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LAB 13 - Análisis de Covarianza - CLAVE
Se realizó un experimento para estudiar la eficacia de un promotor de crecimiento en terneros en lactación. Se
usaron cuatro dosis de la droga (0, 2.5, 5 y 7.5 mg). Cada dosis se aplicó a 16 terneros aleatoriamente escogidos. Se
registró el peso al nacimiento de los terneros (en libras), y la ganancia promedio diaria (en libras/día) al cabo de 12
semanas. Los datos se acompañan. El objetivo final es saber si existen diferencias en la ganancia promedio diaria
entre las diferentes dosis.
Dosis Peso_Naci Gan_Prom_Diar
0 75 2.6
0 74 2.42
0 77 2.58
0 75 2.36
0 74 2.27
0 74 2.22
0 75 2.37
0 76 2.43
0 77 2.93
0 77 2.66
0 78 2.3
0 78 2.31
0 83 2.4
0 80 2.9
0 81 2.88
0 85 2.84
2.5 63 2.25
2.5 65 2.42
2.5 66 2.58
2.5 66 2.95
2.5 69 2.71
2.5 69 2.46
2.5 70 2.73
2.5 71 2.52
2.5 72 2.54
2.5 73 2.51
2.5 73 2.53
2.5 73 2.72
2.5 74 2.9
2.5 75 2.91
2.5 77 2.91
2.5 78 2.92
5 61 2.36
5 61 2.88
5 63 2.86
5 64 2.75
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5 65 2.59
5 68 3.09
5 69 3.14
5 69 2.91
5 71 2.53
5 73 2.91
5 74 2.79
5 75 2.84
5 76 2.71
5 77 3.01
5 77 2.75
5 85 3.13
7.5 63 2.7
7.5 66 2.47
7.5 66 2.7
7.5 66 2.28
7.5 67 2.94
7.5 72 2.85
7.5 73 2.44
7.5 76 2.92
7.5 77 2.73
7.5 79 3.13
7.5 79 3.17
7.5 83 2.85
7.5 83 2.73
7.5 83 2.85
7.5 84 3.28
7.5 84 2.8
1. Usando InfoStat, analice los datos (sin usar una covariable) y compare las medias de ganancia promedio diaria
con LSD. ¿Existen diferencias en las medias (no ajustadas) de la ganancia de peso diario bajo los distintos
tratamientos?
ANOVA sin usar una covariable: Variable N R² R² Aj CV
Gan_Prom_Diaria 64 0.2158 0.1766 8.7289
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V. SC gl CM F p-valor
Modelo. 0.9206 3 0.3069 5.5040 0.0021
Dosis 0.9206 3 0.3069 5.5040 0.0021
Error 3.3450 60 0.0558
Total 4.2656 63
Test:LSD Fisher Alfa=0.05 DMS=0.16698
Error: 0.0558 gl: 60
Dosis Medias n E.E.
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0.00 2.5294 16 0.0590 A
2.50 2.6600 16 0.0590 A B
7.50 2.8025 16 0.0590 B C
5.00 2.8281 16 0.0590 C Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p > 0.05)
Terneros que recibieron la dosis=2.5 no mostraron mayor ganancia promedio diario que los terneros que no
recibieron el promotor (dosis = 0). Los terneros con dosis = 7.50 no tuvieron una ganancia diferente a los de
dosis = 2.5 o dosis = 5.0, pero los terneros con dosis =5.0 tuvieron una ganancia significativamente mayor
que los que recibieron la dosis de 2.5.
2. Grafique los datos. ¿El gráfico sugiere un efecto lineal de peso al nacimiento sobre la ganancia promedio diaria?
¿Es el efecto de peso al nacimiento el mismo para todos los tratamientos (un efecto lineal con [aproximadamente]
misma pendiente)?
En el gráfico, vemos que hay un efecto positivo de peso al nacimiento sobre la ganancia promedio
diaria, y que el efecto (pendiente) es más o menos parecido para cada tratamiento (dosis).
3. Como el gráfico sugiere que los terneros de menor peso al nacimiento podrían ganar menos peso durante su
crecimiento, vamos a usar InfoStat para realizar un análisis de covarianza para controlar esta posible fuente de
variación:
a. Escriba el modelo que está siendo usado. Indique la interpretación de cada término del mismo.
Gan_Prom_Diaria-0.00 Gan_Prom_Diaria-2.50 Gan_Prom_Diaria-5.00
Gan_Prom_Diaria-7.50
59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89
Peso_Naci
2.22
2.46
2.70
2.94
3.19
Ga
n_
Pro
m_
Dia
ria
Título
Gan_Prom_Diaria-0.00 Gan_Prom_Diaria-2.50 Gan_Prom_Diaria-5.00
Gan_Prom_Diaria-7.50
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Yij = + i + Xij + ij
Donde
i es el efecto del i-ísmo tratamiento (dosis) (es el intercepto de la línea de regresión
para dosis i)
es el incremento promedio en ganancia promedio diaria en un tratamiento
específico (dosis) cuando el peso al nacimiento aumento 1 libra
Xij es el efecto de peso al nacimiento en la repetición j de dosis i
ij es la desviación de la repetición j de dosis i de la línea de regresión
b. Usando InfoStat, realice el análisis de covarianza usando peso al nacimiento como la covariable.
ANOVA utilizando Peso_Naci como la covariable
Análisis de la varianza
Variable N R² R² Aj CV
Gan_Prom_Diaria 64 0.4049 0.3645 7.6683
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V. SC gl CM F p-valor Coef
Modelo. 1.7270 4 0.4318 10.0347 <0.0001
Dosis 1.4307 3 0.4769 11.0837 <0.0001
Peso_Naci 0.8065 1 0.8065 18.7437 0.0001 0.0202
Error 2.5386 59 0.0430
Total 4.2656 63
Test:LSD Fisher Alfa=0.05 DMS=0.14675
Error: 0.0430 gl: 59
Dosis Medias n E.E.
0.00 2.4494 16 0.0551 A
2.50 2.7123 16 0.0532 B
7.50 2.7704 16 0.0524 B C
5.00 2.8880 16 0.0537 C Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p > 0.05)
c. Formule y pruebe las hipótesis correspondientes para determinar si hay un efecto del peso al nacimiento sobre
la ganancia promedio diaria (= 0.05). Si es significativo, describa el efecto que peso al nacimiento tiene sobre
la ganancia de peso diaria (o sea, interprete la pendiente).
Ho: = 0 Ha: ≠ 0
Hay un efecto significativo de peso al nacimiento sobre la ganancia promedio diaria. Al aumentar el peso
al nacimiento por 1 libras, la ganancia promedio diaria aumenta 0.0202 libras/día.
0.0202 es la pendiente (hay un aumento
en la ganancia promedio diaria de 0.0202
libras/día al aumentar el peso al
nacimiento por 1 libra). La pendiente es
significativa (p=0.0001)
Estas medias han sido ajustadas tomando
en consideración el peso al nacimiento
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d. Compare las medias ajustadas de ganancia promedio diaria con LSD. ¿Existen diferencias en la ganancia de
peso diaria bajo los distintos tratamientos (=.05)?
Sí, existen diferencias en las medias de ganancia promedio diaria entre los tratamientos (dosis del
promotor). Animales que no recibieron el promotor de crecimiento (dosis=0) ganaron significativamente
menos peso por día que los que recibieron el promotor de crecimiento. Animales con dosis = 5 ganaron
mayor peso por día que animales con dosis = 2.5, pero no difieren de animales con dosis = 7.
e. Compare las medias no ajustadas (de la parte 1) y ajustadas. Las medias ajustadas de dosis 0 y 7 son menores
que las medias no ajustadas y las medias ajustadas de dosis 2.5 y 5 fueron mayores que las medias no ajustadas.
¿Por qué?
Aunque los animales fueron asignados al azar a los tratamientos, por casualidad el peso promedio al
nacimiento de los terneros recibiendo dosis 0 y 7 fue mayor que el promedio (y el peso promedio de los
terneros recibiendo dosis 2.5 y 5 fueron menor que el promedio. Medias ajustadas corresponden a las
medias donde peso al nacimiento (X) es igual a ̅ .
4. Escriba las ecuaciones correspondientes a la relación entre ganancia de peso diaria y peso al nacimiento para
cada una de las cuatro dosis. Usando la fórmula de media ajustada y las ecuaciones estimadas, verifique a mano los
valores de las medias ajustadas obtenidas en la parte (3). Puede usar el siguiente programa SAS:
proc glm;
class dosis;
model gan_prom_diaria = peso_nacim dosis / solution;
lsmeans dosis;
means dosis;
Source DF
Sum of
Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 4 1.72703730 0.43175932 10.03 <.0001
Error 59 2.53856270 0.04302649
Corrected Total 63 4.26560000
R-Square Coeff Var Root MSE gan_prom_diaria Mean
0.404876 7.668328 0.207428 2.705000
Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F
peso_naci 1 0.29635318 0.29635318 6.89 0.0110
dosis 3 1.43068412 0.47689471 11.08 <.0001
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Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
peso_naci 1 0.80647480 0.80647480 18.74 <.0001
dosis 3 1.43068412 0.47689471 11.08 <.0001
La siguiente tabla en la salida de SAS incluye los estimados de los parámetros del modelo lineal:
0 = 1.289360 (= )
1 = 0.020158 (la pendiente)
dosis=0 = -0.321001212
dosis=2.5 = -0.058086678
dosis=5.0 = 0.117597724
dosis=7 = 0 (se expresan los otros is como desviaciones de dosis=7 que se usa como el
tratamiento
referencia)
Para calcular las medias ajustadas a mano, necesitamos el promedio de peso al nacimiento
( ̅ . De
medidas resumen en InfoStat vemos que este valor es: 73.469 libras.
Media ajustada de [dosis=0] = 1.289359707 + -0.321001212 + 0.020158405(73.469) = 2.4494
Media ajustada de [dosis=2.5] = 1.289359707 + -0.058086678 + 0.020158405(73.469) = 2.7123
Media ajustada de [dosis=5.0] = 1.289359707 + -0.117597724 + 0.020158405(73.469) = 2.8880
Media ajustada de [dosis=7.5] = 1.289359707 + 0 + 0.020158405(73.469) = 2.7704
Parameter Estimate
Standard
Error t Value Pr > |t|
Intercept 1.289359707 B 0.35332983 3.65 0.0006
peso_naci 0.020158405 0.00465617 4.33 <.0001
dosis 0 -0.321001212 B 0.07416602 -4.33 <.0001
dosis 2.5 -0.058086678 B 0.07588459 -0.77 0.4470
dosis 5 0.117597724 B 0.07635187 1.54 0.1289
dosis 7.5 0.000000000 B . . .
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En el siguiente gráfico vemos las líneas que corresponden a las ecuaciones lineales arriba. Hay dos
Líneas posicionadas debajo el tratamiento dosis=7.5 (los tratamientos con la negativa) y una línea
posicionada arriba de dosis=7.5 (el tratamiento dosis=5, que tuvo un efecto () positivo.
Medias ajustadas:
dosis gan_prom_diaria LSMEAN
0 2.44937133
2.5 2.71228586
5 2.88797027
7.5 2.77037254
60 65 70 75 80 85
peso_naci
2.25
2.50
2.75
3.00
3.25
gan_
prom
_di
aria
7.552.50dosis
Analysis of Covariance for gan_prom_diaria
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2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
gan_
prom
_di
aria
LS-M
ean
0 2.5 5 7.5
dosis
LS-M eans for dosis
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
gan_
prom
_di
aria
0 2.5 5 7.5
dosis
Distribution of gan_prom_diaria
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Level of
dosis N
gan_prom_diaria peso_naci
Mean Std Dev Mean Std Dev
0 16 2.52937500 0.24471667 77.4375000 3.30592902
2.5 16 2.66000000 0.21460040 70.8750000 4.33397431
5 16 2.82812500 0.21596971 70.5000000 6.75277721
7.5 16 2.80250000 0.26536767 75.0625000 7.54955849
5. Verifique el supuesto de igualdad de pendientes (líneas paralelas). Puede usar el siguiente programa SAS:
proc glm;
class dosis;
model gan_prom_diaria = peso_nacim dosis peso_nacim*dosis;
run;
Dependent Variable: gan_prom_diaria
Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 7 1.85122704 0.26446101 6.13 <.0001
Error 56 2.41437296 0.04311380
Corrected Total 63 4.26560000
R-Square Coeff Var Root MSE gan_prom_diaria Mean
0.433990 7.676105 0.207639 2.705000
Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F
peso_naci 1 0.29635318 0.29635318 6.87 0.0112
dosis 3 1.43068412 0.47689471 11.06 <.0001
peso_naci*dosis 3 0.12418975 0.04139658 0.96 0.4180
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
peso_naci 1 0.82969736 0.82969736 19.24 <.0001
dosis 3 0.17559370 0.05853123 1.36 0.2651
peso_naci*dosis 3 0.12418975 0.04139658 0.96 0.4180
Hipotesis alterna = las líneas no son paralelas (o sea, hay una
interacción dosis x peso al nacimiento que es lo mismo como
decir que tienen diferentes pendientes).
CONCLUSION: Se acepta la hipótesis nula (p=0.4180).
Concluimos que la ganancia diaria en peso de cada
tratamiento es afectada por la covariable peso al nacimiento
en la misma manera (pendiente)