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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE – EJERCICIOS
Ejercicio Nº 01:
Análisis de señales; señales digitales:
Discretas:
a) Señal Escalón:
𝑓(𝑡) {0; 𝑡 < 0𝐴; 𝑡 ≥ 0
La transformada de Laplace será:
𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐿{𝐴} = 𝐴 𝐿{1(𝑡)}
Entonces:
𝐹(𝑠) = 𝐴.1
𝑠
Donde: A= constante.
Dando Valores; donde A=2:
s F(s)
-10,5 -0,0952381
-9,5 -0,10526316
-8,5 -0,11764706
-7,5 -0,13333333
-6,5 -0,15384615
-5,5 -0,18181818
-4,5 -0,22222222
-3,5 -0,28571429
-2,5 -0,4
-1,5 -0,66666667
-0,5 -2
0,5 2
1,5 0,66666667
2,5 0,4
3,5 0,28571429
4,5 0,22222222
5,5 0,18181818
6,5 0,15384615
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7,5 0,13333333
8,5 0,11764706
9,5 0,10526316
9,5 0,10526316
10,5 0,0952381
Grafica Nº 01:
Ejercicio Nº 02
Análisis de señales, Señales Analógicas:
a) Rampa:
Sea la función:
𝑓(𝑡) {0; 𝑡 ≤ 0
𝐴𝑡; 𝑡 > 0
La transformada de Laplace será:
𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐴 𝐿{𝑡}
𝐹(𝑠) = 𝐴.1
𝑠2
Dando valores arbitrarios:
s F(s)
-10,5 0,00907029
-10 0,01
-9,5 0,01108033
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-10 -5 0 5 10
Series1
Serie 2
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-9 0,01234568
-8,5 0,01384083
-8 0,015625
-7,5 0,01777778
-7 0,02040816
-6,5 0,02366864
-6 0,02777778
-5,5 0,03305785
-5 0,04
-4,5 0,04938272
-4 0,0625
-3,5 0,08163265
-3 0,11111111
-2,5 0,16
-2 0,25
-1,5 0,44444444
-1 1
-0,5 4
0,5 4
1 1
1,5 0,44444444
2 0,25
2,5 0,16
3 0,11111111
3,5 0,08163265
4 0,0625
4,5 0,04938272
5 0,04
5,5 0,03305785
6 0,02777778
6,5 0,02366864
7 0,02040816
7,5 0,01777778
8 0,015625
8,5 0,01384083
9 0,01234568
9,5 0,01108033
10 0,01
10,5 0,00907029
Grafica Nº 02:
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b) Senoidal.
Sea la función:
𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡
La transformada de Laplace será:
𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡}
𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡 𝑑𝑡+∞
0
Integrando por partes:
𝐹(𝑠) = 𝑒−𝑠𝑡 (𝑠. 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑡 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡
𝑠2 + 𝐴2)
0
+∞
Resolviendo:
𝐹(𝑠) = 𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡} =𝑎
𝑠2 + 𝑎; 𝑠𝑖 𝑠 > 0
Dando valores arbitrarios:
-10,5 0,01750547
-10 0,01923077
-9,5 0,02122016
-9 0,02352941
-8,5 0,02622951
-8 0,02941176
-7,5 0,03319502
-7 0,03773585
-6,5 0,04324324
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-11 -6 -1 4 9
Series1
Serie 2
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-6 0,05
-5,5 0,05839416
-5 0,06896552
-4,5 0,08247423
-4 0,1
-3,5 0,12307692
-3 0,15384615
-2,5 0,19512195
-2 0,25
-1,5 0,32
-1 0,4
-0,5 0,47058824
0 0,5
0,5 0,47058824
1 0,4
1,5 0,32
2 0,25
2,5 0,19512195
3 0,15384615
3,5 0,12307692
4 0,1
4,5 0,08247423
5 0,06896552
5,5 0,05839416
6 0,05
6,5 0,04324324
7 0,03773585
7,5 0,03319502
8 0,02941176
8,5 0,02622951
9 0,02352941
9,5 0,02122016
10 0,01923077
10,5 0,01750547
Grafica:
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c) Cosenoidal.
Sea la función:
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡
La transformada de Laplace será:
𝐹(𝑠) = 𝐿{𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡 𝑑𝑡+∞
0
Resolviendo:
𝐿{𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑡} =𝑠
𝑠2 + 𝐴2; 𝑠𝑖 𝑠 > 0
Dando valores Arbitrarios:
-10,5 -0,09190372
-10 -0,09615385
-9,5 -0,10079576
-9 -0,10588235
-8,5 -0,11147541
-8 -0,11764706
-7,5 -0,12448133
-7 -0,13207547
-6,5 -0,14054054
-6 -0,15
-5,5 -0,16058394
-5 -0,17241379
-4,5 -0,18556701
-4 -0,2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-11 -6 -1 4 9
Series1
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-3,5 -0,21538462
-3 -0,23076923
-2,5 -0,24390244
-2 -0,25
-1,5 -0,24
-1 -0,2
-0,5 -0,11764706
0 0
0,5 0,11764706
1 0,2
1,5 0,24
2 0,25
2,5 0,24390244
3 0,23076923
3,5 0,21538462
4 0,2
4,5 0,18556701
5 0,17241379
5,5 0,16058394
6 0,15
6,5 0,14054054
7 0,13207547
7,5 0,12448133
8 0,11764706
8,5 0,11147541
9 0,10588235
9,5 0,10079576
10 0,09615385
10,5 0,09190372
Grafica:
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d) Señales de onda Triangular.
Sea la función:
𝑠𝑖 𝑡 ∈< 0,1 >⟹ 𝑚1 = 1 ⟹ 𝑓(𝑡) = 𝑡
𝑠𝑖 𝑡 ∈< 1,2 >⟹ 𝑚2 = −1 ⟹ 𝑓(𝑡) = 2 − 𝑡
De donde:
𝑓(𝑡) = {𝑡; 𝑠𝑖 𝑡 ∈< 0,1 >
2 − 𝑡; 𝑠𝑖 𝑡 ∈< 1,2 >
Donde f(t) es periódica de periodo p=2
Entonces su Transformada de Laplace será:
𝐿{𝑓(𝑡)} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑃
0
1 − 𝑒−𝑝𝑠=
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑃
0
1 − 𝑒−2𝑠=
1
1 − 𝑒−2𝑠[∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡(2 − 𝑡)𝑑𝑡
2
1
1
0
]
𝐿{𝑓(𝑡)} =1
1 − 𝑒−2𝑠[(−
𝑡
𝑠−
1
𝑠2) 𝑒−𝑠𝑡 ∕
10
+ (𝑡
𝑠+
1
𝑠2−
2
𝑠) 𝑒−𝑠𝑡 ∕
21
]
Reemplazando:
𝐿{𝑓(𝑡)} =1
1 − 𝑒−2𝑠(
𝑒−2𝑠 − 2𝑒−𝑠 + 1
𝑠2) =
1 − 𝑒−𝑠
𝑠2(1 + 𝑒−𝑠)=
1
𝑠2𝑡𝑔ℎ (
𝑠
2)
Entonces
𝐿{𝑓(𝑡)} =1
𝑠2𝑡𝑔ℎ (
𝑠
2)
Donde:
𝑡𝑔ℎ 𝑡 =𝑒𝑡 − 𝑒−𝑡
𝑒𝑡 + 𝑒−𝑡=
𝑒2𝑡 − 1
𝑒2𝑡 + 1=
1 − 𝑒−2𝑡
1 + 𝑒−2𝑡
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-11 -6 -1 4 9
Series1
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Dando valores arbitrarios:
s F(s)
0,5 3,52269756
1 0,76745584
1,5 0,32888238
2 0,19149018
2,5 0,12986118
3 0,09534167
3,5 0,07326537
4 0,05800496
4,5 0,04694147
5 0,03866149
5,5 0,03231784
6 0,02736568
6,5 0,02343769
7 0,02027801
7,5 0,01770407
8 0,01558308
8,5 0,0138169
9 0,01233197
9,5 0,01107245
10 0,00999546
10,5 0,00906767
Grafica:
-0.4
0.1
0.6
1.1
1.6
2.1
2.6
3.1
3.6
-1 1 3 5 7 9 11
Series1
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e) Señales de Onda Cuadrada.
Sea f(t) una función periódica de p= 2es decir:
𝑓(𝑡) = {1 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < 1
−1 𝑠𝑖 − 1 < 𝑡 < 2
Donde:
𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡), ∀ 𝑡
Entonces la transformada de Laplace es:
𝐿{𝐹(𝑡)} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡
𝑝
0
1 − 𝑒−𝑝𝑠=
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡2
0
1 − 𝑒−2𝑠=
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡)𝑑𝑡2
1
1
0
1 − 𝑒−2𝑠
𝐿{𝐹(𝑡)} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
2
1
1
0
1 − 𝑒−2𝑠
𝐿{𝐹(𝑡)} =𝑒−2𝑠 − 2𝑒−𝑠 + 1
𝑠(1 − 𝑒−2𝑠)=
(1 − 𝑒−𝑠)2
𝑠(1 − 𝑒−2𝑠)=
1 − 𝑒−𝑠
𝑠(1 − 𝑒−𝑠)=
𝑒𝑠 − 1
𝑠(𝑒𝑠 + 1)=
1
𝑠𝑡𝑔 (
𝑠
2)
Entonces:
𝐿{𝐹(𝑡)} =1
𝑠𝑡𝑔 (
𝑠
2)
Dando valores arbitrarios:
s F(s)
0,5 0,48983732
1 0,46211716
1,5 0,42343263
2 0,38079708
2,5 0,33931346
3 0,30171608
3,5 0,26896444
4 0,2410069
4,5 0,21733914
5 0,19732286
5,5 0,18033813
6 0,16584246
6,5 0,15338425
7 0,14259684
7,5 0,13318593
8 0,12491616
8,5 0,11759919
9 0,11108369
9,5 0,1052474
10 0,09999092
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10,5 0,09523285
Grafica:
f) Señales de onda Diente de Serrucho.
Según la función periodica F(t) donde es p=A, si t pertenece [0,a], entonces m=tg Ѳ.
Luego la función es: F(t)=t.tgѲ, con periodo p=a.
La transformada de Laplace es:
𝐿{𝐹(𝑡)} = 𝐿{𝑇𝑔 𝜃. 𝑡} =∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑔𝜃. 𝑡 𝑑𝑡
𝑎
0
1 − 𝑒−𝑎𝑠=
𝑡𝑔 𝜃
1 − 𝑒−𝑎𝑠∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡
𝑎
0
=𝑡𝑔 𝜃
1 − 𝑒−𝑎𝑠(
1 − 𝑒𝑎𝑠 − 𝑎𝑠𝑒−𝑎𝑠
𝑠2)
Entonces:
𝐿{𝐹(𝑡)} =𝑡𝑔 𝜃(1 − 𝑒𝑎𝑠 − 𝑎𝑠𝑒−𝑎𝑠)
𝑠2(1 − 𝑒−𝑎𝑠)
Dando valores arbitrarios:
Donde Ѳ=30, A= 2:
s F(s)
0,5 -4,27958735
1 -3,28981515
1,5 -2,16636747
2 -1,42804214
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-1.5 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5
Series1
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2,5 -0,97679433
3 -0,69762098
3,5 -0,51859638
4 -0,39899064
4,5 -0,3158833
5 -0,25607367
5,5 -0,21170051
6 -0,17791056
6,5 -0,15160033
7 -0,13071931
7,5 -0,11387196
8 -0,1000831
8,5 -0,08865503
9 -0,07907814
9,5 -0,07097319
10 -0,06405331
10,5 -0,05809824
Grafica:
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-1.5 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5
Series1