Cálculo IntegralLa Integral Definida. Área Bajo LaCurva.

M. en C. Juliho Castillo31 de enero de 2017

Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana

1

1 La Integral Definida. Área Bajo La Curva.

Notación “Sigma”

Área bajo la curva

Propiedades de la Integral Definida

Ejercicios Resueltos

2

La Integral Definida. Área BajoLa Curva.

3

La Integral Definida. Área BajoLa Curva.

Notación “Sigma”

4

La letra griega Σ denota adición repetida:

b∑i=a

f(i) = f(a) + f(a + 1) + ... + f(b),

siempre que a ≤ b.

5

Ejemplo 1.1.

1∑5

j=1 j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 152∑3

i=0 (2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 73∑10

i=2 i2 = 22 + 32 + ... + 102

4∑4

j=1 cos(jπ) = cos π + cos 2π + cos 3π + cos 4π.

6

Linealidad

Proposición 1.1.

b∑i=a

cf(i) = cb∑

i=a

f(i) (1.1)

b∑i=a

f(i) + g(i) =b∑

i=a

f(i) +b∑

i=a

g(i) (1.2)

7

La Integral Definida. Área BajoLa Curva.

Área bajo la curva

8

Sea f una función tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b].

9

Figura 1.1: Aproximación de área bajo la curva

10

Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).

1 Dividimos el intervalo en N subintervalos

a = x0 < x1 < ... < xN = b.

2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como

δxi = xi+1 − xi.

3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por

N∑i=1

f(ξi)δxi,

donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].11

Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).

1 Dividimos el intervalo en N subintervalos

a = x0 < x1 < ... < xN = b.

2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como

δxi = xi+1 − xi.

3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por

N∑i=1

f(ξi)δxi,

donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].11

Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).

1 Dividimos el intervalo en N subintervalos

a = x0 < x1 < ... < xN = b.

2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como

δxi = xi+1 − xi.

3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por

N∑i=1

f(ξi)δxi,

donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].11

Una manera más concreta de construir una suma de Riemmanes fijando el tamaño del paso:

1 Definimos h = b − a

N;

2 Escogemos

ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N ;

3 La suma de Riemann correspondiente será

N∑k=1

f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN)) .

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Una manera más concreta de construir una suma de Riemmanes fijando el tamaño del paso:

1 Definimos h = b − a

N;

2 Escogemos

ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N ;

3 La suma de Riemann correspondiente será

N∑k=1

f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN)) .

12

Una manera más concreta de construir una suma de Riemmanes fijando el tamaño del paso:

1 Definimos h = b − a

N;

2 Escogemos

ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N ;

3 La suma de Riemann correspondiente será

N∑k=1

f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN)) .

12

Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derechode cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemosescoger por ejemplo:

el extremo izquierdo:

ξk = a + (k − 1) ∗ h;

o el punto medio de cada intervalo:

ξk = a +(

k − 12

)∗ h;

13

Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derechode cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemosescoger por ejemplo:

el extremo izquierdo:

ξk = a + (k − 1) ∗ h;

o el punto medio de cada intervalo:

ξk = a +(

k − 12

)∗ h;

13

Si en un intervalo [a, b], f(x) < 0, entonces la suma anterioraproxima el área sobre la curva.

Figura 1.2: Aproximación de área bajo la curva

14

Por esta razón, cuando no distinguimos cuando f(x) cambiade signo en un intervalo, hablamos del área con signo.

Figura 1.3: Aproximación de área bajo la curva

15

Definición 1.1.La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por

∫ b

af(x)dx = lım

N→∞

(N∑

i=1f(ξi)δxi

),

siempre y cuando el límite exista.

Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).

La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conocecomo suma de Riemman.

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Definición 1.1.La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por

∫ b

af(x)dx = lım

N→∞

(N∑

i=1f(ξi)δxi

),

siempre y cuando el límite exista.

Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).

La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conocecomo suma de Riemman.

16

Definición 1.1.La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por

∫ b

af(x)dx = lım

N→∞

(N∑

i=1f(ξi)δxi

),

siempre y cuando el límite exista.

Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).

La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conocecomo suma de Riemman.

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Ejemplo 1.2.Calcule ∫ 5

11dx.

17

Ejemplo 1.3.

Calcule ∫ 5

0xdx.

18

Ejemplo 1.4.

Calcule ∫ 5

1xdx.

19

Proposición 1.2.

∫ b

a1dx = b − a (1.3)∫ b

axdx = b2

2 − a2

2 (1.4)

20

Ejemplo 1.5.

Aproxime la integral ∫ b

a

1√2π

e− 12 x2

dx

utilizando el algoritmo 1.1 fijando el tamaño del paso, cona = −1, b = 1, N = 5 y usando el extremo derecho de cadaintervalo.

21

Evaluación Continua 1.Aproxime la integral del ejemplo 1.5 cuando:

1 a = 0, b = 3, N = 4;2 a = −2, b = 2, N = 8;3 a = −3, b = 3, N = 16.

22

La Integral Definida. Área BajoLa Curva.

Propiedades de la Integral Definida

23

Propiedades: Linealidad

∫ b

acf(x)dx = c

∫ b

af(x)dx (1.5)∫ b

a(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx (1.6)

24

Propiedades: Linealidad

∫ b

acf(x)dx = c

∫ b

af(x)dx (1.5)∫ b

a(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx (1.6)

24

Propiedades: Límites

∫ c

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ c

bf(x)dx (1.7)∫ a

af(x)dx = 0 (1.8)∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx (1.9)

25

Propiedades: Límites

∫ c

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ c

bf(x)dx (1.7)∫ a

af(x)dx = 0 (1.8)∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx (1.9)

25

Propiedades: Límites

∫ c

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ c

bf(x)dx (1.7)∫ a

af(x)dx = 0 (1.8)∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx (1.9)

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La Integral Definida. Área BajoLa Curva.

Ejercicios Resueltos

26

Ejercicio Resuelto 1.Supongamos que f y g son integrables en [a, b]. Demostrarque:

(a) Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ b

a f(x)dx ≥ 0.

(b) Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

(c) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces

m (b − a) ≤∫ b

af(x)dx ≤ M (b − a) .

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Ejercicio Resuelto 2.Evalue ∫ 1

0x2dx

a partir de la definición.

28

Ejercicio Resuelto 3.

Demuestre la fórmulan∑

k=1k = n (n + 1)

2 .

29

Bibliografía

Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 23 ``TheDefinite Integral. Area Under a Curve'' de nuestrolibro de texto ``Ayres, F. and Mendelson,E.;``Calculus''; Schaum's Outlines, McGraw Hill;5th Edition.''

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