Introducción a la Teoría de la Computación: Lenguajes, Autómatas y Gramáticas.

Alan Turing Cadenas o Palabras Lenguajes Lenguajes Regulares Automatas Finitos Deterministas (AFD) Ejercicios Gramaticas

Introduccion a la Teorıa de la Computacion:

Lenguajes, Automatas y Gramaticas

Jose Luis Ramırez Ramırez

Docente Escuela Matematicas

Universidad Sergio Arboleda

IV Escuela de Verano en MatematicasUniversidad Sergio Arboleda

Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

1 Alan Turing

2 Cadenas o PalabrasLongitud e Igualdad de una CadenaConcatenacion de una CadenaConcatenacion de una CadenaInversa de una CadenaSubcadenas, Prefijos y SufijosOtras PropiedadesEjercicios - Tema de Investigacion

3 LenguajesConcatenacion de LenguajesEstrella de Kleene de un LenguajeOtras Operaciones entre LenguajesCardinalidad de los LenguajesEjercicios

4 Lenguajes RegularesExpresiones Regulares

Ejemplos de Lenguajes RegularesEjercicios

5 Automatas Finitos Deterministas (AFD)Diagrama de Transicion de un AutomataLenguaje aceptado por un AFDEjemplos de AFD

6 Ejercicios

7 Gramaticas RegularesJose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

Alan Mathison Turing

Nacio en Londres el 23 de junio de 1912.

Vivio gran parte de su vida sin sus padres. El padre trabajabapara el servicio civil indio.

Turing inicia sus estudios Sherborne, donde nunca encajo muybien.

“Seguramente lo hara muy bien cuando encuentre suvocacion, pero mientras tanto harıa mucho mejor si intentaseponer lo mejor de su parte como miembro de esta escuela”.

“Pasa mucho tiempo dedicandose a investigaciones dematematica avanzada y desatiende las tareas elementales”.

En Matematicas y ciencias comenzo a destacarse. Tiene unaamistad con Christopher Morcom.

Christopher Morcom muere de tuberculosis en 1930. Turing leescribe a su madre “No parece que se me haya ocurrido jamashacer otros amigos aparte de Marcom, ya que el hacıa quetodos los demas pareciesen tremendamente vulgares”

En 1931 gano una beca para el King’s Collage de Cambridge.

En 1936 presenta su artıculo “Sobre numeros computables,con una aplicacion al entscheidungsproblem (Problema deDecision) ” a Max Newman.

Newman recibio por correo una separata de un artıculo deAlonzo Church, matematico de la Universidad de Princeton,titulado “Un problema insoluble de la teorıa de los numeroselementales ”. Lambda Calculus (Kleene).

Inicia estudios en 1936 en Princeton, bajo la direccion deChurch. La logica no tenia tanto auge en ese momento, Godely Von Neumann se habıan ido de Princeton.

En 1928 David Hilbert, reenvio al mundo de mundo de lasmatematicas tres retos de entre los que ya habıa lanzado en elgran Congreso de Matematicas celebrado en Parıs en 1900:

1 Demostrar que todos los enunciados verdaderos enmatematicas pueden ser demostrados, esto es, la completitudde las matematicas.

2 Demostrar que solo los enunciados verdaderos pueden serdemostrados, esto es, la consistencia de las matematicas.

3 Demostrar la decidibilidad de las matematicas, es decir, laexistencia de un procedimiento de decision para decidir laveracidad o falsedad de una proposicion matematica dada.

Arquitecto de la maquina de descifro el Codigo Enigmaaleman durante la Segunda Guerra Mundial.

Turing se suicido en 1954.

Alan Turing Cadenas o Palabras Lenguajes Lenguajes Regulares Automatas Finitos Deterministas (AFD) Ejercicios GramaticasLongitud e Igualdad de una Cadena Concatenacion de una Cadena

Cadenas o Palabras

Secuencia finita de sımbolos.

Se fija un conjunto finito no vacıo Σ cuyos elementos sedenominan sımbolos.

El conjunto Σ se denomina alfabeto, ademas las cadenas sedenotan por las letras u, v,w,x, ....

Se supone la existencia de una unica cadena que no tienesımbolos, denominada cadena vacıa y se denota con λ.

Ejemplo

Sea Σ = {a, b, c} el alfabeto que consta de los sımbolos a, b y c,entonces a, aa, abccc son cadenas sobre Σ.

El conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto Σ, incluyendola cadena vacıa, se denota por Σ∗.

Cadenas o Palabras

Ejemplo

Cadenas o Palabras

Ejemplo

Cadenas o Palabras

Ejemplo

Cadenas o Palabras

Ejemplo

Cadenas o Palabras

Ejemplo

Cadenas o Palabras

Ejemplo

Longitud e Igualdad de una Cadena

Definicion

La longitud de una cadena u ∈ Σ∗, denotada con ∣u∣, se definecomo el numero de sımbolos de u, incluyendo sımbolos repetidos.Recursivamente se define como:

∣u∣ =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0, si u = λ∣w∣ + 1, si u = wa

para todo a ∈ Σ y u ∈ Σ∗.Notaremos ∣u∣a a la cantidad de veces que aparece el sımbolo a enla cadena u.

Ejemplo

Sea Σ = {0,1} el alfabeto binario, entonces∣00∣ = 2, ∣101011∣ = 6, ∣001∣0 = 2, ∣001∣1 = 1.Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

Definicion

∣u∣ =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0, si u = λ∣w∣ + 1, si u = wa

Ejemplo

Definicion

∣u∣ =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0, si u = λ∣w∣ + 1, si u = wa

Ejemplo

Definicion

Sean x = x1x2⋯xn y y = y1y2⋯ym dos cadenas sobre un alfabetoΣ, entonces x y y son iguales si

1 ∣x∣ = ∣y∣.2 xi = yi para todo i = 1,2, . . . n.

Definicion

Sean x = x1x2⋯xn y y = y1y2⋯ym dos cadenas sobre un alfabetoΣ, entonces x y y son iguales si

1 ∣x∣ = ∣y∣.2 xi = yi para todo i = 1,2, . . . n.

Concatenacion de una Cadena

Dado un alfabeto Σ y dos cadenas u, v ∈ Σ∗, la concatenacion deu y v, es la cadena que se forma al escribir los sımbolos de u y acontinuacion los sımbolos de v. Se denota por uv.En particular, si u ∈ Σ∗, entonces uu⋯u²

n veces

se denotara como un.

Concatenacion de una Cadena

Dado un alfabeto Σ y dos cadenas u, v ∈ Σ∗, la concatenacion deu y v, es la cadena que se forma al escribir los sımbolos de u y acontinuacion los sımbolos de v. Se denota por uv.En particular, si u ∈ Σ∗, entonces uu⋯u²

n veces

se denotara como un.

Ejemplo

Demostrar que para toda cadena u, v ∈ Σ∗, ∣uv∣ = ∣u∣ + ∣v∣.Solucion: Induccion sobre la longitud de v.Para ∣v∣ = 0, ∣uv∣ = ∣uλ∣ = ∣u∣ = ∣u∣ + 0 = ∣u∣ + ∣v∣. Asumamos que setiene para toda cadena v ∈ Σ∗, entonces debemos probarla paratoda cadena va con a ∈ Σ.∣uva∣ =∣uv∣ + 1 Def. de Longitud de una Cadena.

=∣u∣ + ∣v∣ + 1 Hipotesis de Induccion.

=∣u∣ + ∣va∣, a ∈ Σ Def. de Longitud de una Cadena.

Ejemplo

Demostrar que para toda cadena u ∈ Σ∗ y n ≥ 0, ∣un∣ = n∣u∣.Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

Ejemplo

Inversa de una Cadena

La inversa de una cadena u ∈ Σ∗ se denota uR y se define como

uR = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩λ Si u = λunun−1⋯u1 Si u = u1u2⋯un.

con u1, u2, ..., un ∈ Σ.

Subcadenas, Prefijos y Sufijos

Una cadena v es una subcadena de u si existen cadena x, y talesque u = xvy.Si u = vw entonces las subcadenas v y w se llaman prefijo y sufijode u, respectivamente.

Ejemplo

Si u = 100110 entonces {λ,1,10,100,1001,10011,100110} es elconjunto de todos los prefijos de u y{λ,0,10,110,0110, 00110, 100110} es el conjunto de todos lossufijos de u.

Ejemplo

¿Para que cadenas u ∈ Σ∗ se tiene que Pref(u) = Suf(u)?.La palabra en ingles antsy tiene la propiedad que todo prefijo notrivial es una palabra valida nuevamente en ingles. Encuentre otrapalabra en ingles con esta propiedad. ¿Existe una palabra enespanol con esta propiedad?Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

Ejemplo

Otras Propiedades

Teorema (Principio de Induccion para Cadenas)

Sea L ⊆ Σ∗, el conjunto de todas las cadenas tales que λ ∈ L, y six ∈ L entonces xa ∈ L para todo a ∈ Σ. Entonces, L = Σ∗.Teorema (Lyndon-Schutzenberger)

Sean x, y dos cadenas de L ⊆ Σ∗, entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1 xy = yx;2 Existe una cadena z ∈ L, y enteros m,n ≥ 0, tales que x = zm

y y = zn;3 Existen enteros t, s ≥ 0 tales que las cadenas xt y ys tiene un

prefijo comun de longitud ∣x∣ + ∣y∣.Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

Otras Propiedades

Ejemplo

Demostrar que no existe una cadena x ∈ {a, b}∗, tal que ax = xb.Solucion: Supongamos que existe una cadena x ∈ {a, b}∗, tal queax = xb. Entonces existen cadenas u, v ∈ Σ∗, tales que x = au yx = vb, por lo tanto avb = aub, ası u = v, es decir que au = ub, con∣u∣ < ∣x∣. Repitiendo este procedimiento (el cual es claro que selleva a cabo en un numero finito de pasos) se llega a que a = b, locual es contradictorio.

Otras Propiedades

Ejemplo

Demostrar que no existe una cadena x ∈ {a, b}∗, tal que ax = xb.Solucion: Supongamos que existe una cadena x ∈ {a, b}∗, tal queax = xb. Entonces existen cadenas u, v ∈ Σ∗, tales que x = au yx = vb, por lo tanto avb = aub, ası u = v, es decir que au = ub, con∣u∣ < ∣x∣. Repitiendo este procedimiento (el cual es claro que selleva a cabo en un numero finito de pasos) se llega a que a = b, locual es contradictorio.

Topico de investigacion

Existen distintas formas de definir ordenes parciales sobrecadenas.

Orden subcadena: Si x, y ∈ Σ∗ entonces decimos que x ≤ y si ysolo si existen cadenas u, v ∈ Σ∗ tales que uxv = y.Orden lexicografico: Si Σ = {a0, a1, . . . , an−1} entonces sedefine un orden total sobre Σ, por ejemplo,a0 < a1 < ⋯ < an−1, y a su vez una relacion ≺ sobre Σ

definida como, u ≺ v si y solo si ∣u∣ < ∣v∣ o u = waiu′ yv = wajv′, para algun w,u′, v′ ∈ Σ∗ y i < j.Orden subsecuencia, el cual se define como u ⊲ w si y solo siu se puede obtener a partir de w eliminado 0 o mas sımbolosde w.

Definicion

Sea Σ un alfabeto, entonces u ⊲ w si y solo si existe un enteron ≥ 0 y cadenas ui,wj ∈ Σ∗, 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ n + 1 tales queu = u1u2⋯un y w = w1u1w2u2⋯wnunwn+1.

En caso que v y w no sean comparables, entonces los denotamoscomo v ⋪ w.Teorema

Sea Σ un alfabeto, entonces ⊲ define una relacion de orden sobreΣ∗

Teorema

Sea Σ un alfabeto. Entonces todo conjunto de cadenas sobre Σ enel que cada par de elementos es incomparable respecto al ordensecuencia es finito

Definicion

Teorema

Definicion

Teorema

Ejemplo

Sea Σ = {a1, a2, . . . , an}, entonces Σ+ contiene n elementosincomparables.

Ejemplo

Sea Σ = {0,1}, entonces Σn = {0,1}n contiene 2n elementos

incomparables.

Ejemplo

Sea Σ = {a1, a2, . . . , an}, entonces Σ+ contiene n elementosincomparables.

Ejemplo

Sea Σ = {0,1}, entonces Σn = {0,1}n contiene 2n elementos

incomparables.

Definicion

Sea Σ un alfabeto y L un lenguaje sobre Σ, entonces el conjunto deelementos minimales para L, denotado porM(L), se define como

M(L) ∶= {w ∈ L ∶ Si x ⊲ w y x ∈ L entonces x = w}Si w ∈M(L) decimos que w es un elemento minimal para L.

Teorema

Sea Σ un alfabeto y L un lenguaje sobre Σ, entoncesM(L) es unconjunto en que todo par de elementos es incomparable.

Corolario

Sea Σ un alfabeto y L un lenguaje sobre Σ, entoncesM(L) esfinito.

Definicion

Teorema

Corolario

Definicion

Teorema

Corolario

Sea Σ = {0,1,2, . . . ,9} entonces definimos el lenguajePrimos ∶={x ∈ Σ∗ ∶ x representa un numero primo escrito en base 10} yPrimosn ∶={x ∈ Σ∗ ∶ x representa un numero primo escrito en base n}. Elobjetivo es encontrarM(Primosn) para algunas bases.

Teorema

M(Primos) = {2,3,5,7,11, 19, 41, 61,89, 409, 449,499,881,991,6469,6949,9001, 9049,9649, 9949, 60649, 666649, 946669,

60000049,66000049,66600049}

Sea Σ = {0,1,2, . . . ,9} entonces definimos el lenguajePrimos ∶={x ∈ Σ∗ ∶ x representa un numero primo escrito en base 10} yPrimosn ∶={x ∈ Σ∗ ∶ x representa un numero primo escrito en base n}. Elobjetivo es encontrarM(Primosn) para algunas bases.

Teorema

M(Primos) = {2,3,5,7,11, 19, 41, 61,89, 409, 449,499,881,991,6469,6949,9001, 9049,9649, 9949, 60649, 666649, 946669,

60000049,66000049,66600049}

1 Primos2 ={10,11,101,111, 1011,1101, 10001, 10011, 10111, 11101, 11111, 100101M(Primos2) = {10,11}2 Primos3 ={2,10,12,21, 102, 111, 122, 201, 212, 1002,1011, 1101, 1112, 1121, 1202M(Primos3) = {2,10,111}.3 Primos4 ={2,3,11,13,23, 31,101,103,113, 131, 133, 211, 221, 223, 233, ...}M(Primos4) = {2,3,11}.4 Primos5 ={2,3,10,12,21, 23,32, 34, 43, 104,111,122,131, 133, 142, ...}M(Primos5) = {2,3,10,111,401}.5 Primos6 ={2,3,5,11,15,21, 25, 31, 35, 45,51, 101, 105, 111,115, ...}M(Primos6) = {2,3,5,11,40041}.

1 Primos7 ={2,3,5,10,14,16, 23, 25, 32, 41,43, 52, 56,61, 65, ...}M(Primos7) = {2,3,5,10,14,16, 41}.2 Primos8 ={2,3,5,7,13, 15,21, 23, 27,35, 37, 45, 51, 53,57, ...}M(Primos8) ={2,3,5,7,111,141,161,401,661, 6101, 6441, ..??}.3 Primos9 ={2,3,5,7,12, 14,18, 21, 25,32, 34, 41, 45, 47,52, ...}M(Primos9) = {2,3,5,7,14,18, 41, 81}.

Ejercicios

1 Si Pares ∶= {2n ∶ n ≥ 0} = {0,2,4,6,8,10, . . .} entonces¿M(Pares)?.

2 Si Impares ∶= {2n + 1 ∶ n ≥ 0} = {1,3,5,7,9,11, . . .} entonces¿M(Impares)?.

3 Si 2n ∶= {2n ∶ n ≥ 0} = {1,2,4,8,16, . . .} entonces ¿M(2n)?.4 Si PerfectosP ∶= {n ∶ n es un numero perfecto par} ={6,28,496,8128, . . .} entonces ¿M(PerfectosP )?.5 Si Fib ∶= {n ∶ n es un numero de Fibonacci} ={1,2,3,5,8,13, . . .} entonces ¿M(Fib)?.

Ejercicios

Alan Turing Cadenas o Palabras Lenguajes Lenguajes Regulares Automatas Finitos Deterministas (AFD) Ejercicios GramaticasConcatenacion de Lenguajes Estrella de Kleene de un Lenguaje

Lenguajes

Un lenguaje L sobre un alfabeto Σ es un subconjunto de Σ∗. Los

lenguajes se denotan con letras mayusculasA,B,C, . . . L,M,N, . . ..

Ejemplo

Los siguientes son ejemplos de lenguajes sobre los alfabetosespecificados.

Σ = {0,1}. L = {0,1,00,01,10, 11}.Σ = {0,1}. L = {1,11,1111,11111111, . . .} = {12n ∶ n ≥ 0}.Σ = {a, b}. L = {w ∶ w = wR} (Palındromos, Ej: Sometemos,somos, analina, arepera, ... ).

Σ = {0,1,2,3,4,5, 6, 7, 8, 9}.L = {u ∈ Σ∗ ∶ u = 0 o 0 no es prefijo de u} = N.

Lenguajes

Ejemplo

Lenguajes

Ejemplo

Lenguajes

Ejemplo

Lenguajes

Ejemplo

Lenguajes

A ∪B = {v ∶ v ∈ A o v ∈ B} UnionA ∩B = {v ∶ v ∈ A y v ∈ B} InterseccionA −B = {v ∶ v ∈ A y v ∉ B} DiferenciaA = Σ∗ −A Complemento

Para todo lenguaje finito A ⊆ Σ∗, se escribe ∣A∣ al numero decadenas en A.

Lenguajes

A ∪B = {v ∶ v ∈ A o v ∈ B} UnionA ∩B = {v ∶ v ∈ A y v ∈ B} InterseccionA −B = {v ∶ v ∈ A y v ∉ B} DiferenciaA = Σ∗ −A Complemento

Para todo lenguaje finito A ⊆ Σ∗, se escribe ∣A∣ al numero decadenas en A.

Concatenacion de Lenguajes

La concatenacion de dos lenguajes A y B sobre Σ, notada AB,se define como

AB = {uv ∶ u ∈ A,v ∈ B}En general AB ≠ BA.

Ejemplo

Si Σ = {0,1}, A = {0,01}, B = {1,10}, entoncesAB = {01,010,011,0110} .BA = {10,101,100,1001} .

Ejemplo

Si Σ = {0,1,2}, A = {01,12}, B = {1n ∶ n ≥ 0}, entoncesAB = {01n ∶ n ≥ 1} ∪ {121n ∶ n ≥ 0} .BA = {1n01 ∶ n ≥ 0} ∪ {1n2 ∶ n ≥ 1} .Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

Ejemplo

Proposicion

Sean A,B,C lenguajes sobre Σ, entonces:

1 A∅ = ∅A = ∅.2 A{λ} = A = {λ}A.3 Propiedad Asociativa: A(BC) = (AB)C.

4 Distributividad de la concatenacion con respecto a la union:

A(B ∪C) = AB ∪AC(B ∪C)A = BA ∪CA

5 Propiedad distributiva generalizada. Si {Bi}i∈I es una familiacualquiera de lenguajes sobre Σ, entonces

A⋃i∈I

Bi = ⋃i∈I

(ABi). (⋃i∈I

Bi)A = ⋃i∈I

(BiA).Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

Proposicion

A⋃i∈I

Bi = ⋃i∈I

(ABi). (⋃i∈I

Bi)A = ⋃i∈I

Proposicion

A⋃i∈I

Bi = ⋃i∈I

(ABi). (⋃i∈I

Bi)A = ⋃i∈I

Proposicion

A⋃i∈I

Bi = ⋃i∈I

(ABi). (⋃i∈I

Bi)A = ⋃i∈I

Proposicion

A⋃i∈I

Bi = ⋃i∈I

(ABi). (⋃i∈I

Bi)A = ⋃i∈I

Dado un lenguaje A sobre Σ (A ⊆ Σ∗) y un numero natural n, sedefine An de la siguiente forma

A0 = {λ} ,An = AA. . . A´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

n veces

= {u1⋯un ∶ ui ∈ A, para todo i, 1 ≤ i ≤ n}

Estrella de Kleene de un Lenguaje

La estrella de Kleene o simplemente estrella de un lenguaje A,A ⊆ Σ∗, es la union de todas las potencias de A y se denota porA∗.

A∗ = ⋃i≥0

Ai = A0 ∪A1 ∪A2 ∪⋯∪An ∪⋯Es decir que A∗ consta de todas las concatenaciones de cadenas deA consigo mismas, de todas las formas posibles. Por lo tanto

A∗ = {u1u2⋯un ∶ ui ∈ A, n ≥ 0}De manera similar se define la clausura positiva de un lenguaje A,denotada por A+.

A+ = ⋃i≥1

Ai = A1 ∪A2 ∪⋯∪An ∪⋯Jose Luis Ramırez Ramırez Introduccion a la Teorıa de la Computacion: Lenguajes, Automatas

A∗ = ⋃i≥0

A+ = ⋃i≥1

A∗ = ⋃i≥0

A+ = ⋃i≥1

Ejemplo

Sea L = {w ∶ ∣w∣a es impar y ∣w∣b es par} sobre el alfabetoΣ = {a, b}, entonces L∗ = {w ∶ ∣w∣b es par}.

Ejemplo

Sea L = {w ∶ ∣w∣a es impar y ∣w∣b es par} sobre el alfabetoΣ = {a, b}, entonces L∗ = {w ∶ ∣w∣b es par}.

Proposicion

Sean A,B lenguajes sobre Σ, entonces:

1 A+ = A∗A = AA∗.2 A∗A∗ = A∗.3 (A∗)n = A∗, para todo n ≥ 1.4 (A∗)∗ = A∗.5 A+A+ ⊆ A+.6 (A∗)+ = A∗.7 (A+)∗ = A∗.8 (A+)+ = A+.9 (A ∪B)∗ = (A∗B∗)∗

Proposicion

Otras Operaciones entre Lenguajes

El inverso de un lenguaje A sobre Σ, notado AR, se define como

AR = {uR ∶ u ∈ A}Proposicion

1 (AB)R = BRAR.

2 (A ∪B)R = AR ∪BR.

3 (A ∩B)R = AR ∩BR.

4 (AR)R = A.5 (A∗)R = (AR)∗.6 (A+)R = (AR)+.

1 (AB)R = BRAR.

2 (A ∪B)R = AR ∪BR.

3 (A ∩B)R = AR ∩BR.

4 (AR)R = A.5 (A∗)R = (AR)∗.6 (A+)R = (AR)+.

1 (AB)R = BRAR.

2 (A ∪B)R = AR ∪BR.

3 (A ∩B)R = AR ∩BR.

4 (AR)R = A.5 (A∗)R = (AR)∗.6 (A+)R = (AR)+.

1 (AB)R = BRAR.

2 (A ∪B)R = AR ∪BR.

3 (A ∩B)R = AR ∩BR.

4 (AR)R = A.5 (A∗)R = (AR)∗.6 (A+)R = (AR)+.

1 (AB)R = BRAR.

2 (A ∪B)R = AR ∪BR.

3 (A ∩B)R = AR ∩BR.

4 (AR)R = A.5 (A∗)R = (AR)∗.6 (A+)R = (AR)+.

1 (AB)R = BRAR.

2 (A ∪B)R = AR ∪BR.

3 (A ∩B)R = AR ∩BR.

4 (AR)R = A.5 (A∗)R = (AR)∗.6 (A+)R = (AR)+.

Cardinalidad de los Lenguajes

Teorema (Cardinalidad de Σ∗)

Si Σ ≠ ∅ entonces Σ∗ es un conjunto numerable.

Demostracion.

Sea Σn = el conjunto de todas las cadenas sobre Σ de longitud n,n ≥ 0, (Σ0 = {λ}). Si ∣Σ∣ =m, entonces existen mn cadenas en Σn.Como Σ

∗ = ⋃n≥0Σn entonces Σ∗ es la union numerable deconjuntos finitos disjuntos dos a dos, por lo tanto Σ

∗ esnumerable.

Ası todos los lenguajes son finitos o numerables.

Teorema (Cardinalidad de Σ∗)

Si Σ ≠ ∅ entonces Σ∗ es un conjunto numerable.

Demostracion.

Sea Σn = el conjunto de todas las cadenas sobre Σ de longitud n,n ≥ 0, (Σ0 = {λ}). Si ∣Σ∣ =m, entonces existen mn cadenas en Σn.Como Σ

∗ = ⋃n≥0Σn entonces Σ∗ es la union numerable deconjuntos finitos disjuntos dos a dos, por lo tanto Σ

∗ esnumerable.

Ası todos los lenguajes son finitos o numerables.

Teorema (Cardinalidad de ℘(Σ∗))Si Σ ≠ ∅ entonces el numero de lenguajes sobre Σ es no contable.

Demostracion.

El conjunto de todos los lenguajes sobre Σ es ℘(Σ∗), ası el numerode lenguajes es el cardinal de ℘(Σ∗), como Σ

∗ es numerable,entonces por el Teorema de Cantor ℘(Σ∗) es no contable.

Existen tantos lenguajes sobre un alfabeto Σ como numeros reales.

Teorema (Cardinalidad de ℘(Σ∗))Si Σ ≠ ∅ entonces el numero de lenguajes sobre Σ es no contable.

Demostracion.

El conjunto de todos los lenguajes sobre Σ es ℘(Σ∗), ası el numerode lenguajes es el cardinal de ℘(Σ∗), como Σ

∗ es numerable,entonces por el Teorema de Cantor ℘(Σ∗) es no contable.

Existen tantos lenguajes sobre un alfabeto Σ como numeros reales.

Ejercicios

1 Sea Σ = {a, b}. Encuentre una cadena que este y otra que no,en el lenguaje L ⊆ Σ∗, donde L es:

1 {wwRw ∶ w ∈ ΣΣ}.2 {w ∈ Σ∗ ∶ w2 = w3}.3 {w ∈ Σ∗ ∶ w3 = v2, v ∈ Σ∗}.4 {w ∈ Σ∗ ∶ uvw = wuv,u, v ∈ Σ∗}.

2 ¿Si ∣A∣ = n ≥ 0 y ∣B∣ =m ≥ 0 entonces ∣AB∣ = nm?.

3 Encuentre la cadena de menor longitud sobre el alfabetoΣ = {0} que no pertenece a {λ,0,00,00000}3.

4 Dar un ejemplo de un alfabeto Σ y dos lenguajes diferentesA,B sobre Σ tales que AB = BA.

Ejercicios

1 Para cada una de las siguientes afirmaciones, decida si esverdadera o no. Justifique su respuesta.Para todo lenguaje L se tiene que:

1 L∗ = L∗

.2 LR = L

.3 LLR ∪LRL = Σ∗.4 LL ∪ LL = Σ∗.5 Si L∗

1= L∗

2, entonces L1 = L2 para todo lenguaje L1 y L2.

6 AB = A B.

2 Dar un ejemplo de un alfabeto Σ y tres lenguajes diferentesA,B,C sobre Σ tales que A(B ∩C) ≠ AB ∩AC. Una de lados concatenaciones siguientes es verdadera y la otra es falsa.Demostrar o refutar, segun sea el caso: