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8/16/2019 Laboratorio 1 Instrumentación y Control
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÁMICOS Y CONTROLADORES
INSTRUCTOR:GABRIEL TORRES
ELABORADO POR:ANDRÉS MONZÓN
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RESULTADOS
Problema Sistema Eléctrico LRC:
Formulación matemática
Capacitor: I =CV → I (t )=C dV
dt Inductancia: V = LI → V = L
dI
dt
Ecuaciones diferenciales
a) ei− L di
dt − RI =eo b)
I
c=
dVo
dt
Se aplica LaPlaceei− LSI (s )− RI =eo ei−eo= RI + LSI ( s )
ei−eo= I [ R+ Ls ]
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c ¿ I =ei−eo
R+ LS
d ¿ I
C =S eo(s)
Reemplazamos la ecuación c en la d:
ei−eo
R+ LS
C =S eo(s)
ei−eo
RC + LCS=S eo(s)
Valores otorados: Inductancia !L)" #$ %enrios & Capacitor !C) "'$ micro faradios &Resistencia " # (ilo o%m
Función de tranferencia:eo
ei =
1
CRS+CLS2+1
= 1
(40 x10−6 ) (1 x10
3 ) S+(40 x 10−6 ) (10 ) S
2+1
10.0004S
2+0.04S+1
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Diagrama de Bloque
Se usa el criterio de Rout% para encontrar la * cr+tica
s24 x10
−41
s14 x10
−2 Kp
s0−4 x10
−4 Kp+4 x10
−20
*cr" 4 x 10−2
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0.0004 s2+0.04 s+1+k cr=0
0.0004 s2+0.04 s+1+0.04=0
s=−50± j10
s=10 s=wcr
Pcr=2π
wcr
=2π
10 =0.628
Controlador Proporcional !P): Kp=(0.5 ) 4 x 10−2=0.02 , Ti=∞, Td=0
Gc (s )=0.02
Controlador Proporcional Interati,o !PI):
Kp=0.45 x10−2 (4 x10
−2 )=0.018 ,Ti= 1
1.2(0.628 )=0.5233 , Td=0
Gc (s )=0.018 s+0.0343s
Controlador Proporcional Interati,o -eri,ati,o !PI-):
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Kp=0.6 Kcr=0.4 (4 x 10−2 )=0.016 ,Ti=0.5 (0.628 )=0.314 , Td=0.12 (0.628 )=0.0785
Gc (s )=0.024 s+0.0764+1.884 x10
−3s2
s
Gr!cas Error "s tiem#o $ Salida "s tiem#o #ro#orcio%adas #or Simuli%&:
Co%trolador P: e't()"s)t
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Co%trolador P: u't()"s)t
Co%trolador P*: e't()"s)t
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Co%trolador P*: u't()"s)t
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Co%trolador P*D: u't()"s)t
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Problema Sistema de +i"el de l,quido co% *%teracci-%:
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Formulación .atemática:
a¿C 1dh1
dt =q−q1¿ R1=
h1−h2
q1 c¿C 2
d ! 2
dt =q1−q2d ¿ R2=
h2
q2
Se le aplica LaPlace
a¿C 1h1 ( s) S=q (s )−q1 (s ) ¿ R1q1(s)=h1(s)−h2(s) c ¿C 2h2(s)S=q1(s)−q2(s)d¿ R2q2(s )=h2(s)
En la ecuación /b0 despe1amos %#!s)& en /d0 despe1amos %2!s) 3 la remplazamos en laecuación /b0 3a despe1ada:
h1 ( s )= R1q1 ( s )+ R2q2(s )
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Diagrama de Bloque
7plicando el criterio de Rout%& para encontrar *cr
s20.181
s1
1.5 Kp
s0−0.18 Kp+1.50
Kcr=1.5
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0.18S2+1.5S+1+k cr=0
0.18S2+1.5S+1+1.5=0
s=6.03=w cr
Pcr= 2π
6.03=1.04
Controlador Proporcional !P): Kp=(0.5) 1.5=0.75 ,Ti=∞,Td=0
Gc (s )=0.75
Controlador Proporcional Interati,o !PI):
Kp=0.45 (1.5 )=0.675 ,Ti= 1
1.2(1.04 )=0.867 , Td=0
Gc (s )=0.675S+0.778
s
Controlador Proporcional Interati,o -eri,ati,o !PI-):
Kp=0.6 Kcr=0.6 (1.5 )=0.9 , Ti=0.5 (1.04 )=0.52, Td=0.125 (1.04 )=0.13
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Gc (s )=0.9 s+1.73+0.117 s
2
s
Para determinar %2!s)65!s)& de /d0 se despe1a 52!s) 3 se remplaza en /c0
)¿q1 ( s)=C 2h2 ( s) S+h2(s)
R2
Remplazamos 5#!s) de /0 en la ecuación /b0 3 despe1amos %#!s):
h¿h2 ( s )[ R1C 2S+ R 1
R2+1]=h1 (s )
Remplazamos la ecuación /a0 en %#!s) de /%0:
i¿h2 (s )[ R1C 2S+ R1
R2+1]=q ( s)−q1(s)
C 1S
Como no necesitamos 5#!s) en la ecuación& retomamos /0 para remplazar el 5#!s) de /i0
nos tocará a%ora despe1ar la ecuación de manera 5ue obtenamos %2!s)65!s):
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h2(s)q (s )
=[ 1
R1C 1C 2 S2+( R 1
R2C 1+C 1+C 2)S+
1
R2 ]
h2(s)
q (s ) =
[ 1
0.6 S2+5S+3.33 ]
7plicando el criterio de Rout%& para encontrar *cr
s20.61
s15 Kp
s0−0.6 Kp+50
Kcr=5
0.6S2+5S+3.33+k cr=0
0.6S2+5S+3.33+5=0
s=6.03=w cr
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Podemos obser,er 5ue la 8cr es iual 5ue el caso anterior& por lo 5ue las funciones de P& PI 3 PI-
,an a ser iuales tanto paraq2(s )
q ( s) como para
h2(s)q (s )
Gr!cas #ara q2
(s )q ( s) Error "s tiem#o $ Salida "s tiem#o #ro#orcio%adas #or Simuli%&
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Co%trolador P: u't()"s)t
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