Lab-EED-8

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laboratorio matlab

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  • UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

    FACULTAD DE INGENIERIA

    DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

    Ecuaciones Diferenciales (IN1008C)

    Laboratorio 9

    Series de Fourier

    La idea de estos laboratorios es visualizar algunos fenomenos que ocurren con las series de Fourier.

    Especcamente nos centraremos en el Teorema de convergencia y el fenomeno de Gibbs.

    1. Dada una funcion f : [, ] R. Se dene la M -esima suma de Fourier trigonometrica de la

    funcion f(x), como

    sM (x) =a0

    2+

    M?

    n=1

    (an cos(nx) + bn sin(nx))

    donde a0 =1

    ?

    f(x) dx, an =1

    ?

    f(x) cos(nx) dx y bn =1

    ?

    f(x) sin(nx) dx. Construir un

    programa function para cada una de las funciones

    (a) f(x) = 1, x 0 y f(x) = 1

    2, 0 < x < (en azul).

    (b) f(x) = x, x (en azul).

    (c) f(x) =

    ?x2 + 1 si x < 0

    x2 si 0 < x (en azul).

    que graque la funcion y su correspondiente M -esima suma de Fourier trigonometrica (en rojo).

    La function debe tener como parametro M . Indicacion: se sugiere que los coecientes a0, an y bn

    se calculen por el metodo tradicional con el n de obtener una expresion explcita para ellos. Si

    alguien lo resuelve usando algun comando de Matlab, pues felicidades y bienvenido, ya que eso nos

    muestra que ha aprendido.

    2. Dada una funcion f : [, ] R. Se dene la M -esima suma de Fourier trigonometrica de la

    funcion f(x), como

    sM (x) =a0

    2+

    M?

    n=1

    (an cos(nx) + bn sin(nx))

    donde a0 =1

    ?

    f(x) dx, an =1

    ?

    f(x) cos(nx) dx y bn =1

    ?

    f(x) sin(nx) dx.

    En 1903, el matematico hungaro L. Fejer, propuso una nueva forma de sumar los terminos de la

    serie de Fourier. Simplemente se trata de sumar los promedios de las sumas parciales y pasar al

    lmite. Se obtiene as una nueva sucesion de funciones que produce convergencia incluso en algunos

    casos en los que la serie original no la tiene.

    En otras palabras, se dene la M-esima suma de Fejer como:

    M (x) =1

    M + 1

    M?

    N=0

    sN (x)

    donde sN (x) representa a la N-esima suma de Fourier. De esta forma la suma de Fejer sera:

    s(x) = limM

    M (X).

    El objetivo de este ejercicio es comparar la convergencia de ambas sumas. Para ello se pide construir

    un programa function en Matlab que graque la funcion f(x) = x, x (en azul), su

    1

    8

  • correspondiente M -esima suma de Fourier trigonometrica (en rojo) y su correspondiente M -esima

    suma de Fejer (en verde). La function debe tener como parametro M . Indicacion: se sugiere que

    los coecientes a0, an y bn de la serie de Fourier se calculen por el metodo tradicional con el n de

    obtener una expresion explcita para ellos.

    RAL/HCC/RCJ/CLG/FST/fst.

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