Post on 24-Jan-2016
Matemática Básica(Ing.) 1
Continuidad, Funciones crecientes y decrecientes, Función acotada, Extremos locales y absolutos, Simetrías, Asíntotas,
Propiedades de las funciones
Funciones: Conceptos Básicos
Matemática Básica(Ing.) 2
A partir de la grafica determine:
• El dominio y el rango. • Puntos de discontinuidad.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.• Los ceros de la función.
Introducción
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Investigue acerca de las discontinuidades que se dan en cada caso:
x
y
f(x) = 1/x
Continuidad
x
y
-0.5
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Concepto geométrico de función continua
x
y
Continua en toda x Discontinuidad removible Discontinuidad removible
xa
f(a)y
xa
y
x
y
a
Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita
x
y
a
Resolver ejercicios 21, 22, 23 y 27. Pág. 102
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Continuidad
Una función f(x) es continua en x = a si
afxfax
lim
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f
¿En qué puntos, la gráfica de f
no es continua?
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Con base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones, que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible?
x
y
23
)(
xx
xf
x
y
)2)(3()( xxxf
Ejemplo
x
y
2,3
2,24
)(
2
x
xxx
xf
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A partir de la grafica determine:
• El dominio y el rango. • Puntos de discontinuidad.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.• Los ceros de la función.
Introducción
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Monotonía:
Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio positivo en f(x).
Una función f es decreciente en un intervalo
si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio negativo en f(x).
Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio nulo en f(x).
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Determine los intervalos en que f es creciente, decreciente o constante.
2)2()( xxf 1)(
2
2
xx
xf
Ejemplo
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A partir de la grafica determine:
• El dominio y el rango. • Puntos de discontinuidad.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.• Los ceros de la función.
Introducción
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Concepto geométrico de acotamiento
No acotada por arribaNo acotada por debajo
x
y
Acotada por arribaNo acotada por debajo
x
y
No acotada por arribaAcotada por debajo
y
x
Acotada
x
y
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Acotamiento Una función f está acotada por debajo si existe
algún número b que sea menor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números b se denomina cota inferior de f.
Una función f está acotada por arriba si existe
algún número B que sea mayor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números B se denomina cota superior de f.
Una función f está acotada si está acotada por arriba y por debajo.
Desarrolle: el ejemplo 7 (página 95). Resolver: ejercicios 21, 33 y 37. Pág. 102. Use Winplot o el Derive.
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A partir de la grafica determine:
• El dominio y el rango. • Puntos de discontinuidad.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.• Los ceros de la función.
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Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de f si
x
y
P
Q
R
Extremos
)()( xfcf
Sea D el dominio de f.
para todo xD.
El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D.
)()( xfcf
Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto de f si
para todo xD.
El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D.Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f.
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Valores máximos y mínimos locales
)()( xfcf
Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de f si
para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.
)()( xfcf
Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si
para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.
Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f.
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Ejemplo
máximo absoluto
puntos de máximo absoluto
y
xa c1 bc2 c3c4d1 d2 d3
puntos de mínimo local
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Simetría con respecto al eje Y
Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica
x f(x)
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
)(
)()(
fdomx
xfxf
Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesPARES
(-x; y) (x; y)
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Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica
x f(x)
-3 -27
-2 -8
-1 -1
1 1
2 8
3 27
)(
)()(
fdomx
xfxf
Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesIMPARES
(x; y)
(-x; -y)
Resolver el ejemplo 9 (página 98) u otros similares
Simetría con respecto al origen
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Ejemplos
Determine si las siguientes funciones son simétricas, clasifique las mismas:
45 a) 24 xxxf
4
b) 2
3
xx
xf
1 c) 2 xxf
23 d) 2 xxxf
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• El dominio y el rango. • Puntos de discontinuidad.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.• Los ceros de la función.
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Asíntotas: La recta y = b es una asíntota
horizontal de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) se aproxima a b como límite, cuando x tiende a +∞ o –∞.
En la notación de límites:
La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) tiende a +∞ o –∞, cuando x se aproxima a a por cualquier dirección.
En notación de límites:
)(lim xfax
)(lim xfax
bxfx
)(lim bxfx
)(lim
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Ceros de una función:
Determinar los ceros de una función, es equivalente a determinar las intersecciones x de la gráfica de y = f(x), o las soluciones de la ecuación f(x) = 0.
x
y
-0.5
a) Determine los ceros de la función, cuya grafica se presenta.
b) Determine los ceros de las funciones.
0,3
0,32)()3
24)()2
32)()1
2
2
xx
xxxk
xxg
xxxf
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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios de la sección 1.2
Pág. 102 - 105
Sobre la tarea
Esta publicada en el AV Moodle
Importante