dm por segundo. Cuando el radio es 8.5 dm, ¿a qué ritmo está cambiando el área A de la región circular?
Para resolver el problema, después de leer y comprender el problema
Se realiza un diagrama que exprese el problema
Se está hablando del área del círculo es decir 2A r
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
47
Los datos dados son: 3 /dr
dm segdt
. Se desea conocer ? si r =8.5dmdA
dt
2 2 , 2 (8.5)(3) =51dA dr dA
Si A r r sustituyendodt dt dt
Por lo tanto el ritmo de cambio del área del lago es de 251 dm / seg
2. A un depósito cilíndrico (de base circular) de 50 dm de radio, le está entrando agua a razón
de 25 . Calcular la velocidad con que varía la altura del agua dentro del cilindro.
Igualmente se comprende el problema y se realiza un dibujo
El volumen del cilindro es 2
baseV A h V r h
Sabiendo que r = 50 dm y 325 /dV
dm segdt
, ?dh
dt
22 50 2500
derivando la fórmula 2500 sustituyendo
1y sustituyendo 25 = 2500
100
baseV A h V r h V h h
dV dh
dt dt
dh dh
dt dt
La altura del agua dentro del cilindro varía a una razón de 1
/100
dm seg
Ejercicios 1) Sean x y y dos funciones derivables relacionadas por la ecuación y = x2 + 5.
Calcular dy para x = 2 sabiendo que dx = 5 dt dt
2) Se deja caer una piedra en un lago en calma provocando ondas y círculos. El radio del círculo exterior crece a un ritmo constante de 1 pie/seg. Cuando el radio es 5 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área de la región circular perturbada?
3) El área de un círculo está cambiando a razón de 12cm2/min. Calcule el ritmo de cambio del radio cuando a) r = 2 cm b) . r = 14 dm
4) Las caras de un plato de metal se dilata con el calor a razón de 0.2cm2/seg, Cuando el diámetro del mismo es 12 cm, cuál es la razón de cambio del radio?
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
48
5) Un incendio que comenzó en un terreno seco se extiende formando un círculo. El radio del círculo crece a razón de 1.8 m/min. Calcule la rapidez con que crece el área del círculo cuando el radio es 45 m.
6) Se bombea aire en el interior de un globo esférico a razón de 8.5 pulg3/min. Calcular el ritmo de cambio del radio cuando el radio es 5 pulgadas.
7) Si el volumen de un globo esférico aumenta a razón de 100cm3/seg, con qué rapidez crece el radio si el diámetro es 50 cm.
8) Se inyecta aire a un globo esferico a razón de 20 pies3/min. A que razón varia el radio cuando éste mide 3 pies
9) En un cono invertido, la altura h cambia a razón de -0.5 pies/seg y el radio a razón de -0.2 pies/seg. Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio es r = 1 pie y la altura h = 2 pies
10) En un cono invertido, la altura h cambia a razón de 2.3 pies/seg y el radio a razón de 5.2 pies/seg. Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio es r = 3 pie y la altura h = 6 pies
11) Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido con radio de la base igual a 3m y 6m de altura. Si se le bombea agua con un gasto de 2 m3/min, calcule la velocidad con qué sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza 4 metros
12) Una escalera de 12 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 1.5pie/seg, con qué velocidad se desliza el extremo superior por el muro, cuando el extremo inferior está a 7 pies de la pared?
13) Una escalera de 18 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 3pies/seg, con qué velocidad se desliza el extremo superior por el muro, cuando el extremo inferior está a 8.2 pies de la pared?
14) La altura de un triángulo aumenta con una velocidad de 1 cm/min, mientras que su área lo hace a una velocidad de 2 cm2/min. Con qué velocidad aumenta la base del triángulo cuando la altura es 10 cm y el área es 100 cm2
15) Un automóvil a viaja hacia el oeste a 50 millas /hora y otro automovil B viaja hacia el norte a 60 millas/hora. Ambos automóviles van hacia la intersección C de los caminos. A qué velocidad se aproximan los autos entre sí cuando A se encuentra a 0.3 millas y B a 0.4 millas de la intersección.
16) Un corredor que trota a razón constante de 9Km/h pasa por un punto P hacia el norte. Diez minutos más tarde una mujer que trota hacia el este a razón constante de 10 km/h
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
49
pasa por el mismo punto. Cuán rápido varia la distancia entre los corredores veinte minutos después de que la mujer pasa por P? (Recuerde d = v . t)
17) Un corredor que trota a razón constante de 8.3Km/h pasa por un punto M hacia el sur. Veinte minutos más tarde una mujer que trota a razón constante de 9.5 km/h pasa por el mismo punto hacia el oeste . Cuán rápido varia la distancia entre los corredores veinte minutos después de que la mujer pasa por M.
18) Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por un radar situado a 3 millas del sitio de lanzamiento. Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en el que su distancia a la estación de radar es 5 millas y su distancia aumenta a razón de 5000 mill/hora
19) Un hombre de 6 pies de altura camina con una velocidad de 8 pies/seg alejándose de una luz callejera al tope de un poste de 18 pies. Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra sobre el suelo cuando él está a 100pies del poste de luz
20) Una persona camina en línea recta a razón de 4pies/seg. En el piso a 20 pies de distancia del camino (formando ángulo resto con el suelo) hay un faro que se mantiene dirigido hacia el caminante. A qué velocidad gira el faro cuando el sujeto se encuentra a 15 pies del punto del camino más cercano al faro?
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Otra aplicación de la derivada son los problemas de máximos y mínimos. Para resolverlos en forma similar a los problemas anteriores se debe:
1. Leer el problema, tratar de entenderlo y de poderse, realizar un dibujo 2. Identificar los datos que se dan y Anotar los datos que se dan . 3. Escribir una fórmula que relacione los datos anteriores para optimizar basada en los datos
brindados Trabajar con el menor número de variables utilizando los datos brindados 4. Derivar la fórmula anterior, igualarla a cero para encontrar los valores críticos 5. Encontrar la segunda derivada y sustituir los valores críticos para determinar si son máximos o
mínimos con criterio de la segunda derivada. (Recordar que si el resultado es positivo, existe un mínimo y si el resultado es negativo hay un máximo en ese valor crítico). Para encontrar el punto (x,y) se sustituye ese valor encontrado en la función original y ese resultado es el punto (x,y) máximo o mínimo
Ejemplo
1)Se desea encontrar las dimensiones y el costo mínimo de construcción de una caja rectangular
con base cuadrada y sin tapa la cual tiene un volumen de 2.75 de volumen sabiendo que el
costo del metro cuadrado de los lados es de $0.80 y del fondo es de $1.2, además se sabe que el
costo por mano de obra es de $4.
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
50
(paso1) dibujo
X y
X
(paso 2) Sea x la medida del lado del fondo (que es cuadrado)
sea y la medida de la altura de la caja, entonces
2
2
23
= x 2.75x 2.75 y =
=2.75 m
V yy
xV
(paso 3) 2 = (1.20)(x ) (0.80)( )(4) 6C xy entonces sustituyendo “ y ” resulta
2
2
2
2.75( )= (1.20)(x ) (3.20)( ) 6
8.80( )= (1.20)(x ) 6
C x xx
C xx
(paso 4) 3
2 2
8.8 8.8 8.8'( ) 2.4 0 2.4 1.54
2.4C x x x x x
x x ,
así 1.54 es un valor crítico
(paso 5) 3
17.6''( ) 2.4C x
x sustituyendo el valor crítico en la segunda derivada
''(1.54) 0C el costo es mínimo si 1.54x y sustituyendo
2 2
2.75 2.75y = 1.16
(1.54)y
x
Así las dimensiones de la caja que generan un costo mínimo son 1.54x , 1.16y
Entonces el costo mínimo que se pide es 2 8.80= (1.20)(1.54) 6 14.56
1.54C
dólares
2)En una lámina de cartón de dimensiones de 80 cm y 50 cm de lado respectivamente, se desea
recortar en cada esquina un cuadrado de lado x para construir una caja (ver figura) Calcular la
medida del lado x para que el volumen de la caja sea máximo.
Recordar que el volumen de un paralelepípedo de lados x, y, altura z, es V= xyz
3 2
2 2
(80 2 )(50 2 ) = 4x 260 400
10 ´ 12 520 400 0 = 12 520 400
3.33( sec )
V´́ = 24x-520 V´́ (10)<0 el volumen es máximo si la medida de x es 10
V x x x x x
x valor críticoV x x x x
x de har
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
51
3)Una hoja de papel debe tener 18 2cm de texto impreso con márgenes superior e inferior de 2
cm de altura y márgenes laterales de 1.5 cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan
la superficie total del papel
x+3
y +4 1.5
Si x, y, son los lados de la superficie del texto impreso, entonces 18
18xy yx
El área a minimizar es ( 3)( 4)A x y sustituyendo
18 54A=( 3)( 4) A 18 4x 12x
x x
2 2
3 3
54 54`(x) 4 0 4 13.5 13.5 =3.68 es punto crítico
108 108``(x) ``(3.68) 0 área es mínima si x = 3.68, y = 4.89
3.68
A x xx x
A A elx
Y las dimensiones que minimizan el área total son 6.68 cm de largo y 8.89 cm de ancho
Ejercicios.
1) Una caja rectangular de fondo cuadrado y con tapa debe tener un volumen de 200 pulgadas cúbicas. El costo del material de la tapa y la base es de $3 por pulg cuadrada , y el costo del material de los lados es de $ 1.5 por pulg cuadrada . Se quiere encontrar el costo del material para que este sea mínimo
2) Una compañía constructora desea realizar una bodega en un terreno rectangular de 600
de área dejando sin construir un metro a cada uno de los lados de la construcción y atrás y 3 metros en el frente para el estacionamiento. Determine las dimensiones de la bodega para que el área de construcción sea máximo
3) Las páginas de un libro tienen 400 de área con márgenes de 2 cm abajo y a los lados
y 3 cm arriba. Encuentre las dimensiones de la página que permitan la mayor área de
impresión.
4) Encontrar dos números positivos cuya suma sea 60 y cuyo producto sea máximo.
5) Encontrar la utilidad máxima U, sabiendo que el ingreso I(x) = - + 500 x y el costo C(x)
= - 40x (recuerde que Utilidad (U) es igual a Ingreso menos Costos (U=I – C)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
52
6) Un terrero rectangular (que puede ser cuadrado) va a ser cercado con alambre y tiene
500 de área. Encontrar las dimensiones del terreno que requieren la menor cantidad
de alambre para cercar y diga los metros necesarios para poner 3 hilos de alambre a la
cerca.
7) Se desea diseñar una lata de un litro de capacidad que tenga la forma de un cilindro circular. Qué dimensiones utilizaran la menor cantidad de materia prima?
8) Se quiere construir una caja sin tapa cortando cuadrados congruentes de las esquinas de
una hoja de lámina de 12 cm de lado. De qué tamaño deben ser los cuadrados que se
corten las esquinas para que la caja tenga el volumen máximo?
9) Un área rectangular de 1600m2 debe cercarse. En dos lados opuestos se usará un
material que cuesta $2 el metro y en los otros dos lados el material que se utiliza cuesta
$4 el metro. Encuentre las dimensiones del rectángulo de manera que los costos sean
mínimos.
10) Un fabricante quiere diseñar una caja rectangular sin tapa que tenga una base cuadrada y
un área superficial de 110 pulgadas cuadradas. Qué dimensiones producirá una caja con
volumen máximo.
11) Se desea fabricar un recipiente en forma de cilindro circular recto para almacenar un
decímetro cúbico de aceite. Determinar las dimensiones que debe tener el cilindro para
que la cantidad de material utilizada en la fabricación sea mínimo
12) Hallar las dimensiones de una ventana que tenga 20 pies de perímetro y área máxima. La
ventana está formada por un semicírculo a una ventana rectangular ordinaria
Cuadro de variación y trazo de gráficas
Otra aplicación de las derivadas es el de trazar la gráfica de una función. Para realizar el cuadro
de variación y el trazo de una función, es necesario definir algunos puntos a utilizar
Definición de asíntota vertical
Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se
dice que la recta x = c en una asíntota vertical de la gráfica de f, es decir si limx c
f x
entonces x=c es asíntota vertical
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
53
Teorema : asíntota vertical
Sean f y g son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c. Si f( c) 0 y g( c ) 0
y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que g (x ) 0 para todo x c del intervalo,
entonces la gráfica de la función está dada por ( )
( )( )
f xh x
g x posee una asíntota vertical en x =c
Definición de asíntota horizontal
La recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x ) si
(
(
Asíntota Oblicua : Dada la función f, se dice que f puede tener asíntota oblicua si
lim x
f x
. La ecuación de la asíntota oblicua es y = mx + b donde lim( )
m x
f x
x y
( )limx
b f x mx
. Lo mismo ocurre si x
Asíntota oblicua en una función racional (sin factores comunes)
Si en una fracción ( )
( )
f x
g x el grado del numerador excede en un grado al grado del denominador,
entonces la gráfica de la función tiene una asíntota oblicua
Definición de números críticos:
Sea f definida en c. Si f’(c) =0 o si f´(x) no está definida en c, se dice que c es un número crítico de
la función f.
Definición de extremos (el máximo y el mínimo son los valores extremos)
Sea f definida en un intervalo I que contiene a c
1) f(c) es el valor mínimo de f en I si f(c) f(x) para todo x IR
2) f(c) es el valor máximo de f en I si f(c) f(x) para todo x IR
Teorema de los valores extremos
Si f es una f continua cerrada en [a,b] entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en
ese intervalo.
Teorema : los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos
Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x = c, c es un número crítico en f.
Estrategia para alcanzar extremos relativos en un intervalo cerrado
1. Hallar los números críticos de f en [a,b] 2. Evaluar cada número crítico en f(x) 3. Evaluar a y b en f(x)
El más grande de todos esos valores es el máximo relativo, el más pequeño es el mínimo relativo
Definición de función creciente y función decreciente
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
54
Dada una función f en un intervalo, si para cualquier par de números (x) e (y) del intervalo, se
cumple que x < y entonces:
1. f es creciente si f(x) < f(y) 2. f es decreciente si f(x) > f(y)
Teorema Criterio de crecimiento y decrecimiento
Sea f una f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)
1. Si f´(x) > 0 para todo x en (a,b), f es creciente en [a,b] 2. Si f´(x) < 0 para todo x en (a,b), f es decreciente en [a,b] 3. Si f´(x) = 0 para todo x en (a,b), f es constante en [a,b]
Estrategia para encontrar los intervalos donde una función es creciente o decreciente
1. Localizar los números críticos de f en (a,b) 2. Evaluar el signo de f´(x) en cada uno de los intervalos que esos números críticos
determinan sobre la recta real 3. Usar el teorema anterior para decidir si la función crece ó decrece
Criterio de la primera derivada
Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo (a,b) que contiene a c. Si f es
derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces f(c) puede clasificarse así:
1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva f(c) es un mínimo relativo 2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativo f(c) es un máximo relativo
Concavidad de una función:
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I, entonces
1. Si f’’(x) > 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
2. Si f’’ (x) < 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.
Punto de inflexión
Si la concavidad cambia de sentido en una gráfica y hay una recta tangente, se dice que ese es un
punto de inflexión
Teorema puntos de inflexión
Si (c, f( c) ) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f, entonces o bien f’’(c ) = 0 o f’’(c )
no está definida en x = c ( no se da la biyección)
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que f´´(c ) = 0, cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que
contiene a c
Si f’’( c) > 0 entonces el punto (c,f (c )) es un mínimo relativo
Si f´´( c) < 0 entonces el punto (c,f (c )) es un máximo relativo
Si f´´( c) = 0 entonces este criterio no existe y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada.
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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55
Estrategia para analizar la gráfica de una función
1. Determinar el dominio 2. Hallar las intersecciones con los ejes 3. Hallar las asíntotas 4. Monotonía. Localizar los valores de la variable donde la primera derivada de la función es
cero o no está definidos, estos son puntos críticos. Con estos resultados estudiar crecimiento y decrecimiento de la función. Se pueden ver en este momento los máximos y mínimos aplicando el criterio de la primera derivada
5. Concavidad. Similar al punto anterior, analizar para la segunda derivada de la función, con estos resultados estudiar posibles puntos de inflexión y concavidad.
6. Encontrar máximos y mínimos con criterio de la segunda derivada (evaluar puntos críticos en la segunda derivada), esto si no se hizo en el punto 4)
7. Hacer cuadro de variación que consiste en recopilar la información encontrada 8. Trazar la gráfica de la función con base en los datos recopilados en el cuadro de variación Recordar que: f es par si f(-x) = f(x) entonces es simétrico respecto al eje
f es impar si f(-x) = -f(x) entonces f es simétrico respecto al origen
Ejemplos I 1) Determine, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua), de la
función: 2 1
( )1
x xm x
x
1.1 Asíntota Vertical
1 0 1x x es asíntota vertical
2
1 1
21
1 1
1lim ( ) lim
1lim ( )
1lim ( ) lim
1
x x
x
x x
x xm x
xm x
x xm x
x
1.2 Asíntota Oblicua: La asíntota es 2y x
1.3 Asíntota Horizontal 2
2
1lim
1
1lim
1
x
x
x x
x
x x
x
no existe asíntotas horizontales
2) Encuentre si existen las ecuaciones de las asíntotas en la función 5 3( ) 2 9s x x x
Asíntota Vertical: no existe Asíntota Oblicua: no existe Asíntota Horizontal: no existe porque
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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56
5 3lim ( 2 9)x
x x
y 5 3lim ( 2 9)
xx x
3) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s vertical (si existe) que posea la
función2
2
4 3h( )
9
x xx
x
2
2
3
3
3
4 3 ( 3)( 1) 1h( ) , 3 0 3 es A.V.
9 ( 3)( 3) 3
1lim
1 2 3lim
13 0lim
3
x
x
x
x x x x xx x x
x x x x
x
x x
xx
x
4) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s horizontal (si existe) que posea la
función ( ) 2 1zs z
lim 2 1
lim 2 1 1 1 es asíntota horizontal
z
z
z
z
no existe asíntota horizontal si x
y
5) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s oblicua (si existe) que posea la función
1
( ) xf x x e
1
lim x
xx e
, por lo tanto hay que buscar la ecuación de la asíntota oblicua que es
una línea recta de la forma y = mx+b 1 1 1
1 1
lim lim 1 1 lim 1 0 1 1
lim lim 1 y=x+1 es la ecuación buscada
x x x
x x x
x x
x x
x e e em m
x x x
b x e x e
6) Encuentre las ecuaciones de las asíntotas que posea la función
3 2
2
2 5h( )
2
x xx
x
(6pts)
Asíntota Vertical: no existe porque 2 2x nunca es cero
Asíntota Horizontal: no existe porque 3 2
2
2 5lim
2x
x x
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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57
Asíntota Oblicua:
3 2
2
2 5
2lim 1x
x x
xmx
3 2
2
2 5lim (1) 2
2x
x xb x
x
por
lo tanto la ecuación de la asíntota oblicua es 2y x
Ejercicios. I Determine en cada función, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua)
2
2
49g( )
9
xx
x
2
2 5( )
( 4)
xr x
x
4 3
3 2
7 9( )
8 4
x xh x
x x
4( ) 7 9 5s x x x
II Considere la función . Encuentre los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo
6 5
( ) 515 20
x xg x x
2
2( )
4 3
xm x
x x
sabiendo que su segunda derivada es
2
3 3
2( 2)( 4 7)''( )
( 1) ( 3)
x x xm x
x x
2
4 12( )
( 2)
xv x
x
sabiendo que su segunda derivada es
4
8( 5)''( )
( 2)
xv x
x
III En cada función determine los intervalos de monotonía (es decir los intervalos en que la función es decreciente y en los que la función es creciente)
2
2
2 3( )
( 1)
x xj x
x
( ) 3ln( )r x x x
3
2
4( )
xf x
x
V Más ejemplos Realice el análisis completo, cuadro de variación y trace la gráfica de la función
3 2( ) 3 3m x x x :
1. Dominio: IR
2.Intersección con los ejes: 0 3 (0,3)
0 ( 0.88,0)(2.53,0)(1.34,0)
x ysi
y
3. Asíntotas: No existen
4. Primera derivada. Valores críticos. Monotonía
2 20
'( ) 3 6 '( ) 0 3 6 02
xf x x x f x x x
x
son valores críticos
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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58
En el intervalo ,0 , '( ) 0f x la función ( )f x es creciente ( en el intervalo
En el intervalo 0,2 , '( ) 0f x la función ( )f x es decreciente ( en el intervalo
En el intervalo 2, , '( ) 0f x la función ( )f x es creciente (
Aquí se nota que en x = 0 hay un máximo relativo
5. Segunda derivada. Posibles puntos de inflexión. Concavidad
''( ) 6 6 ''( ) 0 1 0 1f x x f x x x es posible punto de inflexión
En el intervalo ,0 , ''( ) 0 ( )f x f x la función ( )f x es cóncava hacia abajo en el
intervalo
En el intervalo 0,1 , ''( ) 0f x la función ( )f x es cóncava hacia abajo en el intervalo
En el interval0 1,2 , ''( ) 0 ( )f x f x es cóncava hacia arriba en el intervalo
En el intervalo 2, , ''( ) 0 ( )f x f x es cóncava hacia arriba en el intervalo
6. Máximos y mínimos
Basado en el criterio de la segunda derivada, se evalúa cada valor crítico en la segunda
derivada es decir
si 0 ''(0) 6(0) 6 ''(0) 0x f f en 0x hay un máximo relativo el
cual es (0,3)
si 2 ''(2) 6(2) 6 ''(2) 0x f f en 2x hay un mínimo relativo el
cual es (0, 1)
7. Cuadro de variación
x -0.88 0 1 1.34 2 2.53
f(x) 0 3 1 0 -1 0
f’(x) +
f’’(x)
8. Trazo de la gráfica
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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59
VI. Sea la función 2
4 12( )
( 2)
xg x
x
. Sabiendo que la primera derivada es
3
16 4'( )
( 2)
xg x
x
y
que la segunda derivada es 4
8 40''( )
( 2)
xg x
x
, encuentre.
1) Valores críticos
2) Monotonía (intervalos de crecimiento y de decrecimiento)
3) Posibles puntos de inflexión
4) Concavidad (intervalos donde es cóncava hacia arriba y/o hacia abajo) (6 puntos)
( )min : 2g xDo io D IR
1) Valor crítico: 3 3
16 4 16 4'( ) 0 0 16 4 4
( 2) ( 2)
x xg x x x es valor crítico
x x
2) Monotonía
g`( ) 0 en ,2 ( ) decrece en el intervalo
g`( ) 0 en 2,4 ( ) crece en el intervalo
g`( ) 0 en 4, ( ) decrece en el intervalo
x g x
x g x
x g x
3) Posibles punto de inflexión
4
8 40''( ) 0 8 40 5 inflexión
( 2)
xg x x x es punto de
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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60
4)Concavidad:
g``( ) 0 en ,2 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo
g``( ) 0 en 2,5 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo
g``( ) 0 en 5, ( ) es cóncava hacia ariba en el intervalo
x g x
x g x
x g x
VII: A continuación se presenta el cuadro resumen (cuadro de variación) de la función 4 3( ) 6 8f x x x , el cual falta de completar. Complete el cuadro y realice gráfico de la función
x 0 2/3 1 4/3
3 2(́ ) 24 24f x x x
2´́ ( ) 72 48f x x x +
4 3( ) 6 8f x x x
Solución
0 2/3 1 4/3
3 2(́ ) 24 24f x x x
2´́ ( ) 72 48f x x x +
4 3( ) 6 8f x x x 0 1.63 -2 0
Trazo de la gráfica
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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61
VIII. Más Ejercicios.
Dadas las funciones, realice en cada caso el análisis completo: dominio, intersecciones con los
ejes, asíntotas, intervalos de monotonía y l valores críticos, máximos y mínimos, posibles puntos
de inflexión ,concavidad, cuadro de variación y trazo de gráficas
1) 2 1
( )1
x xf x
x
, sabiendo que
2
2
2 2'( )
( 1)
x xf x
x
y
3
6''( )
( 1)f x
x
,
2) 2
4 12( )
( 2)
xg x
x
, sabiendo que
3
4(4 )'( )
( 2)
xg x
x
y
4
8( 5)''( )
( 2)
xg x
x
3) 3 2
2 3 4
( 3) 6( ) , '( ) , ''( )
( 1) ( 1) ( 1)
x x x xm x m x m x
x x x
4) 3 2
2 3 4
4 ( 2)( 2 4) 24)( ) , si '( ) ''( )
x x x xf x f x y f x
x x x
5) 3 24 3 4y x x 6)
3 2
2
4( )
x xf x
x
7) 2
( )1
xs x
x
8 )
4 3( ) 4l x x x 9)
Otros ejemplos
IX. Dada la siguiente información realice el cuadro resumen y la grafica de f:
: 4,4fD IR lim 1x
f x
4
lim x
f x
4
lim x
f x
: 3,0 3,0x 9: 0,
16y
0: , 4 ; 4,0f x 0: 4,4f x
0: 0,4 ; 4,f x 0: , 4 ; 4,f x
Solución. Tabla Resumen:
-4 -3 0 3 4
f x + _ _ _ _ +
f x + + + _ _ _
f x
1 0 9
16 0 1
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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62
Ahora se traza la grafica de la función a partir de los datos del resumen.
X. Ejemplos
XI. Dada la siguiente información realice el cuadro resumen y la grafica de f:
: 2fD IR lim 1x
f x
2
lim x
f x
3
: 1,0 0,0 ,02
x
: 0,0y 1
22
f
1 1f
1
0 : ,12
f x
0: , 1 ; 0,2f x
1
0 : , ; 1,2 ; 2,2
f x
0: 1,0 ; 2,f x
-1 1
2
0 1
3
2 2
f x _ + + _ _ _ +
f x _ _ + + _ _ _
f x
1 0 -2 0 1 0 1 Ahora se traza la grafica de la función a partir de los datos del resumen.
1
-1 1 2
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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63
IV Integrales o antiderivadas
Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de la función f en un intervalo I si F’(x)
= f(x) para todo x I
Ccosx)senx(x2
1dxxcos19.
Ccosx)senx(x2
1dxxsen18.Csecxdxtanxsecx9.
a
xarctan
a
1
xa
dx17Ccotxdxxcsc8.
Ca
xarcsec
a
1
axx
dx16.Ctanxdxxsec7.
Ca
xarcsen
xa
dx15Csenxdxcosx6.
Ccotxcscxlndxcscx14.Ccosxsenxdx5.
Ctanxsecxlndxsecx13.Cedxe4.
Csenxlndxcotx12.Clna
adxa3.
Csecxlndxtanx11.Cxlndxx
12.
Ccscxdxcotxcscx10.1,nC1n
xdxx
2
2
22
2
22
2
22
xx
xx
1nn.1
Ejemplos. Resolver
1)
5
1 389 5 6x x x dx
Primero se debe expresar la integral de la suma y resta,
como la suma y resta de las integrales así:
I =
5
1 389 5 6x x x dx
=
1x dx
- 9dx +
5
85x dx
-36x dx
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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64
Se resuelve cada una por separado y luego se da la solución final uniendo los resultados
parciales
1 1ln( )dx dxx x c
x
9 9dx x c
5 5 13
8 8 8405 5
13x dx x dx x c
43 3
62
xx dx c
entonces
I=
5 13 41 38 840 3
9 5 6 ln( ) 913 2
xx x x dx x x x c
2) 2
2
1 4sec ( )x e dx
x x x
3
2 2 222
1 4sec ( ) 4 sec ( )
1 8tan( )
I x e dx x dx x dx x dx edxx x x
I x ex cx x
3)
2 2
2
5 2cos 2
cos
x sen xdx
x
2 22 2
2 2 2
2
2 2
5 2 cos 5 2 15 2cos 2=
cos cos cos
3 1 =3 = 3 sec 3tan
cos cos
x sen xx sen xdx dx dx
x x x
dx dx xdx x Cx x
4)5
csc sec
dxx x
2 2
5 5 = 5 cos
1 1csc sec
cos
sea cos
5 55 cos 5 = 5
2 csc sec 2
dx dx senx xdxx x
x senx
u senx du x dx
u sen xsenx xdx udu C dx C
x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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65
5)7 3
1 8x xdx
x
31
72
7 3
3 3 3 3 41 1
7 7 7 7 72 14
113 41 14
7 714
1 8 1 8
8 8
8
x xdx x x x dx
x
x x x x x dx x x x dx
xx dx x dx x dx
3 41 1
7 7
4 11 4 1115 15
7 7 7 714 14
7 715 4 1114
7 3
81 3 4
1 1 114 7 7
14 7 568 =
15 4 11 15 4 11
14 7 7
1 8 14 7 56
15 4 11
x xC
x x x x x xC C
x x x x xdx C
x
Algunas veces no es posible resolver una integral en forma inmediata o directa, por lo que se debe
recorrer a una sustitución, así si se cumple que ( ( ) (́ )f g x g x dx se debe realizar una sustitución
( ) (́ ) , así ( ( ) (́ ) (u)u g x du g x dx f g x g x dx f du . Para aplicar esto se resolverán
las siguientes integrales
6) 34 2
4
2
1
x x
x
edx
x e
. En forma similar a las anteriores se expresa la integral de sumas o/y
restas como las sumas y/o restas de integrales
3 34 42 2
4 4
2 2
1 1
x xx x
x x
e edx dx dx
x e x e
3
34
4 4
4
22
xx
dx x dxx
Esta integral se resuelve por sustitución así:
3 4 44 1212
duu x du x dx x dx
3
3 44 4 1 1 2 2
2 212 12 ln 2 12ln 2
u xx ux dx du c c
(*)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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66
2
1
x
x
edx
e se resuelve también por sustitución
Recordemos que 2
2 .1 1
x x xx x x
x x
e e ee e e dx dx
e e
sea 1 x xu e du e dx , se ve
que 1 xu e , ( 1)
ln( ) 1 ln(1 )1
x xx x
x
e e u dudx du du u u c e e c
e u u
(**) por lo que finalmente la integral
334 2 4
4
2 2(1 ) ln(1 )
1 12ln 2
x x xx x
x
edx e e c
x e
[de (*) y (**)]
7) 2
3 2
1
xdx
x
2
2 2 2 2
3 2 1 23 3arctan ln 1
1 1 1 1
x xdx dx dx dx x x C
x x x x
(La integral 2
1
1dx
xpor fórmula es arctan x c
y la integral 2
2
1
xdx
xse resuelve por sustitución dando 2ln 1 x C )
8) I =
( ) 1 cos 4 tan(4 )
ln xdx
x x x
Nuevamente se debe dividir la integral de la suma y resta como la suma y resta de las integrales:
( ) 1 ( ) 1 cos 4 tan(4 ) cos 4 tan(4 )
ln x ln xdx dx dx
x x x x x x
La integral ( )ln x
dxx se resuelve por sustitución:
22
, ln( ) ( )
ln( ) ( )
2 2
dxsea u x derivando du
x
xln x udx udu c c
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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67
. La integral
1 1
4cos 4 tan(4 )cos 4
cos 4
dx dxsen xx x
xx
ln cosec(4 cot (4 )cosec
cos 4
cos(4
4 4)
44
x
x sen x
x an xdxdx x dx
nc
se x
Así
( ) 1 cos 4 tan(4 )
ln xdx
x x x
=
2
ln( )
2
x +
ln cosec(4 cot (4 )
4
x an xc
9) 37 4 1x x dx
37 4 4 4 3 3
1 4 1
33 4 4 3 3 3 3
7 4 7 44 43 33 37 43 3
37 4
1 1 1 44
1 11 = 1 = 1
4 4 4
3 1 3 11 3 31
7 44 28 16 28 16
3 3
dux x dx u x u x du x dx x dx
dux x x dx u u u u du u u du
x xu u u uC C x x dx
10) 2
2
4 5
xdx
x x
2
2
2
2 2
2 sea 4 5 2 4 2 2 2
4 5 2
2 1 1 2 12 = = = ln ln 4 54 5 2 2 4 5 2
x dudx u x x du x dx du x dx x dx
x x
dux du x
dx u C dx x x Cx x u u x x
11) sen x
dxx
1 1 sea 2
2
2 2 2cos 2cos
sen xdx u x du dx du dx
x x x
sen xsen u du sen u du u C dx x C
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
68
12) 2
3 2
2
3 1
x xdx
x x
3 22
3 2 2 2 2
23 2
3 2
3 1 2
3 1 3 6 3 2 2
3
1 1 1 2 13 ln ln 3 13 3 3 1 3
u x xx x
dx dux x du x x dx du x x dx x x dx
du
x xdu u C dx x x C
u u x x
13) 1
1
zdz
z
1 11 2 1 1
1
2 2 1 1 2 ln 1 2ln 1
1
uz udz u z u z du dz du du
z u u
u zdu du u u C dz z z C
u u u z
14) 3
2
3 2 3
1
p pdp
p
3 2 2 3
3 2 2 2
22
2 2
3 0 2 3 0 1 3 2 3 3 3
3 0 3 1 13
3
3 3 13 ln 1 3arctan
1 1 2 2
p p p p p p p pdp p dp
p p p p pp
p
p pp dp p p C
p p
15) 3 24 10 6 13
2 5
k k kdk
k
3 2
23 2
3 2 32
4 10 6 13 2 5
2 34 10
6 13
6 15
2
4 10 6 13 2 22 3 3 ln 2 5
2 5 2 5 3
k k k k
kk k
k
k
k k k kdk k dk k k C
k k
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
69
Ejercicios. Resuelva cada una de las siguientes integrales
1. (5 ( ) 5 8 )sen x x dx
2. 3(5cos 4 )x x dx
3. dxee xx
32
4. 7
34 (2 5)x x x dx
5. dxx
x )1
11(
2
2
6. 2
95ln( )
3 ( )x
x x sen x dxx
7. 2 7 2x ee e x dx
8. 2
2 9x x dx
9. (5 3)log(2) 3cos(2 ) xx e dx
10.
3
4
2
3 x xdx
x
11.
(ln )cos(ln )sen x xdx
x
12. 8
4 5
2 5
1 4
x
x
e xdx
e x x
13. dxx
e x
14
14
14. dx
x 6 x
7 -
15.
2 - 9x + 3
2x - 9
xdx
16. 2
2
ln(1 )
( 1)
x xdx
x
17. cos
tan sec1
xx x dx
senx
18. 2
1 4
2 3
xdx
x x
19. 2
1 2 4
4 3
x xe dx
x xx
20. 4
5
8 1
ln1
xdx
x xx
21. dxe
ex
x
2
2
91
22. 2 3 4
95 8
kdk
k k
23. (2 ) cos(2 ) 9sen x x x dx
24. 4 4x xe e dx
25.6( 1)cos ( 1)sen z z dz
26. 23 43
tan( ) ( 4)5
z z z dz
27.22 4
75
xx dx
x
28. sec tan cs tanx x cx x dx
29. 2
ln(2 )1
x
x
ee dx
e
30.
( )22 cos( )
3
sen xxx dx
x
31. 2
[3 5 2 2 ] x tan x dx
32. cos
2
1[
9
se sen ss d
s
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
70
33.∫( √ + 7) dx
34. 3
3 5 2
2 15 1 5
5 1
u udu
u u u
35.
2 1 log
2 1
p pedp
pp
36. 2 4
u
u
edu
e
37. 2
4 6
3 7
xdx
x x
38.
94 23 3 4x x dx
39.ln 4(5 cos )senx x e dx
40. ln
2
2tan
41 4
xedx
xx
41. tan(3 )sec(3 )x x dx
42.3
tan 2 9 5
6
3sec 9
1 3
xx
xe x dx
43.3
tan 2
6
2csc 2
1
xco x
x
ee x dx
e
44.2
ln 2
2
2 3 2 1
1
x x xe dx
x x
45. 2
3
4log (18) tan( )
x
x x dxx
46.(3 ) 1
tan(3 ) (3 ) tan(3 )
sen sds
s sen s s
47.1 1
1 csc5 tan 5cos
tan
drr r
rr
48.3 2
2 cos3 2
xe senxdx
xx
49. 4
5 202 3 ( 9)
k kdk
k k
50. 1
tan(5 )4
ss ds
s
51. 4 3
3
5 2 4 5
3 2 3
r rdr
r r x
52. 2 4 5 7
2 1
m mdm
m m
53. 3
2
22 sec (2 )
5
y y ydy
y
54.22 3 4 cos(4 )
(4 )3 2
z z
z
zdz
senz
55. 2
7 9 2 3
3 4 3 5
a ada
a a a
56. 2 4
5 2
2 ( 3) 5
mdm
m m
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
71
57. 2
24sec ln
1
x
x
ex e dx
e
58.2
3 2 2
3 4 5 1 1
2 5 ln(3) 2
x xdx
x x x x x
Respuesta a algunos de los ejercicios anteriores
21)R : 5cos(x) 5 4x x c
42)R:5sen(x)-x +c
2
13)R: +3e +c
2
x
xe
5 24 34 8 729
4) R:4 4- -9x + 54 - +c5 2
x xx
3
5)R: + x +arctan(x) + c 3
x
103 295
9 ln ( )6) R: 5x + - -cos(x) + c
10 2
x x
3
22 2
7) R: e x+ 7e -2 x + +c 3
x e x
7 532 22
8 728) R: - +54x + c
7 5
x x
5 33 (2 )
9) R: 2x - + + c2 5
xsen x e
2sen (ln(x)) 11) R: + c
2
94
4 5ln 1 2512) R: 2ln 4
4 4 9
xx ee x
x c
4 1
13) R: 2
xec
1314) R: x -
6c
x
215) R: ln/x -9x+3/ + c
2 2ln (1 )16) R: + c
4
x
17) R: -ln/1-sen(x)/ + sec(x) + c
Integración por partes
Algunas integrales contienen un producto y/ cociente y en numerosas ocasiones es posible
resolverlas utilizando este método. El método de partes se basa en la derivada de un producto, así
´
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´uv u v v u uv dx u vdx uv dx uv u vdx uv dx uv dx uv u vdx
Para escoger quien será la función “u” en la integral se puede utilizar la letra “LIATE” en ese orden:
L= Logaritmica, I=inversas, A = algebraica, T = trigonométrica, E = exponencial. Ejemplos
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
72
1) ( )
u =x du=dx, dv= ( ) cos( )
( )
( ) x cos( ) cos( ) x cos( ) ( )
xsen x dx
sea sen x dx v x
xsen x dx uv vdu
xsen x dx x x dx x sen x C
2)
u =x du=dx, dv =e dv e =e
x
x x x
x
x x x x x
xe dx
sea dx v
xe dx uv vdu
xe dx xe e dx xe e C
3) 4ln(5 ) 4 ln(5 )
dx u =ln(5 ) du= , dv=
ln(5 )
dx4 ln(5 ) 4 xln(5 ) 4xln(5 ) 4
x dx x dx
sea x dx v xx
x dx uv vdu
x dx x x x x Cx
2
2
2
2
2
4) ( )
dx u =arcsen(x) du= , dv =dx dv =
1
( )
dx( ) arcsen(x)
1
dx se resuelve por sustitución
1
u =1-x du=-2xdx2
dx 1
21
arcsen x dx
sea dx v xx
arcsen x dx uv vdu
arcsen x dx x xx
xx
dusea xdx
dux
ux
1 1
22 2
2
1 12 1-x
2 2
( ) arcsen(x)+ 1-x
u du u C C
arcsen x dx x C
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
73
2 3
32 3 3
2 3
3 3 2 32 3 2 3
3
33 3
3
3
5)
e u =x du=2xdx, dv =e dv e =
3
e e e 2 2 e
3 3 3 3
e
e u =x du=dx, dv =e dv e =
3
x
xx x
x
x x xx x
x
xx x
x
x
x e dx
sea dx dx v
x e dx uv vdu
xx e dx x xdx x dx
Para x dx
sea dx v
xe dx uv vdu
xe
3 3
3 3
2 3 32 3 3
e e
3 9
e 2 e
3 3 9
x xx x
x xx x
dx xe dx xe C
xx e dx xe C
76) 7
u =x du=dx, dv =e dv e =-e
7
x
x
x x x
x
x x x x x
xdx xe dx
e
sea dx dx v
xe dx uv vdu
xe dx xe e dx xe e C
Ejercicios
3
2
2
1) 2 2) ( )
3) cos( ) 4) arccos( )
5) ln( ) 6) ln ( )
7) 8)( )
xxe dx arcsen x dx
x x dx x x dx
x x dx x dx
xdx
sen x
4
2
(3 5)
ln( )9) 10) 3 (3 )
xx e dx
xdx xsen x dx
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
74
ANEXOS
Áreas de algunas figuras geométricas
Volúmen y áreas de algunas figuras geométricas
Larson, Ron. Hoestetler, Robert. Edwards, Bruce. Cálculo. Octava edición. Mc.Graw-Hill Interamericana
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
75
RECOPILACIÓN DE EXÁMENES
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
76
I cuatrimestre 2013 Cálculo I sábado 09 de febrero del 2013 Primer Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .
1. Dada la función h(x), determine
(f)2
lim ( )x
h x
(6 puntos)
2. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
a) 1
log( 1)lim
1z
z
z
(4 puntos)
b) 3
32
7 22lim
6 2 4x
x x
x x
(6 puntos)
c) 3 6
1 23lim x
xx
(7 puntos)
d)
3 3 27 25 1lim
2n
n n n
n
(7 puntos)
3. Sea g x una función continua definida por:
( 1) 3
ln( ) 1 1
( ) 3( ) 1 0
1 10
x
x six
g x e x x si x
xsix
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
77
II cuatrimestre 2013 cálculo I sábado 08 de junio del 2013
Primer Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos
1) Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
2.1)
3
0
3 2 5lim
log( 1)x
x x
x
(4 ptos)
2.2)
2
2
2lim
3 7x
x x
x
(7 ptos)
2.3)
2 2
2
2lim
2 2x a
a ax x
xa x a x
(7 ptos)
2.4)
2 23 4 3 7lim
5x
x x x
x
(6 ptos)
2) Considere la función s(x) definida por:
2 3 1( )
2 4 1
k x si xs x
kx si x
Determine para que valores de k ( k IR), la función dada es continua en x=1 (10 puntos)
3) Dada la función f(x), determine los límites (6 puntos)
25
1 4
1) lim ( ) 2) lim ( ) 3) lim ( )
4) lim ( ) 5) lim ( )
x xx
x x
f x f x f x
f x f x
6) lim ( )
xf x
Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales (10 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
78
II cuatrimestre Cálculo I sábado 06 de julio 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 42pts Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .
Indicaciones generales:
1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, 2. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 3. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las
relativas a la redacción de los enunciados. 4. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. 5. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron
obtener la respuesta en cada ejercicio. 6. No se permite el uso de calculadora programable. 7. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte. Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones.
1.
35 4 6 log( )
cot( )
x
x
x xy x x
e x
(8 pts)
2. 4 4( ) ct (5 2ln ) tan ( )xm x ar an x x xe (9 pts)
3. 2( 3 ) cos(4 ) 5xe y sen x y y (9 pts)
II Parte. Encuentre la segunda derivada de la función 3( ) (5 8)s z sen z (8 pts)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
79
III Parte. Considere la función 5 ( 1)4 xy x e .
Calcule la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa 1
(5 pts)
Calcule la ecuación de la línea recta normal a la curva dada en el punto cuya abscisa (3 pts)
III cuatrimestre 2013 Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N Puntaje: 40pts.
Sábado 05 de octubre del 2013 Primer Examen Parcial Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Indicaciones generales:
8. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada,
9. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector
pierde el derecho a reclamos.
10. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a
la redacción de los enunciados.
11. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba.
12. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron obtener la
respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.
13. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte. Dada la función f(x), determine los siguiente límites (vale 6 puntos)
1)
0limx
f x 2)
3
limx
f x 3) lim
xf x
4)
2limx
f x 5)
2
limx
f x 6) 5
lim ( )x
f x
II Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
80
1) 2
0
(3 1)lim
4 ln(2 1)
a
a
a e
a a
(4 puntos)
2) 3 2
32
2 6 24 8lim
8x
x x x
x
(6 puntos)
3) 44 3 2 1 1
lim2 1x
x x
x
(7 puntos)
4) 23
12 3lim
1 7x
x
x x
(9 puntos)
III Parte Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales. Es g(x) una
función continua en x=-2 y x = 3? (8 puntos)
2
5 si x -2
( ) 4ax+b si -2< x < 3
7x si x 3
x
g x
I cuatrimestre 2013 Segundo Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos Cálculo I sábado 09 de marzo del 2013
I Parte Considere cada función y encuentre la derivada y´
1) 3
3
4
15 ( ) 3 ln( )xy arcsen x x x
x
2) 4sec( ) 3
ln( 2 )5e
x xy x
x
3) 2 3cos( ) ln 5xy e x
4) 3 454arctan(5 2) ( 4 )x xy x sen x e
5) 2 5 7 34 2 3 3 cos(2 )x y x y x y
6) Considere la curva definida por f(x) = xsen(x) + 5x
6.1) Determinar la ecuación de la línea recta tangente a f(x) en el punto cuya abscisa es0 6.2) Determinar la ecuación de la línea recta normal a f(x) en el punto cuya abscisa es0
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
81
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 02 de noviembre del 2013 Segundo Examen Parcial Puntaje: 45pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Indicaciones generales:
14. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, 15. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con
lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 16. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios,
sólo las relativas a la redacción de los enunciados. 17. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. 18. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le
permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.
19. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte.
Considere cada expresión y encuentre la primera derivada
1) 52( ) log ( 1) 2 csc 2 ( )x e xm x e x x ex e sen ex (9 ptos)
2) 37 ln(arctan(5 ))tan ln 4 2 +9 ry r (9 ptos)
3)
2 4 5( ) arc 3 )v
f v v e sen v v
(9 ptos)
II Parte.
Verifique que si 2
5
3y
x
entonces la segunda derivada
2
32
30( 1)´́
3
xy
x
(9 ptos)
III Parte
Determine las ecuaciones de las líneas rectas tangente a la curva 2 23 5x xy y en el
punto donde la ordenada es 1. (9 ptos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
82
Cálculo I I cuatrimestre 2013 Tercer Parcial Sábado 6 de abril
Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2:15 hrs.
Indicaciones generales:
1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos.
2. No se responden preguntas relativas a la solución de los ejercicios, solo las relativas a la redacción de los enunciados.
3. No se permite abandonar el recinto de examen salvo que dé por terminada la prueba.
4. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. Por lo tanto NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas.
I Parte. Determine, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua), de la
función 2 1
( )1
x xm x
x
(necesita realizar todos los cálculo) (vale 5 puntos)
II Parte. Aplique la regla de L’Hopital para calcular cada límite (no olvide indicar la
indeterminación en cada caso)
1) 2
0
ln(1 ) 1lim
x
x
e x
x
(5 puntos)
2) 0
1 2lim
1 cos( )x x x
(6 puntos)
3)
2
1lim (2 1)x x
x
(7 puntos)
III Parte. Realice el análisis completo, cuadro de variación y trace la gráfica de la función3 2( ) 3 3f x x x (17 puntos)
Cálculo I sábado 27 de julio 2013 II cuatrimestre Tercer Examen Parcial Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .
Indicaciones generales:
Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos.
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
83
Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.
Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte Considere la función 3
2
2 3 5( )
6
x xs x
x
. Encuentre todas las asíntotas de la
función ( )s x , si las posee, realizando todos los cálculos necesarios. (6 pts)
II Parte. Resuelva utilizando L’Hópital cada uno de los siguientes límites. No
olvide establecer la indefinición
1. 2 2
20lim
cos ( )
x x
x
e e
x x
(6 pts)
2. 0
1 1lim
ln( 1)x x x
(9 pts)
3.
1
3
3lim
3
x
x
x
(7 pts)
III Parte. Sea la función 4 3( ) 4g x x x . Establezca los posibles puntos de
inflexión y los intervalos, si existen, en los cuales la función ( )g x es cóncava
hacia arriba y los intervalos, si existen, donde ( )g x es cóncava hacia abajo (7 pts)
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Sábado 23 de noviembre de 2013
Tercer Examen Parcial puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Indicaciones generales:
I Parte. Resuelva utilizando L’Hopital cada uno de los siguientes límites. No olvide
establecer la indefinición
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
84
1.
2 4
20
cos(3 )lim
2 ( )
x
x
e x
x sen x
(8 puntos)
2. 0
1 1lim
ln( 1)x x x
(8 puntos)
3. 1
ln( )lim 1 x
xx
(8 puntos)
II Parte
Considere la función 2
2
( 5) 1( )
2
x xs x
x x
. Encuentre las ecuaciones de todas las
asíntotas de la función ( )s x , realizando todos los cálculos necesarios. (8 puntos)
III Parte. Resuelva el siguiente problema.
Un recipiente de base rectangular para almacenamiento y con la parte superior abierta,
debe tener un volumen de 16 . En su base, el largo es el doble del ancho. Encuentre
las dimensiones (largo, ancho, alto) que minimizan el área.Recuerde: V l a h ; A=
+ (8 puntos
Cálculo I , I cuatrimestre 2013, IV examen parcial Puntaje: 40 pts
Indicaciones generales:
1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos.
2. No se responden preguntas relativas a la solución de los ejercicios, solo las relativas a la redacción de los enunciados.
3. No se permite abandonar el recinto de examen salvo que dé por terminada la prueba.
4. En el cuaderno de examen, único medio en el cual se realiza el examen, deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio.
5. NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas o de integrales
I Parte. Resuelva el siguiente problema
Encontrar la Utilidad máxima U, sabiendo que el Ingreso I es 2 500x y el costo C es 2 40x x .
Recuerde que U = I – C (8 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
85
II Parte. Resuelva cada integral.
1)
2
212 4 tan( )x xe x dx
x
(8 puntos)
2) 2(ln( )) 1
dx 1
sen x x
x x
(8 puntos)
3) 3 2 4 2x x x x dx (8 puntos)
4) 2 1 cosxxe x senx dx (8 puntos)
Cálculo I sábado 24 de agosto 2013 II cuatrimestre Cuarto Examen Parcial Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Indicaciones generales:
Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.
Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte Resuelva el siguiente problema de optimización. Vale 8 puntos
En una lámina de cartón de dimensiones de 60 cm y 50 cm de lado respectivamente, se
desea recortar en cada esquina un cuadrado de lado x para construir una caja (ver figura)
Calcular la medida del lado x para que el volumen de la caja sea máximo.
Recordar que el volumen de un paralelepípedo de lados x, y, altura z, es xyz
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
86
II Parte Resuelva cada una de las siguiente integrales
1) 2
2
1 4sec ( )x e dx
x x x
Vale 8 puntos
2)
44 4
2tan( )
1
xx x
x
ee e dx
e
Vale 8 puntos
3) 3 2 4
3 4
xx x dx
x
Vale 8 puntos
III Parte. Considere los siguientes datos respecto a la función g(x), realice completo el
cuadro de variación y dibuje la gráfica de la función g(x) Vale 8 puntos
( ) : 1g xD IR ; (1) 3; g(5)= -3; g(7)= -1;g lim ( ) 0x
g x
; 1
lim ( )x
g x
Intersección con eje x: 0.5,0 y 3,0 Intersección con eje y: 0,2
intervalo g(x) g´(x) g´´(x)
, 1
1,1
1,3
3,5
5,7
7,
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
87
Cálculo I III cuatrimestre 2012 IV parcial Puntaje: 50 pts
Tiempo máximo: 2 ½ hrs. Nombre……………………………..……. Carné……. Grupo
Indicaciones generales:
1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos.
2. No se responden preguntas relativas a la solución de los ejercicios, solo las relativas a la redacción de los enunciados.
3. No se permite abandonar el recinto de examen salvo que dé por terminada la prueba.
4. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. Por lo tanto NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas.
1) Resuelva el siguiente problema. Vale 10 puntos
Contiguo a una larga pared recta de cemento se desea cercar un terreno
rectangular, dividiéndolo en tres partes con dos cercas paralelas al lado menor
como se muestra en la figura. Se desea aprovechar la pared de cemento que ya
existe como uno de los lados. Para cercarlo se cuenta con 800 metros de valla
metálica. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea
la mayor posible?
2) Resuelva cada uno de las siguientes integrales (Vale 10 pts c/u) 2.1) ∫ ( (
2.2 ∫ ( ( -
] dx
2.3 ∫( √ + 7) dx
2.4 ∫ ( ( ( ( ]dx
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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88
EXÁMENES RESUELTOS
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
89
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 08 de enero del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 36 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´
SOLUCION I Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
1) 50
log( 1) 2 cos( )lim
1 1
r
r
r r
r
(3 ptos)
0
5 50
log( 1) 2 cos( ) log(0 1) 2 cos(0) 0 1 1 2lim
1 1 01 1 0 1 1
r
r
r r
r
2)
2 2
2 2
2limx a
x ax a
a x
(5 ptos)
2 2 2
2 2
2 ( ) ( )lim lim lim 0
( ) ( )x a x a x a
x ax a x a x a
a x x a x a x a
3) 20
3 2 3lim
2x
x x
x x
(7 ptos )
2 20 0
2 2
2 20 0
0 0
3 2 3 3 2 3 3 2 3lim lim
2 2 3 2 3
3 2 3 3 2 3lim lim
2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 3lim lim
2 3(2 1) 3 2 3 (2 1) 3 2 3
x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x
x x x x x x x
4)
5 5
2
32 15lim
3 16 3x
x x
x x
(7 ptos)
5 5 55 54 55 5 4 5
222 2
1 15 1 152 232 15 2 1
lim lim lim4 2333 16 3
3 43 4x x x
x xx xx x x x
x xxx
xx
II Parte Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales y determine si
g(x) una función continua (8 ptos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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90
2 ( 1)
1 log( ) si x -1
( ) 4( ) +5 si -1 0
1 1 si x > 0
x
x
g x x x x
x
x
2 ( 1)
1
1 1
1
1
x = -1
a) g(-1)=1+log(1)=1
lim 4( ) +5 1b) lim ( ) lim ( ) 1
lim 1 log( ) 1
) g(-1) lim ( )
1= 1 por lo tanto g(x) es continua
x
x
x x
x
x
si
x xg x g x
x
c g x
en x= -1
2 (0 1)
0 0 0
0 0
2 ( 1)
0
x = 0
a) g(0)=4(0 0 ) +5 =0+5=5
1 1 1 1 1 1 1lim lim lim
21 1 1 1b) lim ( ) lim ( )
lim 4( ) +5 5
por lo tanto g(
x x x
x x
x
x
x x x x
x x x x xg x no existe g x
x x
x) es discontinua en x= 0
III. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6 ptos)
2
1. lim 2 4. lim ( ) no existex x
f x f x
30
2. lim 2 5. lim ( ) 0xx
f x f x
0
3. lim 0 6. lim ( ) 0.5xx
f x f x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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91
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tercer Examen Parcial
Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos
Solución I Parte. Desarrolle por L`Hopital cada uno de los siguientes límites:
1. 0
1 cos( ) 3xlim
cos( ) ( )x
x
x x sen x
(5pts)
0 0
1 cos( ) 3x 0 sen( ) 3 3lim ( ` ) lim
cos( ) ( ) 0 cos( ) xsen(x) cos( ) 2x x
x xL H
x x sen x x x
2. 2
3lim 9 ln( 3)x
x x
(7pts)
2 2
3 3 3
2
2 22 2
3 3 3 3
22
ln( 3)lim 9 ln( 3) 0( ) lim 9 ln( 3) lim ( ` )
1
9
19 ( 3)(x 3) ( 3)(x 3)3lim lim lim lim 0
2 2 ( 3) 2 ( 3) 2
9
x x x
x x x x
xx x x x L H
x
x x xxx x x x x x
x
3. 1
2 4
2lim 1 x
xx
(8pts)
1 1
2 4 2 4
2 2 2
2 2
1 12 2 4
2 2 2
1lim 1 1 lim 1 ln lim ln 1 (0)
2 4
ln 11 0lim ln 1 lim `
2 4 2 4 0
1
1 1 11lim lim ln lim 12 2( 1) 2 2
x x
x x x
x x
x
x x x
x y x y xx
xx L H
x x
x y y e x ex
II Parte. 4ª. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s vertical (si existe) que
posea la función
2
2
4 3h( )
9
x xx
x
(3pts)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
92
2
2
3
3
3
4 3 ( 3)( 1) 1h( ) , 3 0 3 es A.V.
9 ( 3)( 3) 3
1lim
1 2 3lim
13 0lim
3
x
x
x
x x x x xx x x
x x x x
x
x x
xx
x
4b. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s horizontal (si existe) que
posea la función ( ) 2 1zs z (3pts)
lim 2 1
lim 2 1 1 1 es asíntota horizontal
z
z
z
zy
4c. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s oblicua (si existe) que posea la
función
1
( ) xf x x e
(4pts)
1
lim x
xx e
, por lo tanto hay que buscar la ecuación de la asíntota oblicua
que es una línea recta de la forma y = mx+b 1 1 1
1 1
lim lim 1 1 lim 1 0 1 1
lim lim 1 y=x+1 es la ecuación buscada
x x x
x x x
x x
x x
x e e em m
x x x
b x e x e
III Parte. Resuelva el siguiente problema
Una hoja de papel debe tener 182cm de texto impreso con márgenes superior e inferior
de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1.5 cm de anchura. Obtener las dimensiones
que minimizan la superficie total del papel (10pts)
x+3
y +4 1.5
Si x, y, son los lados de la superficie del texto impreso, entonces 18
18xy yx
El área a minimizar es ( 3)( 4)A x y
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
93
sustituyendo 18 54
A=( 3)( 4) A 18 4x 12xx x
2 2
3 3
54 54`(x) 4 0 4 13.5 13.5 =3.68 es punto crítico
108 108``(x) ``(3.68) 0 área es mínima si x = 3.68, y = 4.89
3.68
A x xx x
A A elx
Y las dimensiones que minimizan el área total son 6.68 cm de largo y 8.89 cm de ancho
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Cuarto Examen Parcial Puntaje: 35 Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos
SOLUCIÓN
I Parte. Sea la función 2
4 12( )
( 2)
xg x
x
. Sabiendo que la primera derivada es
3
16 4'( )
( 2)
xg x
x
y que la segunda derivada es
4
8 40''( )
( 2)
xg x
x
, encuentre.
5) Valores críticos
6) Monotonía (intervalos de crecimiento y de decrecimiento)
7) Posibles puntos de inflexión
8) Concavidad (intervalos donde es cóncava hacia arriba y/o hacia abajo) (6 puntos)
( )min : 2g xDo io D IR
4) Valor crítico: 3 3
16 4 16 4'( ) 0 0 16 4 4
( 2) ( 2)
x xg x x x es valor crítico
x x
5) Monotonía
g`( ) 0 en ,2 ( ) decrece en el intervalo
g`( ) 0 en 2,4 ( ) crece en el intervalo
g`( ) 0 en 4, ( ) decrece en el intervalo
x g x
x g x
x g x
6) Posibles punto de inflexión
4
8 40''( ) 0 8 40 5 inflexión
( 2)
xg x x x es punto de
x
7) Concavidad:
g``( ) 0 en ,2 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo
g``( ) 0 en 2,5 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo
g``( ) 0 en 5, ( ) es cóncava hacia ariba en el intervalo
x g x
x g x
x g x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
94
II Parte. A continuación se presenta el cuadro resumen (cuadro de variación) de la función
4 3( ) 6 8f x x x , que interseca al eje x en el punto 4
,03
. Complete el cuadro y realice
gráfico de la función (8 puntos)
x 0 2/3 1 4/3
3 2(́ ) 24 24f x x x
2´́ ( ) 72 48f x x x +
4 3( ) 6 8f x x x 0 1.63 -2 0
Gráfico. (8 puntos)
III Parte. Resuelva cada una de las siguientes integrales
1) 35 4 6z z z
dzz
(5 puntos)
1
3 35 5
4 1 325 5
4 6 4 6
4 5 4 ln/ /3
z z z z z zdz dz dz dz dz
z z z z z
dz zz dz z dz dz z z z c
z
2) (ln( ))
log(7)sen r
drr
(4 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
95
(ln( )) (ln( ))log(7) log(7)
(ln( ))
(ln( )) u=ln(r) du= ( ) cos( ) cos(ln( ))
(ln( ))log(7) cos(ln( )) log( )
7
sen r sen rdr dr dr
r r
sen rPara dr
r
dr sen rsea dr sen u du u c r c
r r
sen rdr r r c
r
3) 4( )cos( )sen x x dx (5 puntos)
5 54 4
u=sen(x) du=cos(x) dx
sen (x)( )cos( )
5 5
sea
usen x x dx u du c c
4) 3 42 4
x
x
ex x dx
e
(7 puntos)
3 3
1
21 1
2 21
2
3 11 1 2 22 2
4 42 4 2 4
, u=2 4 442 4
2 41 1 1
4 4 2 22 4
1 1 2 (22 4
4 4 3 1
x x
x x
xx x x
x
xx
x
e ex x dx dx x x dx
e e
e duPara dx sea e du e dx e dx
e
ee dudx u du u C C
e u
u uu du u du C
3
12
2
3
7 4 74 1 43 3 3
3 3 3 3 3
4 )2 4
6
4 sea u=x-4 du=dx, también u+4=x
3 12 3( 4)4 ( 4) 4 3( 4)
7 4 7
xxe
e C
Para x x dx
u u xx x dx u u du u u du C x C
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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96
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 21 de junio del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 40 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .
SOLUCIÓN
I Parte. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6ptos)
2 1
03
1) lim ( ) : no 3) lim ( ) 2 5) lim ( ) 4
2) lim ( ) = + 4) lim ( ) 1 6) lim ( ) 0
x xx
x xx
f x f x f x
f x f x f x
II Parte Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
1)
2
0
(3 1) 4lim
4 ln(2 1) 0
r
r
r e
r r
(3 puntos)
2)
3 2 2
1 1 1
1 0 ( 1)( 1) ( 1) 3lim lim lim
0 ( 1)( ) ( )x x x
x x x x x x
ax bx a b x a b a b a b
(5 puntos)
3)
2 2
23
2 6 2 6 0lim
4 3 0x
x x x x
x x
(6 puntos)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 23 3
2 22 2
2 2
3 32 2 2 2 2
2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6lim lim
4 3 4 3 2 6 2 6
2 6 2 6 2 6 2 6lim lim
( 4 3) 2 6 2 6 ( 3)( 1) 2 6 2
x x
x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
3 32 2 2 2
6
4( 3) 4 4 1lim lim
2(6) 3( 3)( 1) 2 6 2 6 ( 1) 2 6 2 6x x
x
x x x x x x x x x x x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
97
4)
33 3
3 33 3
22
2 2
7 71 1 1 1
7 1lim lim lim 1
7 77 21 2 1 2
x x x
x xx xx
x xx x x x
x x
(6 puntos)
III Parte. Considere la función g(z) definida a continuación. Analice la continuidad de la
función en el conjunto de los números reales. Justifique su respuesta (5 puntos)
si x > 1
(x) 4 si x = 1
1 si x > 1
xe
g
x e
3
3 3
3
3
1) g(1)=4
lim( 1 )
2) lim ( ) lim ( )lim
3) g(1) ? lim ( )
4 e (x) no es continua en x = 1
x
xx x
x
x
x e e
g x g x ee e
g x
g
IV. Encuentre la primera derivada de las siguientes expresiones
1) y= (3 ) arctan(z)ze ez ( 4 ptos)
2
1´ (3 ) arctan(z) ´ (3 ) arctan(z) (3 )
1
z z zy e ez y e e e ezz
2) 7 4 5
2ln( ) 3cos( )
x xy
x x
( 5 ptos)
2
27 ln(7) 4 2ln( ) 3cos( ) 3 ( ) 7 4 5
´2ln( ) 3cos( )
x xx x sen x xx
yx x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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98
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Segundo Examen Parcial Puntaje: 50 pts
Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos
Solución I Parte. Encuentre la primera derivada cada una de las siguientes ecuaciones
1. 3( ) ln tan(ln( )) 6wm w w w e (7pts)
2 2 3
3
1 1(́ ) 3 tan(ln( )) sec (ln( )) 0
tan(ln( ))
w
wm w w w w w e
w w e w
2. 73 cos(2 ) 2
arccos4 5 3x
x ey
x e
(8pts)
1
77
6
7
2
3 cos(2 ) 2 3 cos(2 ) 2arccos arccos
4 5 3 4 5 3
2 (2 ) 4 5 4 ln(4) 5 3 cos(2 )1 3 cos(2 )´ 0
7 4 5 4 5
x x
x x
x x
x e x ey
x e x e
sen x e x x ex ey
x x
3. 32 4 (2 3 )xye x sen x y x (8pts)
2
2
2
y ´ 2 2cos(2 3 ) 3 ´cos(2 3 ) 3
´ 3 ´cos(2 3 ) y 2 2cos(2 3 ) 3
y 2 2cos(2 3 ) 3´
3cos(2 3 )
xy xy
xy xy
xy
xy
e e y x x y y x y x
e y x y x y e x y x
e x y xy
e x x y
II Parte
Considere la función 2 2 2 3 0x y x y . Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangente y
de la línea recta normal a la función en los puntos donde la ordenada es 1 y la abscisa es
positiva (7 pts)
2 2 21 (1,1)
y=1 (1) 2 3(1) 0 2 3 03 ( 3,1)
x Psi x x x x
x P
Se considera entonces (1,1)P
2
2
2 2´ 4 3 4 3
2 3
xyy m b y x
x y
es la ecuación de la línea recta tangente
Si 1 5 1 5
44 4 4 4
m m b y x
es la ecuación de la línea recta normal
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
99
III Parte. Por L´Hopital resuelva cada uno de los siguientes límites
1. 0
1 1limx senx x
(7 pts)
0 0 0
0 0
1 1 1 1 ( ) 0lim lim lim
( ) 0
1 cos( ) 0 sen( ) 0´ lim ´ lim 0
( ) xcos(x) 0 cos( ) cos(x) xsen(x) 2 0
x x x
x x
x sen x
senx x senx x xsen x
x xL H L H
sen x x
2.
3
4 ln( )
0lim
x
xx
(7 pts)
3 3
4 ln( ) 4 ln( )0
0 0 0 0
3
4 ln( )3 3
0 0
3 3ln( )lim 0 lim ln lim ln( ) lim
4 ln( ) 4 ln( )
3
´ lim 3 ln 3 lim1
x x
x x x x
x
x x
xx y x y x
x x
xL H y y e x e
x
IV Parte. Resuelva el siguiente problema (6 pts)
A un depósito cilíndrico (de base circular) de 50 dm de radio, le está entrando agua a razón de
25 . Calcular la velocidad con que varía la altura del agua dentro del cilindro.
(Recordar que baseV A h )
2
baseV A h V r h
Sabiendo que r = 50 dm y 325 /dV
dm segdt
, ?dh
dt
22 50 2500
2500 sustituyendo
1 25 = 2500
100
baseV A h V r h V h h
dV dh
dt dt
dh dh
dt dt
La altura del agua dentro del cilindro varía a una razón de 1
/100
dm seg
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
100
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tercer Examen Parcial Puntaje: 35 pts
Tiempo máximo: 2.30 horas Solución
I Parte. Resuelva cada una de las siguientes integrales
1.
22
3 2
3 5 2ln(4)
1
xdx
x x x
(5 puntos)
2 22 2
3 32 2
22 4 2 2
3
3 3 2
2
2
2
3 5 3 52 2 I= ln(4) ln(4)
1 1
3 5 9 30 25 30 9 25(9 25 ) 30ln/ /
2 2
ln(4) ln(4)
2 = arcsec(x)+C
1
9 2530ln/ /
2 2
x xsea dx dx dx
x xx x x x
x x x xdx dx x x dx x C
x x x x
dx x C
dxx x
xI x
x
ln(4) arcsec(x)+Cx
2) 2( )1
1 cos( )
sen zz z dz
z
(7 puntos)
2 2
2
( ) ( )1 1
1 cos( ) 1 cos( )
( ) sea u=1 cos( ) ( ) ( )
1 cos( )
( )ln/ / ln/1 cos( ) / C
1 cos( )
1 sea u=z+1 du=dz. T
sen z sen zI z z dz dz z z dz
z z
sen zdz z du sen z dz du sen z dz
z
sen z dudz u C z
z u
z z dz
1 1 5 3 1
2 2 22 2 2 2 2
7 5 3 7 5 3
2 2 2 2 2 2
7 5 3
2 2 2
ambien u-1=z
1 ( 1) ( ) ( 2 1)( ) 2
2 2( 1) ( 1) ( 1)4 2 4 2
7 5 3 7 5 3
2( 1) ( 1) ( 1)ln/1 cos( ) / 4 2
7 5 3
z z dz u u du u u u du u u u du
u u u z z zC C
z z zI z C
3. 3
6
2
1
x x
x
edx
x
(7 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
101
3 3
6 6
3 33 3 3
6 3 2
3
6
2 2
1 2 1 2
sea u= 22
2 2 2
2 2 = sea u=2 2 ln(2)(3) 2
1 2 1 (2 ) ln(2)(3)
2 1
1 2 3ln(2)
x x x x
x x
x
xu u x
x xx x x
x x
x
x
e eI dx dx dx
x x
e dx dxdx x du du
x x x
edx e du e C e C
x
dudx dx du dx dx
dx
3
2
3
1 1arctan(u) arctan(2 )
1 3ln(2) 3ln(2)
12 arctan(2 )
3ln(2)
x
x x
duC C
u
I e C
II Parte. Considere la función 2
m(x)= ( 1)( 3)
x
x x
1) Si la primera derivada es 2
2 2
( 4 5)m (́x)=
( 1) ( 3)
x x
x x
, determine (5 puntos)
valores críticos (si existen)
la monotonía (intervalos de crecimiento y/o decrecimiento)
máximos y mínimos de la función
( )
22
2 2
D =IR- 1,3
( 4 5)0= 0 ( 4 5) existen valores críticos
( 1) ( 3)
,1 , (́ ) 0 m(x)decrece( )
1,3 , (́ ) 0 m(x)decrece( )
3, , (́ ) 0 m(x)decrece( )
No existen máximos ni mínimos
m x
x xx x no
x x
en m x
en m x
en m x
2) Si la segunda derivada de la función m(x) es 2
3 3
2( 2)( 4 7)m´́ (x)=
( 1) ( 3)
x x x
x x
, determine
Posibles puntos de inflexión
Intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo) (5 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
102
22
3 3
2( 2)( 4 7)0= 2( 2)( 4 7) 0 2 es posible punto de inflexión
( 1) ( 3)
,1 , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hacia abajo ( )
1,2 , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hacia arriba ( )
2,3 , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hac
x x xx x x x
x x
en m x
en m x
en m x
ia abajo ( )
3, , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hacia arriba ( )en m x
III Parte. Considere el siguiente cuadro de variación (cuadro resumen). Realice la gráfica que
corresponde según los datos del cuadro (6 puntos)
Cuadro de variación
x -2 0 2
f’(x) +
f’’(x)
f(x) 1 -0,25 1
Optativa: Escoja una de las integrales siguientes y resuélvala paso a paso. (5 Puntos)
1. 3
1
ln ( )dz
z z
2. 2 2zz e dx
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
103
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 11 de octubre del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 50 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos . Solución I Parte Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
1) 3 75
5 1 8 1lim
ln xx x x ex
(6 ptos)
2)
5 5 3 2 2 3
6 2 4 4 2 6
0lim
0x y
x y x y x y
x x y x y y
(8 ptos)
5 5 3 2 2 3 5 3 2 5 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
6 2 4 4 2 6 6 2 4 4 2 6 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4
3 3 2 2
2 2 4 4
( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )lim
( )( )
x y x y x y x y
x y
x y x y x y x x y y x y x x y y y x x x y y y x
x x y x y y x x y x y y x x y y x y x x y y x y
x y x y
x y x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3
( ) ( )( ) ( ) 3 3lim lim
( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 4x y x y
x y x xy y x y x xy y y
x y x y x y x y x y y y
3)
34 2 34 16 2 4lim
2w
w w w
w
(8 ptos)
1 44 334 16 234 4 2 3 2 316 2 4lim lim
221
1 4 1 43 34 416 2 16 2
32 3 2 3 2 2lim lim 3.25
2 2 11 1
w ww w w w w
ww w ww
w ww w w w
w www w
III Parte. Considere la función h(z) definida a continuación.
2 3
2
1 si z < 2
h(z)= 3 ( 2) 1 si z = 2
2 1 3 si z > 2
2
z
sen z
z z
z
Analice la continuidad de la función en el conjunto de los números reales. Justifique su respuesta
1) h(2)=3 (2 2) 1 1sen (10 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
104
2 2 2
222
22 2
2
2 22 2
2
2
2 1 3 0 2 1 3 2 1 32.1 lim = lim
2 0 2 2 1 3
2 1 3 2 8lim lim
2 2 1 3 2 2 1 32) lim ( )
( 2)( 4)lim
2
xx
x x
x
x
z z z z z z
z z z z
z z z z
z z z z z zh z
z z
2
2 22
2 3
2
lim ( ) 1
( 4) 6lim 1
62 1 3 2 1 3
2.2 lim 1 1
x
x
z
x
h z
z
z z z z z
2
3) h(2) ?= lim ( )
1 = 1 h(z) es una función continua en el conjunto de los números reales
x
h z
I Parte. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6ptos)
0lim ( ) 0x
h x
lim ( ) 2x
h x
2lim ( ) x
h x no existe
4lim ( ) 4x
h x
6
lim ( ) 2x
h x
8lim ( )
xh x
IV. Encuentre la primera derivada de las siguientes expresiones (6 puntos c/u)
1)
5
37ln( )
( ) 7 1( )
zg z z z
sen z
2 2
7 3
2
1( ) ( ) ln( )
5 7(́ )
7 3( )
sen z cos z zzg z z z
sen z
2) ( ) 2 arctan( )x xf x x e 2
2(́ ) 2 ln(2) arctan( )
1
xx xf x x e
x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
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105
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 14 de febrero del 2015 Primer Examen Parcial Puntaje: 50pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´ SOLUCION
I Parte. Dada la función f(x), determine los siguiente límites (6 puntos)
35
3 0 4
1) lim ( ) 2 2) lim ( ) 1 3) lim ( ) 3
4) lim ( ) 5 5) lim ( ) 6) lim ( )
x xx
x x x
f x f x f x
f x f x noexiste f x
II Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
1)
2
1
5 4 3ln( ) 1lim
1 0m
m m
m
(3 puntos)
2)
3 2
23
3 2 6 0lim
0(1 ) 2w
w w w
w w w
(8 puntos)
3 2 2 2 2
2 2 2 23 3 3
2 2 2 2
23 32 2
3 2 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) (1 ) 2lim lim lim
(1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2
( 2)( 3) (1 ) 2 ( 2)( 3) (1 )lim lim
(1 ) 2
w w w
w w
w w w w w w w w w w
w w w w w w w w w w w w
w w w w w w w w w
w w w
2 2
2 2
2 2
3 3
2
(1 2 ) 2
( 2)( 3) (1 ) 2lim lim ( 2) (1 ) 2 44
3w w
w
w w w w
w w w w ww w w w
w
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
106
1)
52 5
9 9
5 7 3 4lim
2 7 2x
x x x x
x x
(7 puntos)
2 55 5
2 4 2 452 5
9 99
9 98 8
5 7 4 5 7 41 3 1 3
5 7 3 4 2.24lim lim lim
82 22 7 22 7 1 2 7 1
x x x
x x x xx x x x x xx x x x
x xx x x x
x x
4) 2
2 2
3 3 0lim
0x b
x b xb x
b x
(7 puntos)
2
2 2
3 33 3 3lim lim lim
( )(b x) (b x) 2x b x b x b
x x b xx b xb x b
b x b x b
III Parte Determine el valor de k para que la función h(x) sea una función continua en IR (7puntos)
( 2 2 )
( 2 2 )
1
1
1
1
5 -2 si x < -1
h( ) 2 si x = -1
2 si x > -1
1) ( 1) 2 2
lim 2 2 42) lim ( ) 2 5 2
5lim 5 -2 5 2
43) Si ( 1) lim ( ) la func
5
x
x
x
x
x
x
x
x
kx
x
e
h
eh x k k
kx k
k h h x
4ión es continua para
5k
IV Parte. Derive cada una de las siguientes funciones: 1) 6
3 5( ) t( ) 2
5cos( ) 2
z
f z c z zz z
6 5
2
26
3 ln(3) 5cos( ) 2 5sen( ) 12 3 5(́ ) csc ( ) 2
5cos( ) 2
z zz z z zf z x
z z
(7 puntos)
2)
1/3 4 414/3 1 9
5
14/3 1 9 17/3 2 10
( ) ln( ) ln( )
1 14(́ ) 9 ln( )
3
x x xg x x x x x x
x
g x x x x x x x xx
(7 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
107
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 15 de noviembre del 2014 Segundo Examen Parcial Puntaje: 50 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Solución
I Parte. Encuentre la primera derivada cada una de las siguientes ecuaciones
1. 2 3 4( ) 3 7 2 cos 5 5x xm x arcsen e x x x (9 puntos)
2 2 4 3 2 3
22 3
3(́ ) 2 21 2 cos 5 5 4cos 5 5 5 5 5 5 ln(5) 7 2
1 7 2
x x x x x x
x
m x e x x x sen x arcsen e x x
e x x
2. 97 tan( 4 )
( )2 log(2 )
z zg z
z z
(7 puntos)
6
9 2 9 8 977
2
1 2tan ( 4 )sec ( 4 ) 1 36 2 log(2 ) 2 tan( 4 )
7 2 ln(10)(́ )
2 log(2 )
z z z z z z z z zz
g zz z
3. 2 2 3sec ( ) 2 xyx y x e (8 puntos)
2 3 2 3 2 3 2
2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3
2 2 3 2 3 2 3 2
2sec( )sec( ) tan( ) 2 3 ´ 2 ´
2 sec( ) tan( )2sec( ) 3 ´sec( ) tan( )2sec( ) 2 ´
3 ´sec( ) tan( )2sec( ) ´ 2 2 sec(
xy
xy xy
xy xy
x y x y x y x y y e y y x
x x y x y x y y y x y x y x y ye xy e
y y x y x y x y xy e ye x x y
3 2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3
2 2 3 2 3
2 2 2 3 2 3
) tan( )2sec( )
´ 6 sec ( ) tan( ) 2 4 sec ( ) tan( )
2 4 sec ( ) tan( )´
6 sec ( ) tan( )
xy xy
xy
xy
x y x y
y y x y x y xe ye x x y x y
ye x x y x yy
y x y x y xe
II Parte. Resuelva utilizando L´Hopital, cada uno de los siguientes límites
1. 3
1
1 ln( )lim
3 2x
x x
x x
(4 puntos)
3 21 1
11
1 ln( ) 0 2lim ´ lim
3 2 0 3 3 0x x
x x xL Hx x x
2. (1 )
2
0lim
xe
xx
(8 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
108
(1 ) (1 )2 2 2
0 0 0
2 22
2
20 0 0 0
2
0
lim ln( ) lim ln ln( ) lim(1 ) ln 0( )
2ln 2 1 2 1 0
ln( ) lim ( ´ ) ln( ) lim lim lim1 0
1 1
4 1( ´ ) ln( ) lim
x xe ex
x x x
x x
x x xx x x x
xx
x x
xx
y x y x y e x
xx x e exy L H y
e x e xe
e e
e eL H y
e
(1 )0 2
0
00 ln( ) 0 1 lim 1
1
xe
xx
y y e xxe
III Parte.
Encuentre las ecuaciones de la línea recta tangente y la línea recta normal a la función de
ecuación 3 1 3y x x en el punto donde la abscisa es 2 (8 puntos)
2
3
3
x = 2 y = -3 P 2, 3
3 1 3 ´ 3
2 1
si
xsi y x x y
x
Para la ecuación de la recta tangente
2
3
3(2) m 3 1 1 la ecuación de recta tangente es y = -x-1
2 2 1evaluando b
Para la ecuación de la recta normal
si m =-1 m 1 =-5 la ecuación de recta normal es y = x-5n b
IV Parte. Lea el siguiente problema, plante una solución y resuélvala paso a paso (6 pts)
En un cono invertido la altura h cambia a razón de 2.3 pies/seg y el radio a razón de 5.2 pies/seg.
Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio r es 3 pies y la altura h es 6 pies
2 2
3
2.3 / ; 5.2 / ; ? r=3pies, h= 6pies
derivando 2 sustituyendo datos 3 3
2(3)(6)(5.2) (9)(2.3) (207.9) 69.3 /3 3
dh dr dVpies seg pies seg si
dt dt dt
r h dV dr r dhV rh
dt dt dt
dVpies seg
dt
Opcional: Considere la función 2 4
ln5 1
xy
x
. Encuentre la segunda derivada (5 puntos)
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
109
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-21 Sábado 21 de febrero del 2015 SegundoExamen Parcial Puntaje: 43pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´ Indicaciones generales:
1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada.
2. El examen se resuelve únicamente en el cuaderno oficial de examen de la Universidad.
3. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con lápiz o
usa corrector pierde el derecho a reclamos.
4. No debe tener hojas blancas ni otros en el pupitre, solo el cuaderno oficial.
5. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo
las relativas a la redacción de los enunciados
6. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba, ni antes de 30´ de
empezar
7. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron
obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.
8. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte. Encuentre la primera derivada de cada una de las siguientes ecuaciones
3. 4tan cos(5 2) 7 2y x x x (7pts)
3
2 4 4
4
4 2´ sec cos(5 2) 7 2 sen(5 2)(5) 7 2 cos(5 2)
2 7 2
xy x x x x x x x
x x
2. 6 5 9
4
(3r )
4( )
r
r
eg
rr
(7pts)
6 5 8 5 4 3 5 95 6
24
9(3r ) 18r 5 4 4 4 ln(4) (3r )
4(́ )
r r r r r
r
e e
rg r
r r e
3. ( 2 )3 cos(4 )xy x ye e y (7pts)
( 2 )
( 2 )
( 2 ) ( 2 )
( 2 ) ( 2 )
( 2 )
( 2 )
3 cos(4 )
´ 1 2 ´ sen(4 ) 4 ´
´ 2 ´ sen(4 ) 4 ´
´ 2 ´ 4 ´ sen(4 )
´2e 4sen(4 )
xy x y
xy x y
xy xy x y x y
xy x y xy x y
xy x y
xy x y
e e y
e y xy e y y y
e y e xy e y e y y
e xy y e y y e y e
e y ey
e x y
II Parte. Encuentre el límite:
2
0
4 1 coslim
cosx
x x
sen x x x
(7pts)
2
0 0 0
4 1 cos 8 sen 8 cos0 0 9lim ´ lim ´ lim
cos 0 0 ( ) cos( ) 0cos cos ( )x x x
x x x x xL H L H
sen x x x sen x x xx x xsen x
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
110
III Parte. Considere la función 2 ( 1)10 4 xy x . Calcule (8pts)
Si x = -1 entonces y = 3 por lo tanto P(-1,3),
también ( 1)
2 ( 1)
20 4 ln(4)´
2 10 4
x
x
xy
x
y
20 ln(4) 21.386293.564
6 6m
por lo tanto
a) la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa es -
1 es 3.564 0.564y x
b) la ecuación de la línea recta normal a la curva dada en el punto cuya abscisa es -1
es 0.28 3.28y x
IV Parte Escoja una de las siguientes preguntas y resuélvala (7pts)
1. Determine y simplifique la segunda derivada de: 3 2
4 5
zln
zy
2 2
22
2
4 5
3 2 (4 5) 3 2
1 3(4 5) 4(3 2) 2
(4 5)
4 5
3 23´
12 7 10
23 24 7´́
12 7 10
z
z
z zy
z z
zy
z
z z
z
z
z
2. Encuentre el límite:
tan( )
0
1lim
x
x x
tan( ) tan( )
0 0 0
22
0 0 0
2
0
1 1 1lim ln lim ln ln lim tan(x) ln 0( )
1 1ln
sen ( ) 0ln lim ´ ; ln lim lim ´
1 1 0
tan(x) sen ( )
2sen( )cos(xln( ) lim
x x
x x x
x x x
x
y y yx x x
xxx x
y L H y L Hx
x
xy
tan( )
0
0
) 10 lim 1
1
x
xy e
x
3. Las caras de un plato de metal se dilata con el calor a razón de 0.2 cm2/seg, Cuando el
diámetro del mismo es 12 cm, cuál es la razón de cambio del radio?
CÁLCULO I lim ( )x k
g x
; (
)
df
dx ( )f x dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
111
2
2
0.2 / ; 6
2
0.20.2 2 (6)
12
dV drcm seg se pregunta si r cm
dt dt
dV drComoV r r sustituyendo
dt dt
dr dr
dt dt
La razón de cambio del radio es de 35.4 10 /cm seg
Opcional. Resuelva una de las dos preguntas que no resolvió en el punto anterior (7pts)