Introducción a la lógica

Fundamentos Matemáticos

Elementos de lógica proposicional

Proposiciones

• Proposición: Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. Por esta razón, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que carecen de sentido no son consideradas proposiciones

• Valor de verdad: Es la cualidad de veracidad que describe apropiadamente a una proposición, esta puede ser verdadera o falsa.

• Tabla de verdad: Es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.

Ejercicios

Indique si cada enunciado es o no una proposición:• 7415 es un número par.• ¿Qué hora es?• Los número divisibles para 8 son divisibles para 2.• ¡Pare por favor!• El atardecer en la playa es romántico• La edad de Gloria es 17 años• Guayaquil es la capital económica del Ecuador• Galápagos es considerado Patrimonio Cultural de la

Humanidad• Mi familia y yo viajaremos a la Sierra en fin de año

Operadores lógicos

• Operador Lógico: Son usados para poder formar proposiciones mas complejas.

• Negación ( a): Este operador permite cambiar el valor de verdad de las proposiciones. Su tabla de verdad es la siguiente (Los términos gramaticales más usados son: “No”, ”No es verdad”, ”No es cierto que”, ”Ni”)

a a

1 0

0 1

Operadores lógicos

• Conjunción ( ): Este operador solo es VERDADERO cuando las dos proposiciones son VERDADERAS, en otro caso, es FALSA. Los términos gramaticales mas usados son: “Y”, “PERO”, “MAS (sin tilde)”, ”SIN EMBARGO” y los signos de puntuación: coma, punto y coma, y punto ,Su tabla de verdad es la siguiente:

a b

a b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

a b

Operadores lógicos

• Disyunción ( ): Este operador solo es FALSO cuando las dos proposiciones son FALSAS, en otro caso, es VERDADERA. Los términos gramaticales mas usados son: “O”. Su tabla de verdad es la siguiente:

a b

a b

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

a b

Operadores lógicos

• Disyunción exclusiva ( ): Este operador solo es FALSO cuando las dos proposiciones son FALSAS, en otro caso, es VERDADERA. Los términos gramaticales mas usados son: “O…, O”. Su tabla de verdad es la siguiente:

a b

a b

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

a b

Operadores lógicos

• Condicional( ): Este operador solo es FALSO cuando la primera proposición es verdadera, y la segunda es falsa, en otro caso, es VERDADERA. Los términos gramaticales mas usados son: “Si a, entonces b”, “a solamente si b”. Su tabla de verdad es la siguiente:

a b

a b

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

a b

Operadores lógicos

• Bicondicional ( ): Este operador solo es VERDADERO cuando las dos proposiciones son VERDADERAS, y es FALSA cuando las dos proposiciones son FALSAS. Los términos gramaticales más usados son: “a si y solo si b”, “a si y solamente si b”. Su tabla de verdad es la siguiente:

a b

a b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a b

Ejercicios

Dadas las siguientes proposiciones, traducir literalmente las siguientes proposiciones:• a) Elizabeth cumple con sus obligaciones• b) Elizabeth aprueba el examen• c) Elizabeth se va de vacaciones• d) Elizabeth trabaja• e) Elizabeth no come

Proposiciones Simples y Compuestas

• Proposiciones Simples: Son aquellas que no poseen operador lógico alguno. También son llamadas proposiciones atómicas.

• Proposiciones Compuestas: Son aquellas que están formadas por proposiciones simples y operadores lógicos. También son llamadas proposiciones moleculares

Ejercicios

• Si la proposición es falsa, entonces una de las siguientes proposiciones es falsa, identifíquela:

Principios lógicos

• La consecuencia sistemática entre las ideas y pensamientos se llama coherencia.

La inteligencia es una actividad que se ejerce en el tiempo, puesto que lo pensamientos, o mejor dicho el pensar, es un proceso de cierta duración durante el cual se van desenvolviendo ideas. Pero entre estas ideas debe existir un enlace tal que no sea puramente mecánico, sino que debe existir una consecuencia sistemática.

Los principios lógicos

Constituyen las verdades primeras “evidentes” por sí mismas, a partir de las cuales se construye todo el edificio formal del pensamiento. Son los fundamentos que determinan ciertas reglas a seguir, para lograr la coherencia y sistematicidad de los pensamientos en las formas y contenidos.Los principio lógicos son:• Principio de identidad• Principio de contradicción• Principio de exclusión; del término medio (o principio del medio

excluido o principio del tercero excluido o principio del tercer término excluido)

• Principio de razón suficiente

Principio de identidad

• Todo objeto es idéntico a sí mismo “A es A”• El principio de identidad cobra importancia para nuestro

entendimiento en la medida que el predicado exprese notas complementarias al sujeto.

• Bolívar es Bolívar (no posee valor) Bolívar es el libertados de cinco naciones. Bolívar es el libertados de la Nueva Granada. En la segunda y tercera oración, el sujeto va acompañado de dos adjetivos que al utilizarlos individualmente nos remiten al sujeto. Así “El libertados, sabemos que se está hablando de Bolívar ”

Principio de Contradicción

• El ser es y no puede a la vez no ser (“A es A” y “A no es A” no son ambos verdaderos)

• Si se tienen los juicios S es P y S no es P, es imposible que ambos juicios sean verdaderos a la vez, en el mismo tiempo y circunstancias; por ejemplo “los metales son duros, los metales no son duros”

El principio de exclusión del término medio

• Dados dos juicios contradictorios entre sí: (A es B); (A no es B), hemos de reconocer que alguno será verdadero y el otro necesariamente falso, no existiendo un tercer modo de ser. Igualmente se excluye la posibilidad de un tercer juicio con los mismos elementos A y B.

• El juicio “A es A” y su contradictorio, el juicio “A no es A” no pueden ser falsos a la vez (“A es A” y “A no es A” no son ambos falsos)

El principio de razón suficiente

• Este principio plantea la necesidad de justificar los conocimientos de una forma razonable, es decir, ordenada y lógica. Sólo es verdadero aquello que se puede probar suficientemente, basándose en otros conocimientos o razones ya demostradas.

• Nada es sin razón suficiente (Todo conocimiento tiene que estar fundado)

Funciones Proposicionales

• Gustavo es médico• Alvaro es médico• Enrique es médicoX es médico, en donde x es una variable que toma valores dentro de un conjunto llamado “conjunto de referencia”. Expresiones de esa forma son llamadas “funciones proposicionales”

Inferencia Lógica

• Considere los siguientes casos que pueden darse en la vida cotidiana.

• Un joven le dice a un amigo: tú todos los días dices mentiras, y el contesta: no es cierto, ayer en todo el día no dije una sóla mentira.

• Si llueve hay nubes. Y si hay nubes ¿qué se puede deducir?• Si hace la tarea te llevo al cine. Pero si ya estás en el cine,

¿qué puede eso significar?• Todos los libros sobre computadores son terriblemente

aburridos. Éste es un libro sobre computadores. Este libro es terriblemente aburrido.

Inferencia Lógica

• Una inferencia lógica es un razonamiento expresado en una frase cuya última parte se afirma con base a lo que previamente se haya declarado.

Aspectos del razonamiento

El término razonamiento tiene dos acepciones:• Funcional (la relación entre las premisas y la

conclusión)• Procesal (la actividad del agente que razona)

Significado Funcional

• La lógica se ocupa de los razonamientos en el sentido funcional

• De hecho, en el proceso que lleva de las premisas a la conclusión pueden encadenarse múltiples pasos elementales

• La lógica inferencial estudia las condiciones bajo las cuales estos pasos son correctos.

Significado Procesal

• En el caso de que el agente sea humano, de los aspectos procesales de los razonamientos se ocupa la psicología.

• Pero si el agente es un artefacto, por ejemplo, un computador, entonces es un asunto propio de la inteligencia artificial.

La inferencia es un razonamiento formal

• Una inferencia es simplemente un razonamiento formal, en el sentido de que lo importante es la forma de las premisas y la conclusión, y la relación entre ellas, mas no su contenido.

Inferencias con condicionales

Las condicionales junto con otras proposiciones, forman inferencias• Todos los hombres son mortales. Sócrates es un

hombre, Sócrates es mortal.• Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego

aprendoLa conclusión de una inferencia es la proposición que se afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conlusión

Lenguaje formal de un razonamiento

• Todo razonamiento predeterminadamente está en lenguaje natural. En lógica proposicional usamos las variables p, q, r, para las proposiciones simples, y junto a los conectivos se forman las proposiciones compuestas.

Definición 1.1 En lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo , que se lee: “luego” ó “por tanto”

( , , , , )

( )

Ejemplo

Resumen de lógica inferencial

• En lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones lógicas que existen entre ellas.

• Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido cuando la conclusión no se deriva de las premisas