Transcript of Investigación de operaciones, 9na. edición hamdy a. taha - fl
- 1. Vistenos en:www.pearsoneducacion.netISBN
978-607-32-0796-6HAMDY A. TAHA40Novena edicinHAMDY A. TAHANovena
edicinINVESTIGACINDE OPERACIONESNovenaedicin Con AMPL , Solver,
Excel,e implementaciones TORATAHAEsta novena edicin del reconocido
libro de Taha contiene, de manera ms concisa que las anteriores,
tanto eltexto como el software de apoyo, con el fin de que el
lector se enfoque de lleno en la puesta en ejecucinalgortmica y
prctica de las tcnicas de investigacin de operaciones.El libro
recalca que, si bien el modelado matemtico es la piedra angular de
la IO, en la decisin final se debentomar en cuenta factores
incuantificables, como el comportamiento humano; asimismo, hace
hincapi en que ladefinicin correcta de los problemas es la fase ms
importante y ms difcil de la IO. Por ltimo, la obra presentavarias
aplicaciones que utilizan ejemplos resueltos y problemas
especficos.Novedades en esta edicin: La nueva seccin 3.7 ofrece un
marco de trabajo (sin necesidad de utilizar matemticas) sobre
cmoimplementar los diferentes algoritmos de programacin lineal
(simplex, simplex dual, simplexrevisado y de punto interior) en
cdigos comerciales, con el fin de incrementar la velocidad decmputo
y la precisin necesarias para resolver problemas muy grandes. El
nuevo captulo 10 cubre la heurstica y la metaheurstica diseadas
para obtener buenas solucionesaproximadas a problemas de
programacin entera y combinatoria. El nuevo captulo 11, dedicado al
importante problema del agente viajero, incluye varias
aplicacionesy el desarrollo de algoritmos de solucin heursticos y
exactos. Todos los algoritmos de los captulos 10 y 11 se
codificaron en Excel para una agradable experimen-tacin interactiva
con los modelos. En todos los captulos se agregaron numerosos
problemas nuevos. Tambin se actualiz el software TORA.Para mayor
informacin,
visite:pearsoneducacion.net/tahaINVESTIGACINDEOPERACIONESINVESTIGACINDEOPERACIONESANIVERSARIO
- 2. Investigacinde operaciones
- 3. Investigacinde operacionesNovena edicinHamdy A.
TahaUniversity of Arkansas, FayettevilleTRADUCCINRodolfo Navarro
SalasIngeniero MecnicoUniversidad Nacional Autnoma de MxicoREVISIN
TCNICAMXICOAlicia Nandeli Mercado ZepedaHumberto Oviedo
GaldeanoFrancisco Garca MoraAcademia de Investigacin de
OperacionesUnidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenieray
Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA)Instituto Politcnico
NacionalMario lvarez GarcaDepartamento de Ingeniera
IndustrialInstituto Tecnolgico Superior del Occidente del Estado de
HidalgoUlises Mercado ValenzuelaUnidad de Estudios de Posgrado e
InvestigacinInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de
CoacalcoARGENTINAOsvaldo Facundo MartnezDepartamento de Ingeniera
IndustrialUniversidad Tecnolgica NacionalFacultad Regional
Crdoba
- 4. Authorized translation from the English language edition,
entitled Operations Research:An Introduction,9thEdition, by Hamdy
A.Taha, published by Pearson Education, Inc., publishing as
Prentice Hall,Copyright 2011.All rights reserved.ISBN
9780132555937Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls,
titulada Operations Research:An Introduction, 9a.edicin, por Hamdy
A.Taha, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como
Prentice Hall,Copyright 2011.Todos los derechos reservados.Esta
edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditora:
Gabriela Lpez Ballesterose-mail:
gabriela.lopezballesteros@pearson.comEditor de desarrollo:
Bernardino Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Rodrigo Romero
VillalobosNOVENA EDICIN, 2012D.R. 2012 por Pearson Educacin de
Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial
Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Estado de MxicoCmara Nacional de la
Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.Reservados todos los
derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden
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del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de
uso de este ejemplar requerir tambin laautorizacin del editor o de
sus representantes.ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0796-6ISBN
VERSIN E-BOOK: 978-607-32-0797-3ISBN E-CHAPTER:
978-607-32-0798-0PRIMERA IMPRESINImpreso en Mxico/Printed in
Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 14 13 12 11Datos de catalogacin
bibliogrficaTAHA, HAMDY A.Investigacin de operacionesNovena
edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2012ISBN: 978-607-32-0796-6rea:
MatemticasFormato: 18.5 3 23.5 cm Pginas: 824
- 5. A KarenLos ros no llevan agua,el sol las fuentes secYo s
donde hay una fuenteque no ha de secar el sol!La fuente que no se
agotaes mi propio coraznV. Ruiz Aguilera (1862)
- 6. ContenidoLo nuevo en esta edicin xxvAgradecimientos
xxviReconocimientos xxxAcerca del autor xxxiMarcas registradas
xxxiiiCaptulo 1 Qu es la investigacin de operaciones 11.1
Introduccin 11.2 Modelos de investigacin de operaciones 11.3
Solucin del modelo de IO 51.4 Modelos de colas y simulacin 61.5 El
arte del modelado 61.6 Ms que slo matemticas 71.7 Fases de un
estudio de IO 91.8 Acerca de este libro 10Bibliografa 11Captulo 2
Modelado con programacin lineal 132.1 Modelo de PL con dos
variables 132.2 Solucin grfica de la PL 162.2.1 Solucin de un
modelo de maximizacin 162.2.2 Solucin de un modelo de minimizacin
242.3 Solucin con computadora, aplicando Solver y AMPL 272.3.1
Solucin de PL con Excel Solver 272.3.2 Solucin de PL con AMPL 312.4
Aplicaciones de programacin lineal 352.4.1 Inversin 352.4.2
Planificacin de la produccin y control de inventario 402.4.3
Planificacin de la mano de obra 482.4.4 Planificacin de desarrollo
urbano 522.4.5 Mezcla y refinacin 572.4.6 Aplicaciones de PL
adicionales 63Bibliografa 68Captulo 3 Mtodo simplex y anlisis de
sensibilidad 693.1 Modelo de PL en forma de ecuacin 693.2 Transicin
de la solucin grfica a la algebraica 72vii
- 7. viii Contenido3.3 Mtodo simplex 763.3.1 Naturaleza iterativa
del mtodo simplex 773.3.2 Detalles de clculo del algoritmo simplex
793.3.3 Resumen del mtodo simplex 853.4 Solucin artificial inicial
893.4.1 Mtodo M 893.4.2 Mtodo de dos fases 943.5 Casos especiales
en el mtodo simplex 993.5.1 Degeneracin 993.5.2 ptimos alternativos
1023.5.3 Solucin no acotada 1043.5.4 Solucin no factible 1063.6
Anlisis de sensibilidad 1083.6.1 Anlisis de sensibilidad grfica
1083.6.2 Anlisis de sensibilidad algebraica. Cambiosen el lado
derecho 1143.6.3 Anlisis de sensibilidad algebraica.Funcin objetivo
1233.6.4 Anlisis de sensibilidad con Tora, Solver,y AMPL 1293.7
Temas de clculo en la programacin lineal 131Bibliografa 136Captulo
4 Dualidad y anlisis postptimo 1374.1 Definicin del problema dual
1374.2 Relaciones primal-dual 1414.2.1 Repaso de operaciones con
matrices simples 1414.2.2 Diseo de la tabla simplex 1424.2.3
Solucin dual ptima 1434.2.4 Clculos con la tabla simplex 1504.3
Interpretacin econmica de la dualidad 1534.3.1 Interpretacin
econmica de las variables duales 1544.3.2 Interpretacin econmica de
las restriccionesduales 1564.4 Algoritmos simplex adicionales
1584.4.1 Algoritmo simplex dual 1594.4.2 Algoritmo simplex
generalizado 1644.5 Anlisis postptimo 1654.5.1 Cambios que afectan
la factibilidad 1664.5.2 Cambios que afectan la optimalidad
171Bibliografa 174
- 8. Contenido ixCaptulo 5 Modelo de transporte y sus variantes
1755.1 Definicin del modelo de transporte 1755.2 Modelos de
transporte no tradicionales 1825.3 Algoritmo de transporte 1875.3.1
Determinacin de la solucin de inicio 1885.3.2 Clculos iterativos
del algoritmo de transporte 1915.3.3 Explicacin del mtodo de los
multiplicadorescon el mtodo simplex 1995.4 Modelo de asignacin
2005.4.1 Mtodo hngaro 2015.4.2 Explicacin del mtodo hngaro con
simplex 206Bibliografa 208Captulo 6 Modelo de redes 2096.1 Alcance
y definicin de modelos de redes 2096.2 Algoritmo del rbol de mnima
expansin 2126.3 Problema de la ruta ms corta 2176.3.1 Ejemplos de
aplicaciones de la ruta ms corta 2176.3.2 Algoritmos de la ruta ms
corta 2216.3.3 Formulacin de programacin lineal del problemade la
ruta ms corta 2306.4 Modelo de flujo mximo 2346.4.1 Enumeracin de
cortes 2356.4.2 Algoritmo de flujo mximo 2366.4.3 Formulacin de
programacin lineal en el modode flujo mximo 2446.5 CPM y PERT
2476.5.1 Representacin en forma de red 2476.5.2 Clculos del mtodo
de la ruta crtica (CPM) 2526.5.3 Construccin del cronograma
2556.5.4 Formulacin de programacin lineal de CPM 2616.5.5 Redes
PERT 262Bibliografa 265Captulo 7 Programacin lineal avanzada 2677.1
Fundamentos del mtodo simplex 2677.1.1 Desde los puntos extremos
hasta las solucionesbsicas 2697.1.2 Tabla simplex generalizada en
formamatricial 272
- 9. x Contenido7.2 Mtodo simplex revisado 2757.2.1 Desarrollo de
las condiciones de optimalidady factibilidad 2757.2.2 Algoritmo
simplex revisado 2787.3 Algoritmo de variables acotadas 2837.4
Dualidad 2907.4.1 Definicin matricial del problema dual 2907.4.2
Solucin dual ptima 2907.5 Programacin lineal paramtrica 2947.5.1
Cambios paramtricos en C 2957.5.2 Cambios paramtricos en b 2977.6
Ms temas de programacin lineal 300Bibliografa 300Captulo 8
Programacin de metas 3018.1 Formulacin de una programacin de metas
3018.2 Algoritmos de programacin de metas 3068.2.1 Mtodo de los
pesos 3068.2.2 Mtodo preventivo 308Bibliografa 314Captulo 9
Programacin lineal entera 3159.1 Aplicaciones ilustrativas 3159.1.1
Presupuesto de capital 3169.1.2 Problema de cobertura de conjunto
3209.1.3 Problema de cargo fijo 3259.1.4 Restricciones Uno - u -
otro y Si - entonces 3309.2 Algoritmos de programacin entera
3359.2.1 Algoritmo de ramificacin y acotamiento 3369.2.2 Algoritmo
de plano de corte 344Bibliografa 349Captulo 10 Programacin
heurstica 35110.1 Introduccin 35110.2 Heurstica codiciosa (bsqueda
local) 35210.2.1 Heurstica de variable discreta 35210.2.2 Heurstica
de variable continua 35410.3 Metaheurstica 35710.3.1 Algoritmo de
bsqueda tab 35810.3.2 Algoritmo de recocido simulado 36510.3.3
Algoritmo gentico 371
- 10. Contenido xi10.4 Aplicacin de metaheurstica a
programaslineales enteros 37610.4.1 Algoritmo tab aplicado a una
PLE 37810.4.2 Algoritmo de recocido simulado aplicado a una PLE
38210.4.3 Algoritmo gentico aplicado a la PLE 38610.5 Introduccin a
la programacin de restriccin (PR) 391Bibliografa 392Captulo 11
Problema del agente viajero (TSP*) 39511.1 Aplicaciones de ejemplo
de TSP 39511.2 Modelo TSP matemtico 39711.3 Algoritmos TSP exactos
40711.3.1 Algoritmo de ramificacin y acotamiento 40711.3.2
Algoritmo del plano de corte 41011.4 Heursticas de bsqueda local
41211.4.1 Heurstica del vecino ms cercano 41311.4.2 Heurstica de
inversin 41311.5 Metaheursticas 41611.5.1 Algoritmo tab aplicado al
modelo TSP 41611.5.2 Algoritmo de recocido simulado aplicadoal
modelo TSP 42011.5.3 TSP Algoritmo gentico aplicado al modelo TSP
423Bibliografa 427Captulo 12 Programacin dinmica determinstica
42912.1 Naturaleza recursiva de los clculos de programacindinmica
(PD) 42912.2 Recursividad hacia adelante (avance) y hacia
atrs(retroceso) 43312.3 Aplicaciones de PD seleccionadas 43412.3.1
Modelo de la mochila/equipo de vuelo/cargade contenedor 43512.3.2
Modelo de tamao de la fuerza de trabajo 44312.3.3 Modelo de
reemplazo de equipo 44612.3.4 Modelo de inversin 44912.3.5 Modelos
de inventario 45312.4 Problema de dimensionalidad 453Bibliografa
456Captulo 13 Modelos de inventario determinsticos 45713.1 Modelo
general de inventario 457
- 11. xii Contenido13.2 El papel (rol) de la demanda en el
desarrollo de modelosde inventario 45813.3 Modelos estticos de
cantidad de pedido econmico (EOQ) 46013.3.1 Modelo EOQ clsico
46013.3.2 EOQ con reducciones de precios 46513.3.3 Cantidad de
pedido econmica (EOQ) de variosartculos con limitacin de
almacenamiento 46913.4 Modelos dinmicos de cantidad de pedido
econmica(EOQ) 47113.4.1 Modelo de EOQ sin costo de preparacin
47313.4.2 Modelo de EOQ con costo de preparacin 476Bibliografa
487Captulo 14 Repaso de probabilidad bsica 48914.1 Leyes de
probabilidad 48914.1.1 Ley de la adicin de probabilidad 49014.1.2
Ley de probabilidad condicional 49114.2 Variables aleatorias y
distribuciones de probabilidad 49214.3 Expectativa de una variable
aleatoria 49514.3.1 Media y varianza (desviacin estndar)de una
variable aleatoria 49614.3.2 Variables aleatorias conjuntas 49714.4
Cuatro distribuciones de probabilidad comunes 50014.4.1 Distribucin
binomial 50014.4.2 Distribucin de Poisson 50114.4.3 Distribucin
exponencial negativa 50314.4.4 Distribucin normal 50414.5
Distribuciones empricas 506Bibliografa 512Captulo 15 Anlisis de
decisiones y juegos 51315.1 Toma de decisiones bajo certidumbre.
Proceso de jerarquaanaltica (PJA) 51315.2 Toma de decisiones en
condiciones de riesgo 52315.2.1 rbol de decisiones. Basado en el
criteriodel valor esperado 52315.2.2 Variantes del criterio del
valor esperado 52915.3 Decisin bajo incertidumbre 53715.4 Teora de
juegos 54115.4.1 Solucin ptima de juegos de suma cero entredos
personas 54215.4.2 Solucin de juegos con estrategias combinadas
545Bibliografa 551
- 12. Contenido xiiiCaptulo 16 Modelos de inventario
probabilsticos 55316.1 Modelos de revisin continua 55316.1.1 Modelo
EOQ probabilizado 55316.1.2 Modelo EOQ probabilstico 55616.2
Modelos de un solo periodo 56016.2.1 Modelo sin preparacin(Modelo
Newsvendor) 56016.2.2 Modelo con preparacin (Poltica s-S) 56416.3
Modelo de varios periodos 567Bibliografa 569Captulo 17 Cadenas de
Markov 57117.1 Defincin de una cadena de Markov 57117.2
Probabilidades de transicin absolutas y de n pasos 57417.3
Clasificacin de los estados en una cadenade Markov 57617.4
Probabilidades de estado estable y tiempos de retornomedios de
cadenas ergdicas 57817.5 Tiempo del primer paso 58317.6 Anlisis de
los estados absorbentes 587Bibliografa 592Captulo 18 Sistemas de
colas 59318.1 Por qu estudiar las colas? 59318.2 Elementos de un
modelo de colas 59518.3 Papel de la distribucin exponencial 59618.4
Modelos de nacimiento y muerte puros (relacin entrelas
distribuciones exponencial y de Poisson) 60018.4.1 Modelo de
nacimiento puro 60018.4.2 Modelo de muerte pura 60418.5 Modelo de
colas general de Poisson 60618.6 Colas de Poisson especializadas
61118.6.1 Medidas de desempeo de estadoestable 61218.6.2 Modelos de
un solo servidor 61618.6.3 Modelos de varios servidores 62318.6.4
Modelo de servicio de mquinas(M/M/R):(GD/K/K), R , K 63318.7
(M/G/1):(GD/q/q)Frmula de Pollaczek-Khintchine(P-K) 63618.8 Otros
modelos de colas 638
- 13. xiv Contenido18.9 Modelos de decisin en colas 63818.9.1
Modelos de costos 63918.9.2 Modelo de nivel de aspiracin
643Bibliografa 645Captulo 19 Modelado de simulacin 64719.1
Simulacin Montecarlo 64719.2 Tipos de simulacin 65219.3 Elementos
de la simulacin de evento discreto 65319.3.1 Definicin genrica de
eventos 65319.3.2 Muestreo de distribuciones de probabilidad
65419.4 Generacin de nmeros aleatorios 66119.5 Mecnica de la
simulacin discreta 66319.5.1 Simulacin manual de un modelo de un
soloservidor 66319.5.2 Simulacin basada en una hoja de clculo del
modelode un solo servidor 66919.6 Mtodos para reunir observaciones
estadsticas 67019.6.1 Mtodo de subintervalos 67119.6.2 Mtodo de
rplica 67319.7 Lenguajes de simulacin 674Bibliografa 676Captulo 20
Teora de optimizacin clsica 67720.1 Problemas no restringidos
67720.1.1 Condiciones necesarias y suficientes 67820.1.2 Mtodo de
Newton-Raphson 68120.2 Problemas restringidos 68320.2.1
Restricciones de igualdad 68320.2.2 Restricciones de desigualdad.
Condicionesde Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 693Bibliografa 698Captulo 21
Algoritmos de programacin no lineal 69921.1 Algoritmos no
restringidos 69921.1.1 Mtodo de bsqueda directa 69921.1.2 Mtodo del
gradiente 70321.2 Algoritmos restringidos 70621.2.1 Programacin
separable 70721.2.2 Programacin cuadrtica 71521.2.3 Programacin
estocstica 720
- 14. Contenido xv21.2.4 Mtodo de combinaciones lineales
72421.2.5 Algoritmo SUMT 726Bibliografa 727Apndice A Tablas
estadsticas 729Apndice B Respuestas parciales a problemas
seleccionados 733ndice 779
- 15. Material disponible en el sitioweb de este libro (en
ingls)(www.pearsoneducacion.net/taha)Chapter 22 Additional Network
and LP Algorithms 22.122.1 Minimum-Cost Capacitated Flow Problem
22.122.1.1 Network Representation 22.122.1.2 Linear Programming
Formulation 22.422.1.3 Capacitated Network Simplex Algorithm
22.922.2 Decomposition Algorithm 22.2022.3 Karmarkar Interior-Point
Method 22.2922.3.1 Basic Idea of the Interior-Point Algorithm
22.3022.3.2 Interior-Point Algorithm 22.31Bibliography 22.40Chapter
23 Forecasting Models 23.123.1 Moving Average Technique 23.123.2
Exponential Smoothing 23.523.3 Regression 23.6References
23.10Chapter 24 Probabilistic Dynamic Programming 24.124.1 A Game
of Chance 24.124.2 Investment Problem 24.424.3 Maximization of the
Event of Achieving a Goal 24.8References 24.11Chapter 25 Markovian
Decision Process 25.125.1 Scope of the Markovian Decision Problem
25.125.2 Finite-Stage Dynamic Programming Model 25.325.3
Infinite-Stage Model 25.725.3.1 Exhaustive Enumeration Method
25.725.3.2 Policy Iteration Method without Discounting 25.1025.3.3
Policy Iteration Method with Discounting 25.1325.4 Linear
Programming Solution 25.16References 25.20xvii
- 16. xviii Material disponible en el sitio web de este
libroChapter 26 Case Analysis 26.1Case 1: Airline Fuel Allocation
Using Optimum Tankering 26.2Case 2: Optimization of Heart Valves
Production 26.9Case 3: Scheduling Appointments at Australian
TouristCommission Trade Events 26.12Case 4: Saving Federal Travel
Dollars 26.16Case 5: Optimal Ship Routing and Personnel Assignment
for NavalRecruitment in Thailand 26.20Case 6: Allocation of
Operating Room Time in Mount SinaiHospital 26.26Case 7: Optimizing
Trailer Payloads at PFG Building Glass 26.30Case 8: Optimization of
Crosscutting and Log Allocation atWeyerhaeuser 26.36Case 9: Layout
Planning for a Computer Integrated Manufacturing(CIM) Facility
26.41Case 10: Booking Limits in Hotel Reservations 26.48Case 11:
Caseys Problem: Interpreting and Evaluatinga New Test 26.51Case 12:
Ordering Golfers on the Final Day of Ryder CupMatches 26.54Case 13:
Inventory Decisions in Dells Supply Chain 26.56Case 14: Analysis of
an Internal Transport System ina Manufacturing Plant 26.59Case 15:
Telephone Sales Manpower Planning at QantasAirways 26.62Appendix C
AMPL Modeling Language C.1C.1 Rudimentary AMPL Model C.1C.2
Components of AMPL Model C.2C.3 Mathematical Expressions and
ComputedParameters C.11C.4 Subsets and Indexed Sets C.13C.5
Accessing External Files C.16C.6 Interactive Commands C.24C.7
Iterative and Conditional Execution of AMPLCommands C.26C.8
Sensitivity Analysis using AMPL C.27C.9 Selected AMPL Models
C.28Bibliography C.40
- 17. Material disponible en el sitio web de este libro
xixAppendix D Review of Vectors and Matrices D.1D.1 Vectors D.1D.2
Matrices D.2D.3 Quadratic Forms D.13D.4 Convex and Concave
Functions D.15Problems D.15Selected References D.16Appendix E Case
Studies E.1
- 18. Categorizacin porherramienta de los archivosen el sitio
web*AAMMPPLL::Modelo de asignacin, AppenCFilesProgramacin de citas,
ch26FilesProgramacin de metas (interactiva), AppenCFilesModelos de
programacin enteraAlgoritmo de ramificacin y acotamiento
(interactivo), AppenCFilesSecuenciacin de trabajos,
AppenCFilesPlanificacin de personal de ventas por telfono en
Qantas, ch26FilesHospital Monte Sina, ch26FilesOptimizacin de PGF
Glass, ch26FilesCobertura de conjuntos, AppenCFilesOrganizacin de
rutas martimas, ch26FilesModelos de programacin linealProgramacin
de autobuses, ch2FilesAlmacenamiento de combustible,
ch26FilesProduccin de vlvulas cardiacas, ch26FilesModelo de Reddy
Mikks, AppenCFilesRenovacin urbana, AppenCFilesModelos de
programacin no linealEOQ con limitacin, AppenCFilesPNL,
AppenCFilesModelos de redCPM, AppenCFilesFlujo mximo,
AppenCFilesRed capacitada de costo mnimo, AppenCFilesRuta ms corta,
AppenCFilesModelo de transporte, AppenCFilesProblema del agente
viajero (TSP)Ramificacin y acotamiento
(interactivo),AppenCFilesPlano de corte,
AppenCFilesEExxcceell::Proceso de jerarqua analtica (PJA),
ch15FilesProbabilidades de Bayes, ch15FilesDecisiones bajo
incertidumbre, ch15Filesxxi*Todo el material incluido en el sitio
web se encuentra en idioma ingls.
- 19. xxii Categorizacin por herramienta de los archivos en el
sitio webMtodos de bsquedaDictomo, ch21FilesSeccin dorada,
ch21FilesNewton-Raphson, ch20FilesHeursticaVecino ms cercano en el
problema del agente viajero (TSP), ch11/FilesCaminata aleatoria,
ch11FilesInversiones en el problema del agente viajero (TSP),
ch11/FilesElaboracin de histogramas, ch23FilesInventarioRevisin
continua, ch16FilesCantidad de pedido econmica (EOQ), ch11FilesPD
general, ch11/FilesPD de Wagner-Whitin, ch11/FilesHeurstica de
Silver-Meal, ch11/FilesProblema de la mochila, PD,
ch10FilesManipulacin de matrices, AppenDFilesCadenas de
MarkovProbabilidades absolutas, ch17FilesProbabilidades de
absorcin, ch17FilesTiempo de primer paso, ch117FilesMatriz de
transicin en n pasos, ch17FilesProbabilidades de estado estable,
ch17FilesMetaheursticaPLE, tab, ch11/FilesPLE, gentica,
ch11FilesPLE de recocido simulado, ch11FilesTcnica del promedio
mvil, ch23FilesColasPoisson, ch18FilesFrmula de P-K,
ch18FilesRegresin, ch23FilesSimulacinMontecarlo (rea de un crculo),
ch19FilesCola de un solo servidor, ch9FilesCola de varios
servidores, ch19FilesGenerador de nmeros aleatorios, ch19FilesMtodo
regenerativo (ciclos), ch19FilesTablas estadsticas,electrnicas,
ch14FilesTSP (Agente viajero)Metaheurstica. Vea
MetaheursticaHeurstica. Vea HeursticaSSoollvveerr::Modelo de
inventario de cantidad de pedido econmica (EOQ) con
limitacin,ch11/FilesProgramacin entera de ramificacin y
acotamiento, ch9Files
- 20. Categorizacin por herramienta de los archivos en el sitio
web xxiiiModelos de programacin linealTOYCO, ch3Files,
ch3FilesReddy Mikks, ch3FilesAnlisis de sensibilidad,
ch3FilesRenovacin urbana, ch2FilesModelos de redFlujo mximo,
ch6FilesRed capacitada de costo mnimo, ch22FilesRuta ms corta,
ch6FilesProgramacin cuadrtica, ch21FilesProgramacin estocstica,
ch21FilesTToorraa::Reemplazo de equipo, ch5FilesModelos de
programacin enteraRamificacin y acotamiento, ch9FilesPresupuesto de
capital, ch9FilesCobertura de conjuntos, ch9FilesCargo fijo,
ch9FilesUno - u - otro, Si - entonces, ch9FilesCortes en TSP,
ch9FilesModelos de programacin linealVariables acotadas,
ch7FilesDieta, ch2FilesDiet, ch2Filesmtodo M, ch3FilesReddy Mikks,
ch2FilesAnlisis de sensibilidad, ch3FilesTOYCO, ch3FilesModelos de
redCPM (Mtodo de la ruta crtica), ch6FilesFlujo mximo, ch6FilesPERT
(Tcnica de evaluacin y revisin de programas), ch6FilesRuta ms
corta, ch6FilesModelos de colas (Poisson), ch18FilesModelo de
transporte, ch5FilesJuegos de suma cero, ch15Files
- 21. Lo nuevo enesta edicinEsta novena edicin contiene, de
manera ms concisa que las anteriores, tanto el textocomo el
software de apoyo, con el fin de que el lector se enfoque de lleno
en la puestaen ejecucin algortmica y prctica de las tcnicas de
investigacin de operaciones. La nueva seccin 3.7 constituye un
amplio encuadre (sin necesidad de utilizar ma-temticas) de cmo los
diferentes algoritmos de PL,programacin lineal (simplex,simplex
dual, simplex revisado y de punto interior) se ponen en ejecucin en
cdi-gos comerciales (por ejemplo CPLEX y XPRESS) para incrementar
la velocidadde cmputo y precisin necesarias para resolver problemas
muy grandes. El nuevo captulo 10 se ocupa de la heurstica y la
metaheurstica diseadas paraobtener buenas soluciones aproximadas a
problemas de programacin entera ycombinatoria. La necesidad de la
heurstica y la metaheurstica es un reconoci-miento del hecho de que
el desempeo de los algoritmos exactos ha sido menossatisfactorio
desde el punto de vista computacional. El nuevo captulo 11 est
dedicado al importante problema del agente viajero.Incluye varias
aplicaciones y el desarrollo de algoritmos de solucin heursticos
yexactos. Todos los algoritmos de los nuevos captulos 10 y 11 se
codificaron en Excel parapermitir una conveniente experimentacin
interactiva con los modelos. Todos los modelos AMPL se movieron al
apndice C* para complementar lasreglas sintcticas de AMPL
presentadas en el apndice. Los modelos aparecenoportunamente en el
libro con sus respectivas referencias. A lo largo del libro se
agregaron numerosos problemas nuevos. Se actualiz el software TORA.
Con el fin de mantener una cantidad razonable de pginas impresas,
hemospasado al sitio web* parte del material, entre el que se
incluye el apndice AMPL.xxv* Todo el material incluido en el sitio
web se encuentra en idioma ingls.
- 22. AgradecimientosPearson agradece a los profesores usuarios
de esta obra y a los centros de estudiosu apoyo y retroalimentacin,
elemento fundamental para esta nueva edicin deInvestigacin de
operaciones.ARGENTINAMarisa Raquel De GiustiMara Teresa
GuardarucciUniversidad Nacional de La PlataMXICOCIUDAD DE
MXICOGuillermo Mrquez ArregunEscuela Superior de Computacin
(ESCOM)Instituto Politcnico NacionalJorge Herrera AyalaEscuela
Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME)Instituto
Politcnico NacionalAlejandra Alcntara PachecoAraceli Guerrero
HuertaDomingo Gonzlez ZigaErasto Vctor Vergara NavaFidel Cisneros
MolinaJos Luis Arvizuo RiveraLuis Chvez GarcaManuel Roberto Montes
de OrtizMara Mayra Vzquez JimnezPedro Azuara RodrguezUnidad
Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y Ciencias Socialesy
Administrativas (UPIICSA)Instituto Politcnico NacionalClaudia Gmez
WulschnerEdgar Possani EspinosaMiguel de Lascurin MorhanInstituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterreyxxvi
- 23. Agradecimientos xxviiLuis MoncayoInstituto Tecnolgico
Autnomo de MxicoCampus Ciudad de MxicoEric Porras MusalemLino A.
NotarantonioInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
MonterreyCampus Santa FeRal ChvezUniversidad Anhuac del SurAdolfo
Miguel Castro GmezGema Esther Gonzlez FloresJos Luis Ruz D.Facultad
de Contadura y AdministracinUniversidad Nacional Autnoma de
MxicoArmando Popoca FloresDaniel Hadad CartasManuel Fuentes
RuizMiguel ngel Aguirre PitolFacultad de EconomaUniversidad
Nacional Autnoma de MxicoBonifacio Romn TapiaEduardo Alejandro
Hernndez GonzlezEfran Ramos TrejoLeonardo Bauelos SaucedoFacultad
de IngenieraUniversidad Nacional Autnoma de MxicoCuauhtmoc Tenopala
GranadosUniversidad La SalleESTADO DE MXICOngel Daz PinedaArizbel
Bailn SalgadoJeanette Lpez AlansFrancisco Quiroz AguilarMara de la
Luz Dvila FloresMario Luis Chew HernndezInstituto Tecnolgico de
Estudios Superiores de CoacalcoMartha Eugenia Limn HernndezRodolfo
Flores PinedaInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de
Cuautitln Izcalli
- 24. xxviii AgradecimientosCiria Salinas LpezJorge CoriaMartha
Chapa PlataVctor Jimnez GuidoInstituto Tecnolgico de Estudios
Superiores de EcatepecFrancisco Franco UrzaJess Avendao
MartnezInstituto Tecnolgico de TlalnepantlaMartha Beatriz Martnez
PonceInstituto Tecnolgico de TolucaEduardo DazLuis E. HerreraManuel
lvarez MadrigalInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
MonterreyCampus Estado de MxicoKarla ValenzuelaInstituto Tecnolgico
y de Estudios Superiores de MonterreyCampus TolucaFernando Lpez
SolsGastn Vrtiz CamarnMnica Marina Mondragn IxtlahFacultad de
IngenieraUniversidad Autnoma del Estado de MxicoCampus TolucaRal
Arregun BustamanteUniversidad del Valle de MxicoCampus TolucaJorge
Luis Surez MadariagaFlorentino Almida MartnezFacultad de Estudios
Superiores AcatlnUniversidad Nacional Autnoma de MxicoAndrs
Gutirrez BrcenasJos Isaac Snchez GuerraMarco Antonio
HernndezFacultad de Estudios Superiores CuautitlnUniversidad
Nacional Autnoma de MxicoGUANAJUATOJos Luis LagunaEscuela
Profesional de Comercio y Administracin
- 25. Agradecimientos xxixAntonio Murillo MontoyaFrancisco
Rodrguez S.Hugo Carrillo RodrguezJos Alfredo Jimnez GarcaJos
Francisco Rodrguez SilvaJos Luis Martnez PichardoJuan Antonio
Sillero PrezInstituto Tecnolgico de CelayaJos Enrique Gonzlez
MartnezInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
MonterreyCampus LenRicardo Ziga AlmanzaUniversidad de CelayaMario
Cruz AlcarazUniversidad de LenFernando Gmez GuerraJorge Velzquez
CentenoUniversidad Iberoamericana, LenPUEBLAJuan Carlos Ruiz
ArenasUniversidad de Las AmricasCarlos Gerardo Daz MarnGuillermo
Francisco Lpez TorresMara del Pilar Len FrancoUniversidad Popular
Autnoma del Estado de PueblaSAN LUIS POTOSJulio Csar Gonzlez
MartnezUniversidad del Valle de MxicoCampus San Luis
PotosSINALOARal SotoUniversidad de OccidenteUnidad Culiacn
- 26. ReconocimientosQuiero reconocer la importancia de las
revisiones realizadas a la novena edicin por losprofesores Yahya
Fathi (NCSU), Marc E. Posner (Ohio State University), Charu
Chan-dra (University of Michigan, Dearbon), Yasser Hosni
(University of Central Florida),M. Jeya Chandra (Penn State
University) y Manbir Sodhi (Rhode Island University).Como siempre,
sigo en deuda con mis amigos y colegas por su continuo apoyodurante
tantos aos: John Ballard (University of Nebraska, Lincoln), David
Elizandro(Tennessee Tech University), Rafael Gutirrez (University
of Texas, El Paso), JosPablo Nuo de la Parra (Universidad Popular
Autnoma del Estado de Puebla), yJung-Fu Tsai (National Taipei
University of Technology).Deseo expresar mi aprecio al personal de
editorial y de produccin de Pearsonpor su ayuda durante la
produccin de esta edicin.HAMDY A. TAHAhat@uark.eduxxx
- 27. Acerca del autorHamdy A. Taha es profesor emrito de
ingenieraindustrial en la University of Arkansas, donde en-sea,
investiga y simula operaciones. Es autor deotros tres libros sobre
programacin y simulacin,los cuales se han traducido a varios
idiomas. Tam-bin es autor de varios captulos de libros, y
susartculos tcnicos han aparecido en revistas comoEuropean Journal
of Operations Research, IEEETransactions on Reliability, IIE
Transactions, Inter-faces, Management Science, Naval Research
Logis-tics Quarterly, Operations Research y Simulation.El profesor
Taha recibi el premio Alumni por ex-celencia en investigacin y el
premio NadineBaum por excelencia en la enseanza, ambos porparte de
la University of Arkansas, as como otrospremios por investigacin y
enseanza del Colegio de Ingeniera de esta misma uni-versidad.
Tambin recibi el nombramiento de becario Fulbright Senior de la
Univer-sidad Carlos III de Madrid, Espaa. Domina tres idiomas y se
ha desempeado comoprofesor y consultor en Europa, Mxico y Medio
Oriente.xxxi
- 28. Marcas registradasAMPL es una marca registrada de AMPL
Optimization, LLC, 900 Sierra Place SE,Albuquerque, NM 87108-3379,
EUA.CPLEX es una marca registrada de ILOG, Inc., IBM Corporation, 1
New OrchardRoad,Armonk, Nueva York, 10504 10504-1722.KNITRO es una
marca registrada de Ziena Optimization Inc., 1801 Maple Ave.
Suite6320, Evanston IL, 60201.LOQO es una marca registrada de
Princeton University, Princeton University,Princeton, NJ,
08544.Microsoft es una marca registrada y Windows y Excel son
marcas registradas deMicrosoft Corporation, One Microsoft Way
Redmond,WA, 98052-7329.MINOS es una marca registrada de Stanford
University, 450 Serra Mall, Stanford, CA94305.Solver es una marca
registrada de Frontline Systems, Inc., P.O. Box 4288,
InclineVillage, NV 89450.TORA es una marca registrada de Hamdy
A.Taha.xxxiii
- 29. 1CAPTULO 1Qu es la investigacin de operaciones1.1
INTRODUCCINLas primeras actividades formales de investigacin de
operaciones (IO) se iniciaron enInglaterra durante la Segunda
Guerra Mundial, cuando un equipo de cientficos empeza tomar
decisiones con respecto a la mejor utilizacin del material blico.
Al trminode la guerra, las ideas formuladas en operaciones
militares se adaptaron para mejorarla eficiencia y productividad en
el sector civil.Este captulo presenta la terminologa bsica de la
IO, que comprende el mode-lado matemtico, soluciones factibles,
optimizacin y clculos iterativos. Hace hincapien que la definicin
correcta del problema es la fase ms importante (y ms difcil)
depracticar la IO.Tambin se recalca que si bien el modelado
matemtico es la piedra an-gular de la IO, en la decisin final se
deben tomar en cuenta factores incuantificables,como el
comportamiento humano, por ejemplo. El libro presenta varias
aplicacionesque utilizan ejemplos resueltos y problemas
especficos.*1.2 MODELOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONESImagine que
tiene un compromiso de negocios que requiere 5 semanas de
trasladocontinuo entre Fayetteville (FYV) y Denver (DEN). Sale de
Fayetteville los lunes y re-gresa los mircoles. Un boleto regular
de viaje redondo cuesta $400, pero se ofrece20% de descuento si el
viaje redondo comprende un fin de semana. Un boleto sencilloen
cualquier direccin cuesta 75% del precio regular. Cmo debe comprar
los boletospara reducir el costo del traslado durante las 5
semanas?*En el sitio web de este libro encontrar el captulo 26 (en
ingls), el cual est dedicado por completo a lapresentacin del
anlisis de casos totalmente desarrollados.
- 30. 2 Captulo 1 Qu es la investigacin de operacionesPodemos
considerar la situacin como un problema de toma de decisiones,
cuyasolucin requiere responder tres preguntas:1. Cules son las
alternativas de decisin?2. Conforme a qu restricciones se toma la
decisin?3. Cul es el criterio objetivo apropiado para evaluar las
alternativas?Se consideran tres alternativas razonables:1. Comprar
cinco boletos normales FYV-DEN-FYV para salir el lunes y regresar
elmircoles de la misma semana.2. Comprar un boleto FYV-DEN, cuatro
DEN-FYV-DEN que abarquen fines desemana, y uno DEN-FYV.3. Comprar
un boleto FYV-DEN-FYV para el lunes de la primera semana y
elmircoles de la ltima semana, y cuatro DEN-FYV-DEN para los viajes
restan-tes. Todos los boletos en esta alternativa cubren por lo
menos un fin de semana.La restriccin en estas opciones es que pueda
salir de FYV el lunes y regresar el mir-coles de la misma semana.Un
criterio objetivo obvio para evaluar la alternativa propuesta es el
precio de losboletos. La alternativa que d el costo mnimo ser la
mejor. Especficamente, tenemos:Costo de la alternativa 1 5 5 3 400
5 $2000Costo de la alternativa 2 5 .75 3 400 1 4 3 (.8 3 400) 1 .75
3 400 5 $1880Costo de la alternativa 3 5 5 3 (.8 3 400) 5 $1600La
alternativa 3 es la mejor porque es la ms econmica.Aunque el
ejemplo anterior ilustra los tres componentes principales de un
mode-lo de IO, los cuales son: alternativas, criterio objetivo y
restricciones, las situaciones di-fieren por los detalles de la
construccin de cada componente y la solucin del modeloresultante.
Para ilustrar este punto, considere la formacin de un rectngulo de
reamxima con un trozo de alambre de L pulgadas de longitud. Cul ser
el mejor anchoy altura del rectngulo?En contraste con el ejemplo de
los boletos, el nmero de alternativas en esteejemplo no es finito;
es decir, el ancho y la altura del rectngulo pueden asumir
unacantidad infinita de valores porque son variables continuas.
Para formalizar esta obser-vacin, las alternativas del problema se
identifican definiendo el ancho y la alturacomo variables
algebraicasw 5 ancho del rectngulo en pulgadas,h 5 altura del
rectngulo en pulgadas.Con base en estas definiciones, las
restricciones de la situacin pueden expresarse ver-balmente como1.
Ancho del rectngulo 1 altura del rectngulo 5 la mitad de la
longitud del alambre.2. El ancho y la altura no pueden ser
negativos.
- 31. 1.2 Modelos de investigacin de operaciones 3Estas
restricciones se traducen de manera algebraica como sigue1. 2(w 1
h) 5 L2. w 0, h 0Ahora el nico componente restante es el objetivo
del problema; es decir, maxi-mizar el rea del rectngulo. Si z se
define como el rea del rectngulo, el modelo com-pleto esMaximizar z
5 whsujeto a2(w 1 h) 5 Lw, h 0Utilizando clculo diferencial, la
mejor solucin de este modelo es la cualrequiere la construccin de
una forma cuadrada.Con los datos de los dos ejemplos anteriores, el
modelo general de IO se organi-za en el siguiente formato general:w
= h = L4 ,Maximizar o minimizar Funcin objetivosujeto
aRestriccionesUna solucin del modelo es factible si satisface todas
las restricciones; es ptimasi, adems de ser factible, produce el
mejor valor (mximo o mnimo) de la funcin ob-jetivo. En el ejemplo
de los boletos, el problema considera tres alternativas factibles,
yla tercera es la que produce la solucin ptima. En el problema del
rectngulo, una al-ternativa factible debe satisfacer la condicin
donde w y h son variablesno negativas. Esta definicin conduce a una
infinidad de soluciones factibles y, a dife-rencia del problema de
los boletos, el cual utiliza una sencilla comparacin de precios,la
solucin ptima se determina aplicando clculo diferencial.Aunque los
modelos de IO estn diseados para optimizar un criterio
objetivoespecfico sujeto a un conjunto de restricciones, la calidad
de la solucin resultante de-pende de la exactitud con que el modelo
representa el sistema real. Considere, porejemplo, el modelo de los
boletos. Si no se identifican todas las alternativas dominantespara
comprar los boletos, entonces la solucin resultante es ptima slo en
relacincon las opciones representadas en el modelo. Especficamente,
si se omite la alternati-va 3 en el modelo, entonces la solucin
optima requerira que se compraran los bole-tos en $1880, la cual es
una solucin subptima. La conclusin es que la solucin p-tima de un
modelo es mejor slo para ese modelo. Si el modelo es una
representacinrazonablemente buena del sistema real, entonces su
solucin tambin es ptima parala situacin real.w + h = L2 ,
- 32. 4 Captulo 1 Qu es la investigacin de operacionesCONJUNTO DE
PROBLEMAS 1.2A11. En el ejemplo de los boletos, identifique una
cuarta alternativa factible.2. En el problema del rectngulo,
identifique dos soluciones factibles, e indique cul es la mejor.3.
Determine la solucin ptima del problema del rectngulo (Sugerencia:
Aplique larestriccin para expresar la funcin objetivo respecto de
una variable, luego utiliceclculo diferencial).4. Amy, Jim, John y
Kelly estn en la ribera de un ro y desean cruzar a la ribera
opuesta enuna canoa, la cual slo puede llevar dos personas a la
vez. Como Amy es la ms atltica,puede cruzar el ro remando en 1
minuto. Jim, John y Kelly lo haran en 2, 5 y 10
minutos,respectivamente. Si dos personas estn en la canoa, la
persona ms lenta determina eltiempo de cruce. El objetivo es que
las cuatro personas estn en la ribera opuesta enel menor tiempo
posible.(a) Identifique por los menos dos planes factibles para
cruzar el ro (recuerde que lacanoa es el nico medio de transporte y
que no puede viajar vaca).(b) Defina el criterio para evaluar las
alternativas.*(c) Cul es el menor tiempo para llevar a las cuatro
personas al otro lado del ro?*5. En un juego de bisbol, Jim es el
lanzador y Joe es el bateador. Suponga que Jim puedelanzar una bola
rpida o una curva al azar. Si Joe predice correctamente una
curva,puede mantener un promedio de bateo de .500; de otra manera,
si Jim lanza una curva yJoe est preparado para una bola rpida, su
promedio de bateo se mantiene por debajode .200. Por otra parte, si
Joe predice correctamente una bola rpida, mantiene unpromedio de
bateo de .300, de lo contrario su promedio es de slo .100.(a)
Defina las alternativas para este caso.(b) Determine la funcin
objetivo para el problema, y describa en qu difiere de
laoptimizacin comn (maximizacin o minimizacin) de un criterio.6.
Durante la construccin de una casa, se deben recortar seis viguetas
de 24 pies cadauna a la longitud correcta de 23 pies. La operacin
de recortar una vigueta implica lasiguiente secuencia:1Un asterisco
antes del nmero seala problemas cuya solucin aparece en el Apndice
B.Operacin Tiempo (segundos)1. Colocar la vigueta en caballetes de
aserrar 152. Medir la longitud correcta (23 pies) 53. Marcar la
lnea de corte para la sierra circular 54. Recortar la vigueta a la
longitud correcta 205. Apilar las viguetas recortadas en un rea
designada 20Intervienen tres personas: Dos deben realizar al mismo
tiempo las operaciones 1, 2 y 5, yun cortador se ocupa de las
operaciones 3 y 4. Hay dos pares de caballetes de aserrardonde se
colocan las viguetas sin recortar, y cada par puede manejar tres
viguetas.Sugiera un buen plan para recortar las seis viguetas.7. Se
construye una pirmide (bidimensional) en cuatro capas. La capa
inferior se componede los puntos (equidistantes) 1, 2, 3 y 4; la
siguiente incluye los puntos 5, 6 y 7; la terceracomprende los
puntos 8 y 9, y la superior el punto 10. Lo que se quiere es
invertir la
- 33. 1.3 Solucin del modelo de IO 5pirmide (que la capa inferior
incluya un punto y la superior cuatro) cambiando de lugarlos
puntos.(a) Identifique dos soluciones factibles.(b) Determine el
nmero mnimo de movimientos necesarios para invertir la pirmide.28.
Cuenta con cuatro cadenas y cada una consta de tres eslabones
slidos.Tiene que hacerun brazalete conectando las cuatro cadenas;
romper un eslabn cuesta 2 centavos, yvolverlo a soldar 3
centavos.(a) Identifique dos soluciones factibles y evalelas.(b)
Determine el costo mnimo para hacer el brazalete.9. Los cuadros de
una tabla rectangular de 11 filas y 9 columnas estn numerados
ensecuencia del 1 al 99 con una recompensa monetaria oculta de
entre 0 y 20 dlares,asignada a cada cuadro. El juego consiste en
que un jugador elige un cuadradoseleccionando cualquier nmero de
dos dgitos y luego restando al nmero seleccionadola suma de sus dos
dgitos. El jugador recibe entonces la recompensa asignada al
cuadroseleccionado. Sin importar cuntas veces se repita el juego,
qu valores monetariosdeben asignarse a los 99 cuadros para
minimizar la recompensa de los jugadores? Parahacer el juego
interesante, asignar $0 a todos los cuadros no es una opcin.1.3
SOLUCIN DEL MODELO DE IOEn la investigacin de operaciones no se
cuenta con una tcnica general nica para re-solver todos los modelos
que puedan surgir en la prctica. En su lugar, el tipo y
comple-jidad del modelo matemtico determina la naturaleza del mtodo
de solucin. Por ejem-plo, en la seccin 1.2 la solucin del problema
de los boletos requiere una clasificacinsimple de las
alternativas,basada en el precio de la compra total,mientras que la
solucindel problema del rectngulo utiliza clculo diferencial para
determinar el rea mxima.La tcnica de IO ms importante es la
programacin lineal. Est diseada paramodelos con funciones objetivo
y restricciones lineales. Otras tcnicas incluyen la pro-gramacin
entera (en la cual las variables asumen valores enteros), la
programacindinmica (en la cual el modelo original puede
descomponerse en subproblemas ms pe-queos y manejables), la
programacin de red (en la cual el problema puede modelarsecomo una
red), y la programacin no lineal (en la cual las funciones del
modelo son nolineales). stas son slo algunas de las muchas
herramientas de IO con que se cuenta.Una peculiaridad de la mayora
de las tcnicas de IO es que por lo general las so-luciones no se
obtienen en formas cerradas (como si fueran frmulas), sino que
msbien se determinan mediante algoritmos. Un algoritmo proporciona
reglas fijas declculo que se aplican en forma repetitiva al
problema, y cada repeticin (llamada ite-racin) acerca la solucin a
lo ptimo. Como los clculos asociados con cada iteracinsuelen ser
tediosos y voluminosos, es recomendable que estos algoritmos se
ejecutencon la computadora.Algunos modelos matemticos pueden ser
tan complejos que es imposible resol-verlos con cualquiera de los
algoritmos de optimizacin disponibles. En esos casos quizsea
necesario abandonar la bsqueda de la solucin ptima y simplemente
buscar unabuena solucin aplicando la heurstica, y la metaheurstica,
o bien reglas empricas.2Los problemas 7 y 8 se tomaron y
compendiaron de Bruce Goldstein, Cognitive Psychology:
Mind,Research, and Everyday Experience, Wadsworth Publishing,
2005.
- 34. 6 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones1.4 MODELOS
DE COLAS Y SIMULACINLas colas y la simulacin estudian las lneas de
espera. No son tcnicas de optimiza-cin; ms bien determinan medidas
de desempeo de las lneas de espera, como tiem-po de espera promedio
en la cola, tiempo de espera promedio para el servicio, y el usode
las instalaciones de servicio.Los modelos de colas utilizan modelos
probabilsticos y estocsticos para analizarlneas de espera, y la
simulacin estima las medidas de desempeo al imitar el
compor-tamiento del sistema real. De cierto modo, la simulacin
tiene ventajas para observar unsistema real, ya que la diferencia
principal entre las colas y la simulacin es que los mo-delos de
colas son puramente matemticos y, en consecuencia, estn sujetos a
hiptesisespecficas que limitan el alcance de su aplicacin. La
simulacin, por otra parte, es fle-xible y puede utilizarse para
analizar prcticamente cualquier situacin de colas.El uso de la
simulacin no est exento de inconvenientes. El proceso de
desarrollarmodelos de simulacin es costoso, tanto en tiempo como en
recursos; adems la ejecu-cin de los modelos de simulacin suele ser
lenta, aun con la computadora ms rpida.1.5 EL ARTE DEL MODELADOLos
modelos desarrollados en la seccin 1.1 son representaciones exactas
de situacionesreales. Esto es raro en la IO, ya que la mayora de
las aplicaciones suelen implicardiversos grados de aproximacin. La
figura 1.1 ilustra los niveles de abstraccin quecaracterizan el
desarrollo de un modelo de IO.Abstraemos de la situacin real el
mundoreal supuesto al concentrarnos en las variables dominantes que
controlan el compor-tamiento del sistema real. El modelo expresa de
una manera razonable las funcionesmatemticas que representan el
comportamiento del mundo real supuesto.Para ilustrar los niveles de
abstraccin en el modelado, considere la TykoManufacturing Company,
donde se producen varios recipientes de plstico. Cuando seemite una
orden de produccin al departamento de produccin, las materias
primasnecesarias se toman de las existencias de la compaa o se
adquieren con proveedoresFIGURA 1.1Niveles de abstraccin en el
desarrollo de un modeloModeloMundo realMundo real supuesto
- 35. 1.6 Ms que slo matemticas 7externos. Una vez que se
completa un lote de produccin, el departamento de ventasse encarga
de distribuir el producto a los clientes.Una pregunta lgica al
analizar la situacin de Tyko es la determinacin del ta-mao de un
lote de produccin. Cmo puede un modelo representar esta situacin?Al
examinar todo el sistema se ve que algunas variables pueden incidir
directa-mente en el nivel de produccin, incluida la siguiente lista
(parcial) clasificada por de-partamentos.1. Departamento de
produccin: Capacidad de produccin expresada en funcin delas horas
de mano de obra y mquina disponibles, inventario en proceso y
normasde control de calidad.2. Departamento de materiales:
Existencias disponibles de materias primas, progra-mas de entrega
de proveedores externos y limitaciones de almacenamiento.3.
Departamento de ventas: Pronstico de ventas, capacidad de las
instalaciones dedistribucin, eficacia de las campaas publicitarias
y el efecto de la competencia.Cada una de estas variables afecta el
nivel de produccin en Tyko. Sin embargo, es real-mente difcil
establecer relaciones funcionales explcitas entre ellas y el nivel
de pro-duccin.Un primer nivel de abstraccin requiere definir los
lmites del mundo real su-puesto. Reflexionando un poco, podemos
aproximar el sistema real por medio de dosparmetros dominantes:1.
Tasa de produccin.2. Tasa de consumo.La determinacin de la tasa de
produccin implica variables como la capacidad de pro-duccin, las
normas de control de calidad y la disponibilidad de las materias
primas.Los datos de ventas determinan la tasa de consumo. En
esencia, la simplificacin a par-tir del mundo real al mundo real
supuesto se logra concentrando varios parmetrosdel mundo real en un
nico parmetro del mundo real supuesto.Ahora es ms fcil abstraer un
modelo desde el mundo real supuesto. Con las tasasde produccin y
consumo se pueden establecer medidas de exceso o escasez de
inventa-rio.Entonces el modelo abstrado puede construirse para
equilibrar los costos conflictivosde exceso y escasez de
inventario; es decir, para minimizar el costo total del
inventario.1.6 MS QUE SLO MATEMTICASDebido a la naturaleza
matemtica de los modelos de IO, tendemos a pensar que unestudio de
investigacin de operaciones siempre est enraizado en el anlisis
matem-tico. Aunque el modelado matemtico es fundamental en la IO,
primero se deben ex-plorar mtodos ms sencillos. En algunos casos se
puede obtener una solucin de sen-tido comn mediante observaciones
sencillas. En realidad, como invariablemente elelemento humano
afecta la mayora de los problemas de decisin, un estudio de la
psi-cologa de las personas puede ser clave para resolver el
problema. A continuacin sepresentan tres ejemplos que respaldan
este argumento.
- 36. 8 Captulo 1 Qu es la investigacin de operaciones1. Al
atender quejas sobre la lentitud de los elevadores en un gran
edificio de ofi-cinas, el equipo de IO percibi la situacin en
principio como un problema de lnea deespera que podra requerir el
uso del anlisis matemtico o la simulacin de colas. Des-pus de
estudiar el comportamiento de las personas que se quejaron, el
psiclogo delequipo sugiri que se instalaran espejos de cuerpo
completo a la entrada de los eleva-dores. Como por milagro, las
quejas desaparecieron, ya que las personas se mantenanocupadas
observndose a s mismas y a las dems mientras esperaban el
elevador.2. En un estudio de los mostradores de documentacin en un
gran aeropuertoingls, un equipo de consultores estadounidenses y
canadienses utiliz la teora decolas para investigar y analizar la
situacin. Una parte de la solucin recomendaba uti-lizar letreros
bien colocados que urgieran a los pasajeros cuya salida era en 20
minutosa que avanzaran al inicio de la cola y solicitaran el
servicio de inmediato. La solucinno tuvo xito porque los pasajeros,
en su mayora britnicos, estaban condicionados aun comportamiento
muy estricto en las colas y, por consiguiente, se rehusaban a
ade-lantarse a otros que esperaban en la cola.3. En una fundidora
de acero en India, primero se producen lingotes a partir delmineral
de hierro, los cuales se utilizan despus en la fabricacin de
varillas y vigas deacero. El gerente not una gran demora entre la
produccin de los lingotes y su trans-ferencia a la siguiente fase
de fabricacin (donde se elaboraban los productos
finales).Idealmente, para reducir el costo de recalentamiento la
fabricacin deba comenzar encuanto los lingotes salieran del horno.
Al principio el problema se percibi como unasituacin de equilibrio
de la lnea de produccin, el cual podra resolverse reduciendola
produccin de lingotes o incrementando la capacidad del proceso de
fabricacin. Elequipo de IO utiliz tablas sencillas para registrar
la produccin de los hornos durantelos tres turnos del da. Se
descubri que aun cuando el tercer turno comenzaba a las11:00 P.M.,
la mayora de los lingotes se producan entre las 2:00 y las 7:00
A.M. Una in-vestigacin ms a fondo revel que los operadores del
turno preferan descansar msal principio del turno y luego compensar
durante la madrugada la produccin perdida.El problema se resolvi
nivelando la produccin de los lingotes a lo largo del turno.De
estos ejemplos se pueden sacar tres conclusiones:1. Antes de
aventurarse en un complicado modelado matemtico, el equipo deIO
debe explorar la posibilidad de utilizar ideas agresivas para
resolver la situacin.La solucin del problema de los elevadores con
la instalacin de espejos se bas en lapsicologa humana ms que en el
modelado matemtico. Tambin es ms sencilla ymenos costosa que
cualquier recomendacin que un modelo matemtico pudierahaber
producido. Quizs esta sea la razn de que los equipos de
investigacin de ope-raciones suelan recurrir a los conocimientos de
personas externas que se desem-pean en campos no matemticos (el
psicolgico en el caso del problema de los eleva-dores). Este punto
fue aceptado y ejecutado por el primer equipo de IO en
Inglaterradurante la Segunda Guerra Mundial.2. Las soluciones se
originan en las personas y no en la tecnologa. Cualquier so-lucin
que no tome en cuenta el comportamiento humano probablemente falle.
Auncuando la solucin matemtica del problema del aeropuerto britnico
pudo haber sido
- 37. 1.7 Fases de un estudio de IO 9razonable, el hecho de que
el equipo consultor no se percatara de las diferencias cultu-rales
entre los Estados Unidos e Inglaterra (los estadounidenses y los
canadienses tien-den a ser menos formales) dio por resultado una
recomendacin que no se podaponer en prctica.3. Un estudio de IO no
debe iniciar con el prejuicio de utilizar una herramientamatemtica
especfica antes de que se justifique su uso. Por ejemplo, como la
progra-macin lineal es una tcnica exitosa, existe la tendencia de
utilizarla para modelarcualquier situacin. Esa forma de proceder
suele conducir a un modelo matemticodel todo alejado de la situacin
real. Por lo tanto, es imperativo que se analicen prime-ro los
datos disponibles aplicando las tcnicas ms simples siempre que sea
posible(por ejemplo, promedios, grficas e histogramas), para
determinar el origen del proble-ma. Una vez que se define el
problema, puede decidirse cul ser la herramienta msapropiada para
la solucin.3En el problema de la fundidora de acero, todo lo que
senecesitaba para aclarar la situacin de la produccin de lingotes
era la elaboracin detablas sencillas.1.7 FASES DE UN ESTUDIO DE
IOLos estudios de investigacin de operaciones se basan en la labor
de equipo, donde losanalistas de IO y el cliente trabajan codo con
codo. Los conocimientos de modelado delos analistas de IO se deben
complementar con la experiencia y cooperacin del clien-te para
quien realizan el estudio.Como herramienta de toma de decisiones,
la IO es tanto una ciencia como unarte. Es una ciencia por las
tcnicas matemticas que incorpora, y un arte porque elxito de las
fases que conducen a la solucin del modelo matemtico depende en
granmedida de la creatividad y experiencia del equipo de IO.
Willemain (1994) manifiestaque una prctica [de IO] eficaz requiere
ms que competencia analtica. Tambin re-quiere, entre otros
atributos, juicio tcnico (es decir, cundo y cmo utilizar una
tcni-ca dada), as como habilidades de comunicacin y supervivencia
organizacional.Es difcil prescribir cursos de accin especficos
(semejantes a los que indica lateora precisa de la mayora de los
modelos matemticos) para estos factores intangi-bles. Sin embargo,
podemos ofrecer lineamientos generales para la implementacin dela
IO en la prctica.Para implementar la IO en la prctica, las fases
principales son:1. Definicin del problema.2. Construccin del
modelo.3. Solucin del modelo.4. Validacin del modelo.5.
Implementacin de la solucin.3Decidir sobre un modelo matemtico
especfico antes de justificar su uso es como poner la carreta
ade-lante del caballo, y me recuerda la historia de un viajero areo
frecuente, paranoico en cuanto a la po-sibilidad de una bomba
terrorista a bordo del avin. Calcul la probabilidad de que
semejante desgraciapudiera ocurrir, y aunque result muy pequea no
bast para calmar su angustia. Desde entonces, siemprellevaba una
bomba en su portafolio porque, segn sus clculos, la probabilidad de
que hubiera dos bom-bas a bordo era prcticamente cero!
- 38. 10 Captulo 1 Qu es la investigacin de operacionesLa fase 3,
que se ocupa de la solucin del modelo, es la mejor definida y por
lo general lams fcil de implementar en un estudio de IO,porque
maneja principalmente modelos ma-temticos precisos.La implementacin
de las fases restantes es ms un arte que una teora.La definicin del
problema implica definir el alcance del problema investigado.Esta
funcin debe ser realizada por todo el equipo de IO. El objetivo es
identificar treselementos principales del problema de decisin: (1)
descripcin de las alternativas dedecisin; (2) determinacin del
objetivo del estudio, y (3) especificacin de las limita-ciones bajo
las cuales funciona el sistema modelado.La construccin del modelo
implica un intento de transformar la definicin del pro-blema en
relaciones matemticas. Si el modelo resultante se ajusta a uno de
los modelosmatemticos estndar, como la programacin lineal, se suele
obtener una solucin utili-zando los algoritmos disponibles. Por
otra parte, si las relaciones matemticas son dema-siado complejas
como para permitir la determinacin de una solucin analtica, el
equipode IO puede optar por simplificar el modelo y utilizar un
mtodo heurstico, o bien consi-derar la simulacin, si es lo
apropiado. En algunos casos, una simulacin matemticapuede
combinarse con modelos heursticos para resolver el problema de
decisin, comolo demuestran los anlisis de casos del captulo 26, que
se encuentra en el sitio web.La solucin del modelo es por mucho la
ms sencilla de todas las fases de IO por-que implica el uso de
algoritmos de optimizacin bien definidos. Un aspecto importan-te de
la fase de solucin del modelo es el anlisis de sensibilidad. Tiene
que ver con laobtencin de informacin adicional sobre el
comportamiento de la solucin ptimacuando el modelo experimenta
algunos cambios de parmetros. El anlisis de sensibi-lidad es
particularmente necesario cuando no se pueden estimar con precisin
losparmetros del modelo. En estos casos es importante estudiar el
comportamiento de lasolucin ptima en el entorno de los parmetros
estimados.La validez del modelo comprueba si el modelo propuesto
hace en realidad lo quedice que hace, es decir, predice
adecuadamente el comportamiento del sistema que seestudia? Al
principio, el equipo de IO debe estar convencido de que el
resultado del mo-delo no contenga sorpresas. En otras palabras,
tiene sentido la solucin? Los resul-tados sin intuitivamente
aceptables? Del lado formal, un mtodo comn de comprobarla validez
de un modelo es comparar su resultado con resultados histricos. El
modelo esvlido si, en condiciones de datos de entrada iguales,
reproduce de forma razonable eldesempeo pasado. Sin embargo, no
suele haber seguridad de que el desempeo futurocontinuar copiando
el comportamiento pasado.Adems, como el modelo se basa en elexamen
cuidadoso de datos pasados, la comparacin propuesta casi siempre es
favora-ble. Si el modelo propuesto representara un sistema nuevo
(inexistente), no habra datoshistricos disponibles. En esos casos
podemos utilizar la simulacin como una herra-mienta independiente
para comprobar el resultado del modelo matemtico.La implementacin
de la solucin de un modelo validado implica la transforma-cin de
los resultados en instrucciones de operacin comprensibles que se
emitirn alas personas que administrarn el sistema recomendado. La
responsabilidad de estatarea recae principalmente en el equipo de
IO.1.8 ACERCA DE ESTE LIBROMorris (1967) afirma que la enseanza de
los modelos no es lo mismo que la en-seanza del modelado.Tuve en
cuenta esta importante aseveracin durante la prepa-
- 39. Bibliografa 11racin de la novena edicin, e hice todo el
esfuerzo posible por presentar el arte delmodelado en la IO con la
inclusin de modelos realistas en el libro. Dada la importan-cia de
los clculos en la IO, el libro analiza la forma en que los
algoritmos tericos seacomodan en los cdigos de computadoras
comerciales (vea la seccin 3.7). Tambinpresenta herramientas
extensivas para realizar los clculos, que van desde TORAorientado
al aspecto tutorial, hasta los paquetes comerciales Excel, Excel
Solver yAMPL.La investigacin de operaciones es tanto un arte como
una ciencia; el arte dedescribir y modelar el problema, y la
ciencia de resolver el modelo utilizando algorit-mos matemticos
precisos. Un primer curso en la materia debe permitir al
estudianteapreciar la importancia de ambas reas. Esto proporcionar
a los usuarios de IO laclase de confianza que normalmente no se
obtendra si la capacitacin se enfocara sloen el aspecto artstico de
la IO, con el pretexto que las computadoras pueden liberar
alusuario de la necesidad de entender por qu funcionan los
algoritmos de solucin.Las habilidades de modelado y clculo pueden
mejorarse por el estudio de loscasos prcticos editados. Para
ayudarle en este sentido, el captulo 26 en el sitio webincluye 15
casos totalmente desarrollados y analizados que comprenden la
mayorparte de los modelos de IO que se presentan en este libro.
Tambin se incluyen 50casos basados en aplicaciones de la vida real
en el apndice E en el sitio web. Se dispo-ne de ms estudios de
casos en peridicos y publicaciones. En particular,
Interfaces(publicado por INFORMS) es una rica fuente de diversas
aplicaciones de IO.BIBLIOGRAFAAltier, W., The Thinking Managers
Toolbox: Effective Processes for Problem Solving andDecision
Making, Oxford University Press, Nueva York, 1999.Checkland, P.,
Systems Thinking, System Practice,Wiley, Nueva York, 1999.Evans,
J., Creative Thinking in the Decision and Management Sciences,
South-WesternPublishing, Cincinnati, 1991.Gass, S.,Model World:
Danger, Beware the User as a Modeler, Interfaces, vol. 20, nm. 3,
pgs.60-64, 1990.Morris,W.,On the Art of Modeling, Management
Science, vol. 13, pgs. B707-B717, 1967.Paulos, J., Innumeracy:
Mathematical Illiteracy and Its Consequences, Hill and Wang,
NuevaYork, 1988.Singh, S., Fermats Enigma,Walker, Nueva York,
1997.Willemain,T.,Insights on Modeling from a Dozen Experts,
Operations Research, vol. 42, nm.2, pgs. 213-222, 1994.
- 40. 132.1 MODELO DE PL CON DOS VARIABLESEn esta seccin
analizaremos la solucin grfica de una programacin lineal (PL)
condos variables. Aun cuando en la prctica difcilmente ocurren
problemas de dos varia-bles, el tratamiento proporciona fundamentos
concretos para el desarrollo del algorit-mo simplex general que se
presenta en el captulo 3.Ejemplo 2.1-1 (La compaa Reddy Mikks)Reddy
Mikks produce pinturas para interiores y exteriores con dos
materias primas, M1 y M2.La tabla siguiente proporciona los datos
bsicos del problema.Toneladas de materia prima por tonelada de
Disponibilidaddiaria mxima(toneladas)Pintura para exteriores
Pintura para interioresMateria prima, M1 6 4 24Materia prima, M2 1
2 6Utilidad por tonelada ($1000) 5 4Aplicacin de la vida real.
Frontier Airlines adquiere combustible de unamanera econmicaLa
carga de combustible de un avin puede hacerse en cualquiera de las
escalas a lolargo de una ruta de vuelo. El precio del combustible
vara entre escalas y se pueden ob-tener ahorros potenciales
cargando ms combustible en un lugar ms econmico parausarlo en
tramos de vuelo subsecuentes. La desventaja es que el peso
adicional del com-bustible cargado har que se consuma ms gasolina.
La programacin lineal (PL) y laheurstica se utilizan para
determinar la cantidad ptima de carga de combustible queequilibre
el costo del consumo excesivo frente a los ahorros en el costo del
combustible.El estudio, realizado en 1981, arroj ahorros netos de
aproximadamente $350,000 alao. El caso 1 en el captulo 26 en el
sitio web, proporciona los detalles del estudio. Esinteresante que
ahora, con el reciente aumento del costo del combustible, muchas
ae-rolneas estn utilizando software para adquirir combustible con
base en la PL.CAPTULO 2Modelado con programacin lineal
- 41. 14 Captulo 2 Modelado con programacin linealUna encuesta de
mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no
puedeexceder la de pintura para exteriores en ms de una
tonelada.Asimismo, que la demanda diariamxima de pintura para
interiores es de dos toneladas.Reddy Mikks se propone determinar la
(mejor) combinacin ptima de pinturas para inte-riores y exteriores
que maximice la utilidad diaria total.Todos los modelos de IO,
incluido el de PL, constan de tres componentes bsicos.1. Las
variables de decisin que pretendemos determinar.2. El objetivo (la
meta) que necesitamos optimizar (maximizar o minimizar).3. Las
restricciones que la solucin debe satisfacer.La definicin correcta
de las variables de decisin es un primer paso esencial en el
desarrollo delmodelo. Una vez hecha, la tarea de construir la
funcin objetivo y las restricciones es ms directa.Para el problema
de Reddy Mikks necesitamos determinar las cantidades diarias que
sedeben producir de pinturas para exteriores e interiores. As, las
variables del modelo se definencomo sigue:x1 Toneladas producidas
diariamente de pintura para exterioresx2 Toneladas producidas
diariamente de pintura para interioresLa meta de Reddy Mikks es
maximizar (es decir, incrementar lo ms posible) la utilidaddiaria
de ambas pinturas. Los dos componentes de la utilidad diaria total
se expresan en funcinde las variables x1 y x2 como sigue:Utilidad
de la pintura para exteriores 5x1 (en miles de dlares)Utilidad de
la pintura para interiores 4x2 (en miles de dlares)Si z representa
la utilidad diaria total (en miles de dlares), el objetivo (o meta)
de Reddy Mikksse expresa como sigueMaximizar z 5x1 4x2A continuacin
definimos las restricciones que limitan el consumo de las materias
primas yla demanda del producto. Las restricciones en las materias
primas se expresan verbalmente comoEl consumo diario de la materia
prima M1 es de 6 toneladas por tonelada de pintura para
exte-riores, y de 4 toneladas por tonelada de pintura para
interiores. Por lo tantoConsumo de materia prima M1 por ambas
pinturas 6x1 4x2 toneladas/daAsimismo,Consumo de materia prima M2
por ambas pinturas 1x1 2x2 toneladas/daLas disponibilidades diarias
de las materias primas M1 y M2 son de 24 y 6 toneladas,
respectiva-mente.As pues, las restricciones en las materias primas
son6x1 4x2 # 24 (Materia prima M1)x1 2x2 # 6 (Materia prima
M2)aConsumo de una materiaprima por ambas pinturasb aDisponibilidad
mximade materia primab
- 42. 2.1 Modelo de PL con dos variables 15La primera restriccin
en la demanda del producto estipula que la produccin diaria de
pin-tura para interiores no debe exceder a la de pintura para
exteriores en ms de 1 tonelada, lo cualse traduce enx2 x1 # 1
(Lmite del mercado)La segunda restriccin limita la demanda diaria
de pintura para interiores a 2 toneladas, es decir,x2 # 2 (Lmite de
la demanda)Una restriccin implcita (o sobreentendida) requiere que
todas las variables, x1 y x2, asu-man slo valores positivos o cero.
Las restricciones, expresadas como x1 $ 0 y x2 $ 0 se conocencomo
restricciones de no negatividad.El modelo completo de Reddy Mikks
esMaximizar z 5x1 4x2sujeto a(1)(2)(3)(4)(5)Todos los valores de x1
y x2 que satisfacen las cinco restricciones constituyen una solucin
fac-tible. De lo contrario la solucin es no factible. Por ejemplo,
la solucin x1 3 toneladas por da yx2 1 tonelada por da es una
solucin factible porque no viola ninguna de las cinco
restricciones.Este resultado se confirma sustituyendo (x1 3, x2 1)
en el lado izquierdo de cada restriccin.En la restriccin (1)
tenemos 6x1 4x2 6 3 4 1 22, la cual es menor que el lado derechode
la restriccin ( 24). Las restricciones 2 a 5 se comprueban de la
misma manera (hgalo!). Porotra parte, la solucin x1 4 y x2 = 1, es
no factible porque no satisface por lo menos una restric-cin,por
ejemplo la restriccin (1):6 4 4 1 28,la cual es mayor que el lado
derecho ( 24).La meta del problema es determinar la solucin ptima,
es decir la mejor solucin factibleque maximice la utilidad total z.
Primero utilizamos el mtodo grfico (seccin 2.2) para demos-trar que
el problema de Reddy Mikks tiene una cantidad infinita de
soluciones factibles, una pro-piedad compartida por todas las PL no
triviales. Esto significa que el problema no puede ser re-suelto
por enumeracin. En vez de eso, necesitamos un algoritmo que
determine la solucinptima en una cantidad finita de pasos. El mtodo
grfico en la seccin 2.2, y su generalizacin al-gebraica en el
captulo 3, explican los detalles del algoritmo deseado.Comentarios.
El objetivo y la funcin de restriccin en todas las PL deben ser
lineales.Adicionalmente, todos los parmetros (coeficientes de las
funciones objetivo y de restriccin)del modelo se conocen con
certeza.CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.1A1. Para el modelo de Reddy Mikks,
defina las siguientes restricciones y exprselas con unlado
izquierdo lineal y un lado derecho constante:*(a) La demanda diaria
de pintura para interiores supera la de pintura para exteriorespor
al menos una tonelada.(b) El consumo diario de materia prima M2 en
toneladas es cuando mucho de 6 y porlo menos de 3.x1, x2 0x2 2- x1
+ x2 1x1 + 2x2 66x1 + 4x2 24
- 43. 16 Captulo 2 Modelado con programacin lineal*(c) La demanda
de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de
pin-tura para exteriores.(d) La cantidad mnima de pintura que debe
producirse tanto para interiores comopara exteriores es de 3
toneladas.*(e) La proporcin de pintura para interiores respecto de
la produccin total de pinturapara interiores y exteriores no debe
exceder de 5.2. Determine la mejor solucin factible entre las
siguientes soluciones (factibles y no facti-bles) del modelo de
Reddy Mikks:(a) , .(b) , .(c) , .(d) , .(e) , .*3. Para la solucin
factible x1 2, x2 2 del modelo de Reddy Mikks, determine las
canti-dades no usadas de las materias primas M1 y M2.4. Suponga que
Reddy Mikks vende su pintura para exteriores a un solo mayorista
con undescuento. La utilidad por tonelada es de $5000 si el
contratista compra no ms de 2 to-neladas diarias, y de $4500 en los
dems casos. Exprese matemticamente la funcinobjetivo. Es lineal la
funcin resultante?2.2 SOLUCIN GRFICA DE LA PL1La solucin grfica
incluye dos pasos:1. Determinar el espacio de soluciones
factibles.2. Determinar la solucin ptima de entre todos los puntos
localizados en el espa-cio de soluciones.A continuacin se muestran
dos ejemplos para mostrar cmo se manejan las fun-ciones objetivo de
maximizacin y minimizacin.2.2.1 Solucin de un modelo de
maximizacinEjemplo 2.2-1Este ejemplo resuelve el modelo de Reddy
Mikks del ejemplo 2.1-1.Paso 1. Determinacin del espacio de
soluciones factibles.Antes que nada, considere las restricciones de
no negatividad x1 $ 0 y x2 $ 0. En la fi-gura 2.1, el eje
horizontal x1 y el eje vertical x2 representan las variables de
pinturapara exteriores e interiores, respectivamente.As pues, las
restricciones de no negativi-dad limitan las variables al primer
cuadrante (sobre el eje x1 y a la derecha del eje x2).x2 = -1x1 =
2x2 = 1x1 = 2x2 = 1.5x1 = 3x2 = 2x1 = 2x2 = 4x1 = 11La solucin
grfica de una PL con dos variables, aunque difcilmente es til en la
prctica, proporcionaideas que son cruciales para entender el mtodo
simplex algebraico general que se presenta en el captulo 3.El mdulo
grfico interactivo TORA es en especial til para experimentar con el
mtodo grfico. La seccin2.3 presenta los paquetes comerciales Excel
Solver y AMPL. Su uso se demuestra mediante diversas aplica-ciones
de PL prcticas en la seccin 2.4.
- 44. 2.2 Solucin grfica de la PL 17Para tener en cuenta las
otras cuatro restricciones, primero sustituya cada desi-gualdad con
una ecuacin, y luego trace la lnea recta resultante localizando dos
puntosdiferentes. Por ejemplo, despus de sustituir 6x1 4x2 # 24 con
la lnea recta 6x1 4x2 24, se determinan dos puntos distintos
haciendo x1 0 para obtenery luego que x2 0 para obtener De este
modo, la lnea 6x1 4x2 24que pasa por los puntos (0,6) y (4,0) es la
lnea (1) que se muestra en la figura 2.1.A continuacin consideramos
el efecto de la desigualdad que divide el plano(x1, x2) en dos
semiplanos, uno a cada lado de la lnea trazada. Slo una de estas
dosmitades satisface la desigualdad. Para determinar el lado
correcto seleccionamos(0,0) como punto de referencia. Si (0,0)
satisface la desigualdad, entonces el lado enque est es el
semiplano factible; de lo contrario, es el otro lado. El uso del
punto dereferencia (0,0) se ilustra con la restriccin 6x1 4x2 # 24.
Como 6 3 0 4 3 0 0es menor que 24, el semiplano que representa la
desigualdad (1) incluye el origen (loque se indica con la direccin
de la flecha en la figura 2.1).Conviene seleccionar (0,0) por
computadora como punto de referencia porquesiempre da un valor de
cero al lado izquierdo de la restriccin. Sin embargo, si lalnea
pasa por el origen, en ese caso debe usarse como punto de
referencia cualquierotro punto que no est sobre la lnea.La
aplicacin del procedimiento de punto de referencia a todas las
restriccionesdel modelo produce las restricciones que se muestran
en la figura 2.1 (comprube-lo!). El espacio de soluciones factibles
es el rea en el primer cuadrante que satisfacetodas las
restricciones al mismo tiempo. En la figura 2.1 todos los puntos en
o sobreel lmite del rea ABCDEF definen el espacio de soluciones
factibles.Todos los pun-tos fuera de esta rea son no factibles.x1 =
246 = 4.x2 = 244 = 6FIGURA 2.1Espacio factible del modelo de Reddy
Mikks5116x1 4x2 24Restricciones:2x1 2x2 63x1 x2 14x2 25x1 06x2
032466543210 1 2 3DEspaciode solucionesEFA BC4 5 6x1x2
- 45. 18 Captulo 2 Modelado con programacin linealMomento de
TORA.El mdulo de PL grfico TORA controlado por men es til para
reforzar su com-prensin de cmo se grafican las restricciones de PL.
Seleccioneen el . Despus de ingresar el modelo, en el menseleccione
. En la pantalla de resultados podr interactuar con eltrazo de las
restricciones, una a la vez, para ver cmo afecta cada restriccin el
espa-cio de soluciones.GraphicalQSolveSOLVE/MODIFYMAIN menuLinear
ProgrammingPaso 2. Determinacin de la solucin ptima:La cantidad de
puntos de solucin en el espacio factible ABCDEF de la figura 2.1
esinfinita. En consecuencia, se requiere un procedimiento
sistemtico para determinarla solucin ptima.En primer lugar, la
direccin en la cual se incrementa la funcin de utilidad z 5x1 4x2
(recordemos que estamos maximizando z) se determina asignando
valores cre-cientes arbitrarios a z. Por ejemplo, la utilizacin de
z 10 y z 15 (arbitrarios)equivaldra a trazar las dos lneas 5x1 4x2
10 y 5x1 4x2 15, que identifican ladireccin en la cual se
incrementa z, como se muestra en la figura 2.2. La solucinptima
ocurre en C, el punto en el espacio de soluciones ms all del cual
cualquierincremento adicional producir la solucin no factible.Los
valores de x1 y x2 asociados con el punto ptimo C se determinan
resolvien-do las ecuaciones asociadas con las lneas (1) y (2):x1 +
2x2 = 66x1 + 4x2 = 24FIGURA 2.2Solucin ptima del modelo de Reddy
Mikks123210 1 2 3 4x1x2DEF(Maximizar z 5x1 4x2)z
incremen-tndosez10z15z21x1 2x2 6x1 3 toneladasptima:x2 1.5
toneladasz $21,000A BC6x1 4x2 24
- 46. 2.2 Solucin grfica de la PL 19La solucin es x1 3 y x2 1.5
con z 5 3 3 4 3 1.5 21, que demanda unacombinacin de producto
diaria de 3 toneladas de pintura para exteriores, y 1.5 tone-ladas
de pintura para interiores. La utilidad diaria asociada es de
$21,000.Una caracterstica importante de la solucin de PL ptima es
que siempre estasociada con un punto de esquina del espacio de
soluciones (donde, en dos dimensio-nes, se intersecan dos lneas).
Esto es cierto incluso si la funcin objetivo es paralela auna
restriccin. Por ejemplo, si la funcin objetivo es z 6x1 4x2, la
cual es parale-la a la restriccin 1, siempre podemos decir que la
solucin ptima ocurre en elpunto de esquina B o C. En realidad,
cualquier punto sobre el segmento de lnea BCser una solucin ptima
alternativa (vea tambin el ejemplo 3.5-2); sin embargo,
laobservacin importante en este caso es que los puntos de esquina B
y C definen to-talmente el segmento de lnea BC.Momento TORA.Puede
interactuar con TORA para ver que la solucin ptima siempre est
asociadacon un punto de esquina. En la pantalla de resultados puede
hacer clic enpara modificar los coeficientes de la funcin objetivo
yresolver de nuevo grficamente el problema. Puede utilizar las
siguientes funcionesobjetivo para comprobar la idea
propuesta.(a)(b)(c)(d)(e)(f)La notable observacin de que la solucin
ptima de PL siempre est asociada con un punto deesquina indica que
su bsqueda puede limitarse a una cantidad finita de puntos (y no a
una infi-nita). De hecho, en este pequeo ejemplo la solucin ptima
se determina tan slo con enume-rar todos los puntos de esquina,
como se muestra en la tabla siguiente:z = -x1 - x2z = -2x1 + x2z =
-x1 + 2x2z = x1 + 3x2z = 5x1 + 4x2z = 5x1 + x2View/Modify Input
DataPunto de esquina ( , )x2x1 zA (0, 0) 0B (4, 0) 20C (3, 1.5) 21
(PTIMA)D (2, 2) 18E (1, 2) 13F (0, 1) 4A medida que aumenta la
cantidad de restricciones y variables, los puntos de esquina
tam-bin lo hacen, y el procedimiento de enumeracin propuesto se
hace computacionalmenteimprctico. No obstante, la observacin con
respecto al rol de los puntos de esquina al identificarla solucin
ptima es clave para el desarrollo del algoritmo algebraico general,
llamado mtodosimplex, que se estudiar en el captulo 3.
- 47. 20 Captulo 2 Modelado con programacin linealCONJUNTO DE
PROBLEMAS 2.2A1. Determine el espacio factible para cada una de las
siguientes restricciones independien-tes, dado que x1, x2 $
0.*(a)(b)(c)(d)*(e)2. Identifique la direccin de incremento de z en
cada uno de los casos siguientes:*(a)(b)(c)*(d)3. Determine el
espacio de soluciones y la solucin ptima del modelo de Reddy
Mikkspara cada uno de los siguientes cambios independientes:(a) La
demanda diaria mxima de pintura para exteriores es de 2.5
toneladas.(b) La demanda diaria de pintura para interiores es por
lo menos de 2 toneladas.(c) La demanda diaria de pintura para
interiores es exactamente 1 tonelada mayor quela de pintura para
exteriores.(d) La disponibilidad diaria de la materia prima M1 es
por lo menos de 24 toneladas.(e) La disponibilidad diaria de la
materia prima M1 es por lo menos de 24 toneladas, yla demanda
diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para
exte-riores en por lo menos 1 tonelada.4. Una compaa que funciona
10 horas al da fabrica dos productos en tres procesos
se-cuenciales. La siguiente tabla resume los datos del
problema:Maximizar z = -3x1 + x2Maximizar z = -x1 + 2x2Maximizar z
= -5x1 - 6x2Maximizar z = x1 - x2- x1 + x2 0x1 - x2 02x1 - 3x2 12x1
- 2x2 5- 3x1 + x2 6Minutos por unidadUtilidadProducto Proceso 1
Proceso 2 Proceso 3 unitaria1 10 6 8 $22 5 20 10 $3Determine la
combinacin ptima de los dos productos.*5. Una compaa fabrica dos
productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos80% de
las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compaa no puede vender
ms de100 unidades de A por da.Ambos productos utilizan una materia
prima, cuya disponibi-lidad diaria mxima es de 240 lb. Las tasas de
consumo de la materia prima son de 2 lbpor unidad de A y de 4 lb
por unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50,
res-pectivamente. Determine la combinacin ptima de productos para
la compaa.6. Alumco fabrica lminas y varillas de aluminio. La
capacidad de produccin mxima seestima en 800 lminas o 600 varillas
por da. La demanda diaria es de 550 lminas y 580varillas. La
utilidad por tonelada es de $40 por lmina y de $35 por varilla.
Determine lacombinacin de produccin diaria ptima.*7. Una persona
desea invertir $5000 durante el prximo ao en dos tipos de inversin.
Lainversin A redita 5% y la inversin B 8%. La investigacin de
mercado recomiendauna asignacin de por lo menos 25% en A y cuando
mucho 50% en B.Adems, la inver-
- 48. 2.2 Solucin grfica de la PL 21sin A debe ser por lo menos
de la mitad de la inversin B. Cmo deben asignarse losfondos a las
dos inversiones?8. La divisin de educacin continua del Colegio
Comunitario Ozark ofrece un total de 30 cur-sos cada semestre. Los
cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos: prcticos y de
humanidades.Para satisfacer las demandas de la comunidad, se deben
ofrecer por lo menos 10 cursos decada tipo cada semestre. La
divisin estima que los ingresos por el ofrecimiento de
cursosprcticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000
por curso, respectivamente.(a) Idee una oferta de cursos ptima para
el colegio.(b) Demuestre que el costo por curso adicional es de
$1500, el cual es igual al ingresopor curso prctico. Qu significa
este resultado en funcin de la oferta de cursosadicionales?9.
ChemLabs utiliza las materias primas I y II para producir dos
soluciones de limpiezadomstica, A y B. Las disponibilidades diarias
de las materias primas I y II son de 150 y145 unidades,
respectivamente. Una unidad de solucin A consume .5 unidades de la
ma-teria prima I, y 0.6 unidades de la materia prima II, en tanto
que una unidad de la solu-cin B consume 0.5 unidades de la materia
prima I, y .4 unidades de la materia prima II.Las utilidades por
unidad de las soluciones A y B son de $8 y $10, respectivamente.
Lademanda diaria de la solucin A es de entre 30 y 150 unidades, y
la de la solucin B va de40 a 200 unidades. Determine las cantidades
de produccin ptimas de A y B.10. La tienda de abarrotes Ma-and-Pa
tiene un espacio de anaqueles limitado y debe utilizar-lo con
eficacia para incrementar las utilidades. Dos marcas de cereal,
Grano y Wheatie,compiten por un total de espacio de 60 pies2en
anaqueles. Una caja de Grano ocupa.2 pies2, y una caja de Wheatie
requiere .4 pies2. Las demandas diarias mximas de Granoy Wheatie
son de 200 y 120 cajas, respectivamente. Una caja de Grano redita
una utili-dad neta de $1.00 y la de una de Wheatie es de $1.35.
Ma-and-Pa considera que como lautilidad neta de Wheatie es 35%
mayor que la de Grano, a Wheatie se le debe asignar35% ms espacio
que a Grano, lo que equivale a asignar aproximadamente 57% aWheatie
y 43% a Grano. Usted qu piensa?11. Jack es un estudiante novato en
la Universidad de Ulern. Se da cuenta de que slo traba-jo y nada de
diversin me hacen ser un chico aburrido. Jack desea distribuir su
tiempodisponible de aproximadamente 10 horas al da entre las tareas
y la diversin. Estima quedivertirse es dos veces ms entretenido que
hacer tareas. Pero tambin desea estudiar porlo menos el mismo
tiempo que le quiere dedicar a la diversin. Sin embargo, Jack
com-prende que para cumplir con sus tareas no puede divertirse ms
de 4 horas al da. Cmodebe distribuir su tiempo para maximizar su
placer tanto de trabajar como de divertirse?12. Wild West produce
dos tipos de sombreros tejanos. El sombrero tipo 1 requiere el
doblede mano de obra que el tipo 2. Si toda la mano de obra
disponible se dedica slo al tipo2, la compaa puede producir un
total de 400 sombreros tipo 2 al da. Los lmites demercado
respectivos para el tipo 1 y el tipo 2 son de 150 y 200 sombreros
por da, respec-tivamente. La utilidad es de $8 por sombrero tipo 1,
y de $5 por sombrero tipo 2.Determine la cantidad de sombreros de
cada tipo que maximice la utilidad.13. Show & Sell puede
publicitar sus productos en la radio y la televisin locales. El
presu-puesto para publicidad se limita a $10,000 al mes. Cada
minuto de publicidad en radiocuesta $15 y cada minuto de
comerciales en televisin $300. Show & Sell quiere anunciar-se
en radio por lo menos dos veces ms que en televisin. Por el
momento, no es prcticoutilizar ms de 400 minutos de publicidad por
radio al mes. Por experiencias pasadas, seestima que la publicidad
por televisin es 25 veces ms efectiva que la de la radio.Determine
la asignacin ptima del presupuesto a publicidad por radio y
televisin.*14. Wyoming Electric Coop posee una planta generadora de
energa de turbina de vapor.Como en Wyoming abundan los depsitos de
carbn, la planta genera su vapor concarbn. Esto, sin embargo, puede
conducir a emisiones que no satisfagan las normas dela Agencia de
Proteccin Ambiental (EPA, por sus siglas en ingls). Las normas de
la
- 49. 22 Captulo 2 Modelado con programacin linealAgencia de
Proteccin Ambiental limitan la descarga de bixido de azufre a 2000
partespor milln por tonelada de carbn quemado, y la descarga de
humo por las chimeneas dela planta a 20 lb por hora. La Coop recibe
dos tipos de carbn pulverizado, C1 y C2, parausarlos en la planta
de vapor. Los dos tipos se suelen mezclar antes de la combustin.
Porsimplicidad, se supone que la cantidad de azufre contaminante
descargado (en partespor milln) es un promedio ponderado de la
proporcin de cada tipo utilizado en lamezcla. Los siguientes datos
se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada unode los dos
tipos de carbn.Tipo de carbnDescarga de azufreen partes por
millnDescarga de humoen lb por horaVapor generadoen lb por horaC1
1800 2.1 12,000C2 2100 .9 9000(a) Determine la proporcin ptima para
mezclar los dos tipos de carbn.(b) Determine el efecto de rebajar
el lmite de descarga de humo en una libra sobre lacantidad de vapor
generado por hora.15. Top Toys planea una nueva campaa de
publicidad por radio y TV. Un comercial deradio cuesta $300 y uno
de TV $2000. Se asigna un presupuesto total de $20,000 a la
cam-paa. Sin embargo, para asegurarse de que cada medio tendr por
lo menos un comercialde radio y uno de TV, lo mximo que puede
asignarse a uno u otro medio no puede sermayor que el 80% del
presupuesto total. Se estima que el primer comercial de radio
lle-gar a 5000 personas, y que cada comercial adicional llegar slo
a 2000 personas nuevas.En el caso de la televisin, el primer
anuncio llegar a 4500 personas y cada anuncio adi-cional a 3000.
Cmo debe distribuirse la suma presupuestada entre la radio y la
TV?16. Burroughs Garment Company fabrica camisas para caballero y
blusas de dama para lastiendas de descuento Wallmart, corporacin
que aceptar toda la produccin surtida porBurroughs. El proceso de
produccin incluye el corte, la costura y el empaque.
Burroughsemplea 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en
el de costura, y 5 en empaque.La fbrica trabaja un turno de 8
horas, 5 das a la semana. La siguiente tabla muestra
losrequerimientos de tiempo y utilidades por unidad para las dos
prendas:Minutos por unidadUtilidadPrenda Corte Costura Empaque
unitaria ($)Camisas 20 70 12 8Blusas 60 60 4 12Determine el
programa de produccin semanal ptimo para Burroughs.17. Una compaa
mueblera fabrica escritorios y sillas. El departamento de aserrado
corta lamadera para ambos productos, la que luego se enva a los
distintos departamentos de en-samble. Los muebles ensamblados se
envan para su acabado al departamento de pintu-ra. La capacidad
diaria del departamento de aserrado es de 200 sillas o de 80
escritorios.El departamento de ensamble de sillas puede producir
120 sillas diarias, y el de ensamblede escritorios produce 60
escritorios. La capacidad del departamento de pintura es de
150sillas, o 110 escritorios. Dado que la utilidad por sillas es de
$50 y la de un escritorio es de$100, determine la combinacin de
produccin ptima para la compaa.
- 50. 2.2 Solucin grfica de la PL 23*18. Una lnea de ensamble
compuesta de tres estaciones consecutivas produce dos modelosde
radio: HiFi-1 y HiFi-2. La siguiente tabla muestra los tiempos de
ensamble de las tresestaciones de trabajo.El mantenimiento diario
de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10, 14 y 12%, respectivamen-te,
de los 480 minutos mximos disponibles por cada estacin por da.
Determine la com-binacin de productos ptima que minimizar el tiempo
ocioso (o no utilizado) en lastres estaciones de trabajo.19.
Experimento con TORA. Ingrese la siguiente PL en TORA, y seleccione
el modo de solu-cin grfica para que aparezca la pantalla grfica de
PL.Minimizar z 3x1 8x2sujeto aA continuacin, en una hoja de papel
trace a escala los ejes x1 y x2 para el problema(tambin puede hacer
clic en la opcin Print Graph, en la parte superior derecha de
laventana para obtener una hoja a escala lista para usarse).Ahora,
trace a mano una res-triccin en la hoja preparada y luego haga clic
en la ventana izquierda de la pantalla paraverificar su respuesta.
Repita la misma operacin para cada restriccin, y termine el
pro-cedimiento con una grfica de la funcin objetivo. El proceso
sugerido se dise para queusted ponga a prueba y refuerce su
entendimiento de la solucin grfica de la PL me-diante una
retroalimentacin inmediata de TORA.20. Experimento con TORA.
Considere el siguiente modelo de PL:Maximizar z 5x1 4x2sujeto aEn
PL se dice que una restriccin es redundante si su eliminacin del
modelo no modificael espacio de soluciones factibles. Use el medio
grfico de TORA para identificar las res-x1, x2 0x2 2- x1 + x2 1x1 +
2x2 6x1 + x2 56x1 + 3x2 22.56x1 + 4x2 24x1, x2 0x2 9x1 103x1 - x2
0x1 + 2x2 302x1 - 3x2 0x1 + x2 8Minutos por unidadEstacin de
trabajo HiFi-1 HiFi-21 6 42 5 53 4 6
- 51. 24 Captulo 2 Modelado con programacin linealtricciones
redundantes, luego demuestre que su eliminacin (basta con no
graficarlas) noafecta al espacio de soluciones ni a la solucin
ptima21. Experimento con TORA. En el modelo de Reddy Mikks, utilice
TORA para demostrarque la eliminacin de las restricciones de la
materia prima (restricciones 1 y 2) produciraun espacio de
soluciones ilimitado. Qu se puede decir en este caso acerca de la
solucinptima del modelo?22. Experimento con TORA. En el modelo de
Reddy Mikks, suponga que se agrega la si-guiente restriccin al
problema.Utilice TORA para demostrar que el modelo resultante tiene
restricciones conflictivasque no se pueden satisfacer al mismo
tiempo, y que por consiguiente no tiene una solu-cin factible.2.2.2
Solucin de un modelo de minimizacinEjemplo 2.2-2 (Problema de la
dieta)Ozark Farms consume diariamente un mnimo de 800 lb de un
alimento especial, el cual es unamezcla de maz y soya con las
siguientes composiciones:x2 3Las necesidades dietticas del alimento
especial son un mnimo de 30% de protena y un m-ximo de 5% de fibra.
El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo
mnimo.Las variables de decisin del modelo sonx1 libras de maz en la
mezcla diariax2 libras de soya en la mezcla diariaEl objetivo es
minimizar el costo diario total (en dlares) de la mezcla de
alimento, es decir,Minimizar z .3x1 .9x2Las res