Autómatas Finitos

Introducción a la Teoría de Autómatas, Lenguajesy Computación

Gustavo Rodríguez Gómez y Aurelio López López

INAOE

Propedéutico 2010

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Autómatas Finitos

Capítulo 2

Autómatas Finitos

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Autómatas Finitos

1 Autómatas FinitosAutómatas Finitos Deterministas (AFD)Como un AFD Procesa CadenasDiagramas y Tablas de TransiciónExtensión de la Función de Transición a CadenasLenguaje de un AFDAutómatas Finitos No Deterministas (AFND)

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos Deterministas (AFD)

Definición de AFD

DefiniciónUn AFD es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 δ : Q × Σ→ Q es una función de transición δ(q, a) = p.4 q0 ∈ Q es el estado de inicio.5 F ⊆ Q es el conjunto de estado aceptados o finales.

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Autómatas Finitos

Como un AFD Procesa Cadenas

Procesamiento de Cadenas por un AFD

Sea A AFD y w = a1a2 · · · an una cadena de entrada para A.

Iniciamos con A en su estado q0, δ(q0, a1) = q1.

Procesamos a2, δ(q1, a2) = q2 y continuamos encontrandoq3, q4, . . . , qn.δ(qi−1, ai ) = qi para cada i .

Si qn ∈ F diremos que la entrada w = a1a2 · · · an es aceptadasino es rechazada

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Como un AFD Procesa Cadenas

Procesamiento de Cadenas por un AFD

Sea A AFD y w = a1a2 · · · an una cadena de entrada para A.Iniciamos con A en su estado q0, δ(q0, a1) = q1.

Procesamos a2, δ(q1, a2) = q2 y continuamos encontrandoq3, q4, . . . , qn.δ(qi−1, ai ) = qi para cada i .

Si qn ∈ F diremos que la entrada w = a1a2 · · · an es aceptadasino es rechazada

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Como un AFD Procesa Cadenas

Procesamiento de Cadenas por un AFD

Sea A AFD y w = a1a2 · · · an una cadena de entrada para A.Iniciamos con A en su estado q0, δ(q0, a1) = q1.

Procesamos a2, δ(q1, a2) = q2 y continuamos encontrandoq3, q4, . . . , qn.

δ(qi−1, ai ) = qi para cada i .

Si qn ∈ F diremos que la entrada w = a1a2 · · · an es aceptadasino es rechazada

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Como un AFD Procesa Cadenas

Procesamiento de Cadenas por un AFD

Sea A AFD y w = a1a2 · · · an una cadena de entrada para A.Iniciamos con A en su estado q0, δ(q0, a1) = q1.

Procesamos a2, δ(q1, a2) = q2 y continuamos encontrandoq3, q4, . . . , qn.δ(qi−1, ai ) = qi para cada i .

Si qn ∈ F diremos que la entrada w = a1a2 · · · an es aceptadasino es rechazada

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Como un AFD Procesa Cadenas

Procesamiento de Cadenas por un AFD

Sea A AFD y w = a1a2 · · · an una cadena de entrada para A.Iniciamos con A en su estado q0, δ(q0, a1) = q1.

Procesamos a2, δ(q1, a2) = q2 y continuamos encontrandoq3, q4, . . . , qn.δ(qi−1, ai ) = qi para cada i .

Si qn ∈ F diremos que la entrada w = a1a2 · · · an es aceptadasino es rechazada

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Como un AFD Procesa Cadenas

Lenguaje de un AFD

DefiniciónEl lenguaje de un AFD es el conjunto de todas las cadenas w queel AFD acepta.

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1

Ejemplo

Especificar formalmente un AFD que acepte únicamente cadenasque tenga 0′s y 1′s conteniendo la subcadena 01 en alguna partede la cadena

L = {x01y | x , y ∈ {0, 1}∗}

Las siguientes cadenas pertenecen a L:01, 11010, 1001, 110001011.

Las siguientes cadenas no pertenecen a L: ε, 0, 11000.

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1

Ejemplo

Especificar formalmente un AFD que acepte únicamente cadenasque tenga 0′s y 1′s conteniendo la subcadena 01 en alguna partede la cadena

L = {x01y | x , y ∈ {0, 1}∗}

Las siguientes cadenas pertenecen a L:01, 11010, 1001, 110001011.

Las siguientes cadenas no pertenecen a L: ε, 0, 11000.

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (1/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q.

2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados.

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (1/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q.2 Su estado de inicio q0.

3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados.

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Autómatas Finitos

Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (1/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q.2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.

4 Su conjunto de estado aceptados.

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Autómatas Finitos

Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (1/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q.2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados.

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (2/3)

El autómata debe tener la capacidad de reconocer si 01 es unasubcadena de la cadena de entrada.

1 q0: Si la cadena de entrada es ε permanecemos en q0,δ(q0, ε) = q0. Si la cadena de entrada es 1 permanecemos enq0, δ(q0, 1) = q0.

2 q1: Ya se detecto la cadena 01, se acepta entonces todasucesión posterior de entradas, δ(q1, 0) = δ(q1, 1) = q1.

3 q2: No se ha detectado la cadena 01 pero la entrada masreciente ha sido un 0. Luego si vemos un 1 se tendrá lacadena 01, δ(q2, 0) = q2, δ(q2, 1) = q1

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (2/3)

El autómata debe tener la capacidad de reconocer si 01 es unasubcadena de la cadena de entrada.

1 q0: Si la cadena de entrada es ε permanecemos en q0,δ(q0, ε) = q0. Si la cadena de entrada es 1 permanecemos enq0, δ(q0, 1) = q0.

2 q1: Ya se detecto la cadena 01, se acepta entonces todasucesión posterior de entradas, δ(q1, 0) = δ(q1, 1) = q1.

3 q2: No se ha detectado la cadena 01 pero la entrada masreciente ha sido un 0. Luego si vemos un 1 se tendrá lacadena 01, δ(q2, 0) = q2, δ(q2, 1) = q1

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (2/3)

El autómata debe tener la capacidad de reconocer si 01 es unasubcadena de la cadena de entrada.

1 q0: Si la cadena de entrada es ε permanecemos en q0,δ(q0, ε) = q0. Si la cadena de entrada es 1 permanecemos enq0, δ(q0, 1) = q0.

2 q1: Ya se detecto la cadena 01, se acepta entonces todasucesión posterior de entradas, δ(q1, 0) = δ(q1, 1) = q1.

3 q2: No se ha detectado la cadena 01 pero la entrada masreciente ha sido un 0. Luego si vemos un 1 se tendrá lacadena 01, δ(q2, 0) = q2, δ(q2, 1) = q1

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (3/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}

2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}.

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Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (3/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}2 Su estado de inicio q0.

3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}.

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Autómatas Finitos

Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (3/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.

4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}.

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Autómatas Finitos

Como un AFD Procesa Cadenas

Ejemplo 1, continuación (3/3)

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}.

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Diagramas y Tablas de Transición

Definición Diagramas de Transición

Definición

Un diagrama de transición de AFD A = (Q,Σ, δ, q0,F ) es ungrafo que cumple con las siguientes condiciones

1 Para cada q ∈ Q existe un nodo.

2 Para cada q ∈ Q y a ∈ Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces eldiagrama de transición tiene un arco que va del nodo q alnodo p cuya etiqueta es a.

3 Hay una flecha entrando al estado q0 cuya etiqueta es Inicio.4 Los nodos correspondientes a los estados aceptados, F , sonmarcados por un círculo doble. Los estado que no pertenecena F tienen un círculo simple.

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Diagramas y Tablas de Transición

Definición Diagramas de Transición

Definición

Un diagrama de transición de AFD A = (Q,Σ, δ, q0,F ) es ungrafo que cumple con las siguientes condiciones

1 Para cada q ∈ Q existe un nodo.2 Para cada q ∈ Q y a ∈ Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces eldiagrama de transición tiene un arco que va del nodo q alnodo p cuya etiqueta es a.

3 Hay una flecha entrando al estado q0 cuya etiqueta es Inicio.4 Los nodos correspondientes a los estados aceptados, F , sonmarcados por un círculo doble. Los estado que no pertenecena F tienen un círculo simple.

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Diagramas y Tablas de Transición

Definición Diagramas de Transición

Definición

Un diagrama de transición de AFD A = (Q,Σ, δ, q0,F ) es ungrafo que cumple con las siguientes condiciones

1 Para cada q ∈ Q existe un nodo.2 Para cada q ∈ Q y a ∈ Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces eldiagrama de transición tiene un arco que va del nodo q alnodo p cuya etiqueta es a.

3 Hay una flecha entrando al estado q0 cuya etiqueta es Inicio.

4 Los nodos correspondientes a los estados aceptados, F , sonmarcados por un círculo doble. Los estado que no pertenecena F tienen un círculo simple.

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Diagramas y Tablas de Transición

Definición Diagramas de Transición

Definición

Un diagrama de transición de AFD A = (Q,Σ, δ, q0,F ) es ungrafo que cumple con las siguientes condiciones

1 Para cada q ∈ Q existe un nodo.2 Para cada q ∈ Q y a ∈ Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces eldiagrama de transición tiene un arco que va del nodo q alnodo p cuya etiqueta es a.

3 Hay una flecha entrando al estado q0 cuya etiqueta es Inicio.4 Los nodos correspondientes a los estados aceptados, F , sonmarcados por un círculo doble. Los estado que no pertenecena F tienen un círculo simple.

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Diagramas y Tablas de Transición

Definición de Tablas de Transición

DefiniciónUna tabla de transición es una representación tabularconvencional de la función δ. Los renglones de la tablacorresponden a los estados y las columnas corresponden a lasentradas. La entrada para el renglón correspondiente al estado q ycolumna correspondiente a la entrada a es el estado δ(q, a).

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Diagramas y Tablas de Transición

Ejemplo de Diagramas y Tablas de Transición

Diagrama y tabla de transición del ejemplo 1.

A = {{q0, q1, q2}, {0, 1}, δ, q0, {q1}}

Figura: Diagrama de transición Figura: Tabla de transición

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Extensión de la Función de Transición a Cadenas

Extensión de la Función de Transición a Cadenas

La función de transición δ : Q × Σ→ Q se puede extenderpara que actúe sobre estados y cadenas

A la función extendida la denotaremos por δ̂.

La definición de δ̂ se hace por inducción sobre la longitud dela cadena de entrada.

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Extensión de la Función de Transición a Cadenas

Extensión de la Función de Transición a Cadenas

La función de transición δ : Q × Σ→ Q se puede extenderpara que actúe sobre estados y cadenasA la función extendida la denotaremos por δ̂.

La definición de δ̂ se hace por inducción sobre la longitud dela cadena de entrada.

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Autómatas Finitos

Extensión de la Función de Transición a Cadenas

Extensión de la Función de Transición a Cadenas

La función de transición δ : Q × Σ→ Q se puede extenderpara que actúe sobre estados y cadenasA la función extendida la denotaremos por δ̂.

La definición de δ̂ se hace por inducción sobre la longitud dela cadena de entrada.

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Extensión de la Función de Transición a Cadenas

Definición de la Función de Transición Extendida

1 Definimosδ̂(q, ε) = q,

donde ε es la cadena vacía.

2 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 1, suponga que w = a.Definimos

δ̂(q,w) = δ(δ̂(q, ε), a

)= δ (q, a) = p1

3 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 2, suponga quew = ba. Entonces

δ̂(q, ba) = δ(δ̂(q, b), a

)= δ (p, a) = p2,

donde estamos suponiendo que δ̂(q, b) = p.

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Extensión de la Función de Transición a Cadenas

Definición de la Función de Transición Extendida

1 Definimosδ̂(q, ε) = q,

donde ε es la cadena vacía.2 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 1, suponga que w = a.Definimos

δ̂(q,w) = δ(δ̂(q, ε), a

)= δ (q, a) = p1

3 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 2, suponga quew = ba. Entonces

δ̂(q, ba) = δ(δ̂(q, b), a

)= δ (p, a) = p2,

donde estamos suponiendo que δ̂(q, b) = p.

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Extensión de la Función de Transición a Cadenas

Definición de la Función de Transición Extendida

1 Definimosδ̂(q, ε) = q,

donde ε es la cadena vacía.2 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 1, suponga que w = a.Definimos

δ̂(q,w) = δ(δ̂(q, ε), a

)= δ (q, a) = p1

3 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 2, suponga quew = ba. Entonces

δ̂(q, ba) = δ(δ̂(q, b), a

)= δ (p, a) = p2,

donde estamos suponiendo que δ̂(q, b) = p.35 / 53

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Extensión de la Función de Transición a Cadenas

Inducción

Suponga que la definición de δ̂ es válida para cualquier cadenade longitud n y tomemos una cadena arbitraria de longitudn+ 1. Supongamos que la cadena es w = xa, donde |x | = n y|a| = 1, entonces

δ̂(q, xa) = δ(δ̂(q, x), a

)= δ (p, a) = p3,

estamos suponiendo que δ̂(q, x) = p por hipótesis deinducción.

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Lenguaje de un AFD

Definición Formal de Lenguaje para un AFD

Definición

Formalmente el lenguaje (aceptado) de un AFDA = (Q,Σ, δ, q0,F ) es

L(A) ={w | δ̂(q0,w) ∈ F

}DefiniciónLos lenguajes aceptados por los AFD son llamados lenguajesregulares.

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Lenguaje de un AFD

Ejemplo 2 de AFD

1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con unnúmero par de 0′s y un número par de 1′s.

2 El lenguaje aceptado del AFD es

L ={w | w tiene un número par de 0′s y de 1′s

}.

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.4 q1: El número de 0′s vistos hasta el momento es par pero los1′s son impares.

5 q2: El número de 1′s vistos hasta el momento es par pero los0′s son impares.

6 q3: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es impar.

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Lenguaje de un AFD

Ejemplo 2 de AFD

1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con unnúmero par de 0′s y un número par de 1′s.

2 El lenguaje aceptado del AFD es

L ={w | w tiene un número par de 0′s y de 1′s

}.

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.4 q1: El número de 0′s vistos hasta el momento es par pero los1′s son impares.

5 q2: El número de 1′s vistos hasta el momento es par pero los0′s son impares.

6 q3: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es impar.

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Lenguaje de un AFD

Ejemplo 2 de AFD

1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con unnúmero par de 0′s y un número par de 1′s.

2 El lenguaje aceptado del AFD es

L ={w | w tiene un número par de 0′s y de 1′s

}.

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.

4 q1: El número de 0′s vistos hasta el momento es par pero los1′s son impares.

5 q2: El número de 1′s vistos hasta el momento es par pero los0′s son impares.

6 q3: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es impar.

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Lenguaje de un AFD

Ejemplo 2 de AFD

1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con unnúmero par de 0′s y un número par de 1′s.

2 El lenguaje aceptado del AFD es

L ={w | w tiene un número par de 0′s y de 1′s

}.

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.4 q1: El número de 0′s vistos hasta el momento es par pero los1′s son impares.

5 q2: El número de 1′s vistos hasta el momento es par pero los0′s son impares.

6 q3: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es impar.

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Lenguaje de un AFD

Ejemplo 2 de AFD

1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con unnúmero par de 0′s y un número par de 1′s.

2 El lenguaje aceptado del AFD es

L ={w | w tiene un número par de 0′s y de 1′s

}.

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.4 q1: El número de 0′s vistos hasta el momento es par pero los1′s son impares.

5 q2: El número de 1′s vistos hasta el momento es par pero los0′s son impares.

6 q3: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es impar.

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Autómatas Finitos

Lenguaje de un AFD

Ejemplo 2 de AFD

1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con unnúmero par de 0′s y un número par de 1′s.

2 El lenguaje aceptado del AFD es

L ={w | w tiene un número par de 0′s y de 1′s

}.

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.4 q1: El número de 0′s vistos hasta el momento es par pero los1′s son impares.

5 q2: El número de 1′s vistos hasta el momento es par pero los0′s son impares.

6 q3: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es impar.

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Lenguaje de un AFD

Diagrama y Tabla de Transición del Ejemplo 2

Un AFD que acepta únicamente cadenas con un número parde 0′s y un número par de 1′s

A = {{q0, q1, q2, q3, q4}, {0, 1}, δ, q0, {q0}}

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Un AFND puede estar en varios estados al mismo tiempo.Capacidad de adivinar algo relacionado con su entrada.

[Ejemplo 1 AFND] Considere el AFND que acepta todas lascadenas formadas de 0′s y 1′s pero que terminan en 01

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Un AFND puede estar en varios estados al mismo tiempo.Capacidad de adivinar algo relacionado con su entrada.

[Ejemplo 1 AFND] Considere el AFND que acepta todas lascadenas formadas de 0′s y 1′s pero que terminan en 01

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Definición de AFND

DefiniciónUn AFND es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.

2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Definición de AFND

DefiniciónUn AFND es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.

3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Definición de AFND

DefiniciónUn AFND es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.

4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Definición de AFND

DefiniciónUn AFND es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados

5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Definición de AFND

DefiniciónUn AFND es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Especificación Formal del Ejemplo 1 AFND

1

A = {{q, q, q} , {0, 1} , δ, q0, {q2}}

2 La función de transición δ está dada por

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Autómatas Finitos

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Especificación Formal del Ejemplo 1 AFND

1

A = {{q, q, q} , {0, 1} , δ, q0, {q2}}

2 La función de transición δ está dada por

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