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MATE 3032
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 20
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Integración por partes
Recuerde lo siguiente:
ddx[f (x) g (x)] = f (x) g 0(x) + f 0(x)g(x)
En la notación para integrales indefinidas, la ecuaciónes:R ddx[f (x) g (x)] dx =
R[f (x) g 0(x) + f 0(x)g(x)] dx
f (x) g (x) =Rf (x) g 0(x)dx +
Rf 0(x)g(x)dx
Rearreglando la ecuación se obtiene:Rf (x) g 0(x)dx = f (x) g (x)−
Rf 0(x)g(x)dx (1)
La fórmula 1 es llamada integración por partes. Si se usa la notación:
u = f (x) y v = g (x)
Entonces los diferenciales son:
du = f 0 (x) dx y dv = g 0 (x) dxP. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 20
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Por la regla de sustitución, la fórmula para integración por partes es:
Rudv = uv −
Rvdu (2)
Combinando las fórmulas para integración por partes con la parte 2 delTeorema Fundamental del Cálculo, evaluando ambos lados de (1) entre a yb, asumiendo que f 0 y g 0 son continuas y usando el teorema fundamental,se obtiene:
R ba f (x) g
0(x)dx = f (x) g (x)]ba −R ba f
0(x)g(x)dx (3)
Nota: Al considerar las sustituciones, se sugiere el orden para elegir u :inversas (I), logarítmicas (L), algebraicas (A), trogonométrocas (T) yexponenciales (E), ILATE
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EjemploEvalúe las siguientes integrales:1.Rxe0.2x dx
Rlnpxdx
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2.Rx tan2 xdx
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3.R (sin−1 x
)2dx
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4.R (x2 + 1
)e−x dx
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Rw2 lnw dw
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5.Rsin (ln x) dx
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Z 2
1
(ln x)2
x3dx
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6. Use integración por partes para probarRxnexdx = xnex − nR
xn−1exdx
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7. Halle el volumen del sólido que se obtiene al rotar la región acotada pory = ex , y = 3, x = 0; sobre el eje x .
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