Introducción a la Teoría de Autómatas, Lenguajes y …...Introducción a la Teoría de...

Autómatas FinitosAutómata Finitos Informalmente

Autómatas Finitos Deterministas (AFD)Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Autómatas Finitos con Transiciones

Introducción a la Teoría de Autómatas, Lenguajesy Computación

Gustavo Rodríguez Gómez y Aurelio López López

Propedéutico 2020

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Capítulo 2

Autómatas Finitos

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Outline I

1 Autómatas FinitosIntroducción

2 Autómata Finitos InformalmenteEjemplo e-comercio 1/3Ejemplo e-comercio 2/3Ejemplo e-comercio 2/3

3 Autómatas Finitos Deterministas (AFD)Definición Formal de un AFDComo un AFD Procesa CadenasDiagramas y Tablas de Transición AFDEjemploExtensión de la Función de Transición a Cadenas AFDLenguaje de un AFD

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Outline II4 Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Definición Formal de AFNDEspecificación Formal de un AFND EjemploFunción de Transición Extendida AFNDEl Lenguaje de un AFNDEquivalencia entre AFD y AFND

5 Autómatas Finitos con TransicionesUso de las Transiciones-εEpsilón CerradurasTransiciones Extendidas y Lenguajes para epsilón AFND

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Introducción

Lenguajes regulares y su relación con los autómatas finitos(AF)

Notación estructural para describir los mismos patrones quepueden ser representados por un autómata finito.

Autómata finito

Tiene un conjuntos de estadosTiene un control que lo mueve de un estado a otro estado enrespuesta a entradas externas

Autómata finito determinista (AFD)

El autómata no puede estas en más de un estado al mismotiempo

Autómata finito no determinista (AFND)

El autómata puede estar en varios estado al mismo tiempo

AFD vs AFND

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Introducción

Autómata finito

AFD vs AFND

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Introducción

Autómata finito

AFD vs AFND

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Introducción

Autómata finitoTiene un conjuntos de estados

Tiene un control que lo mueve de un estado a otro estado enrespuesta a entradas externas

AFD vs AFND

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Introducción

Autómata finitoTiene un conjuntos de estadosTiene un control que lo mueve de un estado a otro estado enrespuesta a entradas externas

AFD vs AFND

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Introducción

AFD vs AFND

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Introducción

Autómata finito determinista (AFD)El autómata no puede estas en más de un estado al mismotiempo

AFD vs AFND

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Introducción

AFD vs AFND

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Introducción

Autómata finito no determinista (AFND)El autómata puede estar en varios estado al mismo tiempo

AFD vs AFND

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Introducción

Autómata finito no determinista (AFND)El autómata puede estar en varios estado al mismo tiempo

AFD vs AFND14 / 103

Ejemplo e-comercio 1/3Ejemplo e-comercio 2/3Ejemplo e-comercio 2/3

e-comercio

1 Hay tres participantes: el cliente, la tienda y el banco2 Eventos permitidos

1 El cliente puede decidir pagar2 El cliente puede decidir cancelar3 La tienda puede enviar las mercancías al cliente4 La tienda puede realizar el cobro del dinero5 El banco puede transferir el dinero a la tienda

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Protocolo e-comercio

Protocolo por cada participante

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Protocolo e-comercio completo

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Todo el Sistema como Autómata

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Definición Formal de un AFDComo un AFD Procesa CadenasDiagramas y Tablas de Transición AFDEjemploExtensión de la Función de Transición a Cadenas AFDLenguaje de un AFD

Definición Formal de AFD

DefinitionUn AFD es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 δ : Q × Σ→ Q es una función de transición δ(q, a) = p.4 q0 ∈ Q es el estado de inicio.5 F ⊆ Q es el conjunto de estado aceptados o finales.

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Procesamiento de Cadenas por un AFD

Sea A AFD y w = a1a2 · · · an una cadena de entrada para A.

Iniciamos con A en su estado q0, δ(q0, a1) = q1.

Procesamos a2, δ(q1, a2) = q2 y continuamos encontrandoq3, q4, . . . , qn.δ(qi−1, ai ) = qi para cada i .

Si qn ∈ F diremos que la entrada w = a1a2 · · · an esaceptada sino es rechazada

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Sea A AFD y w = a1a2 · · · an una cadena de entrada para A.Iniciamos con A en su estado q0, δ(q0, a1) = q1.

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Procesamos a2, δ(q1, a2) = q2 y continuamos encontrandoq3, q4, . . . , qn.

δ(qi−1, ai ) = qi para cada i .

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Lenguaje de un AFD

DefinitionEl lenguaje de un AFD es el conjunto de todas las cadenas w queel AFD acepta.

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Ejemplo 1-1/4

Example

Especificar formalmente un AFD que acepte únicamente cadenasque tenga 0′s y 1′s conteniendo la subcadena 01 en alguna partede la cadena. El lenguaje L se puede describir como

L = {x01y | x , y ∈ {0, 1}∗}

Las siguientes cadenas pertenecen a L:01, 11010, 1001, 110001011.

Las siguientes cadenas no pertenecen a L: ε, 0, 11000.

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Ejemplo 1-1/4

Example

Especificar formalmente un AFD que acepte únicamente cadenasque tenga 0′s y 1′s conteniendo la subcadena 01 en alguna partede la cadena. El lenguaje L se puede describir como

L = {x01y | x , y ∈ {0, 1}∗}

Las siguientes cadenas pertenecen a L:01, 11010, 1001, 110001011.

Las siguientes cadenas no pertenecen a L: ε, 0, 11000.

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Ejemplo 1-2/4

¿Qué es lo que debemos conocer para definir el autómata queacepta al lenguaje L?

1 Sus estados Q

2 Su estado de inicio q03 Su alfabeto Σ ({0, 1})4 Su conjunto de estados aceptados

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Ejemplo 1-2/4

1 Sus estados Q2 Su estado de inicio q0

3 Su alfabeto Σ ({0, 1})4 Su conjunto de estados aceptados

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Ejemplo 1-2/4

1 Sus estados Q2 Su estado de inicio q03 Su alfabeto Σ ({0, 1})

4 Su conjunto de estados aceptados

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Ejemplo 1-2/4

1 Sus estados Q2 Su estado de inicio q03 Su alfabeto Σ ({0, 1})4 Su conjunto de estados aceptados

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Ejemplo 1-3/4

El autómata A debe tener la capacidad de reconocer si 01 es unasubcadena de la cadena de entrada. Necesita recordar

1 ¿Ya ha visto la cadena 01? En caso afirmativo, entoncesacepta toda secuencia posterior de entradas.

2 ¿Nunca ha visto un 01, pero su entrada mas reciente fue un 0,si así fue ahora ve un 1, luego al haber visto un 01 podráaceptar todo lo que ve de aquí en adelante?

3 ¿Nunca ha visto un 01, pero su última entrada fue inexistente(recién comienza) o lo último que vio fue un 1? En este caso,A no puede aceptar hasta que vea un 0 y luego vea 1inmediatamente después.

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Ejemplo 1-3/4

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Ejemplo 1-3/4

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Ejemplo 1-3/4

El autómata debe tener la capacidad de reconocer si 01 es unasubcadena de la cadena de entrada.

1 q0: (condición 3) Si la cadena de entrada es ε permanecemosen q0, δ(q0, ε) = q0. Si la cadena de entrada es 1permanecemos en q0, δ(q0, 1) = q0.

2 q2: (condición 2) No se ha detectado la cadena 01 pero laentrada mas reciente ha sido un 0. Usaremos q2 pararepresentar δ(q0, 0) = q2. Luego si vemos un 1 se tendrá lacadena 01, δ(q0, 0) = q2, δ(q2, 1) = q1.

3 q1: Ya se detecto la cadena 01, se acepta entonces todasucesión posterior de entradas, δ(q1, 0) = δ(q1, 1) = q1.

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Ejemplo 1-3/4

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Ejemplo 1-3/4

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Ejemplo 1-4/4

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}

2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}

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Ejemplo 1-4/4

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}2 Su estado de inicio q0.

3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}

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Ejemplo 1-4/4

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.

4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}

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Ejemplo 1-4/4

1 Sus estados Q = {q0, q1, q2}2 Su estado de inicio q0.3 Su alfabeto Σ = {0, 1}.4 Su conjunto de estado aceptados: F = {q1}

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Definición Diagramas de Transición

Definition

Un diagrama de transición de AFD A = (Q,Σ, δ, q0,F ) es ungrafo que cumple con las siguientes condiciones

1 Para cada q ∈ Q existe un nodo.

2 Para cada q ∈ Q y a ∈ Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces eldiagrama de transición tiene un arco que va del nodo q alnodo p cuya etiqueta es a.

3 Hay una flecha entrando al estado q0 cuya etiqueta es Inicio.4 Los nodos correspondientes a los estados aceptados, F , sonmarcados por un círculo doble. Los estado que no pertenecena F tienen un círculo simple.

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Definition

1 Para cada q ∈ Q existe un nodo.2 Para cada q ∈ Q y a ∈ Σ, sea δ(q, a) = p. Entonces eldiagrama de transición tiene un arco que va del nodo q alnodo p cuya etiqueta es a.

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Definition

3 Hay una flecha entrando al estado q0 cuya etiqueta es Inicio.

4 Los nodos correspondientes a los estados aceptados, F , sonmarcados por un círculo doble. Los estado que no pertenecena F tienen un círculo simple.

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Definition

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Definición de Tablas de Transición

DefinitionUna tabla de transición es una representación tabularconvencional de la función δ. Los renglones de la tablacorresponden a los estados y las columnas corresponden a lasentradas. La entrada para el renglón correspondiente al estado q ycolumna correspondiente a la entrada “a”es el estado δ(q, a).

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Ejemplo de Diagramas y Tablas de Transición

Diagrama y tabla de transición del ejemplo 1.

A = {{q0, q1, q2}, {0, 1}, δ, q0, {q1}}

Figure: Diagrama de transición Figure: Tabla de transición

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Example

Dado el siguiente autómata determine cuál de las siguientescadenas acepta.

a) bbaaa

b) aabbba

c) bab

d) aba

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Extensión de la Función de Transición a Cadenas

La función de transición δ : Q × Σ→ Q se puede extenderpara que actúe sobre estados y cadenas

A la función extendida la denotaremos por δ̂.

La definición de δ̂ se hace por inducción sobre la longitud dela cadena de entrada.

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La función de transición δ : Q × Σ→ Q se puede extenderpara que actúe sobre estados y cadenasA la función extendida la denotaremos por δ̂.

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La función de transición δ : Q × Σ→ Q se puede extenderpara que actúe sobre estados y cadenasA la función extendida la denotaremos por δ̂.

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Definición de la Función de Transición Extendida

1 Definimosδ̂(q, ε) = q,

donde ε es la cadena vacía.

2 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 1, suponga que w = a.Definimos

δ̂(q,w) = δ(δ̂(q, ε), a

)= δ (q, a) = p1

3 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 2, suponga quew = ba. Entonces

δ̂(q, ba) = δ(δ̂(q, b), a

)= δ (p, a) = p2,

donde estamos suponiendo que δ̂(q, b) = p.

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donde ε es la cadena vacía.2 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 1, suponga que w = a.Definimos

δ̂(q,w) = δ(δ̂(q, ε), a

)= δ (q, a) = p1

δ̂(q, ba) = δ(δ̂(q, b), a

)= δ (p, a) = p2,

donde estamos suponiendo que δ̂(q, b) = p.

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donde ε es la cadena vacía.2 Sea w cualquier cadena tal que |w | = 1, suponga que w = a.Definimos

δ̂(q,w) = δ(δ̂(q, ε), a

)= δ (q, a) = p1

δ̂(q, ba) = δ(δ̂(q, b), a

)= δ (p, a) = p2,

donde estamos suponiendo que δ̂(q, b) = p.54 / 103

Definición Formal de Lenguaje para un AFD

Definition

Formalmente el lenguaje (aceptado) de un AFDA = (Q,Σ, δ, q0,F ) es

L(A) ={w | δ̂(q0,w) ∈ F

}DefinitionLos lenguajes aceptados por los AFD son llamados lenguajesregulares.

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Ejemplo 2 de AFD

1 Diseño de un AFD que acepta únicamente cadenas con unnúmero par de 0′s y un número par de 1′s.

2 El lenguaje aceptado del AFD es

L ={w | w tiene un número par de 0′s y de 1′s

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.4 q1: El número de 0′s vistos hasta el momento es par pero los1′s son impares.

5 q2: El número de 1′s vistos hasta el momento es par pero los0′s son impares.

6 q3: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es impar.

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Ejemplo 2 de AFD

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Ejemplo 2 de AFD

3 q0: El número de 0′s y 1′s vistos hasta el momento es par.

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Ejemplo 2 de AFD

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Ejemplo 2 de AFD

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Ejemplo 2 de AFD

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Diagrama y Tabla de Transición del Ejemplo 2

Un AFD que acepta únicamente cadenas con un número parde 0′s y un número par de 1′s

A = {{q0, q1, q2, q3}, {0, 1}, δ, q0, {q0}}

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Evolución de la función de transición extendida

Considere w = 110101

1 δ̂(q0, ε) = q02 δ̂(q0, 1) = δ(δ̂(q0, ε), 1) = δ(q0, 1) = q13 δ̂(q0, 11) = δ(δ̂(q0, 1), 1) = δ(q1, 1) = q04 δ̂(q0, 110) = δ(δ̂(q0, 11), 0) = δ(q0, 0) = q25 δ̂(q0, 1101) = δ(δ̂(q0, 110), 1) = δ(q2, 1) = q36 δ̂(q0, 11010) = δ(δ̂(q0, 1101), 0) = δ(q3, 0) = q17 δ̂(q0, 110101) = δ(δ̂(q0, 11010), 1) = δ(q1, 1) = q0

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Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Un AFND puede estar en varios estados al mismo tiempo.Capacidad de adivinar algo relacionado con su entrada.

[Ejemplo 1 AFND] Considere el AFND, A01, que acepta todaslas cadenas formadas de 0′s y 1′s pero que terminan en 01

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Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Un AFND puede estar en varios estados al mismo tiempo.Capacidad de adivinar algo relacionado con su entrada.

[Ejemplo 1 AFND] Considere el AFND, A01, que acepta todaslas cadenas formadas de 0′s y 1′s pero que terminan en 01

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Definición Formal de AFND

DefinitionUn AFND es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.

2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.

3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.

4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados

5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ→ 2|Q |, la función de transición.

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Especificación Formal del Ejemplo 1 AFND

A = {{q0, q1, q2} , {0, 1} , δ, q0, {q2}}

2 La función de transición δ está dada por

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Especificación Formal del Ejemplo 1 AFND

A = {{q0, q1, q2} , {0, 1} , δ, q0, {q2}}

2 La función de transición δ está dada por

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DefinitionLa definición de la función de transición extendida para AFND lahacemos por inducción

Base: δ̂(q, ε) = {q}

Inducción: Supongamos que w = xa, a es el símbolo final de w y xes el antecedente de w . Supongamos queδ̂(q, x) = {p1, p2, . . . , pk}. Sea

k⋃i=1

δ(pi , a) = {r1, r2, . . . , rm} .

Entoncesδ̂(q,w) = {r1, r2, . . . , rm} 73 / 103

Ejemplo Función de Transición Extendida AFND 1/2

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Ejemplo Función de Transición Extendida AFND 2/2

Sea w = 00101 y el AFND A01

1 δ̂(q0, ε) = {q0}2 δ̂(q0, 0) = δ(q0, 0) = {q0, q1}3 δ̂(q0, 00) = δ(q0, 0) ∪ δ(q1, 0) = {q0, q1} ∪ φ = {q0, q1}4 δ̂(q0, 001) = δ(q0, 1) ∪ δ(q1, 1) = {q0} ∪ {q2} = {q0, q2}5 δ̂(q0, 0010) = δ(q0, 0) ∪ δ(q1, 0) ∪ δ(q2, 0) ={q0, q1} ∪ φ ∪ φ = {q0, q1}

6 δ̂(q0, 00101) = δ(q0, 1) ∪ δ(q1, 1) ∪ δ(q2, 1) ={q0} ∪ {q2} = {q0, q2}

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Definición Formal de Lenguaje de un AFND

Definition

Si A = (Q,Σ, δ, q0,F ) es un AFND entonces

L(A) ={w | δ̂(q0,w) ∩ F 6= φ

}En palabras L(A) es el conjunto de cadenas w en Σ∗ tal queδ̂(q0,w) contiene al menos un estado aceptado.

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Equivalencia AFD y AFND I

Los AFND en general son más fáciles de construir que unAFD.

Sorprendentemente para cualquier AFND N existe un AFD Dtal que L(D) = L(N) y viceversa.

La demostración de la equivalencia entre AFD y AFNDinvolucra una “construcción” llamada el subconjunto deconstrucción.

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Equivalencia AFD y AFND II

Dado un AFND

N = (QN ,Σ, δN , q0,FN )

se construye un AFD

D = (QD ,Σ, δD , {q0},FD )

tal queL(D) = L(N)

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Construcción Equivalencia

QD = {S | S ⊆ QN} , QD = 2|QN |, en general no todos losestados son accesibles a partir del estado de inicio de QD .

FD = {S ⊆ QN | S ∩ FN 6= φ}Para cada S ⊆ QN y a ∈ Σ

δD (S , a) =⋃p∈S

δN (p, a)

Para calcular δD (S , a) buscamos en todos los estados p ∈ S ,vemos a qué estados va N desde p con la entrada a, ytomamos la unión de todos esos estados.

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Ejemplo Equivalencia AFND, AFD

Sea N el autómata de la figuraadjunta que acepta todos lascadenas que terminan en 01.Entonces QD tiene 23 estados.A continuación ponemos la Latabla de transición yrenombramos los conjuntos.

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Equivalencia

Theorem

Si D = (QD ,ΣD , δD , {q0} ,FD ) es el AFD construido a partir delAFND N = (QN ,Σ, δN , q0,FN ) por medio del subconjuntoconstrucción, entonces L(D) = L(N).

TheoremSi un lenguaje L es aceptado por algún AFD ⇔ es aceptado poralgún AFND.

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Uso de las Transiciones-εEpsilón CerradurasTransiciones Extendidas y Lenguajes para epsilón AFND

Introducimos una nueva característica a los autómatas que lespermite una transición con ε la cadena vacía.

Se pueden hacer transiciones de forma “espontánea”, sinrecibir un símbolo de entrada.

La nueva característica no expande la clase de lenguajes quepuede ser aceptada.

Incorpora facilidades para la programación.

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Ejemplo Informal

Ejemplo de un ε-AFND que acepta números decimales queconsisten de:

1 Un signo opcional + o −.

2 Una cadena de dígitos.3 Un punto decimal.4 Otra cadena de dígitos;esta cadena de dígitos o lacadena dada en (2) puedeser vacía, pero al menosuna de las dos cadenas dedígitos debe ser no vacía.

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Ejemplo Informal

1 Un signo opcional + o −.2 Una cadena de dígitos.

3 Un punto decimal.4 Otra cadena de dígitos;esta cadena de dígitos o lacadena dada en (2) puedeser vacía, pero al menosuna de las dos cadenas dedígitos debe ser no vacía.

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Ejemplo Informal

1 Un signo opcional + o −.2 Una cadena de dígitos.3 Un punto decimal.

4 Otra cadena de dígitos;esta cadena de dígitos o lacadena dada en (2) puedeser vacía, pero al menosuna de las dos cadenas dedígitos debe ser no vacía.

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Ejemplo Informal

1 Un signo opcional + o −.2 Una cadena de dígitos.3 Un punto decimal.4 Otra cadena de dígitos;esta cadena de dígitos o lacadena dada en (2) puedeser vacía, pero al menosuna de las dos cadenas dedígitos debe ser no vacía.

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Segundo Ejemplo

Un ε-AFND que acepta las palabras {ebay, web}

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Definición de AFND con Epsilón Transiciones

DefinitionUn ε−AFND es una quíntupla

A = (Q,Σ, δ, q0,F )

1 Q es un conjunto finito de estados.2 Σ es un alfabeto finito, los símbolos de entrada.3 q0 ∈ Q, el estado de inicio.4 F ⊆ Q, los estados aceptados5 δ : Q × Σ ∪ {ε} → 2Q , la función de transición.

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Ejemplo

Representación formal del ε−AFND que acepta números decimales

E = ({q0, q1, . . . , q5} , {·,+,−, 0, 1, . . . , 9} , δ, q0, {q5})

Figure: Tabla de transición

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Definición de Epsilón Cerraduras

La ε−cerradura de un estado q es simplemente seguir todas lastransiciones de salida de q etiquetadas con ε.

Definition

Definimos la ε−cerradura del estado q, denotada por ECLOSE (q),inductivamente q ∈ ECLOSE (q), inducción

p ∈ ECLOSE (q) y r ∈ δ(p, ε)⇒ r ∈ ECLOSE (q)

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Ejemplo de epsilón Cerradura

Ejemplo

ECLOSE (1) = {1, 2, 3, 4, 6}

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Definición de la Transición Extendida para AFND

Por inducciónBase:

δ̂(q, ε) = ECLOSE (q)

Inducción:δ̂(q, xa) =

⋃p∈(δ(q,x ),a)

ECLOSE (p)

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Ejemplo Transición Extendida I

Calcularemos δ̂(q0, 5.6) para el autómata definido en el siguientediagrama

δ̂(q0, ε) = ECLOSE (q0) = {q0, q1}Para calcular δ̂(q0, 5), primero computamosδ(q0, 5) ∪ δ(q1, 5) = {q1, q4}.

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Ejemplo Transición Extendida II

δ̂(q0, 5) = ECLOSE (q1) ∪ ECLOSE (q2) = {q1} ∪ {q4} ={q1, q4}.Para calcular δ̂(q0, 5.), primero computamosδ(q1, .) ∪ δ(q4, .) = {q2} ∪ {q3} = {q2, q3}.δ̂(q0, 5.) = ECLOSE (q2) ∪ ECLOSE (q3) ={q2} ∪ {q3, q5} = {q2, q3, q5}.Para calcular δ̂(q0, 5.6), primero computamosδ(q2, 6) ∪ δ(q3, 6) ∪ δ(q5, 6). = {q3} ∪ {q3} ∪ φ = {q3}.δ̂(q0, 5.6) = ECLOSE{q3} = {q3, q5}

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Lenguaje de un epsilón AFND

Definition

Sea E = (Q,Σ, , δ, q0,F ) un ε−AFND, entonces el lenguaje de Eestá dado por

L(E ) ={w : δ̂(q0,w) ∩ F 6= φ

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Eliminando epsilón Transiciones I

Dado un ε−AFND

E = (QE ,Σ, , δE , q0,FE )

podemos construir un AFD

D = (QD ,Σ, , δD , qD ,FD )

tal queL(D) = L(E )

Detalles de construcción

QD = {S : S ⊆ QE y S = ECLOSE (S)}qD = ECLOSE (q0)

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Eliminando epsilón Transiciones II

FD = {S : S ∈ QD y S ∩ FE 6= φ}δD (S , a) =

⋃{ECLOSE (p) : p ∈ δ(t, a) para alguna t ∈ S}

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Ejemplo

Autómata E ε−AFND AFD D correspondiente a E

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Equivalencia de los Lenguajes I

TheoremUn lenguaje L es aceptado por algún E ε−AFND ⇔ L es aceptadopor algún AFD.

Demostración. Suficiencia. Sea E = (QE ,Σ, , δE , q0,FE ) unε−AFND. Empleamos el autómata D construido anteriormente ymostraremos L(D) = L(E ) lo que es equivalente a demostrar queδ̂D (q0,w) = δ̂E (qD ,w). Lo haremos por inducción sobre lalongitud de w .Base: Si |w | = 0, entonces w = ε, se concluye fácilmente queδ̂E (q0, ε) = δ̂D (qD , ε).

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Equivalencia de los Lenguajes II

Inducción:

δ̂E (q0, xa) =⋃

p∈δE (δ̂E (q0,x ),a)

ECLOSE (p)

p∈δD (δ̂D (qD ,x ),a)

ECLOSE (p)

p∈δ̂D (qD ,xa)

ECLOSE (p)

= δ̂D (qD , xa)

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