Post on 09-Jul-2015
“Funciones Exponenciales y Logarítmicas”
Identificar una función exponencial y su inversa, la función logarítmica, describiendo todas sus propiedades para finalmente trazar su gráfica.
Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
Formular una función exponencial o logarítmica para poder modelar un comportamiento exponencial o logarítmico.
Las propiedades de una función exponencial o una función logarítmica para bosquejar su gráfica.
Las propiedades de los exponentes y los logaritmos en la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Problemas de interés compuesto y continuo, empleando los conocimientos adquiridos en esta unidad.
Una función exponencial es una función de la forma f(x)=ax, donde a es un número real positivo y distinto de 1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales.
Propiedades de los exponentes
a0 = 1
am an = am+n
am / an = am-n
(am)n = amn
(ab)n = an bn
(a / b)n = an / bn
a-m = 1/(am) = (1/a)m
Observe que en la definición de función exponencial, a≠1, ya que la función y = 1x sería una función constante.
1x = 1
se hace una distinción entre la función y = ax para a > 1 y para 0< a < 1.
a > 1 0< a < 1
f(x)=ax
Dominio (-∞, ∞)
Rango (0, ∞)
Intersecciones –x : ninguna
Intersecciones –y: 1
Asíntota horizontal: eje x cuando x→ - ∞
f es una función creciente
f es uno a uno y pasa por (0, 1) y (1, a)
Dominio (-∞, ∞)
Rango (0, ∞)
Intersecciones –x : ninguna
Intersecciones –y: 1
Asíntota horizontal: eje x cuando x→ ∞
f es una función decreciente
f es uno a uno y pasa por (0, 1) y (1, a)
Graficación de funciones exponenciales a>1
x f(x)=2x
(-3,1/8)
(-2,1/4)
(-1,1/2)
(0,1)
(1, 2)
(2, 4) La gráfica nunca va a llegar a tomar el valor de 0 en el rango, ese es su límite.
Haga una tabla de valores y gráfique los puntos resultantes para f(x)=2x
2-3=1/8
2-2=1/4
2-1=1/2
20=1
21=2
22=4
-3
-2
-1
0
1
2
Graficación de funciones exponenciales 0<a<1
x f(x)=1/2x
(3,1/8)
(-2, 4)
(-1, 2)(0,1)
(1, 1/2)
(2, 1/4)
La gráfica nunca va a llegar a tomar el valor de 0 en el rango, ese es su límite.
Haga una tabla de valores y grafique los puntos resultantes para f(x)=1/2x
-2
-1
0
1
2
3
1/2-2=4
1/2-1=2
1/20=1
1/21=1/2
1/22=1/4
1/23=1/8
La base e
El número e se define como el número al que tiende la expresión (1+1/n)n cuando n→ ∞.
Grafique f(x)= ex (utilice su calculadora para obtener las y’s).
x f(x)=ex
(-2, 0.14)
(-1, 0.37)
(0,1)
(1, 2.72)
(2, 7.39)
-2
-1
0
1
2
0.14
0.37
1
2.72
7.39
La función logarítmica base a, donde a>0 y a≠1, se denota y=logax(se lee “y es el logaritmo base a de x”) y se define como:
Y= logax si, y sólo si, x=ay
Ejemplos, cambio de expresiones exponenciales a logarítmicas y viceversa
1.23=m
loga4=5 entonces
entonces 3=log1.2m
a5=4
Encuentre el valor exacto de una expresión logarítmica
Log28=
Para la expresión logarítmica y= log28 tenemos la expresión exponencial 2y=8
2y=8 2y=23 y=3
Por lo tanto log28=3
Dominio de una función logarítmica
La función logarítmica y=logax es la inversa de la función exponencial y=ax. Por lo tanto el dominio de una es el rango de la otra.
y=ax
y=logax
y=xLa intersección de la gráfica con el eje x es 1. No existe intersección con el eje y. el eje y es una asíntota vertical de la gráfica. Una función logarítmica es decreciente si 0<a<1 y creciente si a>1.
En las propiedades dadas a continuación, M y a son números reales positivos, con a≠1, y r es cualquier número real.
alogaM=M
logaar=r
logaMN=logaM+logaN
loga(M/N)=logaM-logaN
loga(1/N)=-logaN
logaMr=r logaM
Si M=N, entonces logaM=logaN
Si logaM=logaN, entonces M=N
logaM=logbM/logba
logaM=logM/loga Y logaM=lnM/lna
Compruebe todas estas propiedades
Ecuaciones exponenciales
5x-2=33x+2
ln5x-2=ln33x+2
(x-2)ln5=(3x+2)ln3
(ln5)x-2ln5=(3ln3)x+2ln3
(ln5)x-(3ln3)x=2ln3+2ln5
(ln5-3ln3)x=2ln3+2ln5
2ln3+2ln5
(ln5-3ln3)x=
x≈ -3.212
x=-3 o x=1
3
2 12
eee xx
322
eee xx
322 xx ee
322 xx
01;03
013
0322
xx
xx
xx
Escriba la siguiente expresión como un solo logaritmo
logax+loga9+loga(x2+1)-loga5
loga9x+loga(x2+1)-loga5
loga9x(x2+1)-loga5
loga9x(x2+1)/5
Escriba la siguiente expresión como varios logaritmos
loga5√1+x /x2
loga5√1+x -logax2
loga5+loga√1+x -logax2
loga5 + loga(1+x)1/2 -logax2
loga5 + 1/2 loga(1+x) -2logax
Utilizando las propiedades de los logaritmos y el cambio de logaritmos y exponenciales resuelve las siguientes ecuaciones.
log3(4x-7)=2
4x-7=32
4x-7=9
4x=9+7
x=16/4
x=4
log4(x+3) + log4(2-x)=1
log4[(x+3) (2-x)] =1
(x+3)(2-x)=41
-x2-x+6=4
X2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2 o x=1
2log5x=log59
log5x2=log59
x2=9
x=3 o x=-3
Verifique los resultados recuerde que en la expresión logaM, a y M son positivos y a≠1.
Ecuaciones logarítmicas
Interés simple: Si se presta un capital de P dólares durante un periodo de t años con una tasa de interés anual r, expresada como un decimal, el interés I cobrado será:
I=Prt
A=P(1+r/n)nt
Interés compuesto: La cantidad A generada después de t años por un capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesta n veces por año es:
Composición continua: La cantidad A después de t años obtenida mediante un capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesto de manera continua es:
A=Pert
Valor presente: El valor presente P de á dólares a ser recibidos después de t años, con una tasa de interés anual r compuesta n veces por año, es:
P=A(1+ r/n)-nt
Si el interés es compuesto de manera continua, entonces:
P=Ae-rt
Interés simple
Sofía Gutiérrez le hace un préstamo a su hermano, Saúl. El monto de préstamo es de $5000, con un interés simple de 6% anual, y Saúl tendrá que devolverlo 3 años después.
i = pr t
=
=
¿Qué interés le pagará Saúl a Sofía transcurridos los 3 años?
¿Cuánto dinero en total deberá pagar?
5000(0.06) (3)
900
5000 900+ = 5900
Monto inicial Interés+
5000
36%
A =p ( 1 +r n )nt
Interés compuesto
Catalina Carmona recibe un reembolso de impuestos por $1425, e invierte este dinero para ayudar a pagar el primer semestre de la universidad de su hermano. Catalina invierte el dinero en un certificado de depósito que le ofrece una tasa de interés anual de 3% compuesto de forma mensual después de 18 meses.
¿Cuánto valdrá el certificado luego de 18 meses?
1425 1 0.0312
+=(1.5)
=1425(1.04596912)
1490.51=
(1+0.0025)18
1.04596912=
=
1 0.0312
+12(1.5)
1425
3%tasa de interés anual
18
12
Composición continua
El 2 de enero de 1996 se colocaron $2000.00 en una cuenta de retiro que pagará un interés del 10% anual compuesto de manera continua. ¿A cuanto ascenderá la cuenta el primero de enero del año 2016?
A=Pert
10%
2000
La cantidad A después de 20 años es:20
=
=14,778.11
La cuenta ascenderá a $14,778.11 luego de 20 años.
2000 e(0.10)(20)
Valor presente
Un bono “cupón cero” (sin intereses) puede ser amortizado en 10 años por $1000.00.¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar por él ahora si quiere obtener un rendimiento de:
a) 8% compuesto en forma mensual?
b) 7% compuesto en forma continua?
a)= b)=
P=A(1+ r/n)-nt P=Ae-rt
1000
8%
10
mensual
7%
P=
=450.52
P=
=496.59
1000 (1+ 0.08 /12)-12(10) 1000 e -(0.07)(10)