La fórmula secreta de la Coca ColaAutor José Luis Gómez Muñozhttp://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez

Graficando y modificando funciones

Los siguientes comandos sirven para para definir una función f HxL = x2, graficándola de 0 a 1

In[1]:=f@x_D := x2;

Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D

Out[2]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Para que el eje horizontal y el vertical tengan la misma escala, debemos añadir la opción: AspectRatioÆAutomaticadentro del comando Plot:

In[3]:=f@x_D := x2;

Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → AutomaticD

Out[4]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2 FEM00150CocaCola.nb

Aquí cambiamos un poco la función subiéndola 0.5 unidades, y además ponemos la opciónAxesOriginÆ{0,0}La cual forza a Mathematica a dibujar los ejes cruzándose en el origen, que es lo que usualmente hacemos en un dibujo a mano:

In[5]:=f@x_D := 0.5 + x2;

Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[6]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

FEM00150CocaCola.nb 3

Cambiamos un signo en la función, haciendo que abra hacia abajo:

In[7]:=f@x_D := 0.5 − x2;

Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[8]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Volvemos a cambiar la función, moviéndola 0.4 unidades a la derecha:

In[9]:=f@x_D := 0.5 − Hx − 0.4L2;Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[10]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

4 FEM00150CocaCola.nb

Ahora hacemos que la variación en alturas sea menor multiplicando por 0.3:

In[11]:=f@x_D := 0.5 − 0.3 Hx − 0.4L2;Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[12]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ahora graficamos de 0 a 2:

In[13]:=f@x_D := 0.5 − 0.3 Hx − 0.4L2;Plot@f@xD, 8x, 0, 2<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[14]=

0.5 1.0 1.5 2.0

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

FEM00150CocaCola.nb 5

Superficies de Revolución

Los siguientes comandos sirven para para definir la función g HxL = x2, graficandola de 0 a 0.5

In[15]:=g@x_D := x2;

Plot@g@xD, 8x, 0, 0.5<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[16]=

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

6 FEM00150CocaCola.nb

A continuación usamos la función g (que fue definida arriba) para graficar la ecuación x = y2

In[17]:=ParametricPlot@8g@yD, y<, 8y, 0, 0.5<D

Out[17]=

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

FEM00150CocaCola.nb 7

Reemplaza "ParametricPlot" con "RevolutionPlot3D" y se obtiene la superficie generada por la rotación de la curva x = y2 alrededor del eje y:

In[18]:=RevolutionPlot3D@8g@yD, y<, 8y, 0, 0.5<D

Out[18]=

8 FEM00150CocaCola.nb

Una pieza de ajedrez

Supón que queremos fabricar un juego de ajedrez. Por ejemplo para crear un peón se puede generar al girar la siguiente función alrededor del eje. Aquí x y f(x) están dadas en centímetros:

f(x)=

1-x

20 § x § 1

12

1 < x § 3

34- Ix- 7

2M2 3 < x § 4

Primero definimos la función peon(x) usando el comando Piecewise, y la graficamos:

In[19]:=peon@x_D := PiecewiseB:

:1 −x

2, 0 ≤ x ≤ 1>,

:1

2, 1 < x ≤ 3>,

:3

4− x −

7

2

2

, 3 < x ≤ 4>

>F;Plot@peon@xD, 8x, 0, 4<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[20]=

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

FEM00150CocaCola.nb 9

Usamos la función peon(x) (que fue creada en el comando anterior) y el comando ParametricPlot para graficar la ecuación x=peon(y)

In[22]:=ParametricPlot@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4<, PlotRange → All, AxesOrigin → 80, 0<D

Out[22]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1

2

3

4

10 FEM00150CocaCola.nb

Reemplaza "ParametricPlot" con "RevolutionPlot3D" y se obtiene la superficie generada por la rotación de la curva x = peon HyL alrededor del eje y

In[23]:=RevolutionPlot3D@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4<, PlotRange → AllD

Out[23]=

FEM00150CocaCola.nb 11

Con la opción MeshØNone se puede obtener la superficie sin la malla:

In[24]:=RevolutionPlot3D@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4.05<,PlotRange → All, Mesh → NoneD

Out[24]=

Imagen en la superficie

El comando FileNames permite mostrar las imágenes JPG que están en el folder "Mis documentos" de esta computadora.El resultado de este comando será diferente en tu computadora.Si obtienes como resultado una lista vacía, obtén una imagen JPG de internet y guárdala en la carpeta (folder) donde Mathematica busca archivos (Usualmente es "Mis documentos" si tu computadora usa Windows)

In[25]:=FileNames@"∗.jpg"D

Out[25]=8ambassadors.jpg, lennablue.jpg, lenna.jpg, peon.jpg<

12 FEM00150CocaCola.nb

Selecciona una de las imágenes JPG que aparecieron en tu computadora, y guárdala en la variable imagen, como se muestra abajo:

In[26]:=imagen = Import@"ambassadors.jpg"D

Out[26]=

FEM00150CocaCola.nb 13

A continuación la imagen alrededor del peón. La función peon[y] fue definida más arriba en este documento, y la imagen fue guardada en imagen en el comando anterior (EN MATHEMATICA PUEDES GIRAR LA IMAGEN EN 3D CON EL RATÓN). La figura tridimensional se guarda en la variable peonsolido, como se muestra abajo:

In[27]:=peonsolido = RevolutionPlot3D@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4.05<,

Mesh → None, PlotStyle → Texture@imagenDD

Out[27]=

Volumen de la pieza de ajedrez

La siguiente fórmula permite calcular el volumen de un sólido de revolución:volumen=Ÿyini

yendp ◊ Hf @yDL2 „y

A continuación se usa el comando NIntegrate para calcular el volumen del peón:

In[28]:=NIntegrateAπ ∗ Hpeon@yDL2, 8y, 0, 4<E

Out[28]=4.81711

Este número significa que, si el peón va a ser fabricado de plata, contendrá 4.8 centímetros cúbi-cos de plata. Si tenemos el costo de un centímetro cúbico de plata, podemos multiplicarlo por 4.8para conocer el costo del material necesario para fabricar este peón.

14 FEM00150CocaCola.nb

Exportando la figura final

A continuación se guarda el dibujo del perfil del peón en la variable peonplano:

In[29]:=peonplano = Plot@peon@xD, 8x, 0, 4<,

AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[29]=

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

FEM00150CocaCola.nb 15

A continuación se juntan la figura tridimensional peonsolido, la figura peonplano y la función peon[x] (las tres fueron definidas más arriba) en una figura llamada final, la cual será exportada más abajo en un archivo JPG. En la etiqueta PlotLabel pon tú número de estudiante (matrícula), como se muestra abajo:

In[30]:=final = GraphicsGrid@

88 peon@xD, peonsolido <,8 peonplano, SpanFromAbove<

<,Frame → All,

PlotLabel → "ESTUDIANTE: A00123456",

ImageSize → LargeD

Out[30]=

Abajo exportamos la figura llamada final, que fue definida arriba, que contiene el peón y su función, y que tiene en la etiqueta tú número de matrícula en un archivo JPG:

In[31]:=Export@"peon.jpg", final,

ImageSize → LargeDOut[31]=

peon.jpg

El comando FileNames[“*.jpg”] muestra la lista de archivos JPG en el directorio (carpeta,

16 FEM00150CocaCola.nb

folder) donde Mathematica busca y guarda archivos. Este directorio suele ser “Mis Documentos” en Windows. La lista de archivos JPG puede ser diferente en tu computadora de la lista que se muestra abajo:

In[32]:=FileNames@"∗.jpg"D

Out[32]=8ambassadors.jpg, lennablue.jpg, lenna.jpg, peon.jpg<

Ejercicio: La fórmula secreta de la Coca Colaa) Construye la fórmula de una función seccionada (usando Piecewise) tal que cuando sea rotadaalrededor del eje genere una botella de Coca Cola, como se muestra en la imagen abajo. Tu

botella de Coca Cola debe tener 18 centímetros de alto.

b) Calcula el volumen de tu botella con la siguiente fórmula para calcular el volumen:

volumen=Ÿ018p◊Hf @yDL2 „y

Usa el comando NIntegrate, como se hizo con el peón, mas arriba en este documentoEl volumen de tu botella de Coca Cola debe ser cercano a los 237 centímetros cúbicos (237

mililitros), que es el volumen de una botella real de 18 centímetros de alto.

c) Ponle una imagen (etiqueta) a tu botella de Coca Cola

d) Exporta tu Coca Cola tridimensional con etiqueta, junton la función que usaste para crearla, enun archivo JPG con tu número de matrícula. Envía ese archivo JPG al instructor mediante elprograma o red social que él o ella te haya indicado.

Autor José Luis Gómez Muñozhttp://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez

In[33]:=$Version

Out[33]=9.0 for Microsoft Windows H64−bitL HNovember 20, 2012L

FEM00150CocaCola.nb 17

In[34]:=DateString@D

Out[34]=Sat 25 May 2013 14:45:00

18 FEM00150CocaCola.nb