I.Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III. La línea recta...

Geometría

Analítica Plana

I.Sistemas de coordenadas

II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

III. La línea recta

IV. Ecuación de la circunferencia

V. Transformación de coordenadas

VI. La parábola

VII. La elipse

VIII. La hipérbola

Geometría Analítica Plana

http://www.licimep.org/geometriaanalitica.htm

Página WEB del curso

http://www.licimep.org/MateFisica.htm

Problemas resueltos de Matemáticas y de

Física

• En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos

• En esa sección hay problemas del Lehmann.Del capítulo II hay 15 problemas resueltos

¿Qué es la Geometría Analítica?

Es el estudio de la geometría

usando los principios del

álgebra.

Es la unión de la geometría

y el álgebra

Ecuaciones en dos

variables

Figuras geométricas en el plano

Gracias al sistema

coordenado, al plano

cartesiano

Que establece una correspondencia biunívoca, uno a

uno, entre los puntos del plano y

los pares ordenados de

números reales

Abscisa

Ordenada

Plano cartesiano

Ecuaciones en x e y

Figuras en el

4 2 5x y

4 2 5 x y

5 3 23 4 2 5x y xy x y

2 23 4 2 7 0x y xy x y

2 27 3 2 7x y x y

En este curso, de

Geometría Analítica Plana,

nos limitaremos a:Las líneas rectas

y a las secciones cónicas, que son:La elipse (y la circunferencia

como caso especial)La parábolaLa hipérbola

Las ecuaciones lineales en dos variables.

Es decir, todas las ecuaciones de la forma

donde , y son números reales y 0 ó 0

ax by c

a b c a b

Las líneas rectas en el plano

Las ecuaciones de segundo grado en dos variables.

Es decir, todas las ecuaciones de la forma

donde , , , , y son números reales y

alguno de los numeros , , es distinto de

Ax Bxy Cy Dx Ey F

A B C D E F

Las cónicas o casos degenerados

de ellas en el plano

¡No toda ecuación de

segundo grado en dos

variables tiene asociada

una curva!

Más adelante veremos

algunos ejemplos.

¡No toda ecuación de

segundo grado en dos

variables tiene asociada

una curva!

2 2 1 0x y

VI. La parábola

VII. La elipse

VIII. La hipérbola

Física

• En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos

Gráfica de una ecuación y

lugares geométricos

Dos problemas fundamentales de la geometría analítica

Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación

Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas Ecuaciones factorizables Intersecciones de curvas Segundo problema fundamental Ecuación de un lugar geométrico

Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos

Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos

problemas fundamentales de la Geometría Analítica.

I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;

es decir, construir la gráfica correspondiente .

II. Dada una figura geométrica, o la condición que

deben cumplir los puntos de la misma, determinar

su ecuación.

Dada una ecuación,

interpretarla geométricam

Dada un figura geométrica,

determinar su ecuación

I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente; es decir,

construir la gráfica correspondiente .

II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir

los puntos de la misma, determinar su ecuación.

Estos problemas son esencialmente inversos entre si.

Estrictamente hablando, sin embargo, ambos problemas

están tan estrechamente relacionados que constituyen

juntos el problema fundamental de toda la Geometría

Analítica.

II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben

cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.

Por ejemplo, veremos más adelante, que después de

obtener la ecuación para una condición geométrica dada,

frecuentemente es posible determinar, por un estudio de

esta ecuación, posteriores caracteristicas geométricas y

propiedades para la condición dada.

El propósito al considerar inicialmente separados los dos,

es de conveniencia; de esta manera tenemos que enfocar

nuestra atención sobre un número menor de ideas a la vez.

Primer problema fundamental: La gráfica de una

ecuación

Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,

e , que podemos escribir en la forma

En general, hay un número infinito de pares de valores de

e que satisfacen esta ecuación. Cada un

x y o de tales pares

de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de

un punto en el plano.

Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

Definición 1: El conjunto de los puntos,

y solamente de aquellos puntos, cuyas

coordenadas s

gráfica de la e

atisfagan una ecuación

se llama o, bien,

cuación

lugar geométr co .i

Primer problema fundamental:

La gráfica de una ecuación

Definición 2: Cualquier punto cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación

pertenece a la gráfica de la ecuación.

Debe insistirse mucho en que solamente aquellos

puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación

pertenecen a su lugar geométrico.

Lo importante es que si las coordenadas de un punto

satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la

gráfica de esa ecuación y , reciprocamente , si un

punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus

coordenadas satisfacen la ecuación.

Primer problema fundamental:La gráfica de una ecuación

Lo importante es que si las coordenadas de un punto

satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la

gráfica de esa ecuación y , reciprocamente , si un

punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus

coordenadas satisfacen la ecuación.

Este es un caso típico de una condición

necesaria y suficiente.

Como las coordenadas de los puntos de un

lugar geométrico están restringidas por su

ecuación, tales puntos estarán localizados,

en general, en posiciones tales que, tomadas

en conjunto, formen un trazo bien definido

llamado curva, gráfica o lugar geométrico.

2 5 3y x x

5 3 27 3 2 10 0x y x x y

En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo

El procedimiento consiste en trazar un cierto

número de puntos y dibujar una linea continua

que pase por todos ellos, tal como mostramos en

transparencias anteriores.

Pero, a1 hacer esto, se supone que la gráfica entre

dos puntos sucesivos cualesquiera tiene la forma de

la curva continua que se dibuja uniendo los puntos.

Aunque esto es verdadero para algunas gráficas, no

es verdadero para las gráficas de todas las

ecuaciones.

En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo

El procedimiento consiste en trazar un cierto número de puntos

y dibujar una linea continua que pase por todos ellos.

Para evitar errores de este tipo , debemos hacer

una investigación preliminar de la ecuación para

ciertas caracteristicas antes de proceder al

trazado de la curva. Esto se llama discutir la

ecuación y se describe en los artículos que siguen

inmediatamente al presente.

Aunque esto es verdadero para algunas ecuaciones,

no es verdadero para las gráficas de todas las ecuaciones.

¡Atención!

No toda ecuación del tipo

tiene, necesariamente,

una gráfica.

La ecuación

se satisface para un número infinito de pares de valores de

e , pero en ningun caso son ambos valores números reales.

Por esto no se puede trazar ningun punto cuyas coordenadas

isfagan esta ecuación, ya que estamos restringidos a puntos

cuyas coordenadas sean ambas números reales. Decimos

entonces que 4 0 no tiene gráfica en el sistema

coordenado rectangular real que esta

mos empleando.

No toda ecuación del tipo , 0 tiene una gráfica.f x y

La ecuación

se satisface solamente para

En este caso la "gráfica" asociada

a esta ecuación se reduce a un

solo punto, el origen.

No toda ecuación del tipo , 0 tiene una gráfica.f x y

Primer caso: Construir una gráfica a partir de

una ecuación.Definición: El conjunto de puntos

cuyas coordenadas satisfagan u

gráfica de la

ecuación

ecuación, se llama

lugar geomét ó rico.

Para trazar una gráfica

Se necesitaPlano

cartesiano

Ecuación

Pares ordenados de puntos

Lugar geométrico ó gráfica de la

ecuación

Características de la ecuación

Al menos una de las variables debe

de estar en función de la otra.

Es decir, en la ecuación original

debemos despejar una de las variables,

digamos , y obtener la ecuación

Al menos una de las variables debe

de estar en función de la otra.

El conjunto solución de la ecuación,

formado por los puntos ordenados,

debe pertenecer al conjunto de los

números reales.

Características de la ecuación El conjunto solución de la ecuación,

números reales.

,Es decir, y x F x x y R

Primer caso:Construir una

gráfica a partir de una ecuación.

Ejemplos

¿Qué figura geométrica

representa la ecuación

2 3 0?x y

Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación

Ejemplos

2 3 0x y

Esta ecuación está en la forma implícita:

, 0F x y

Debemos ponerla en forma explícita

despejando alguna de las variables.

Elegimos despejar , y tenemos 2 3

x y0 -3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x y0 -31 -1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

x y0 -31 -1-1 -5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

x y0 -31 -1-1 -52 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5-4 -11

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3 0x y

5 3 0?y x x

Ejemplos

2 5 3y x x x y0 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x y0 31 -1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 5 3y x x

x y0 31 -2-1 9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 5 3y x x

x y0 31 -2-1 92 -3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 5 3y x x

x y0 31 -2-1 92 -3-2 1

7-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 5 3y x x

x y0 31 -2-1 92 -3-2 1

73 -3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 5 3y x x

x y0 31 -2-1 92 -3-2 1

73 -34 -1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 5 3y x x

x y0 31 -2-1 92 -3-2 1

73 -34 -1-4 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 5 3y x x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 5 3y x x

8 15 ?y x x x

Ejemplos

x y-1.00 -24.003 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.27

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.00

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.27

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.63

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.17

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.00

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.20

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.88

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.11

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.00

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.64

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.13

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.55

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.00

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.42

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.63

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.52

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.00

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.98

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.38

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.384.75 -2.08

3 28 15y x x x

x y-1.00 -24.00-0.75 -16.17-0.50 -9.63-0.25 -4.270.00 0.000.25 3.270.50 5.630.75 7.171.00 8.001.25 8.201.50 7.881.75 7.112.00 6.002.25 4.642.50 3.132.75 1.553.00 0.003.25 -1.423.50 -2.633.75 -3.524.00 -4.004.25 -3.984.50 -3.384.75 -2.085.00 0.00

3 28 15y x x x

-25.00

-15.00

3 28 15y x x x

Ejemplos

x y-10 -0.09

-9 -0.10-8 -0.11-7 -0.13-6 -0.14-5 -0.17-4 -0.20-3 -0.25-2 -0.33-1 -0.500 -1.0012 1.003 0.504 0.335 0.256 0.207 0.178 0.149 0.13

10 0.11

x y0.00 -1.000.05 -1.050.10 -1.110.15 -1.180.20 -1.250.25 -1.330.30 -1.430.35 -1.540.40 -1.670.45 -1.820.50 -2.000.55 -2.220.60 -2.500.65 -2.860.70 -3.330.75 -4.000.80 -5.000.85 -6.670.90 -10.000.95 -20.00

x y1.05 20.001.10 10.001.15 6.671.20 5.001.25 4.001.30 3.331.35 2.861.40 2.501.45 2.221.50 2.001.55 1.821.60 1.671.65 1.541.70 1.431.75 1.331.80 1.251.85 1.181.90 1.111.95 1.052.00 1.00

-2.00-1.70-1.40-1.10-0.80-0.50-0.20 0.10 0.40 0.70 1.14 1.44 1.74 2.04 2.34 2.64 2.94

-15.00

-10.00

Intersección con los

Construcción de la

Extensión de la curva

Asíntotas

Simetría

Criterios

Cálculo de

coordenadas

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosIntersección

con los ejes coordenados

Intersección con el eje X

La intersección de la curva con

el eje , es la abscisa del punto

de intersección de la curva con

el eje.

La abscisa al origen es ,0 .

Intersección con el eje X

Para encontrar la intersección

con el eje :

Se hace y = 0 en la ecuación

y se encuentran las raíces de

la ecuación resultante.

Hacemos 0

La ecuación que resulta es 2 3 0

La resolvemo

La curva intersecta al eje en la

sa 3 / 2

Intersección con el eje X. Ejemplo 1 2 3 0x y

2 3y x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Hacemos 0.

La ecuación que resulta es

Intersección con el eje X. Ejemplo 2

2 5 3 0y x x

¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo

grado?2

La forma general de la ecuación de segundo grado es:

La solución general de la ecuación de segundo grado

ax bx c

b b acx

¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo

grado? Ejemplo

Resolver la ecuación de segundo grado:

Usando la fórmula tenemos

5 5 4 1 3 5 25 12 5 13

2 1 2 2

Hacemos 0

5 25 12 5

La curva intersecta

13La r

al eje en la

5 13 5 13abscisa y en

esolvemos 2 2

Intersección con el eje X. Ejemplo 22 5 3 0y x x

2 5 3y x x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 13,0

Hacemos 0

La ecuación que resulta es

8 15 0

3 28 15y x x x

El polinomio se factoriza.

Primero factorizamos la ,

El polinomio que nos queda 8 15

es del tipo "Dos binomios con un término

en común", así que se factoriza c

Finalmente

8 15 5 3

x x x x x x

Hacemos 0

ó sea 3 5 0

La resolvemos

La curva intersecta al eje en las

abscisas 0, 3, 5

Intersección con el eje X. Ejemplo 33 28 15y x x x

3 28 15

Las raices son: 0, 3, 5

y x x x

0,0 3,0

Hacemos 0

1La ecuación que resulta es 0

1que n

La curva no

o tien

e soluc

secta al eje

f(x)=1/(x-1)

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Intersección con el eje Y

La intersección de la curva con

el eje , es la ordenada del punto

de intersección de la curva con

el eje.

La ordenada al origen es 0, .

Intersección con el eje Y

Para encontrar la intersección

con el eje Y:

Se hace 0 en la ecuación

y se encuentran las raíces de

la ecuación resultante.

Hacemos 0

La ecuación que resulta es 3 0

La resolvemo

ordenad

Intersección con el eje Y. Ejemplo 1 2 3 0x y

2 3y x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Hacemos 0

La ecuación que resulta es 3 0

La resolvem

enada 3

Intersección con el eje Y. Ejemplo 2

2 5 3 0y x x

2 5 3y x x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La cur

Hacemo

va int

La ecua

ersecta al

ción que resulta es

eje en la

ordenad

3 28 15y x x x

3 28 15

La raíz es: 0

y x x x

La cur

Hacemo

va int

La ecua

ersecta al

ción que resulta es

eje en la

ordenad

f(x)=1/(x-1)

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Simetría

SimetríaEl segundo punto a considerar, en

relación con la discusión de una

ecuación, es la simetría de la curva

que representa, con respecto a los

ejes coordenados y con respecto a1

origen.

SimetríaSe dice que dos puntos son

si la recta es

perpendicular al seg

simétricos

con respecto a una recta

mento que los une

en su punto medio.

La recta con respecto a la cual

son simétricos los dos puntos se

ll eje de simetama ría.

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la

recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

Simetría

En la figura, los dos puntos y

son simétricos con respecto a1

eje de simetría , si la recta es

perpendicular a1 segmento ,

exacto en su punto medio.

AB##############

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la

recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

Simetría

Simetría simétricos

respecto a un pun

Se dice que dos puntos son

, si es el punto

medio del segmento que los e

Simetría

Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,

si es el punto medio del segmento que los une.

El punto se llama centro de simetría.O

Simetría

Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,

si es el punto medio del segmento que los une.

En la figura los dos puntos y son simétricos

con respecto a1 centro de simetría siempre

que sea el punto medio del segmento .

O AB##############

P(x, y)

P’(a, b)

M(x, 0)

SimetríaSe dice que una curva es

cuando para cada punto de la curva

hay un punto

correspondiente,

también de la curva,

tal que e

simétrica con respecto a un

dos puntos

son simétricos

e de simetrí

espect

o al eje.

24 9 36y x

SimetríaSe dice que una curva es

cuando para cada punto de la curva hay

un punto correspondiente, también de

la curv

simétrica con

respecto a un

a, tal que dos puntos son

centro de s

imétricos re

2 29 4 36x y

Ahora interpretaremos estas definiciones

Todas las definiciones anteriores son

puramente geométricas .

, usando los ejes coordenados

como ejes de simetria y el origen como

analiticament

o de si

metria.

Simetría

Sea , un punto cualquiera de una curva.

de la definición 3

se deduce que debe

haber otro punto

Si esta curva es simétrica con respecto al e

' , sobre la curva,

tal que el segmento '

queda b c

perpendicularmente por

el eje .X

Sea el punto medio de ';

sus coordenadas son,

evidentemente, ( ,0).

Simetría con respecto al eje X

Entonces, por las fórmulas del punto medio,

dadas en el corolario del teorema 3,

artículo 7, tenemos

y 02 2

de donde

a x y bx

a x b y

Sea el punto medio de '; sus coordenadas son ( ,0)M PP x

Por tanto, las coordenadas de ' son ,P x y

Pero como ' está sobre la curva,

sus coordenadas deben de satisfacer la

ecuación de la curva. Es decir , una ecuación

, 0 que sí se satisface para las

coordenadas , de se satisface tambien

para las

coordenadas , de '.x y P

Simetría con respecto al eje XSi la ecuación de una curva

no se altera

cuando la variable es

reemplazada por – ,

la curva es simétrica

respecto al eje .

El recíproco también es verdadero.

x y y0.0 0.0 0.01.0 1.0 -1.02.0 1.4 -1.43.0 1.7 -1.74.0 2.0 -2.05.0 2.2 -2.26.0 2.4 -2.47.0 2.6 -2.68.0 2.8 -2.89.0 3.0 -3.0

10.0 3.2 -3.211.0 3.3 -3.312.0 3.5 -3.513.0 3.6 -3.614.0 3.7 -3.715.0 3.9 -3.916.0 4.0 -4.017.0 4.1 -4.118.0 4.2 -4.219.0 4.4 -4.420.0 4.5 -4.5

Simetría con respecto al eje YSi la ecuación de una curva

no se altera

cuando la variable es

reemplazada por – ,

respecto al eje .

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

140x y

-10 100-9 81-8 64-7 49-6 36-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 256 367 498 649 81

10 10011 121

Simetría con respecto al origenSi la ecuación de una curva

no se altera

cuando las variables y

son reemplazadas por – y

respecto al origen .

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1500x y-10 -1000-9 -729-8 -512-7 -343-6 -216-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 729

10 100011 1331

NOTA. Si comparamos los teoremas 1, 2 y 3

veremos que, si una curva es simétrica con

respecto a ambos ejes coordenados, es también

simétrica con respecto al origen.

Pero el reciproco no es necesariamente verdadero.

Por ejemplo, la curva cuya ecuación es 1

es simétrica con respecto a1 origen, pero no es

simétrica con respecto a ninguno de los ejes

coordenados.

Simetría

Geometría

Analítica Plana

VI. La parábola

VII. La elipse

VIII. La hipérbola

Física

• En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos

http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/

Página del doctor Javier Baez. Donde

están las presentaciones

Es el estudio de la geometría

usando los principios del

álgebra y viceversa.

Es la unión de la geometría

y el álgebra

Ecuaciones en dos

variables

Figuras geométricas en el plano

Ecuaciones en x e y

Figuras en el

Gracias al sistema

coordenado, al plano

cartesiano

Que establece una correspondencia biunívoca, uno a

uno, entre los puntos del plano y

los pares ordenados de

números reales

Abscisa

Ordenada

Plano cartesiano

En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos

problemas fundamentales de la Geometría Analítica.

su ecuación.

Dada una ecuación,

interpretarla geométricam

Dada un figura geométrica,

determinar su ecuación

Primer problema fundamental: La gráfica de una

ecuación

Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,

e , que podemos escribir en la forma

En general, hay un número infinito de pares de valores de

e que satisfacen esta ecuación. Cada un

x y o de tales pares

de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de

un punto en el plano.

coordenadas s

gráfica de la e

se llama o, bien,

cuación

Definición 2: Cualquier punto cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación

pertenece a la gráfica de la ecuación.

El conjunto solución de la ecuación,

números reales.

Intersección con los

Construcción de la

Asíntotas

Simetría

Cálculo de

coordenadas

Extensión de una curva

La extensión de una curva

son los intervalos de variación

para los cuales los valores de

e son valores reales.x y

Extensión de una curvaLa extensión de una curva son los intervalos de variación

para los cuales los valores de e son valores reales.x y

Es útil, porque:

Da la localización general de la curva en el plano

Indica si la curva es cerrada o

si es de extensión indefinida.

Extensión de una curvaLos intervalos para los cuales

los valores de e son reales

se determinan resolviendo la

ecuación dada

para en términos de ,

y para en términos de .

2 2 4 0x y

Extensión de una curva. Ejemplo 1

No existen números reales, y ,

que satisfaga la ecuación.

La extensión es el conjunto vacío.

2 2 0x y

La extensión de esta ecuación se

reduce a un único punto, el 0,0 .

2 3 4 0x y

2 3 4 0x y Extensión de una curva.

Ejemplo 3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2 3 4 0x y

La extensión es todo el plano; es decir,

puede tomar cualquier valor real, y

también puede tomar cualquier valor real.

2y xExtensión de una curva.

Ejemplo 4

-1 1 2 3 4 5

Es claro que no puede ser negativo.

Sólo puede ser positivo o cero.

La extensión es el intervalo [0, ).

Es claro que puede tomar cualquier valor real.

No hay ninguna restricción.

La extensión en es toda la recta real, es , .

-1 1 2 3 4 5

2 29 4 36x y Extensión de una curva.

Ejemplo 5

2 29 4 36x y

9 4 36

4 36 9

9 99 4

Por tanto, 2,2

2 29 4 36 2,2x y x

2 29 4 36x y

9 4 36

9 36 4

4 44 9

Por tanto, 3,3

2 29 4 36 3,3x y y

2 29 4 36; 2,2 , 3,3x y x y

2 3 0y x

Por tan o

2 3 0y x

Extensión de una curva en x

1. Se despejan en función de

2. Se analiza qué valores de son

posibles en la ecuación.

3. Esos valores de constituyen

la extensión en de la curva.

Extensión de una curva en y

1. Se despejan en función de

2. Se analiza qué valores de son

posibles en la ecuación.

3. Esos valores de constituyen

la extensión en de la curva.

Asíntotas

Asíntotas Si para una curva dada, existe una

recta tal que, a medida que un punto

de la curva se aleja indefinidamente

del origen, la distancia de ese punto

a la recta decrece continuamente y

tiende a cero, dicha recta se llama

asíntota de la curva.

Asíntotas. Ejemplo 1

24 5 15=

2 5y x

24 5 15=

2 5y x

24 5 15=

2 5y x

Asíntotas Esta definición implica dos cosas:

1) Una curva que tiene una asíntota

no es cerrada o de extensión finita,

sino que se extiende indefinidamente.

2) Una curva se aproxima a la asíntota

más y más a medida que se extiende

más y más en el plano coordenado.

Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede tener

una cualquiera de tres posiciones particulares.

asíntota horizo

paralela o coincide con el eje , se llama

Si es paralela o coincide con el eje

Si no es paralela a ninguno de los ejes

coordenados,

asíntota vertical

asíntota obl .icua

Asíntotas

Consideraremos solamente la

determinación de asíntotas

verticales y horizontales.

Asíntotas

Posteriormente veremos la

determinación de asíntotas

oblicuas para la hipérbola.

Asíntotas Hay muchas curvas que

no tienen asíntotas

Asíntotas Una curva puede tener

una o más asíntotas.

Asíntotas Las asíntotas son un

importante auxiliar en

el trazado de curvas.

Asíntotas Las asíntotas son

líneas rectas.

Asíntotas Aquí consideraremos solamente la

determinación de asíntotas verticales

y horizontales.

Posteriormente veremos la determinación

de asíntotas oblicuas para una curva

particular conocida con el nombre de

hipérbola.

Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene

necesariamente una o más asíntotas. Hay

muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin

embargo , si una curva tiene asíntotas, su

determinación será, como veremos, una gran

ayuda para construir su gráfica.

Asíntotas En el capitulo siguiente haremos un estudio

detallado de la ecuación general de la recta.

Pero ahora tenemos necesidad de hallar

ecuaciones de asíntotas verticales y

horizontales.

Sea una recta

cualquiera

paralela a1 eje

y que dista

unidades del eje.

Recta paralela al eje Y

Todo punto de ,

cualquiera que sea el valor

de su ordenada , tiene una

abscisa igual a .

Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera

paralela a1 eje y que dista

unidades del eje.

Las coordenadas de todos los

puntos de satisfacen , por tanto

la ecuación es

Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera

paralela a1 eje y que dista

unidades del eje. Todo punto

de , cualquiera que sea el valor

de su ordenada , tiene una

abscisa igual a .

Recíprocamente, cualquier punto

cuyas coordenadas satisfacen esta

ecuación es un punto cuya abscisa

es y situado, por tanto, a una

distancia de unidades del eje ,

y, en consecuencia , está sobre

la rec

Recta paralela al eje Y

La ecuación de una recta

paralela al eje es:

donde es la distancia

de la recta al eje .

Recta paralela al eje XLa ecuación de una recta

paralela al eje es:

donde es la distancia

de la recta al eje .

Recta paralela al eje X

Asíntotas Vimos que se puede determinar la extensión

de una curva despejando en función de

y en función de . Para obtener las asintotas

verticales y horizontales, usaremos estas

mismas ecuaciones en las que

aparecen

despejadas las variables.

Asíntotas verticales Para obtener las ecuaciones de las

asíntotas verticales, resuelvase la

ecuación dada para en función

de e igualese a cero cada uno de

los factores lineales del denominador.

Asíntotas horizontales Análogamente, para obtener las ecuaciones

de las asíntotas horizontales, resuelvase la

ecuación dada para en funcion de e

igualese a cero cada uno de los factores

lineales del denominador.

Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la

gráfica de la ecuación

1 0xy y

Encontrar las asíntotas de la

1 0xy y

Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 0xy y

1) Despejar en función de

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

2) Hacemos cero los factores lineales

del denominador; es decir,

ó sea que la asíntota tiene como ecuación:

1de la ecuación 1 0 ó

1xy y y

del denominador

ó sea que la asíntota tiene como ecuaci

Encontrar las asíntotas de la

Asíntotas. Ejemplo 2 2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación

Ya está despejada, entonces tenemos 1

pero debemos escribir el denominador como

factores lineales. Es fácil, factorizando :

2 1 1 1

a b a b a b

Diferencia de cuadrados

Ya está despejada, entonces tenemos 1

pero debemos escribir el denominador como

factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos

1 0 y 1 0

ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 1 1

1 0 y 1 0

ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

¡Hay dos

asíntotas!

yx x y

ax bx c

b b acx

Ecuación de segundo grado

0 0 4 1 4 1 2 1

2 1 2 1 2 1

y y y y y yx

y yy yx

del denominador: 1 0

ó sea que la asíntota tiene como ecuación

La tangente Mostrar las asíntotas

de la tangente

Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente

Las rectas

son asíntotas.

Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente

Una curva puede tener más de una

asintota vertical u horizontal.

Asi, la curva cuya ecuación es

tiene dos asintotas verticales,

1 y 2.

Asíntotas. Notas

Para muchas ecuaciones en las variables e ,

veremos que frecuentemente es ventajoso

investigar el comportamiento de una de las

variables cuando a la otra se le dan valores

cada vez mas grandes en valor

absoluto.

Esto es particularmente útil para la

determinación de las asíntotas.

Asíntotas. Notas

1Así, para la ecuación , si damos

1valores a cada vez más grandes, en

valor absoluto, el valor de se aproxima

cada vez más a cero.

Asíntotas. Notas

Es decir, a medida que el punto sobre la curva

se aleja indefinidamente del origen, ya sea hacia

la derecha o hacia la izquierda, la curva se

aproxima a la recta 0 que, por lo tanto, es

una asintota h

y orizontal.

Asíntotas. Notas 1

Así, para la ecuación , si damos valores1

a cada vez más grandes, en valor absoluto, el

valor de se aproxima a cero.

1 1 11

y y y y

Análogamente, si escribimos la

ecuación en la forma

vemos que, a medida que toma

valores cada vez mayores en valor

absoluto se aproxima a 1.

Por tanto, 1 es una asíntota vertícal.

Asíntotas. Notas

Es una gran ventaja usar las asintotas

de una curva, cuando existen, en el

trazado de la misma.

Las asíntotas actúan como lineas

guía de la gráfica.

Asíntotas. Notas

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosConstrucc

ión de curvas

La discusión de una ecuación y

su representación gráfica constituyen,

en conjunto, un problema de tan gran

importancia en todas las ramas de las

Matemáticas y sus aplicaciones,

que se le ha dado el nombre especial

de construcción de curvas.

Construcción de curvas

El trazado de una curva consta de los seis puntos siguientes :

1 . Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados .

2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los

ejes coordenados y a1 origen .

3. Deteminación de la extensión de la curva.

4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales u

horizontales que la curva puede tener .

5 . Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos

para obtener una gráfica adecuada .

6. Trazado de la curva .

Construcción de curvas

Construir la curva

cuya ecuación es

4 0x x y

Construcción de curvas. Ejemplo 1

Ejercicio 8, grupo 6, página 46

4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y

1. Intersecciones con los ejes.

a) Con el

Hacemos 0 en la ecuación 4 0

y x x y

a) Con el

Hacemos 0 en la ecuación

lo que nos lleva a la ecuación

4 24 0x x

es un factor común,

así que queda

4 2 2 24 0 4 0x x x x

2 2 24 2

es una diferencia de cuadrados

2 1 1 1

a b a b a b

Diferencia de cuadrados

4 2 2 24 0 4 0x x x x

es una diferencia de cuadrados

y se factoriza entonces como

4 2 24 0 2 2x x x x x

Por tanto, las raices son

0 dos veces, 2 y 2

1 2 3 4

a) Con el

lo que nos lleva a 4 0

que se factoriza como 4 2 2 0

Tenemos por tanto cuatro raices:

2, 0, 0,

y x x y

x x x x x

x x x x

a) Con el

La gráfica intersecta al eje en

2, 0 y 2

b) Con el

lo que nos lleva a 0

Tenemos una raíz:

x x x y

b) Con el

La gráfica intersecta al eje en

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

2. Simetrías

a) Con respecto al eje

La ecuación 4 0

cambia a la ecuación

cuando intercambiamos por .

Por lo t LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRI

CA RESPEC

.TO AL EJE

2. Simetrías

b) Con respecto al eje

La ecuación 4 0

cambia a la ecuación (que es la misma)

Por lo LA GRÁFICA SÍ ES

SIMÉTR

tanto,

ICA RE

SPECTO AL EJ .E

2. Simetrías

c) Con respecto al origen

La ecuación 4 0

cuando intercambiamos por

y por .

Por lo LA GRÁFICA NO ES

SIMÉT

A RESPECTO AL O .R

2. Simetrías

La única simetría que tiene esta gráfica

es respecto al eje .

No es simétrica ni respecto al eje ,

ni respecto al origen.

cualquier valor de es posible

3. Extensión

a) En el eje

Despejando de la ecuación

4 0 tenemos

Por ta .nto,

3. Extensión

b) En el eje

ax bx c

b b acx

4 4 4 1

4 4 44 16 4 4 2 4

2 2 4x y

3. Extensión

b) En el eje

4 0 tenemos

Por lo tanto, necesa 4riamente

3. Extensión

La variable puede tomar cualquier

valor real.

La variable tiene que ser mayor o

igual a menos 4.

Es decir,

4. Asíntotas

Por lo tanto, esta curva

no tiene asíntotas.

5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos

x y0.00 0.00

0.25 -0.25

0.50 -0.94

0.75 -1.93

1.00 -3.00

1.25 -3.81

1.50 -3.94

1.75 -2.87

2.00 0.00

2.25 5.38

2.50 14.06

4 26. Construcción de la curva 4 0x x y

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50

20.00 4 26. Construcción de la curva 4 0x x y

4 26. Construcción de la curva 4 0x x y

Construir la curva

cuya ecuación es

3 2x y x xy x

Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47

a) Con el

lo que nos lleva a

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

2 3 2x x

¡Hay que resolver esta ecuación de segundo grado!

2 3 2x x

¡Hay que resolver esta

ecuación de segundo grado!

2 23 2 3 2 0x x x x

¡Hay que resolver esta

ecuación de segundo grado!

a) Se puede hacer mediante la fórmula

general de la ecuación de segundo grado.

b) Se puede hacer mediante factorización

ax bx c

b b acx

3 2 0 2

b b acx x x

3 3 4 1 2

3 9 8 3 1 3 1

2 2 23 1 4 3 1 2

12 2 ;

3 2 2 1 0

2 0 1 0

x a x b x a b x ab

x x x x

El producto de dos binomios con un

término en común

a) Con el

ó bien 3 2 0

que se factoriza como 2 1 0

Tenemos por tanto dos raices:

y x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

a) Con el

La gráfica intersecta al eje en 1 y 2

2 2 3 2x y x xy x

b) Con el

lo que nos lleva a 0 2 que no

se satisface para ningún va

Por tanto, la gráfica n

lor de .

o intersecta al eje .

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

b) Con el

La gráfica no intersecta al eje .

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetrías

a) Con respecto al eje . Cambiar

La ecuación 3 2

cuando intercambiamos por

x y x xy x

y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetrías

a) Con respecto al eje . Cambiar

La ecuación 3 2

Por lo tan LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRICA RESPECTO AL

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetrías

a) Con respecto al eje :

La ecuación 3 2

x y x xy x

x y x x y x

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetrías

a) Con respecto al eje :

La ecuación 3 2

cambia a la ecuació

LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRICA RESPE

Por lo

CTO AL EJE .

tanto,

x y x xy x

x y x xy

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetrías

La ecuación 3 2 cambia a la ecuación

cuando intercambiamos por y po

LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRI

Por lo tanto,

x y x xy x

x y x x y x

x y x xy x

x x y y

CA RESPECTO AL ORIGEN.

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetrías

La gráfica no tiene ninguna simetría.

No es simétrica

ni con respecto al eje ,

ni con respecto al origen .

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensión

a) En el eje

Debemos despejar a como función de ,

en la ecuación

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

x y x xy x

x y xy x x

y x x x x

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensión

a) En el eje

Despejando de la ecuación 3 2

2 1tenem

cualquier valor de es posible menos

Por tanto,

y x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensión

b) En el eje

Debemos despejar como función de

en la ecuación

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

1 3 2 0

x y x xy x

y x y x

1 3 2 0

ax bx c

b b acx

y x y x

1 3 2 0

3 3 4 1 2

3 6 9 8 1

3 6 9 8 8

3 14 1

x y x xy x

y x y x

y y yx

y y y y

3. Extensión

b) En el eje

tenemos

3 14 1 si 1

x y x xy x

y y yx y

2 2 3 2x y x xy x

23 14 1

si 12 1

y y yx y

2 14 1 0y y

14 1 0

14 14 4 1 1 14 196 4

14 192

66 322 3 2 3 2 3 8 3

23 14 1

si 12 1

y y yx y

2 14 1 0y y

14 1 0

14 14 4 1 1 14 196 4

14 192 14 8 37 4 3

23 14 1

si 12 1

y y yx y

2 14 1 0y y

14 1 0

7 4 3 7 4 3

0.072 13.928

3 14 1 si 1

14 1 0 14 1 0

7 4 3 7 4 3

0.072 13.928

y y yx y

y y y y

210 14 10 1 100 140 1 39 0

-20 121 0 1-19 96 1 16-18 73 2 33-17 52 3 52-16 33 4 73-15 16 5 96-14 1 6 121-13 -12 7 148-12 -23 8 177-11 -32 9 208-10 -39 10 241

-9 -44 11 276-8 -47 12 313-7 -48 13 352-6 -47 14 393-5 -44 15 436-4 -39 16 481-3 -32 17 528-2 -23 18 577-1 -12 19 628

2 14 1y y

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4

2 14 1y y

3. Extensión

b) En el eje

3 14 1Despejando tenemos

Así que sólo son posibles los valores de que hacen que

14 1 0.

Esos son lo , 7 4 3 7s 4 3, y

y y yx x

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensión

b) En el eje

En el caso de 1 tenemos que la ecuación

se transforma en

1ó sea y es posible el valor 1

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensión

La extensión de la curva es

, 7 4 3 7 4 3,

2 2 3 2x y x xy x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

4. Asíntotas

a) Asíntotas verticales

2 1tenemos

Es claro de lo que ya hemos es tenemos

dos asíntotas verticales

tudiado que

0 y 1.

y x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

4. Asíntotas

a) Asíntotas horizontales

tenemos

3 14 1

Por lo tanto, es claro que tenemos

una asíntota horizon l 1.ta

x x y x xy x

y y yx

2 2 3 2x y x xy x

x y x xy x

x y X Y x y x y-10.00 1.47 -5.00 2.10 0.00 NO 5.00 0.40

-9.75 1.48 -4.75 2.18 0.25 4.20 5.25 0.42-9.50 1.50 -4.50 2.27 0.50 1.00 5.50 0.44-9.25 1.51 -4.25 2.38 0.75 0.24 5.75 0.46-9.00 1.53 -4.00 2.50 1.00 0.00 6.00 0.48-8.75 1.55 -3.75 2.65 1.25 -0.07 6.25 0.49-8.50 1.56 -3.50 2.83 1.50 -0.07 6.50 0.51-8.25 1.59 -3.25 3.05 1.75 -0.04 6.75 0.52-8.00 1.61 -3.00 3.33 2.00 0.00 7.00 0.54-7.75 1.63 -2.75 3.70 2.25 0.04 7.25 0.55-7.50 1.66 -2.50 4.20 2.50 0.09 7.50 0.56-7.25 1.68 -2.25 4.91 2.75 0.13 7.75 0.57-7.00 1.71 -2.00 6.00 3.00 0.17 8.00 0.58-6.75 1.75 -1.75 7.86 3.25 0.20 8.25 0.59-6.50 1.78 -1.50 11.67 3.50 0.24 8.50 0.60-6.25 1.82 -1.25 23.40 3.75 0.27 8.75 0.61-6.00 1.87 -1.00 NO 4.00 0.30 9.00 0.62-5.75 1.92 -0.75 -25.67 4.25 0.33 9.25 0.63-5.50 1.97 -0.50 -15.00 4.50 0.35 9.50 0.64-5.25 2.03 -0.25 -15.00 4.75 0.38 9.75 0.65

6. Construcción de la curva

3 2x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

2 2 2 2

Construir la curva

cuya ecuación es

4 4 0x y x y

2 2 2 2Construir la curva cuya ecuación es 4 4 0x y x y

2 2 2 2

a) Con el

Hacemos 0 en la ecuación 4 4 0

lo que nos lleva a 4 0.

Por tanto, la curva intersecta al eje únicamente

en el origen; es decir, en 0.

y x y x y

a) Con el

La gráfica intersecta al eje en 0

2 2 2 2

b) Con el

Hacemos 0 en la ecuación 4 4 0

Tenemos una raíz: 0

Por lo tanto, la curva intersecta al eje

únicamente en el origen.

x x y x y

b) Con el

2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2. Simetrías

a) Con respecto al eje : por .

La ecuación 4 4 0 queda

ó sea

x y x y

2 2 2 2

2. Simetrías

La ecuación 4 4 0

no cambia cuando in

tercambiamos

Por lo tanto, A GRÁFICA SÍ ES

SIMÉTRICA RESPECTO AL .EJE

x y x y

2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2. Simetrías

b) Con respecto al eje : por .

La ecuación 4 4 0 cambia a

que da

x y x y

2 2 2 2

2. Simetrías

La ecuación 4 4 0

NO cambia cuando intercambiamos

Por lo tanto, LA GRÁFICA ES

SIMÉTRICA RESPECTO AL EJ

2 2 2 2

2. Simetrías

c) Con respecto al origen : por e por .

La ecuación 4 4 0

que da

x x y y

x y x y

2 2 2 2

2. Simetrías

La ecuación 4 4 0

NO cambia cuando intercambiamos

por e por .

Por lo tant LA GRÁFICA ES

SIMÉTRICA RESP

ECTO AL ORIGEN

x y x y

x x y y

2. Simetrías

La curva es simétrica respecto

al eje , respecto al eje y

respecto al origen .

2 2 2 2

3. Extensión

a) En el eje

Debemos despejar

como función de

en la ecuación

x y x y

2 2 2 2

Si 0, queda

¡El valor 0 sí es perm

x y x y

2 2 2 2

x y x y

x y y x

Si 0 x

2 2 2 2

3. Extensión

a) En el eje

De la ecuación 4 4 0 tenemos

Sólo las tales que 4 0

x y x y

3. Extensión

a) En el eje

, 2 2,

2 2 2 2

3. Extensión

b) En el eje

Debemos despejar de la ecuación

x y x y

2 2 2 2

Si 0, queda

¡El valor 0 sí es perm

x y x y

2 2 2 2

x y x y

Si 0 y

2 2 2 2

3. Extensión

a) En el eje

De la ecuación 4 4 0 tenemos

Sólo las tales que 4 0

x y x y

3. Extensión

a) En el eje

, 2 2,

4. Asíntotas verticales

Primero notamos que

Aunque los factores en el denominador no son

lineales (están dentro de la raíz), intuimos que

las rectas 2 y 2 son asíntotas verticales.

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 22 2

x x x x

x x x x x x

x xx x

La recta 2 es una asíntota.

Efectivamente, conforme se

aproxima al número 2 por la

derecha, crece sin límite.

x x xy

4. Asíntotas horizontales

Primero notamos que

2 2 22 2

2 22 24

Aunque los factores en el denominador no son

lineales (están dentro de la raíz), intuimos que

las rectas 2 y 2 son asínto

y y yy yx

y yy yy

tas horizontales.

5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntosx y

2.001 63.27 2.002 44.75 2.003 36.56 2.004 31.67 2.005 28.34 2.006 25.88 2.007 23.97 2.008 22.43 2.009 21.15 2.010 20.07 2.011 19.15 2.012 18.34 2.013 17.63 2.014 16.99 2.015 16.42 2.016 15.91 2.017 15.44 2.018 15.01 2.019 14.61 2.020 14.25

2.02 14.25 2.03 11.68 2.04 10.15 2.05 9.11 2.06 8.35 2.07 7.76 2.08 7.28 2.09 6.89 2.10 6.56 2.11 6.28 2.12 6.03 2.13 5.81 2.14 5.62 2.15 5.45 2.16 5.30 2.17 5.15 2.18 5.03 2.19 4.91 2.20 4.80 2.21 4.70

2.3 4.05 2.4 3.62 2.5 3.33 2.6 3.13 2.7 2.98 2.8 2.86 2.9 2.76 3.0 2.68 3.1 2.62 3.2 2.56 3.3 2.51 3.4 2.47 3.5 2.44 3.6 2.41 3.7 2.38 3.8 2.35 3.9 2.33 4.0 2.31 4.1 2.29 4.2 2.27

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2

2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y

7.00 2.

2 2 2 26. Construcción de la curva 4 4 0x y x y

Construir la curva

cuya ecuación es

2 0x xy y

3 2 2Construir la curva cuya ecuación es 2 0x xy y

a) Con el

lo que nos lleva a 0.

Por tanto, la curva intersecta al eje únicamente

en el origen; es decir, en 0.

y x xy y

a) Con el

b) Con el

Tenemos una raíz: 0

Por lo tanto, la curva intersecta al eje

únicamente en el origen.

x x xy y

b) Con el

2. Simetrías

a) Con respecto al eje : por .

La ecuación 2 0 queda

ó sea

x xy y

x x y y

x xy y

2. Simetrías

La ecuación 2 0

no cambia cuando int

ercambiamos

Por lo tanto GRÁFICA SÍ ES

SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE

x xy y

2. Simetrías

b) Con respecto al eje : por .

La ecuación 2 0 cambia a

que da

x xy y

x x y y

x xy y

2. Simetrías

La ecuación 2 0

Por lo LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRICA RESPECTO AL EJ

x xy y

2. Simetrías

c) Con respecto al origen : por e por .

La ecuación 2 0

que da

x x y y

x xy y

x x y y

x xy y

2. Simetrías

La ecuación 2 0

cuando intercambiamos por e por .

Por LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRICA RESPECTO AL ORI

lo tanto,

x xy y

x x y y

2. Simetrías

La única simetría que tiene esta

gráfica es respecto al eje .

No es simétrica ni respecto al eje ,

ni respecto al origen .

3. Extensión

a) En el eje

Debemos despejar

como función de

en la ecuación

x xy y

Si 0, queda

por ta

¡El valor 0 sí es per

i do!x

x xy y

Si 2, queda

¡El valor 2 NO es permitido!

x xy y

3 2 2 2

3. Extensión

a) En el eje

De la ecuación 2 0 tenemos

Si 2 y 0, podemos despejar y tenemos

2Por tanto, no puede tener ningún valor entre

0 y 2, excluyendo el 0 (el

x xy y

x xy y x y

0 si es permitido).

3. Extensión

a) En el eje

Si en la ecuación 2 0 hacemos 2,

tenemos

8 2 2 0

ó sea

que obviamente es un absurdo.

Por tanto, el valor 2 no debe ser considerado.

x xy y x

3. Extensión

a) En el eje

Resumiendo

, 0 2,

3. Extensión

b) En el eje

Debemos despejar de la ecuación

x xy y

La ecuación cúbica

tiene las soluciones

3 3donde

y 2 4 27

x ax bx c

p ax u

a a abp b q c

q q pu

Solución de la ecuación cúbica

Despejar en la ecuación

es muy complicado, y en realidad

no es necesario, dado que se sabe

que toda ecuación cúbica tiene al

menos una raíz real.

x xy y

Dicho de otra manera, independientemente

del valor que tome , existe una real que

resuelve la ecuación

x xy y

3. Extensión

b) En el eje

Por lo tanto puede tomar

cualquier valor.

3. Extensión

Tenemos entonces que

4. Asíntotas

Ya despejamos a como función de ,

y obtuvimos

2 2 2 2

x x x xy

x x x x

x xx x

4. Asíntotas

Primero notamos que

Haciendo cero los factores lineales del

denominador, encontramos la asíntota vertical

4. Asíntotas

No existe ninguna asíntota horizontal.

3 2 2 2 2 2 2

4. Asíntotas

Sin embargo, puede existir asíntotas oblicuas.

Para analizar esa posibilidad escribimos

Vemos que si fijamos , y dejamos crecer tanto como se

quiera, el té

x xy y x x y y x x y x y y

2rmino 2 puede ser "despreciado" y obtenemos

lo cual nos hace pensar que las rectas

sean asíntotas

x x y x y

x y x y

3 2 22 0x xy y x y2.01 28.502.02 20.302.03 16.702.04 14.572.05 13.132.06 12.072.07 11.262.08 10.612.09 10.072.10 9.622.11 9.242.12 8.912.13 8.622.14 8.372.15 8.142.16 7.942.17 7.752.18 7.592.19 7.442.20 7.302.21 7.172.22 7.052.23 6.942.24 6.84

3 2 22 0x xy y

3 2 26. Construcción de la curva 2 0x xy y

Ecuaciones

factorizables

El trazado de curvas se puede simplificar

considerablemente para ciertos tipos de

ecuaciones a las que llamaremos ecuaciones

factorizables; es decir , aquellas que pueden

escribirse en forma del producto de dos o

más factores variables igualado a cero .

Ecuaciones factorizables

En general, si la ecuación

es factorizable; es decir, si , puede

escribirse como el producto de dos o más

factores variables, la gráfica de ,

constará de las gráficas de las ecuaciones

obtenida

s a1 igualar a cero cada uno de estos

factores.

Ecuaciones factorizables

Trazar la gráfica correspondiente

a la ecuación

, 0f x y x y

Ecuaciones factorizables.

Ejemplo 1

3 3Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y

Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1

La ecuación

se factoriza trivialmente como

f x y x y

f x y x y x xy y

Así que, por lo que acabamos de ver,

la gráfica de será la grafica

de las ecuaciones que resultan al hacer

cada uno de los factores igual a cero.

3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y

¿La gráfica de 0?x y

¿La gráfica de 0?x y Toda ecuación del tipo

es una línea recta.

ax by c

¿La gráfica de 0?x y X y

0 01 -1-1 1

La gráfica de

es una recta que pasa por el origen

con pendiente 1; es decir, es una

recta que pasa por el origen y que

hace un ángulo de 135 grados con

el eje .

¿Cuál es la gráfica de

la ecuación

0 ?x xy y

2 2¿Cuál es la gráfica de la ecuación ?x xy y

1. Intersecciones.

a) Con el eje X: 0.

Si 0 0 0

Intersecta al eje en 0.

1. Intersecciones.

b) Con el eje Y: 0.

Si 0 0 0

Intersecta al eje en 0.

1. Intersecciones.

La única intersección con

los ejes es el punto 0,0

22 2 2

2. Simetrías.

a) Simetría respecto al eje :

No es simétrica respecto al eje .

x xy y x x y y

x xy y

22 2 2

2. Simetrías.

b) Simetría respecto al eje :

No es simétrica respecto al eje .

x xy y x x y y

x xy y

2 22 2

2. Simetrías.

c) Simetría respecto al eje : y

Sí es simétrica respecto al origen .

O x x y y

x xy y x x y y

x xy y

3. Extensión.

a) En el eje

Despejamos como función de .

2 2 2 2

3 3 1 3

x xy y

y xy x

b b acy

x x x x x xy

x x x xx

3. Extensión.

a) En el eje

Despejamos como función de .

3. Extensión.

a) En el eje

2Por tanto, únicamente el valor 0

hace posible la ecuacíon anterior y

la extensión en se reduce a 0.

Efectivamente el punto 0,0 está

ene la gráfica de la ecuación, pero

unicamente ese punto.

La gráfica de la ecuación se reduce

a un único punto, el origen.

Por tanto, la gráfica de la ecuación

es la de la línea recta

3 3 0x y

Trazar la gráfica correspondiente

a la ecuación

, 0f x y x y

Ecuaciones factorizables.

Ejemplo 2

2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y

La ecuación

se factoriza como

f x y x y

f x y x y x y

Así que, por lo que acabamos de ver,

la gráfica de será la grafica de

las ecuaciones que resultan al hacer

cada uno de los factores igual a cero.

2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y

ax by c

0 01 -1-1 1

La gráfica de

es una recta que pasa por el origen con

pendiente 1; es decir, es una recta

que pasa por el origen y que hace un

ángulo de 135 grados con el eje .

ax by c

0 01 1-1 -1

La gráfica de

es una recta que pasa por el origen con

pendiente 1; es decir, es una recta que

pasa por el origen y que hace un

ángulo de 45 grados con el eje .

Por tanto,

la gráfica de la ecuación

son dos líneas rectas.

Por tanto, la gráfica de la ecuación

son dos líneas rectas.

Ambas pasan por el origen,

una hace con el eje un ángulo de 135 grados

y la otra hace con el eje un ángulo de 45 grados

2 2 0x y

Intersección de curvas

Considere un sistema de dos

ecuaciones independientes

, 0 , 0f x y g x y

Si sus gráficas se cortan en

uno ó más puntos, cada uno

de estos puntos se llama

punto de intersección.

Considere un sistema de dos ecuaciones independientes

, 0 , 0f x y g x y

La interpretación analítica de un punto de intersección de las dos gráficas, es que es un punto cuyas coordenadas representan una solución común a las dos ecuaciones

Considere un sistema de dos ecuaciones independientes

, 0 , 0f x y g x y

2 1 3 9

5 1010

x y x y

2 1 3 9

5 1010

2 1 2 2 1 3

x y x y

2 1 3 9

x y x y

Encontrar la intersección de las curvas

y 3 92 1x y x y

Intersección de curvas. Ejemplo 1

Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2 1x y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

3 9x y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

y 8 2y xx y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

y2 2 8x y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

y2 2y x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Hay dos puntos de intersección:

y xx y

2 4 4 1 8 2 36 2 6

Encontrar la intersección de las curvas y 8 2y xx y

2 2 4 2

8 No existe

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2 2 22

y 1 4x yx y

Ejercicio 18,parágrafo 21,página 49

2 2 2 21 y 4x y x y

Para encontrar la intersección de

estas dos curvas debemos resolver

las ecuaciones simultaneamente

2 2 2 2

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos

5y por tanto,

x y x y

2 2 2 21 y 4x y x y

2 2 2 2

5Sustituyendo en la primera

obtenemos 12

5 3que nos da 1

2 2que no existe en los números reales.

x y x y

2 2 2 21 y 4x y x y

Las dos curvas

no se intersectan,

como es evidente

de sus gráficas.

2 2 2 21 y 4x y x y

y 4 0 4 02 yx y x

22 4 0 y 4 0x y y x

Para encontrar la intersección de

estas dos curvas debemos resolver

las ecuaciones simultaneamente

Despejando en la primera: 4 2

Sustituyendo en la segunda: 4 2 4 0

Desarrollando: 4 20 16 0

Factorizando: 4 4 1 0

Tenemos dos soluciones, 1 y 4

22 4 0 y 4 0x y y x

De la primera, 4 2

Sustituyendo los valores de

4 2 1 2

4 2 4 4

2 4 0 y 4 0

x y y x

Por tanto,

los puntos de intersección son:

1,2 y 4, 4

22 4 0 y 4 0x y y x

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosSegundo problema

fundamental: Encontrar la

ecuación de un lugar geométrico

En este capítulo haremos un estudio preliminar

de dos problemas fundamentales de la

Geometría Analítica.

su ecuación.

Consideremos ahora el segundo

problema fundamental de la

Geometría Analítica:

Dada una figura geométrica,

o la condición que deben cumplir

los puntos de la misma, determinar

su ecuación.

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométrico

Una figura geométrica ,

tal como una curva ,

generalmente se da

por su definición.

lugar geométrico

Por definición de un objeto entendemos

una descripción de ese objeto, de tal

naturaleza que sea posible identificarlo

de una manera definida entre todos los

demás objetos de su clase.

lugar geométrico

Debemos observar cuidadosamente lo que

implica este enunciado: expresa una

condición necesaria y suficiente para la

existencia del objeto definido.

lugar geométricoPor definición de un objeto entendemos una descripción de

ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de

una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.

Así , consideremos que estamos definiendo una

curva plana del tipo por medio de una

propiedad , que únicamente posee . Entonces,

entre todas las curvas planas, una curva es del

tipo si y solamente s

C i posee la propiedad .P

lugar geométricoEste enunciado expresa una condición necesaria y

suficiente para la existencia del objeto definido.

Como un ejemplo especifico, consideremos una

curva plana muy conocida: la circunferencia.

lugar geométrico

Definimos una circunferencia como una

curva plana que posee la propiedad única ,

que todos sus puntos están a igual distancia

de un punto fijo en su plano.

lugar geométricoComo un ejemplo especifico, consideremos una

curva plana muy conocida: la circunferencia.

Esto significa que toda circunferencia

tiene la propiedad , y reciprocamente,

toda curva plana que tenga la

propiedad es una circunferencia.

lugar geométricoDefinimos una circunferencia como una curva plana

que posee la propiedad única , que todos sus puntos

están a igual distancia de un punto fijo en su plano.

Para una curva , dar la condición que

deben cumplir sus puntos es dar una

ley a la cual deben obedecer todos

los puntos de la curva.

lugar geométrico

Esto significa que todo punto de la

curva debe satisfacer la ley particular

de la curva.

lugar geométricoPara una curva , dar la condición que deben

cumplir sus puntos es, dar una ley a la cual

deben obedecer todos los puntos de la curva.

De acuerdo con esto se define

frecuentemente una curva como

el lugar geométrico descrito por

un punto que se mueve siguiendo

una ley específica.

lugar geométrico

Así, una circunferencia puede definirse como

el lugar geométrico de un punto que se mueve

en un plano de tal manera que su distancia a

un punto fijo de ese plano es constante.

lugar geométricoDe acuerdo con esto se define frecuentemente una

curva como el lugar geométrico descrito por un

punto que se mueve siguiendo una ley específica.

Un lugar geométrico no debe satisfacer

necesariamente una sola condición;

puede satisfacer dos ó más condiciones.

lugar geométrico

Podemos tener una curva que sea el lugar

geométrico de un punto que se mueve de

tal manera que:

1 ) Pasa por un punto dado.

2) Se conserva siempre a una distancia

constante de una recta dada.

lugar geométrico

Definición:

Una curva es el lugar geométrico de

todos aquellos puntos, y solamente de

aquellos puntos, que satisfacen una o

más condiciones geométricas dadas.

lugar geométrico

i) Se debe observar que esta definición implica

que la condición o condiciones dadas sean

necesarias y suficientes para la existencia de

la curva.

ii) Esta definición debe también compararse

con la definición 1 del artículo 14, que

presentamos a continuación:

lugar geométrico

coordenadas s

gráfica de la e

se llama o,

bien, su

cuación

Primer problema fundamental: La gráfica de

una ecuación

En este articulo hemos estudiado

el problema desde un punto

de vista puramente geométrico.

En el siguiente, consideraremos la

interpretación analítica.

lugar geométrico

Ecuación de un lugar

geométrico

Ecuación de un lugar geométrico

Estudiaremos ahora el problema de la

determinación de la ecuación de un

lugar geometrico en el caso que la

interpretación analítica de la condición

o condiciones geometricas definen el

lugar geométrico.

El método es el indicado claramente

por las dos definiciones previas

siguientes:

coordenadas s

gráfica de la e

se llama o,

bien, su

cuación

Primer problema fundamental: La gráfica de

una ecuación

Definición:

Una curva es el lugar geométrico de

todos aquellos puntos, y solamente

de aquellos puntos, que satisfacen

una o más condiciones geométricas

dadas.

lugar geométrico

Combinando estas dos definiciones

tenemos una nueva:

Definición:

Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una

ecuación de la forma

cuyas soluciones reales para valores correspondientes

de e son todas coordenadas de aquellos puntos,

y solam

ente de aquellos puntos, que satisfacen la

condición o condiciones geométricas dadas que

definen el lugar geométrico.

Nótese que esta definición expresa una

condición necesaria y suficiente

para que , 0 sea la ecuación de un

lugar geométrico.

De acuerdo con esto, el procedimiento

para obtener la ecuación de un lugar

geométrico es esencialmente como sigue :

Definición:

Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma

cuyas soluciones reales para valores correspondientes de e son todas

coordenadas de aquellos puntos, y s

olamente de aquellos puntos, que

satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el

lugar geométrico.

1. Se supone que el punto P, de

coordenadas (x, y), es un punto

cualquiera que satisface la condición

ó condiciones dadas, y, por tanto, un

punto del lugar geométrico.

Pasos para obtener la ecuación de un lugar

geométrico

2. Se expresa, analíticamente, la

condición o condiciones geométricas

dadas, por medio de una ecuación o

ecuaciones en las coordenadas

variables x e y.

geométrico

3. Se simplifica, si hace falta, la

ecuación obtenida en el paso

anterior (2) de tal manera que tome

la forma

f(x,y)=0

geométrico

4. Se comprueba el reciproco: sean

(x1, y1) las coordenadas de cualquier

punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal

manera que:

f(x1 ,y1 )=0

geométrico

geométricoEn la práctica generalmente se omite el paso 4,

ya que la repetición del trabajo del paso 3 al

paso 2 es, generalmente, inmediata.

Nótese que en el paso 1 que al tomar como

un punto cualquiera del lugar

geométrico,

estamos considerando todos los puntos de ese

lugar geométrico.

14. Un punto se mueve de tal manera que su

distancia al punto 2,4 es siempre igual a

su distancia al eje aumentada en 3.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo1

Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto

2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.

Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo1

Sea , un punto genérico y arbitrario

del lugar geométrico.

La especificación del lugar geométrico se

escribe, en términos algebráicos, como

, , 2,4 , , 3

d P x y A d P x y Y

, , 2,4 , , 3

d P x y A d P x y Y

Elevando al cuadrado:

Desarrollando los cuadrados:

4 4 8 16 6 9

Pasando todo al primer miembro:

4 4 8 16 6 9 0

x x y y x x

4 4 8 16 6 9 0

Reduciendo términos seme

4 16 9

8 10 11 0

x x y y x x

La ecuación del lugar geométrico es:

8 10 11 0y y x

2 8 10 11 0y y x

Un punto se mueve de tal manera que su distancia

del eje es siempre igual a su distancia del punto

4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2

Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.

Sea el pie de la perpendicular de al eje ,

según el problema, debe satisfacer lacondición

geométrica

8 16 0

x x x y

2 8 16 0y x

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

y 2 8 16 0y x

geométrico. Ejemplo 3Hallar la ecuación del lugar geométrico

de un punto que se mueve de tal manera

que siempre equidista de dos puntos

dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B

Hallar la ecuación del lugar geométrico

dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo

La ecuación buscada es

5 3 6 0x y

Hallar la ecuación del lugar geométrico

dados ( 1 ,2) y (4, 1 ).A B

5 3 6 0x y

geométrico. Ejemplo 5

( - 3)² ( -1)² ( / 2)

( - 3)² ( -1)² / 4

( - 3)² ( -1)² / 4 0

(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0

x x y y

2 3 4 5 6 7

y(3 / 4) ² - 6 ² - 2 10 0x x y y

5. Un punto se mueve de tal manera que su

distancia al punto 2,3 es siempre igual a 5.

Hallar la ecuación de su lugar geométrico y

dar una interpretación geométrica.

1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( , ) es un

punto cualquzera que satisface la condici6n o condiciones

dadas, y , por tanto, un punto del lu

Sea entonces

gsr geom6tri

, un pu

nto genera

l P x y

y arbitrario del

lugar geométrico

. Se expresa , analfticamente , la condici6n o

condiciones geometricas dadas, por medio de

una ecuaci6n o ecuaciones en las coordenadas

variables x y y.

En este caso esa condición se escribe

, , 2,3 5d P x y A

que se expresa como

2 3 5x y

3. Se simplifica , si hace falta , la ecuaci6n

obtenida en el paso 2 de tal manera que

tome la forma

En este caso

2 3 25

4 4 6 9 25

x x y y

1 14 . Se comprueba el reciproco : sean , las coordenadas de

ctialquier punto que satisfacen (1) de tal manera que la ecuaci6n

es verdadera . Si de (2) se puede deducir la expresi6n analitica de la

2 21 1 1 1

ici6n o condiciones geometricas dadas, cuando se aplica a1 punto

(XI, yl) , entonces (I) es la ecuaci6

En este caso

n del lugar geo

m6t.rico que se

buscaba

2 3 25

4 4 6 9 2

x x y y

2 21 1 1 1

4 4 6 9 25 0

4 6 12 0

x x y y

x y x y

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 5

Construir la gráfica de la

ecuación

4 6 12 0x y x y

Intersecciones con los ejes

4 6 12 0,

y obtenemos

4 12 0

La factorizamos

Las intersecciones del eje son 6 y 2

x y x y

4 6 12 0,

y obtenemos

6 12 0,

La resolvemos

6 6 4 1 12 6 36 48

6 84 6 4 21 6 2 213 21

Las intersecciones del eje son 3

x y x y

21 y 3 21

Simetrías

No tiene

Extensión

En el eje :

Despejamos como función de ,

de 4 6 12 0,

6 36 4 4 12 6 4 16 84

6 4 4 21 6 2 4 21

3 4 21

x y x y

x x x xy

x x x x

Asíntotas

No tiene

2 2 4 6 12 0x y x y

23. Dos de los vértices de un triángulo son

los puntos fijos (-1,3) y (5,1). Hallar la

ecuación del lugar geométrico del tercer

vértice si se mueve de tal manera que la

pendiente del lado es si

AC##############

empre el doble

de la del lado .BC##############

Solución:

Sea ( , ) un punto cualquiera del lugar geométrico.

3La pendiente del lado es

La pendiente del lado es 5

Segun el problema, , debe satisfacer la

condición geomé

##############

1 2trica 2m m

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).

Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de

tal manera que la pendiente del lado es

AC##############

siempre el doble de la del lado .BC##############

La condición geométrica especificada,

que la pendiente del lado es siempre

el doble de la del lado ; es decir, que

se expresa analíticamente como

##############

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos (-1,3) y (5,1).

Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice si se mueve de

tal manera que la pendiente del lado es

AC##############

siempre el doble de la del lado .BC##############

Simplificamos ahora la expresión que

expresa la condición analiticamente,

3 12 0

1 53 5 2 1 1

3 5 15 2 2 2 20

x xy x y x

xy x y xy x y

3 5 15 2 2 2 20

7 17 0

xy x y xy x y

xy x y

Nos falta comprobar ahora el recíproco, el punto 4

de los pasos que hemos especificado; es decir,

si un punto ( , ) satisface la ecuación

7 17 0

entonces satisface la condición geométrica,

que la

xy x y

pendiente del lado es siempre el doble de

la del lado .

##############

1 1 1 1

Como el punto ( , ) satisface la ecuación

7 17 0

tenemos

7 17 0

Dividimos ambos lados de la ecuación,

xy x y

x y x y

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

13 3 5 5 15 1

Y ahora separamos las fracciones

3 5 15 2 2 2 20

( 5)( 3) 2( 1)( 1)0

x y x y

x y x y x y x y

x y y x

x y x y x x y y

3) 2( 1)( 1)0

1 1 1 1

( 5)( 3) 2( 1)( 1)0

( 5)( 3) ( 1)( 1)2 0

1 5 1 5

3 12 0

x y y x

x x x x

Construir la gráfica de la

ecuación

7 17 0xy x y

Construir la gráfica de la ecuación 7 17 0xy x y

la curva intersecta al e

Hacemos 0 en la ecuación 7 17 0,

ó sea .

Hacemos 0 en l

a ecuación

rva intersec

7 17 0,

7 17 0

ó ta sea

y xy x y

x xy x y

al eje en 1 7.7 /Y y

Respec

no es s

to al eje :

imétrica respec

iando en la ecuación 7 17 0,

obtenemos 7 17 0

ó sea .

Respecto al eje :

Cambiando en la ecuació

to al eje

y y xy x y

xy x y

x x xy x

obtenemos 7 17 0

ó sea .

Respecto al origen:

Cambiando y en la ecuación

la curva no es simétrica respecto al eje

la curva no

7 17 0,

obtenemos

es simé

7 17 0

ó ts ce ri a a

xy x y

x x y y xy x y

respecto al origen.

puede tomar cualquier valor,

excepto 7

Extensión

En el eje :

Despejamos como función de ,

7por lo tanto

En el eje :

Despejamos como función de , 7 17 0,

por lo tanto

x y xy x y

e tomar cualquier valor,

excepto 1.

Asíntotas

Vérticales

17En la expresión

7hacemos cero el denominador lineal, y obtenemos

para la asíntota vertical.

Horizontales

17 7En la expresión

hacemos cero el denominador lineal,

y obtenemos

para la asíntota horizon a .

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