06 de Marzo de 2011

La dinLa dináámica de quarks y mica de quarks y gluonesgluones con un potencial de con un potencial de confinamiento exactamente confinamiento exactamente soluble con rasgos de QCD soluble con rasgos de QCD

ClifforCliffor BenjamBenjamíín n CompeCompeáánn JassoJassoColoquio del IFM, UMSNHColoquio del IFM, UMSNH

“…“… ‘‘Al principio era la simetrAl principio era la simetrííaa’’; esto es ; esto es algo, sin duda, malgo, sin duda, máás acertado que la tesis s acertado que la tesis de de DemDemóócritocrito: : ‘‘Al principio era la Al principio era la partpartíículacula’’. Las part. Las partíículas elementales culas elementales encarnan las simetrencarnan las simetríías, son aquellas las as, son aquellas las representaciones mas sencillas de representaciones mas sencillas de ééstas, stas, pero no son mpero no son máás que una consecuencia de s que una consecuencia de las simetrlas simetríías. En la evolucias. En la evolucióón del universo, n del universo, el azar entra en juego mel azar entra en juego máás tarde. s tarde. …”…”

Werner Karl Werner Karl HeisenbergHeisenberg““Las partLas partíículas elementales y la filosofculas elementales y la filosofíía a

de Platde Platóónn””, Ensayo (1961, Ensayo (1961--1965)1965)

ContenidoContenidoI.I. MotivaciMotivacióón n

1.1. IntroducciIntroduccióónn2.2. La simetrLa simetríía SO(4) en el espectro a SO(4) en el espectro baribarióóniconico y el disey el diseñño o

de la fde la fóórmula de masas en el modelo algebraicormula de masas en el modelo algebraicoII.II. Desarrollo del modeloDesarrollo del modelo

3.3. El potencial cot+cscEl potencial cot+csc22

4.4. La soluciLa solucióón de la ecuacin de la ecuacióón de Schrn de Schröödinger con el dinger con el potencial cot+cscpotencial cot+csc22

5.5. El potencial cot+cscEl potencial cot+csc22 como funcicomo funcióón angular en el n angular en el espacio curvado Sespacio curvado S33

6.6. Las simetrLas simetríías duales SO(2,1) y SO(4) del potencial as duales SO(2,1) y SO(4) del potencial cot+csccot+csc22

7.7. Factor de Forma elFactor de Forma elééctrico del protctrico del protóón y radio de carga n y radio de carga III.III. Las ecuaciones de DysonLas ecuaciones de Dyson--ScwingerScwinger

8.8. La ecuaciLa ecuacióón de movimiento en el espacio de momenton de movimiento en el espacio de momento9.9. Las Ecuaciones de DSLas Ecuaciones de DSConclusionesConclusiones

I. MotivaciI. Motivacióónn

Cromodinámica Cuántica (QCD): Teoría de la interacción fuerte

1. Introducci1. Introduccióónn

Grados de libertad de QCD

Sabor (F)u, d, s, c, t, b

Color (c)R, B, G

Espín (S)↑↓

SU(2)S

Espacial (L)

Quarks más ligeros

∆++∆+∆0∆-

Σ+*Σ0*Σ-*

Ξ0*Ξ-*

Ω-

(u, d), s±1/2, 0

SU(3)F

n pSU(2)I Iz =Σ+Σ0Σ-

Ξ0Ξ-Λ0

Grados de libertad y función de onda

Sabor (F)u, d, sSU(3)F

Espacial (L)SO(3)L

Espín (S)↑↓

SU(2)S

Color (c)R, B, GSU(3)c

Nuestro enfoque: |ΨL>.

SO(3)L todos los potenciales centralesEspecificando el potencial aumenta la simetría: Ejemplos:Oscilador armónico SU(3)NL, L=N,N-2, … 0 ó 1.Potencial de Coulomb SO(4)KL, L=K,K-1, … 0Natanson SO(2,2), etc.La simetría del potencial es la que define las degeneraciones en el espectro. Diferentes potenciales, diferentes espectros.

Descripción común del espectro de bariones ligeros

Oscilador Armónico

SU(3)F SU(2)S SO(3)L

SU(6)SF SU(3)NL

SU(3)F SO(4)KLSU(2)S

Estado Base

Factorización de la parte de sabor

Representaciones del Grupo de Lorentz(Edo. Base)

Descripción propuesta

Supermultiplete de los bariones más ligeros (u, d) del grupo SU(6)SFƒSU(3)NL (asignación explícita)

Particle Data Group

N(939) P11

∆(1232) P33

N(1440) P11

N(1710) P11

N(1520) D13

N(1535) S11

N(1650) S11

N(1700) D13

N(1675) D15

∆(1620) D33

∆(1700) S31

N(1720) P13

N(1680) F15

∆(1950) F37

∆(1905) F35

9

N(2250) G19N(2190) G17

∆(1910) P31

∆(1920) P33

∆(1930) D35

En la figura•98 edos. predichos hasta el tercer edo. excitado (2250),

Estados observados•20 edos. con buena estadística (*** y ****),•6 edos. bien definidos pero con poca estadística (**),•98-20-6=7272 resonancias faltantes.

Resonancias extras•+8 resonancias con muy poca estadística (*),

Estados superiores•+6 resonancias con poca estadística (**),•+4 resonancias con buena estadística (*** y ****).

Predichas (98)

>>

Observadas (26)

http://wwwa1.kph.uni-mainz.de/Bosen/archive/talks/2007/lectures/Burkert_4.pdf

Multipletes

(La distribución de masa es aleatoria):

•Muy anchos

•Se traslapan

•No hay patrón de niveles (IMAGEN ARQUETÍPICA)Colores representan un mismo multiplete

Más problemas

SoluciSolucióónn de los de los problemasproblemas

1.1. Analizar la distribuciAnalizar la distribucióón n de masa del de masa del espectro del Nucleespectro del Nucleóón y n y ∆∆ por por separadoseparado..

2.2. Ver si se obtienen degeneraciones, Ver si se obtienen degeneraciones, seseññalando una simetralando una simetríía diferente a diferente (Cuestionar la cadena de (Cuestionar la cadena de composicicomposicióón).n).

Cita MarianaM. Kirchbach, Mod. Phys. Lett. A 15, 2373 (1997).

Nucleón

Vista rudimentaria: Agrupaciones bien formadas

2. La simetr2. La simetríía SO(4) en el espectro a SO(4) en el espectro baribarióóniconico y el disey el diseñño de la fo de la fóórmula de rmula de masas en el modelo algebraicomasas en el modelo algebraico

Mismo patrón de degeneración en N y ∆ (se factoriza isoespín).

∆

Mismo patrón de degeneración en N y ∆ (se factoriza isoespín).

KD15(2200)S11(2090) P13(1900) G19(2250)F17(1990) H1,11(----)

5P11(2100) D13(2080) G17(2190)F15(2000) H19(2220)

K = número de parejas de ParidadD15(1675)S11(1650) P13(1720) F17(----)3

P11(1710) D13(1700) F15(1680)

S11(1535) D13(1520)1

P11(1440)

NucleónP11(939)0

l1 52 3 40

Observación:

Conteo de números cuánticos en una agrupación lleva a una representación del grupo SO(4)KL.

(K/2,K/2)⊗((1/2,0)⊕(0,1/2))M. Kirchbach, Nucl. Phys. A 689, 157 (2000).

K

∆

H3,11(2420)D35(2350)S31(2150) P33(----) F37(2390) G39(2400)5

P31(1750)

F35(1905)D33(1940)

H39(2300)G37(2200)

P31(1910)

F35(2000)D33(----)P31(----)

K = número de parejas de ParidadS31(1900) P33(1920) F37(1950)D35(1930)

3

D33(1700)S31(1620)1

P33(1232)0

l1 52 3 40Observación:

Conteo de números cuánticos en una agrupación lleva a una representación del grupo SO(4)KL.

(K/2,K/2)⊗((1/2,0)⊕(0,1/2))M. Kirchbach, Nucl. Phys. A 689, 157 (2000).

En base de esta observación se conjeturó:

¡Nueva simetría!

u, d, s

Simetría principal de la parte espacial

M. Kirchbach, M. Moshinsky, Yu. F. Smirnov, Phys. Rev. D 64, 114005 (2001).

Sistema q-qq

Sistema qqq

¿¿CuCuáál es la configuracil es la configuracióón de quarks que permite una simetrn de quarks que permite una simetríía a SO(4)SO(4)??

SO(4) como álgebra potencial

Modelo algebraico del Rovibrón

Fórmula de masas

M. Kirchbach, M. Moshinsky, Yu. F. Smirnov, Phys. Rev. D 64, 114005 (2001).

Aun falta la descripciAun falta la descripcióón n cuantitativa basada en cuantitativa basada en un potencial.un potencial.•• La guLa guíía hacia el potencial sera hacia el potencial seráá la fla fóórmula de rmula de

masa,masa,•• La dinLa dináámica de quarks y mica de quarks y gluonesgluones de QCD.de QCD.

II. II. DesarrolloDesarrollo del del modelomodelo

El potencial de Cornell

“Lattice QCD”

Régimen perturbativo (El término tipo Coulomb)

Régimen no perturbativo (El término lineal)

Confinamiento de rango finito (Fuera del alcance de este potencial, siendo este de rango infinito).

4. El 4. El potencialpotencial cot+csccot+csc22

Cornell

Encaja

r

-cot(r/d)

-1/r

r

dπPozo infinito (Escenario de confinamiento de rango finito)

Tubo de flujo de gluones (cuerdas)

Régim

enperturbativo

Régim

en noperturbativo

Coulomb(+lineal)

+Pozo

infinito

+Nuevo

5. Soluci5. Solucióón de la ecuacin de la ecuacióón de Schrn de Schröödinger dinger con el potencial cot+csccon el potencial cot+csc22

Visto (por ahora) como un potencial centralVisto (por ahora) como un potencial central

Nucleón y ∆ (q-qq), de acuerdo al Rovibrón

Exactamente soluble para l=0

C. B. Compean, M. Kirchbach, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 547 (2006).

Solución de la ec. de Schrödinger para l≠0Se facilita por la siguiente observación

¡La barrera centrifuga

estándar (3D) ya esta incluida en el término l(l+1)csc2!

Conjetura: l(l+1)csc2 zse interpreta como

una barrera centrifuga no

estándar.

Sturm - Liouville Polinomios no clásicos

Funciones de onda

b = 1Para el estado base, la función estácentrada en 0 a diferencia de los estados excitados.

EnergEnergííaa

Lo cual corresponde a la fórmula de masa del modeloalgebraico

Degeneración de los niveles de energía (como debe de ser)

SO(4)Kl

ParParáámetros del potencial de los parmetros del potencial de los paráámetros de la fmetros de la fóórmula de masarmula de masa

Nuestro modelo

3 parámetros

Otros modelos

>30 parámetrosVSPresentado en el taller internacional “Progress in quark models”

C. B. Compean, M. Kirchbach, Bled Workshop in Physics, Vol. 7 No. 1, 7 (2006)

K

0

1

2

3

4

5

P11(939)

P11(1440)

S11(1535)

F15(1680)

D15(1675)

D13(1700)

P13(1720)

H19(2220)

G19(2250)

G17(2190)

F17(1990)

P11(1710)

S11(1650)

F15(2000)

D15(2200)

D13(2080)

P13(1900)

P11(2100)

S11(2090) H1,11(----)

F17(----)

10

D13(1520)

2 3

Nucleón

P31(1750)

F35(1905)D33(1940)

H39(2300)G37(2200)

P31(1910)

F35(2000)D33(----)P31(----)

Resonancias faltantes para completar un nivel = 5

Resonancias faltantes en ambos espectros (K=2,4) = 28

l510 2 3 4

P33(1232)

S31(1620) D33(1700)

D35(1930)P33(1920)

G39(2400)F37(2390)

S31(1900)

D35(2350)P33(----)S31(2150)

F37(1950)

H3,11(2420)

VS

Los espectros del modelo potencialLos espectros del modelo potencial

∆

72 VS 33

6. El potencial cot+csc6. El potencial cot+csc22 como funcicomo funcióón n angular sobre el espacio curvado Sangular sobre el espacio curvado S33

Barión

=

3 q + (3q + gn)(3q + (qq)n) +

++QCD

=

El barión es un sistema de muchos cuerpos.

A menudo, sistemas de muchos grados de libertad se describen en términos de dos grados de libertad efectivos (dos cuerpos) residentes un espacio curvado.

Nuestra conjetura: Las interacciones genuinas entre los grados de libertad de QCD (q-g, q-q, g-g, …) para un barión se remplazan por un quark y un diquark que se mueven en la superficie de una esfera S3 en E4 e interactúan con la cot χ. De esta manera la curvatura codifica la multitud de configuraciones de QCD

Aspectos matemAspectos matemááticos de Sticos de S33

χ: Segundoángulo polar

Parametrización

Se soluciona la ecuación de Laplace – Beltrami

en E4 sobre la hiper-esfera de radio constante (S3)

K: Cuadrimomentoangular

R = cte.

Ecuación de Schrödinger sobre S3 se relaciona con el problema de auto-valores de K2

Problema de auto-valores de K 2.Simetría SO(4)

El tEl téérmino rmino centrifugalcentrifugal estestáándar de ndar de SS33 es parte es parte K K 22

Entonces, nuestra barrera centrifuga no estándar es la barrera centrifuga estándar en la hiper-esfera. Se justifica la conjetura.

Niveles de energía

Funciones de onda

Funciones de onda angulares en S3

|Ψ|χ

θ

ParameterizacionesParameterizaciones ofof χχ in tin téérminos de rminos de rr…… (cambio de variable)(cambio de variable)

χ = r/Rχ = arctan r/R0 ≤ r/R ≤ π0 ≤ r/R < ∞

χr

Rχ

r

R

E3E4E4

S3 S3

χ = arcsin r/R

0 ≤ r/R ≤ 1

χ

rRx4

Robertson-Walker Puntos cuánticos SUSY-QM

… con el objetivo de obtener la parte espacial de la función de onda (espacio de posición estándar) necesitamos χ(r) dependiendo de las parametrizaciones de S3

E4

E3

S3

El espectro es el mismo. Pero describen diferentes fenómenos.

PotencialPotencial cot cot bajobajo laslas diferentesdiferentesparametrizacionesparametrizaciones

SUSY-QMRobertson-Walker Puntos cuánticos

χ = r/Rχ = arcsin r/R χ = arctan r/RV(χ) = -2Bcot χ

= -2Bcot r/RV(χ) = -2Bcot χ

= -2BR/r

V(χ) = -2Bcot χ

= -2B x4/r 0 ≤ r/R ≤ π0 ≤ r/R < ∞0 ≤ r/R ≤ 1

VolVolúúmenes de integracimenes de integracióón para n para varias varias parametrizacionesparametrizaciones

Robertson-Walker

χ = arcsin r/R

Puntos cuánticos

χ = arctan r/R

SUSY

χ = r/R

DeconfinamientoDeconfinamiento –– desenvolviendo el desenvolviendo el potencial potencial ““curvadocurvado”” al potencial de al potencial de

CoulombCoulomb ““planoplano””

κ = 1/R2 Parámetro de curvatura permite descripción de deconfinamiento.

Estados ligados (espacio plano), surgen del límite

Estados de dispersión (espacio plano) (K+1)2 κ → k2/h para

7. Las simetr7. Las simetríías duales SO(2,1) y as duales SO(2,1) y SO(4) del potencial cot+cscSO(4) del potencial cot+csc22

Los espectros del nucleLos espectros del nucleóón y n y ∆∆ se se describieron bien con un modelo con describieron bien con un modelo con la simetrla simetríía SO(4) basado en un a SO(4) basado en un potencial cot+cscpotencial cot+csc22 sobre Ssobre S33..

ResumenResumen de SO(2,1)de SO(2,1)

Cot+cscCot+csc22 sobre Ssobre S3 3 se transforma en se transforma en tanhtanh**sechsech+sech+sech22 ((ScarfScarf hiperbhiperbóólico) lico) en en HH11

1+11+1

SechSech22 y y tanhtanh**sechsech son las imson las imáágenes genes respectivas de la cscrespectivas de la csc22 y cot sobre el y cot sobre el hiperboloide:hiperboloide:

H11+1: ξ0

2 – ξ12 – ξ2

2 = - R2

Superficie de curvatura negativa en un espacio de anti de Sitter AdS3

Resumen SO(2,1)/SO(4)Resumen SO(2,1)/SO(4)Nuestro potencial tiene simetrNuestro potencial tiene simetríías SO(4)/SO(2,1) duales los as SO(4)/SO(2,1) duales los cuales concuerdan con las isometrcuales concuerdan con las isometríías en CFTas en CFT22 y gravedad y gravedad en en AdSAdS33 lo que quiere decir que el potencial captura los lo que quiere decir que el potencial captura los aspectos algebraicos de la teoraspectos algebraicos de la teoríía de supercuerdas en su a de supercuerdas en su versiversióón de correspondencia norma/gravedad.n de correspondencia norma/gravedad.De hecho estas son las simetrDe hecho estas son las simetríías del ras del réégimen perturbativo gimen perturbativo de QCD y los espectros del N y de QCD y los espectros del N y ∆∆ encajan cada uno, en su encajan cada uno, en su totalidad, en una representacitotalidad, en una representacióón infinita del grupo conforme n infinita del grupo conforme SO(2,4) el cual es el grupo de simetrSO(2,4) el cual es el grupo de simetríía del Lagrangiano de a del Lagrangiano de QCD en el sector de sabores ligeros (como debe ser). QCD en el sector de sabores ligeros (como debe ser). Recordemos que el espectro del Recordemos que el espectro del áátomo de hidrtomo de hidróógeno, en su geno, en su totalidad, tambitotalidad, tambiéén encaja en una representacin encaja en una representacióón n ∞∞ de de SO(2,4) al ser las ecuaciones de Maxwell tambiSO(2,4) al ser las ecuaciones de Maxwell tambiéén n conformemente invariantesconformemente invariantes..

SO(4)horizontalmente

SO(2,1)verticalmente

j + nr = 1 + l + nr = K + 1

Los mismos espectros de antes bajo la nueva simetría, ahora leyendolosverticalmente

8. 8. Factor de forma elFactor de forma elééctrico del protctrico del protóón y el n y el propagador efectivo instantpropagador efectivo instantááneo del neo del glugluóónn utilizando el potencial cot+cscutilizando el potencial cot+csc22 en en los espacios Slos espacios S33 y Ey E33

ParametrizaciParametrizacióón de n de RobertsonRobertson--WalkerWalker

χ = sin-1r/R

0 ≤ r/R ≤ 1

Transformada Integral (Fourier)Transformada Integral (Fourier)

Factor de forma elFactor de forma elééctrico del protctrico del protóón n (E(E33))

Dipolo

En nuestro caso, GE es igual a F1 por que F2=0, por falta de interacciones de espín (problema técnico y no conceptual)

Factor de forma elFactor de forma elééctrico del protctrico del protóón n (S(S33))

Factor de forma elFactor de forma elééctrico del protctrico del protóónn(comparaci(comparacióón con el experimento)n con el experimento)

Línea verde: Curva predicha con los parámetros del espectro del Nucleón (mq=1/3 MN)

Línea azul: Curva calculada con el radio de carga del protón <r2>

C. B. Compean, M. Kirchbach, Eur. Phys. J. A 33, 1 (2007).

Dependencia del radio de carga del Dependencia del radio de carga del protprotóón con respecto a la curvaturan con respecto a la curvatura

Radio de carga cuadrática media del protón

κ1=0.104 fm-2 cálculo a <r^2>=0.87 fmκ2 =0.187 fm-2 ajustado al espectro

KleinKlein--Gordon en un espacio SGordon en un espacio S33

V(χ) = -2Bcot χ

II. II. PropagadorPropagador efectivoefectivo y y DSEDSE

EcuaciEcuacióón en el espacio de n en el espacio de MomentoMomento

χ = arcsin r/R Robertson Walker

0.01 1 100 104

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.01 1 100 104

0.05

0.10

0.15

0.20

Valor finito en q=0

(favorece el confinamiento)

EcuaciEcuacióón de Dysonn de Dyson--SchwingerSchwinger

La ecuaciLa ecuacióón de DS es una llave para n de DS es una llave para probar la probar la renormalizacirenormalizacióónn y provee una y provee una herramienta generalizada para la teorherramienta generalizada para la teoríía de a de perturbaciones.perturbaciones.Muy importante en la aplicaciMuy importante en la aplicacióón a n a fenfenóómenos a bajas energmenos a bajas energíías por su as por su dependencia en los modelos que aparecen dependencia en los modelos que aparecen en estudios de QCD (no en estudios de QCD (no perturbativosperturbativos) ) restringidos al infrarrojo.restringidos al infrarrojo.

Propagador del gluon vestido

Funcion de vestidura

EcuaciEcuacióón de Dysonn de Dyson--SchwingerSchwinger

Propagador del quark vestido

Propagador del gluonvestido Función de vestidura

Vértice

(quark-gluon)

0.1 10 1000 105

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.1 10 1000 105

0.5

1.0

1.5

2.0

0.1 10 1000 105

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.1 10 1000 105

2

4

6

8

10

12

0.1 10 1000 105

0.05

0.10

0.15

0.20

0.1 10 1000 105

0.5

1.0

1.5

2.0

0.1 10 1000 105

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Prueba de ConfinamientoPrueba de Confinamiento

Ae-mt Positivo definido

e-mtCos(ωt+δ) Cambio de signo

2000 4000 6000 8000 10000

10-5

10-4

0.001

0.01

2000 4000 6000 8000 10000

10-6

10-5

10-4

0.001

Conclusiones (Modelo)Conclusiones (Modelo)

Se mostrSe mostróó que el potencial cot+cscque el potencial cot+csc22 respeta la estructura del respeta la estructura del modelo algebraico del modelo algebraico del RovibrRovibróónnSe solucionSe solucionóó la ecuacila ecuacióón de Schrn de Schröödinger con dicho potencial dinger con dicho potencial basbasáándose en una familia de polinomios reales y ortogonales no ndose en una familia de polinomios reales y ortogonales no clcláásicos. Esta familia de polinomios ha sido curiosamente sicos. Esta familia de polinomios ha sido curiosamente omitida de los libros de texto de momitida de los libros de texto de méétodos matemtodos matemááticos tanto ticos tanto para fpara fíísicos como para matemsicos como para matemááticos probablemente por la falta ticos probablemente por la falta de aplicaciones fde aplicaciones fíísicas. sicas. Se analizaron los propiedades dinSe analizaron los propiedades dináámicas del potencial cot+cscmicas del potencial cot+csc22

y se justificy se justificóó su interpretacisu interpretacióón como la n como la extensiextensióón n exactamente soluble del potencial de Cornellexactamente soluble del potencial de Cornell y se y se relacionrelacionóó la dinla dináámica de quarks y mica de quarks y gluonesgluones de QCD con nuestro de QCD con nuestro modelo potencial de modelo potencial de quarkquark--diquarkdiquark interactuando con cot+cscinteractuando con cot+csc22. . Las degeneraciones en los espectros del NucleLas degeneraciones en los espectros del Nucleóón y de la n y de la ∆∆ se se reprodujeron al considerar cscreprodujeron al considerar csc22 como un tcomo un téérmino centrrmino centríífugo no fugo no estestáándar en un espacio de posiciones plano Endar en un espacio de posiciones plano E33 o to téérmino rmino centrifugo estcentrifugo estáándar en el espacio curvado Sndar en el espacio curvado S33..

Conclusiones (Modelo)Conclusiones (Modelo)

Por medio de un cambio de variables se logrPor medio de un cambio de variables se logróó la la transformacitransformacióón equivalente del problema de Schrn equivalente del problema de Schröödinger dinger con cot+csccon cot+csc22 sobre Ssobre S33 en un problema de en un problema de ““((tanhtanh++sech)sechsech)sech'' sobre un espacio de una curvatura '' sobre un espacio de una curvatura constante y negativa y sumergido en un espacio 2+1 constante y negativa y sumergido en un espacio 2+1 dimensional de dimensional de AntiAnti--DeSitterDeSitter, , AdSAdS33. De este modo tambi. De este modo tambiéén n se mostrse mostróó SO(2,1) como SO(2,1) como áálgebra generadora del espectro.lgebra generadora del espectro.En cuanto aplicaciones del modelo desarrollado, se haEn cuanto aplicaciones del modelo desarrollado, se ha•• calculado el factor de forma elcalculado el factor de forma elééctrico del el protctrico del el protóón en n en

concordancia con los datos experimentales. Ademconcordancia con los datos experimentales. Ademáás se s se calcularon los factores de forma elcalcularon los factores de forma elééctricos de algunos estados ctricos de algunos estados excitados como predicciones.excitados como predicciones.

•• ajustado el radio de carga del protajustado el radio de carga del protóón <rn <r22>>1/21/2 como funcicomo funcióón de n de la curvatura la curvatura κκ de la de la hiperhiper--esfera Sesfera S33 a las mediciones,a las mediciones,

•• obtenido la obtenido la solucionsolucion a la ecuacia la ecuacióón de n de KeinKein--GordanGordan en Sen S33 el cual el cual muestra la correcta muestra la correcta degeneraciondegeneracion RoperRoper (l=0, l=1),(l=0, l=1),

Conclusiones (DS)Conclusiones (DS)Se obtuvo la ecuaciSe obtuvo la ecuacióón de movimiento (no n de movimiento (no relativista) en el espacio de momento para relativista) en el espacio de momento para este modelo.este modelo.Se propone el potencial (Se propone el potencial (StHStH11(q)/q(q)/q22) en la ) en la ecuaciecuacióón en el espacio de momento como n en el espacio de momento como la funcila funcióón de vestidura del propagador del n de vestidura del propagador del GluonGluon..Se pudo resolver las ecuaciones de DS y Se pudo resolver las ecuaciones de DS y se obtuvo generacise obtuvo generacióón dinn dináámica de masa.mica de masa.Este propagador muestra confinamiento Este propagador muestra confinamiento bajo el formalismo de DSbajo el formalismo de DSSe obtuvo la ecuaciSe obtuvo la ecuacióón de movimiento (no n de movimiento (no relativista) en el espacio de momento para relativista) en el espacio de momento para este modelo.este modelo.

G R A C I A SG R A C I A S