1Cueva de Naica (Chihuahua, México)

2

La Geometría encarnada en la Naturaleza como cristales: el qué, el cómo y el por qué de su ser

Alberto Navarro Izquierdo

3Cueva de Naica (Chihuahua, México)

4

CONTENIDOS

� Introducción y objeto

� Breve historia de la geometría

� Sólidos perfectos y otros

� Ejemplos de cristales

� Que son los cristales

� Como son los cristales

� Clasificación y características microscópicas

� Por que se forman los cristales

� Tipos de cristales según las fuerzas que los forman

� Algunas propiedades

5

Breve historia de la geometría antigua

Bifaz de calcedonia de Torralba, c. 350 000 años a. p.

6

Breve historia de la geometría antigua

Venus de Lespugue, en marfil, altura 14,7 cm ~ 25000 años a. p.

¿ESTETICA?

7

Breve historia de la geometría antigua

Cuenco de Samarra, Sumeria (Irak), c. 5000 a. C.

¿ESTETICA?

8

Breve historia de la geometría antigua

9

Breve historia de la geometría antigua

10

Breve historia de la geometría antigua

Keops, reinó c. 2579 a 2556 a. C

Kefrén, reinó c. 2547 a 2521 a. C.

� Egipto: Papiro de Rhind (c 1900 a.C.)

� Babilonia tabletas de arcilla: v. gr. Plimpton 322 (1900 a. C.)

11

π = 3,141592…

longitud = l = 2π r

superficie = s = π r2

r

Breve historia de la geometría antigua

meses = 12

horas = 24 = 12 × 2

días ≈ 360 = 12 × 30

minutos y segundos = 60 = 12 × 5

Sobre 1900 a. C.

12

Breve historia de la geometría antigua

MUNDO GRIEGO

� Tales de Mileto (c. 624 a. C. – c. 546 a. C.)

º90ˆ =CBA2º teorema de Tales:

13

Escuela Pitagórica. Pitágoras (c. 570 a. C. – c. 495 a. C.)

a2 = b2 + c2

Breve historia de la geometría antigua

ca

b

14

Pitagóricos: Mística de la Matemática - Geometría

Simplicidad, armonía, belleza, asombro, fascinación,D

� «Los números son cosas en si»

� «Las cosas son números»

� « Pitágoras más que nadie parece haber honrado

y avanzado en el estudio de los números,

arrebatándoles su uso a los mercaderes y

equiparando todas las cosas a los números »

Filosofía - Metafísica - Ontología - Religión -

Mística de la Geometría

15

SOLIDOS PERFECTOS O PLATONICOS

Platón 427 a. C. a 347 a. C. Teeteto 417 a. C. a 369 a. C.

DODECAEDRO

OCTAEDRO ICOSAEDRO

HEXAEDRO

TETRAEDRO

16

DODECAEDRO

OCTAEDRO ICOSAEDRO

HEXAEDRO

TETRAEDRO

SOLIDOS PERFECTOS O PLATONICOS

17

SOLIDOS PERFECTOS

IcosaedroDodecaedroOctaedroHexaedro,

cuboTetraedroNombre

2012864Número de caras

Radio interno

Radio externo

DodecaedroIcosaedroHexaedroOctaedroTetraedroPoliedro conjugado

35343Vértices contenidos

en cada cara

53433Caras concurrentes

en cada vértice

1220684Número de vértices

303012126Número de aristas

Euclides (c. 325 a. C. – c. 265 a. C.)

Aristóteles (384 a 322 a. C.)

18

En Escocia se han encontrado piedras

talladas de los sólidos perfectos, las más

antiguas c. 3000 a. C.

SOLIDOS PERFECTOS

“Bola de piedra” de Towie

(en Aberdeenshire, Escocia)

19

SOLIDOS PERFECTOS

20

RELACION DE PARENTESCO

21

POLIEDROS DUALES. Cubo: 6 caras, 8 vérticesOctaedro: 8 caras, 6 vértices

RELACION DE PARENTESCO

22

POLIEDROS DUALES

Relación de

parentesco

23

RELACION DE PARENTESCO

24

POLIEDROS DUALES. Icosaedro: 20 caras, 12 vérticesDodecaedro: 12 caras, 20 vértices

25

POLIEDROS DUALES. Tetraedros conjugados

RELACION DE PARENTESCO

26

RELACION DE PARENTESCO

27

RELACION DE PARENTESCO

28

RELACION DE PARENTESCO

29

INSCRIPCION EN LA CIRCUNFERENCIA Y OTROS

Hombre de Vitrubio. Leonardo da Vinci, 1487

30

INSCRIPCION EN UNA ESFERA

Modelo planetario de Kepler (1596)

31

ROMBODODECAEDRO. Sólido de caras uniformes (de Catalan) con aristas uniformes

Zonoedro

32

OCTAEDRO TRUNCADO (Sólido de Arquímedes)

Zonoedro

33

CUBOCTAEDRO (Sólido de Arquímedes)

c

c

c

o

o

o

c: cubo

o: octaedro

34

ROMBOEDRO (TRAPEZOEDRO TRIGONAL)

αβ

γ180º-α

β

γ

35

PROYECCION DE LOS ROMBOEDROS Y EL CUBO

romboedro obtuso cubo romboedro agudo

36

HALITA: NaCl

37

PIRITA: FeS2

38

PIRITA: FeS2

39

PIRITA: FeS2

40

PIRITA: FeS2. Simetría pseudo pentagonal

En contra de la apariencia, se demuestra teóricamente, y se confirma experimentalmente que no existen ejes de simetría de orden 5

Clase m3 (2/m 3), diploidalGrupo espacial Pa3 {P21/a3}

41

PIRITA: FeS2

Macla “cruz de hierro”

42

DIAMANTE: C

43

Maclas de DIAMANTE

44

GRANATES: X3Z2(SiO4)3

45

SOLIDOS QUIRALES

Tetraedros con las 4 caras de distinto color: son quirales

Un objeto quiral y su imagen especular son ENANTIOMORFOS

46

SOLIDOS QUIRALES

47

SOLIDOS QUIRALES

L R

48

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

Unas 800 formas diferentes

49

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. MACLAS

http://nsminerals.atspace.com/calcite.html

50

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

Escalenoedro: “diente de perro”

51

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

52

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

53

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

54

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

55

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

56

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA

57

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. MACLAS

58

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. Maclas

59

DISPARIDAD DE FORMAS DE LA CALCITA. MACLAS

Maclas

60

CALCITA: UNA CELDILLA UNIDAD

Altura 1,7061××××10-9 m Lado base 0,49896××××10-9 m

Angulo base 60º

61

CALCITA: UNA CELDILLA UNIDAD

62

SOLIDO COMPUESTO POR ATOMOS

63

SOLIDO COMPUESTO POR ATOMOS (ICOSAEDRO)

64

APILAMIENTO COMPACTO DE ESFERAS

65

DIFRACCION DE RAYOS X (1895)

Max von Laue, 1912: ; ;

Bragg & Bragg, 1913: nλ = 2d senθθθθ

L

B

B

66

DIFRACCION DE RAYOS X nλ = 2d senθθθθ

d5

d4

d3

d2d1

67

DIFRACCION DE RAYOS Xnλ = 2d senθθθθ

Rayos X

2θθθθ i

di

68

nλ = 2d senθθθθ

69

MICROSCOPIO DE IONES EN CAMPO (1951)

Wolframio, diámetro atómico 0,28 nm

70

MICROSCOPIOS CON SONDA DE BARRIDO (1981)

Pb fcc, cara 111 Ni fcc, cara 110

NiO, cara 001

71

CRISTALES Y SOLIDOS AMORFOS

Cuarzo cristalino

(SiO2)

Vidrio de cuarzo

no cristalino

72

CLASIFICACION DE LOS SOLIDOS

SOLIDOS

NANOMATERIALES

VIDRIOS

CRISTALES

HOMOGENEOS

POLIMEROS, FIBRAS, Y MADERANO

HOMOGENEOS

73

estructura cristalina = retículo cristalino + motivo

el motivo consiste en:

• 1 átomo

• 1 molécula

• varios iones

• o conjuntos de los anteriores

Puntos reticulares que ubican un

“motivo químico”

Retículo cristalino o red cristalina(pura geometría)

74Celda unitaria Superposición de Celdas unitarias

Teselación del espacio. Celdilla unidad

Celda unitaria

75

CELDILLA UNIDAD PRIMITIVA FCC

76

Los siete sistemas cristalinos y sus celdas simples

Cúbico Tetragonal Ortorrómbico Romboédrico, trigonal

Monoclínico Triclínico Hexagonal

77

Los siete sistemas cristalinos

CONTENIDOFORMA

3 ejes binarios ( ó 3 P)5934Ortorrómbico

1 eje binario (ó 1 P)1332Monoclínico

4 ejes ternarios3653Cúbico

Sistema Nº

celdillas

Nº grupos

puntuales

Nº grupos

espaciales

Elementos de simetría

mínimos

Hexagonal 1 7 25 1 eje senario

Trigonal 1 5 27 1 ejes ternario

Tetragonal 2 7 68 1 eje cuaternario

Triclínico 1 2 2 1 centro o nada

TOTAL 14 32 230

78

Construcción del “edificio cristalino”

79

Diferencia de tamaño para metales con red fcc

409Plata

361Cobre

408Oro

495Plomo

392Platino

405Aluminio

Elemento arista / pm

Calcio 559

Níquel 352

a

a

80

Los tres tipos de celdas cúbicas en los metales

Cúbica simple Cúbica centrada en el cuerpo (B.C.C.)

Cúbica centrada en las caras (F.C.C.)

81

Relación entre la longitud de la arista y elradio atómico en tres celdas unitarias cúbicas

82

Distribución de esferas idénticasen una celda cúbica simple de un metal

Huecos cúbicos

Coordinación 6 (octaédrica)

Vista de la planta

Vista por la diagonal

83

Distribución de esferas idénticas enun cubo centrado en el cuerpo de un metal

Vista de la planta Coordinación 8 (cúbica)

Hueco: bipirámide tetragonal

pseudoctaédrico

84

Distribución de esferas idénticas enun cubo centrado en las caras de un metal

Vista de la planta

Vista por la diagonal principalCoordinación 12

85

Coordinación de los empaquetamientos compactos

86

Coordinación de los empaquetamientos compactos

Primera capaA

B Segunda capa

El sólido se construye por superposición de capas

6 átomos misma capa +

3 átomos capa inferior +

3 átomos capa superior =

12 átomosB

A

87

Empaquetamientos compactos

HUECOS TETRAEDRICOSPrimera capaA

B Segunda capa

El sólido se construye por superposición de capas

Hexagonal compacto: ABABD.

HUECOS OCTAEDRICOS

Cúbico centrado en las caras: ABCABCD

88

Empaquetamientos compactos

Cúbico centrado en

las caras

89

Diamante: el más duro, el mejor conductor térmico, el de menor capacidad calorífica, el de mayor punto de fusión, muy mal conductor eléctrico, muy alto índice de refracción

Si, Ge, Compuestos III-V: GaAs, InP, (In,Ga)N, D

Exfoliación por (111), (caras octaedro)

Coordinación

tetraédrica

90

C

Diamante y semiconductores de uso técnico

¡El punto de vista!http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_01-en.html

91

Grafito: blando, exfoliable, conductor anisotrópico, negro, alta Tfus

142 pm

335 pm

Red hexagonal en la que el

motivo es una pareja de

átomos desplazados ½ de la

diagonal principal

Conducción

eléctrica anisotropía

92

Cristales iónicos. NaCl

NaCl: red cúbica centrada en las caras en la que el motivo es 1 anión + 1 catión

desplazados ½ arista

Cada ión coordina con 6 de signo contrario

situados en los vértices de un octaedro

Cl ; Na

93

Cristales iónicos

ZnS (esfalerita, blenda de cinc): red cúbica centrada en las caras en la que el

motivo es 1 anión + 1 catión desplazados ¼ de la diagonal principal

Cada ión coordina con 4 de signo contrario situados en los vértices de un

tetraedro

CONTENIDO:ANIONES: (8 vértices · 1/8) + (6 centro caras · ½) = 4

CATIONES: 4 interior del cubo · 1 = 4

S ; Zn

94

Cristales iónicos

CsCl: red cúbica simple en la que el motivo es 1 anión + 1 catión desplazados 1/2

de la diagonal principal

Cada ión coordina con 8 de signo contrario situados en los vértices de un cubo

CONTENIDO:ANIONES: 8 vértices · 1/8 = 1

CATIONES: 1 centro del cubo · 1 = 1

Cl; Cs

95

Otras estructuras de cristales iónicos

CaF2 (fluorita)F Ca

ZnS (wurzita)

S Zn

Al2O3 (corindón)O Al

Cuando los puntos reticulares se encuentran ocupados por motivos más complejos

como SO42- , ClO3

- , NO3-, NH4

+ , S las redes son de menor simetría: ortorrómbico,

romboédrico, monoclínico y triclínico

96

CRISTALES TERMINADOS Y NO TERMINADOS

� Lo más frecuente es encontrarse con sólidos policristalinos, formados por múltiples cristales

� El tamaño de los cristales varia ampliamente

� Macrocristales: visibles por el ojo

� Microcristales: visibles con el microscopio óptico > 4 10-7 m

� Criptocristales: dificultad de visualización con lámina

delgada

� Nanocristales: del orden de 10-9 m

� La DRX desentraña su orden interior

SOLIDOS POLICRISTALINOS

97

CRISTALES NO TERMINADOS

Galvanizado de cinc sobre acero

98

CRISTALES NO TERMINADOS

Roca: granito Rosa Porriño

99

CRISTALES NO TERMINADOS

Roca en lámina delgada: 30 µµµµm – 2 µµµµm

100

¿Por qué?G = H - TS

∆∆∆∆G = ∆∆∆∆ H - T ∆∆∆∆ S

en un proceso a T = cte

G : energía libre de Gibbs

H : entalpía

T : temperatura absoluta

S : entropía

101

∆∆∆∆G = ∆∆∆∆ H - T ∆∆∆∆ S < 0Un proceso a T y p constantes, es espontáneo si:

Lo que se favorece si:

a) ∆∆∆∆ H < 0 : desprendimiento de energía

b) ∆∆∆∆ S > 0 : aumento del desorden En la formación de un cristal a partir de un líquido, una disolución, o un vapor ∆∆∆∆ S < 0 ⇒⇒⇒⇒el factor entrópico dificulta la cristalización

PROCESO DE CRISTALIZACIÓN

102

∆∆∆∆ H < 0 : desprendimiento de energía

Energía proveniente de interacciones electromagnéticas microscópicas regidas por la

mecánica cuántica, y vulgarmente conocidas como“energías de enlace”

¡Todos los tipos de enlaces provocan disposiciones geométricas similares y con energía minimizada!

103

Tipo de cristal

Unidades constitutivas

Fuerza de enlace

Propiedades Ejemplos

Energía para separar las unidades

kcal / mol

Molecular,

f. débiles

Moléculas o átomos de

gases nobles

Van derWaals,

E. de H

Tfus y Teb baja; aislantes,

transparente

Ar

CH4

H2O

1,6

2,0

12,0

Iónico IonesAtracción

electrostática

Tfus y Teb altas; aislantes,

transparente

LiF

NaCl

ZnO

247

186

964

Covalente AtomosEnlaces

covalentes

Tfus y Teb muy altas;

aislantes, transparente

Diamante

Si

SiO2

170

105

433

Metálico AtomosEnlace

metálico

Tfus y Teb

medios; conductores,

opacos

Li

Fe

W

38

99

200

Propiedades características de los tipos de cristales

104

¿QUE CARAS APARECEN?

105

POLIMORFISMO

alta presión

baja temperatura

baja presión

alta temperatura

Condiciones

2,952,71Densidad

AragonitoCalcitaNombre

CaCO3

Sistema Trigonal Ortorrómbico

106

POLIMORFISMO

107

POLIMORFISMO

SillimanitaCianitaAndalucitaNombre

Al2(SiO4)O

Sistema Tetragonal Triclínico Ortorrómbico

Condiciones “baja p y T” “media p y T” “alta p y T”

108

POLIMORFISMO

Cianita

Sillimanita

Andalucita

109

EL HIELO

110

EL HIELO

111

EL HIELO

http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/ice/ice.htm

112Estructura del hielo: muy direccional, muy abierta, poco compacta

113

EL AGUA ES UNA SUSTANCIA MUY ESPECIAL

Temperatura (ºC)D

en

sid

ad

ag

ua

(g

/mL

)

Densidad máxima

4 ºC

11.3

Densidad del hielo a 0 ºC: 0,917 g/mL

SUSTANCIACp

/ kJ kg−1 K−1

Amoniaco 4,70

Etanol 2,44

Gasolina 2,22

Mercurio 0,14

Agua 4,18

114

Diagrama de fases del H2O. (16 fases sólidas)

vapor

p / Pa

T / K

líquido

cristales

115

COLOR

Intrínseco: cinabrio (rojo), óxidos de hierro (pardos y

amarillos), compuestos de cobre (azul y verde), sales

de manganeso (rosados),S

Extrínseco (impurezas, defectos cristalinos): rubí

rojo (Cr), zafiro azul (Fe + Ti), diamante azul (B),

diamante amarillo (N),S

116

COLOR. Fluorita (CaF2)

117

COLOR. Fluorita (CaF2)

118

COLOR

Crecimiento no homogéneo

119

BRILLO (R) – INDICE DE REFRACCION (n)

1,96Zircon, ZrSiO4

2,91Cinabrio, HgS

4,01Germanio, Ge

2,62Rutilo, TiO2

1,31Hielo, H2O

1,54Cuarzo, SiO2

1,65Calcita, CaCO3

1,60Berilo, Be3Al2(SiO3)6

1,67Turmalina, (silicato complejo)

1,77Ruby, zafiro, Al2O3

2,00Casiterita, SnO2

2,42Diamante, C

nMaterial

n = c / v

2

1

1

+−

=n

nR

120

Birrefringencia

-0,2511,3361,587RomboédricoNitrato de sodio, NaNO3

+0,6832,6561,973TetragonalCalomelanos, Hg2Cl2

-0,1721,4861,658TrigonalCalcita, CaCO3

-0,0451,5571,602HexagonalBerilo, Be3Al2(SiO3)6

∆nnenoSistema

cristalinoMaterial

121

Birrefringencia

RUTILO

122

DUREZA

6Ortosa

2Yeso

1Talco

3Calcita

5-8Acero

>10Fullerita (ADNRs)

10Diamante

9Corindón

8Topacio

7Cuarzo

5Apatito

4Fluorita

MohsMaterial

123

ABRASIVOS

corte y pulido de metales, gemas, rocas, óptica, odontología,…

~9WCcarburo de

wolframio, widia

10Cdiamante

>10Cfullerita y ADNRs

9,5-10BNnitruro de boro

7SiO2sílice, cuarzo

9Al2O3corindón, alúmina

9,4SiCcarburo de silicio

durezaMohs

fórmulanombre

124

EXFOLIACION Y FRACTURA

125

Cuchillos cerámicos

ZrO2 dureza 8,5 frente a 5-8 de los aceros

126Si: 99,9999999%. 1 impureza 104 millones de átomos

SEMICONDUCTORES

127Grosor de las obleas ≈ 0,16 – 0,5 mm

SEMICONDUCTORES

Obleas cortadas según [100] o [111]

Toda laelectrónica

128

Banda prohibida de los semiconductores

1,4InP

fórmulaEg / eV, a 300 K

GaN 3,4

SiC 2,4 – 3,1

GaP 2,3

GaAs 1,4

Si 1,1

GaSb 0,70

Ge 0,67

� LED

� PILAS SOLARES

� LASERES

� DETECTORES DE LUZ

Ca

rácte

r ais

lan

te

ELECTRICIDAD ⇔⇔⇔⇔ LUZ

129

Superconductores a “altas temperaturas”

YBa2Cu3O7-x (x = 0-0,6)

Superconductor a -178 ºCN2(l) -196 ºC

RMN

CERN

MAGLEV

Efecto Meissner